A σ 2t t/2 CB 2t 2t A σ 2t t/2 CB 2t 2t

Estructuras Aeroespaciales
15 de Enero de 2008
Nombre:______________________________________
Apellidos:_____________________________________
Instrucciones:
• Justificar de forma razonada las respuestas.
• Consignar nombre y apellidos en todas las hojas.
Ejercicio 1 (5 puntos)
t
σ
σ
2t
A
C
B
La figura muestra la unión a tope de dos paneles de espesor 2t que trabajan a tracción.
La carga se transfiere de uno a otro mediante dos platabandas de espesor t unidas
mediante tornillos. La unión ha sido diseñada de forma que sea capaz de soportar la
carga límite anticipada. Al someter el conjunto a cargas de fatiga (para las cuales el
comportamiento se puede suponer elástico) se observa la aparición de grietas de tamaño
peligroso en los pernos A y C tras 10000 ciclos de carga. No se presenta ningún fallo en
el tornillo B. Posteriormente se ensaya la configuración que aparece en la figura inferior
capaz de resistir la misma carga de diseño (en aras de simplicidad, sólo se muestra la
mitad de la unión).
t/2
2t
σ
2t
2t
A
B
C
Para el diseño alternativo las fisuras se distribuyen de forma igual entre las tres hileras
de tornillos y tardan 50000 ciclos en alcanzar un tamaño que compromete la seguridad.
Hipótesis:
o La variación de esfuerzos a través del espesor de cada chapa es despreciable (los
paneles pueden considerarse unidimensionales).
o La distorsión en el plano del papel es nula.
o La vida de los tornillos depende únicamente de la fuerza cortante que
transmiten.
Haciendo uso de las simplificaciones indicadas, se pide:
1. Explicar el origen de las diferencias de comportamiento entre los dos diseños. (2
puntos)
2. Suponiendo que el material sigue una ley de Paris de la forma
da
= b ⋅ ΔK C estimar el valor del exponente c. (1 punto)
dn
3. Diseñar una unión mediante cuatro hileras de pernos (iguales que los anteriores)
que proporcione máxima vida a fatiga y estimar ésta última. (2 puntos)
1
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15 de Enero de 2008
SOLUCION:
1) Según las hipótesis formuladas, las tres planchas se mueven de manera solidaria al
deformarse. Así pues, la deformación de las tres placas en el tramo que media entre
cada par de tornillos es la misma. Puede concluirse por tanto que la tensión que
soportan los tres paneles es igual. Analizando el comportamiento de una sección
cualquiera del dispositivo de unión puede determinarse como se reparte la carga entre
los diferentes paneles
pl
tl
σ
pc
tc
tl
pl
la carga (por unidad de envergadura) que soporta el panel central será pc = σ ⋅ tc
mientras que las dos planchas laterales absorberán una carga plt = 2 pl = σ ⋅ 2tl . Por otra
parte, la fuerza total que soporta la unión será ptot = σ ⋅ ( tc + 2tl ) . Así pues la carga se
distribuye de la siguiente manera
tc
2tl
plt = ptot ⋅
tc + 2tl
tc + 2tl
Como se puede ver, la fracción de la carga que soporta un componente es directamente
proporcional a su espesor.
En el primer diseño, debido al espesor constante de las platabandas, en todo el tramo
AB éstas soportan la mitad de la carga total. Puesto que no se produce ninguna
transferencia de fuerza del panel central a los laterales a través del perno B, se deduce
que la fuerza cortante que éste soporta es nula. La mitad de la carga se transfiere en el
tornillo A y la mitad restante se transmite a través del C.
En el segundo diseño, debido a la relación de espesores, sólo una tercera parte de la
carga se transmite en cada uno de los pernos. La consiguiente reducción de la fuerza
cortante prolonga la vida a fatiga.
2) En los pernos A y C la relación de fuerza transmitida en los dos casos es
pdis1 1/ 2 3
=
= . Puesto que al multiplicar la carga cíclica por 1,5 la vida a fatiga se
pdis 2 1/ 3 2
pc = ptot ⋅
reduce en un factor 5, se concluye fácilmente que el exponente de la ley de Paris ha de
ser del orden de 4 (1,54 ≈ 5 ) .
3) Para diseñar una unión con cuatro hileras de pernos que se comporte
satisfactoriamente a fatiga debe conseguirse que cada tornillo transmita un cuarto de la
carga total. Esto se logra con la siguiente distribución de espesores:
t/3
t
3t
2t
3t
2
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Puesto que en este caso la carga en los pernos es la mitad de la correspondiente al
primer diseño, es de esperar que la vida a fatiga de los mismos se multiplique por 16.
Por tanto podría esperarse una duración del orden de 150000 ciclos.
Ejercicio 2 (5 puntos)
V
b
y
C
D
h
B
x
A
w
Sobre una ménsula actúan simultáneamente una carga puntual V y una carga distribuida
por unidad de longitud w tal como se aprecia en la figura. La viga está compuesta por
paneles de espesor t=4mm, ancho b=40mm y canto h=60mm, encontrándose reforzada
por montantes verticales y cordones horizontales. Se sabe que la carga de compresión en
el montante B es de 32kN y que la carga sobre las líneas de unión del panel del extremo
izquierdo con los cordones vale 894N/mm (este es el valor, por ejemplo, en los puntos
A y D de la figura).
Hipótesis:
o El panel desarrolla un campo de tensión diagonal pura (resistencia nula a
compresión).
o La distribución de esfuerzos en el panel es uniforme.
o Se desprecia la resistencia a cortadura de los cordones.
Nota: en lo que sigue, a menos que se indique lo contrario todas las preguntas se
refieren al panel izquierdo.
Guía para la resolución: supóngase que 3bw>V.
Cuestiones:
1. Determinar el estado tensional del panel. Indicar las componentes del tensor de
tensiones en el sistema de referencia XY así como el módulo y la dirección de la
máxima tensión principal. Indicar en un croquis el convenio utilizado para la
medición del ángulo. Calcular el valor de la máxima tensión tangencial y las
direcciones para las que se presenta. Usar un croquis para indicar los sentidos. (2
puntos)
2. Si el esfuerzo axial en el punto A del cordón inferior es nulo, calcular los valores
correspondientes de V y w. (1,5 puntos)
3. Para las condiciones del apartado 2 determinar la carga en el punto C del cordón
superior, indicando si es de compresión o tracción. (1 punto)
4. Proceder de forma análoga al apartado 3 con el punto D del cordón superior. (0,5
puntos)
SOLUCION:
1) La fuerza axial que ejercen los montantes sobre los cordones compensa la carga de
tracción debida a la tensión σy del panel. Del equilibrio vertical del los cordones resulta:
Fmont = σ y ⋅ b ⋅ t ⇒ σ y = 200MPa
3
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la carga sobre la línea de unión panel-cordón se debe a los esfuerzos
σy y τxy
σy
funión = t ⋅ σ y 2 + τ xy 2 ⇒ τ xy = 100MPa
τxy
Nótese que de la condición 3bw>V se deduce que el sentido del
esfuerzo cortante debe ser el que indica la figura. Sabiendo que la
tensión principal mínima en el plano XY es nula, puede reconstruirse
el círculo de Mohr que caracteriza la distribución de esfuerzos
σx
τ (MPa)
Q
O
β
2θ
C
α
M
200
σ (MPa)
100
P
El punto P, correspondiente a la dirección Y, tiene por coordenadas (σy , –τxy). La
mediatriz del segmento OP corta al eje horizontal en el centro del círculo (C), por tanto:
⎛ 100 ⎞
OP = 2002 + 1002 = 224 MPa α = tan −1 ⎜
⎟ = 26, 6º
⎝ 200 ⎠
OM
OP / 2
=
= 125MPa
cos α cos α
Una vez determinado el centro del círculo puede localizarse el punto Q (σx , τxy)
correspondiente a la dirección X
⎛ 100 ⎞
β = tan −1 ⎜
⎟ = 53,1º
⎝ 200 − OC ⎠
OC =
σ x = OC ⋅ (1 − cos β ) = 50MPa
El tensor de tensiones tiene pues por componentes:
⎡ 50 100 ⎤
σ=⎢
⎥ ( MPa)
⎣100 200 ⎦
Existe un método alternativo extremadamente rápido para calcular σx. Puesto que la
tensión principal mínima es nula, el tensor de tensiones debe ser singular (tiene un
autovalor nulo):
σ x 100
σ 100
= 0 = 100 ⋅ x
⇒ 2 ⋅ σ x − 100 = 0 ⇒ σ x = 50MPa
θ
σmax
100 200
1
2
La dirección de la máxima tensión principal formará un ángulo θ con
el eje X (medido en sentido antihorario)
2θ = 180º − β ⇒ θ = 63,5º
σ max = 2OC = 250MPa
La dirección de máximo esfuerzo tangencial forma 45º con la tensión
principal. El valor de dicho esfuerzo es el radio del círculo de Mohr.
τ max = OC = 125MPa
4
125 MPa
18,5º
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Las dos tensiones directas en las direcciones de esfuerzo tangencial máximo son iguales
y también valen 125MPa.
2) Planteando el equilibrio de la sección AD se obtienen las relaciones:
Eq. Vertical: τ xy ⋅ h ⋅ t = w ⋅ 3b − V
h
7b
= w ⋅ 3b ⋅ − V ⋅ 5b
2
2
Sustituyendo los valores de los esfuerzos y resolviendo resulta:
V = 50kN w = 617 N / mm
3) Tomando momentos respecto al extremo inferior del montante B se tiene:
h
5b
PC ⋅ h + σ x ⋅ t ⋅ h ⋅ = V ⋅ 4b − w ⋅ 3b ⋅
2
2
de lo cual se deduce que la carga axial del cordón en el punto C vale 4kN (tracción).
4) Planteando el equilibrio horizontal de la viga se obtiene el axil en el punto D:
PD + σ x ⋅ t ⋅ h = 0 ⇒ PD = 12kN (compresión)
Eq. Momentos Respecto D: σ x ⋅ h ⋅ t ⋅
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