CURVAS PLANAS Y ECUACIONES PARAMETRICAS TEMAS

TEMAS
CURVAS PLANAS Y ECUACIONES
PARAMETRICAS
CALCULO VECTORIAL
CURVA EN EL PLANO
•
Una ecuación de la forma y = f (x) se representa
en el plano como una curva.
y=−
x2
+x
72
Esta corresponde a un tiro parabólico.
•
Curvas planas y ecuaciones paramétricas de la
recta.
•
Derivada de funciones paramétricas.
•
Coordenadas polares.
•
Aplicaciones.
ECUACIÓN DEL MOVIMIENTO
COMO FUNCIÓN DEL TIEMPO
•
La ecuación anterior no proporciona información
sobre la posición del objeto en el tiempo, para
esto deberán escribirse las ecuaciones como
función del tiempo.
x(t) = 24 2t y y(t) = −16t 2 + 24 2t
DEFINICION DE CURVA PLANA
Si f y g son funciones continuas de t en un intervalo
I, las ecuaciones
x = f (t)
y
y = g(t)
EJEMPLO
•
Para las ecuaciones paramétricas (curvaPlana1.ggb)
t
x = t2 − 4 y y =
2
se le llama ecuaciones paramétricas y a t el
parámetro. A las ecuaciones paramétricas y a su
gráfica se les llama una curva plana.
EJEMPLO
•
Para las ecuaciones paramétricas
x = t2 + t y y = t2 − t
ELIMINAR EL PARÁMETRO
Cuando se tienen las ecuaciones paramétricas y se
requiere de la ecuación rectangular, se debe
eliminar el parámetro.
Se emplea álgebra y en ocaciones identidades
trigonométricas
EJEMPLO 1
EJEMPLO 2
Considerar las ecuaciones paramétricas
Considerar las ecuaciones paramétricas
x = t2 − 4
y
y = 2t
donde el dominio es todos los reales
x=
1
t +1
y
y=
t
t +1
donde el dominio es t > −1, y el rango de x
se restringe a los reales positivos.
EJEMPLO 3
ECUACIONES PARAMETRICAS
DE UNA ELIPSE
Curva con funciones trigonométricas
Las gráfica de las ecuaciones paramétricas
x = 3cost y y = 4sen t, 0 ≤ t ≤ 2π
x = h + a cosθ y y = k + b senθ , 0 ≤ θ ≤ 2π
es una elipse (trazada en sentido antihorario) con
ecuación
(x − h)2 (y − k)2
+
=1
a2
b2
EJERCICIOS
•
HALLAR ECUACIONES
PARAMETRICAS
Ejercicios de la sección Curvas planas y ecuacions
paramétricas del libro de Larson: 5, 6, 7, 17, 21,
22 y 33
EJEMPLO 1
•
¿Como determinar un conjunto de ecuaciones
paramétricas para una gráfica o una descripción
física?
•
Analizar con ejemplos.
EJEMPLO 2
Considerar la ecuación y = 1− x 2 , determinar
conjunto de ecuaciones paramétricas para
representar su gráfica.
a) eligiendo como parámetro
•
t=x
dy
b) eligiendo como parámetro la pendiente m =
dx
en el punto (x,y)
•
Ecuaciones de una cicloide. La cicloide se genera
por un punto en un círculo de radio a que gira a lo
largo de una recta en el plano (ver cicloide.gdb).
x = a(θ − sin θ ) y y = a(1− cosθ )
CURVA SUAVE
CICLOIDE
Aprovechamos para definir curva suave.
Para la cicloide
Una curva C representada por x = f (t) y y = g(t)
en un intervalo I se dice que es suave si f ' y g' son
continuas en el intervalo y no son simultáneamente
0, excepto posiblemente en los puntos terminales
del intervalo.
Es suave a trozos si es suave en subintervalos del
intervalo I
EJERCICIOS ADICIONALES
FINAL DE SECCION
•
Ejercicios de la sección Curvas planas y
ecuaciones paramétricas del libro de Larson: 37,
40,41, 42, 45, 48, 60, 62, 65.
•
Proyecto, cicloides.
x = a(θ − sin θ ) y y = a(1− cosθ )
f '(θ ) = a(1− cos(θ )) y g'(θ ) = asin θ
Analizar los puntos los intervalos en los
cuales la curva no es suave.