Integración compleja

Integración compleja
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Primero veamos el caso más simple: Integrales
de funciones de una variable real.
Supongamos que una función compleja w
depende únicamente de una variable real t:
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Para este caso, las reglas del Cálculo Integral
se extienden a este tipo de funciones. En
particular, el teorema fundamental del cálculo.
Integración compleja
De modo que
Integración compleja
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Sin embargo, tenemos la siguiente propiedad:
Integración compleja (contornos)
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Contornos o caminos
Imaginemos que trazamos una curva
en el
plano complejo, en un intervalo de “tiempo”:
De modo que en un instante “t” dibujamos el
punto
De esta manera podemos considerar que
el rango de la función
Se dice que
es una parametrización de
es
Integración compleja (contornos)
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Al conjunto de puntos z=(x,y) en el plano
complejo se les llama arco o camino, si
e
son funciones continuas del parámetro t
Existen diferentes tipos de arcos (caminos),e.g.:
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Arcos simples (suave):
Arcos simples cerrados:
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Arcos no simples:
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No suave
suave
Integración compleja (contornos)
También el orden de los puntos del arco es
importante, usualmente esto se indica con una
flecha
Así, el punto
precede a
si
Integración compleja (contornos)
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Contorno
Se le llama contorno (o C ) a una secuencia finita
de curvas
, tal que el punto final de
la curva
coincide con el punto inicial de la curva
. Se puede decir que
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Si el punto final e inicial del contorno coinciden, el
contorno es cerrado
Un contorno cerrado simple es aquel que divide al
plano en dos dominios: el interior que es acotado y
el exterior que no es acotado
Integración compleja (contornos)
Comentarios:
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La parametrización de un arco no es única
Un mismo conjunto de puntos pueden formar
distintos arcos
La longitud de un arco no depende de la
parametrización y está dada por (como en
Cálculo):
Integración compleja (contornos)
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Se dice que el arco descrito por z(t) es un arco
diferenciable si las derivadas
son continuas en el intervalo
Además la función
es integrable en el intervalo
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Aún más, se dice que el arco es suave si z'(t) es
continua y no nula en el mismo intervalo
Integración compleja (contornos)
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Integrales de contorno (o de camino)
Las integrales de camino dependen, en general,
de la curva (suave) que va de un punto a al
punto b y de la misma función f(z), por supuesto.
Se denota la integral como
Si la curva
está descrita por una
parametrización z=z(t) con
Integración compleja (contornos)
Entonces
Nótese que al considerar una curva suave, la
derivada z'(t) existe.
Además la integral es independiente de la
parametrización utilizada.
Integración compleja (contornos)
Si es la curva/camino sobre la que se integra
f(z(t)), la curva
, recorre los mismos puntos,
pero en sentido inverso y
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Si un contorno
está formado por curvas suaves
y f es continua en ,entonces
Integración
Primitivas
Vamos a estudiar las condiciones bajo las cuales
las integrales de camino no dependen del
contorno utilizado.
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Esto nos lleva a introducir el concepto de función
primitiva F (continua en un dominio D) tal que:
F'(z) = f(z) para toda z en el dominio D
Integración
Pero antes veamos el siguiente resultado sobre
cotas superiores para el módulo de una integral
de camino:
donde M es una constante tal que
y L la longitud del contorno/camino
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Se dice que F(z) es una función primitiva de
f(z), donde f(z) es continua en un dominio D, si
F´(z) = f(z)
para toda z en D
Teorema: Sea f(z) una función continua en un
dominio D. Las siguientes proposiciones son
equivalentes:
i) f(z) tiene una primitiva F(z) en D
ii) las integrales de f(z) sobre contornos
contenidos en D, con punto inicial z1 y punto
final z2 , tienen todas el mismo valor
iii) Las integrales de f(z) sobre contornos
cerrados contenidos en D tiene valor cero