Claus_trans_2007

INFORME CLAUSURA TRANSITIVA EN UN GRAFO DIRIGIDO
Objetivo: El objetivo del trabajo es comprender y estudiar uno de los problemas asociados a
la teoría de grafos, es decir la clausura transitiva para un grafo dirigido, definir, ejemplificar y
dar posibles aplicaciones para poner en práctica lo aprendido en teoría.
Introducción: En la teoría de grafos surgen varios problemas relacionados con los caminos
que existen entre pares de vértices, ya sea, encontrar los caminos más cortos de un
grafo(dirigido y no dirigido), ver si el grafo es conexo, etc. En este trabajo hablaremos de la
clausura transitiva(o cierre transitivo) de un grafo dirigido, tema que surgió para resolver un
problema específico de grafos, pero que tiene aplicaciones en problemas reales.
Definición:
Un grafo dirigido es un par (V; E) donde V es un conjunto finito y E (V x V) 
siendo  =  (x; x): x V . A los elementos de V se les denomina vértices y a los de E aristas
(dirigidas u orientadas). Si G = (V; E) es un grafo dirigido, y (u; v) E; se dice que u es el
vértice inicial de la arista (u; v) y que v es el vértice final de dicha arista.
El concepto de transitividad es el mismo que se utiliza en teoría matemática el cual
postula que si a<b<c  a<c, en el caso de clausura transitiva, el concepto se refiere a que
existe un camino que une el vértice i con el vértice j, no importando que para llegar desde i a
j tengamos que visitar otros vértices del grafo. Por esta razón es que el algoritmo fue
diseñado para grafos dirigidos, donde si es importante hacia donde están apuntando los
vértices, ya que en digrafos muy grandes, el problema de encontrar caminos entre pares de
vértices es demasiado complicado, sólo siguiendo el trazado del dibujo del mismo, de ahí la
importancia de este algoritmo y el interés que generó su estudio.
La clausura transitiva de un grafo G se define como el grafo G* = (V, E*), donde E*={(i,
j): hay un camino desde el vértice i al vértice j en G}.
Ejemplo: Dado el siguiente grafo dirigido, encontrar la clausura transitiva de él:
La clausura transitiva del grafo asociado es:
Algoritmo: El algoritmo utilizado para encontrar la clausura transitiva de un grafo dirigido es
muy parecido al algoritmo de Floyd_Warshall, con la diferencia que este utiliza las
operaciones lógicas  y , sustituyendo las aritméticas min y + usadas por Floyd_Warshall,
además que rellena la matriz de adyacencia sólo con 0 y 1, a diferencia del otro que les
asocia un peso a cada arista que está en el grafo, y si no hay conexión entre los vértices,
entonces le asigna . Ahora presentaré el algoritmo propuesto:
TRANSITIVE-CLOUSURE(G)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
n
V[G]
for i
1 to n
for j
1 to n
if i = j or (i, j)  E[G]
then ti,j(0)
1
else ti,j(0)
0
for k
1 to n
for k
1 to n
for k
1 to n
(k)
ti,j
ti,j(k-1)  ( ti,k(k-1)  tk,j(k-1))
return T(n)
Como podemos ver, el algoritmo tiene como entrada el grafo y como salida la matriz de
alcance asociada a ese grafo. Desde la línea 1 hasta la 6, lo que hace es completar la matriz
de adyacencia del grafo, notar que ésta matriz en la diagonal se le asigna el valor 1, ya que
supone que hay un camino desde un vértice a él mismo en la matriz de alcance. Luego
desde la línea 7 a la 10 calcula las diferentes matrices, para este proceso va guardando la
matriz anterior que es con la que hace el trabajo, la matriz actual sólo sirve para guardar los
resultados, el n que se indica es el número de vértices que tiene el grafo, por lo tanto calcula
tantas matrices como vértices tiene el grafo. Luego en la línea final(11), retorna la matriz de
alcance asociada al grafo, que es la clausura transitiva del grafo.
Ahora veremos como trabaja el algoritmo, a través del ejemplo anterior. Teníamos que
el grafo era:
El primer paso es completar la matriz de adyacencia del grafo(recordando que la
diagonal se rellena con 1), por lo tanto nos queda que:
1

0

0

1
1
1
0
1
0
1
1
0
0

0
1

1
1

0
 
T 
0

1
1
1
0
1
0
1
1
0
0

0
1

1
T 
1

0

0

1
1
1
0
1
1
1
1
1
0

0
1

1
T 
1

0

0

1
1
1
0
1
1
1
1
1
1

1
1

1
T 
0
1
2
3
Matriz de adyacencia, con la
diagonal cambiada por uno.
Esta matriz indica si existe un
camino desde el nodo i al nodo j,
pasando por el nodo 1.
Esta matriz indica si existe un
camino desde el nodo i al nodo j,
pasando por el nodo 2.
Esta matriz indica si existe un
camino desde el nodo i al nodo j,
pasando por el nodo 3.
T 
4
1

1

1

1
1
1
1
1
1
1
1
1
1

1
1

1
Esta es la matriz de alcance que nos muestra la clausura transitiva del grafo. El dibujo
es:
Análisis de costo: El costo asociado a este algoritmo es de 0(n3), ya que el costo de
encontrar la matriz de alcance está íntimamente ligado con los ciclos que se necesitan para
recorrer la matriz, además por ser un algoritmo de programación dinámica el costo tiene que
ser polinomial.