Anexo B Propiedades Básicas de los Números Complejos

Anexo B
Propiedades Básicas de los
Números Complejos
Los números complejos se pueden expresar de varias formas.
La primera es la forma
√
binomial: z = a + bi, siendo a y b números reales e i = −1, la unidad imaginaria. Se
dice entonces que a es la parte real de z y b su parte imaginaria y se escribe a = Re z y
b = Im z. Los números reales son un subconjunto de los números complejos:aquellos cuya
parte imaginaria es 0.
Si z = a + bi entonces z = a − bi es otro número complejo llamado conjugado de z. Se
tiene entonces que
1. zz = (a + bi)(a − bi) = a2 + b2 . El número real positivo
nombre de módulo de z y se representa por |z|.
2. De lo anterior deducimos que zz = |z|2 y, para z 6= 0, z =
siempre que z 6= 0.
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√
zz =
√
a2 + b2 recibe el
|z|2
1
z
. Por lo tanto, = 2
z
z
|z|
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Propiedades Básicas de los Números Complejos
Im
z
|z|
b
θ
a
Re
Podemos identificar cada número complejo
z = a + bi con el par de números reales
(a, b) y representarlo como un vector en el
plano con origen en el punto (0, 0) y final
en el punto √
(a, b). De esta forma el módulo
de z, |z| = a2 + b2 , es el módulo del vector. Al ángulo, θ, que forma con la dirección
positiva del eje de abscisas se le llama argumento principal de z. Tenemos entonces que
a = |z| cos θ y b = |z| sen θ y otra forma de
escribir el número complejo z = a + bi es
z = |z|(cos θ + i sen θ). Y, con esta notación,
su conjugado serı́a z = |z|(cos θ − i sen θ)
La fórmula de Euler establece que
cos θ + i sen θ = eiθ .
Utilizando esta fórmula podemos escribir z de una nueva forma: z = |z|eiθ y su conjugado
z = |z|e−iθ . Como el módulo de z, |z|, es un número real positivo, siempre existe un número
real r tal que er = |z| (en otras palabras, r = ln |z|). Entonces podemos escribir z = er eiθ =
er+iθ = er (cos θ + i sen θ).
En realidad, los números complejos surgen para cubrir una “deficiencia” de los números
reales: hay polinomios cuyos coeficientes son números reales pero que no tienen raı́ces reales.
De hecho todos los polinomios reales se pueden poner como productos de polinomios de
grados 1 ó 2, pero hay polinomios reales de grado 2 que no tienen raı́ces reales. Por ejemplo,
λ2 + 1 o λ2 + λ + 1. Sin embargo, todos los polinomios cuyos coeficientes son números reales
o complejos tienen sus raı́ces reales o complejas. Este es un resultado muy importante de
álgebra que no es fácil de demostrar.
Fijemos nuestra atención en los polinomios reales de grado 2: aλ2 + bλ + c con a, b y c
números reales. Para calcular sus raı́ces planteamos la ecuación aλ2 + bλ + c = 0 y hallamos
la solución:
√
√
−b + b2 − 4ac
−b − b2 − 4ac
λ1 =
, λ2 =
2a
2a
Estas son las raı́ces del polinomio. Si el discriminante d = b2 − 4ac es positivo ambas son
reales y distintas, si d = 0 entonces ambas raı́ces son reales e iguales (o es una raı́z real
doble) y si d es negativo las raı́ces son números complejos conjugados:
√
√
−b − −d i
−b + −d i
λ2 =
λ1 =
2a
2a
2
En conclusión: Las raı́ces del polinomio aλ + bλ + c con a, b y c números reales, o bien son
dos números reales (iguales o distintos) o son dos números complejos: cada uno el conjugado
del otro.