PYE03/12/07

PROBABILIDAD Y ESTADISTICA (I.I.)
CONVOCATORIA EXTRAORDINARIA ESPECIAL DICIEMBRE 2007
(03/12/07)
SOLUCION
1. Dos de los 8 camiones de ocasión que va a comprar una compañía no tienen el
motor en perfecto estado, hecho fácil de apreciar con una simple prueba. ¿Cuál de
los siguientes casos es más probable?
a) Encontrar los dos camiones defectuosos eligiendo al azar, sin
reemplazamiento, 4 de ellos
b) No encontrar ningún camión defectuoso entre 2 elegidos al azar, con
reemplazamiento.
a) Sea X = nº de camiones defectuosos de los 4 elegidos sin reemplazamiento. X es
una v.a. hipergeométrica H(8,2;4), por tanto la probabilidad pedida es:
 2  6 
6⋅5
  
2
2
3
2!
P ( X = 2) =    =
=
= 0.214
8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 14
8
 
4!
 4
b) Sea Y = nº de camiones defectuosos de los 2 elegidos con reemplazamiento. X es
una v. a. binomial B(2, 0.25), por tanto:
0
2
 2  1   3 
9
= 0.5625
P (Y = 0) =   ⋅   ⋅   =
16
0  4   4 
y por ello, el caso más probable es el b)
2. Un abogado se traslada diariamente de su casa en las afueras a su oficina en el
centro de la ciudad. En promedio el viaje dura 24 minutos con una desviación
estándar de 3.8 minutos y suponemos que los tiempos de traslado siguen una
distribución normal.
a) Probabilidad de que cierto día tarde al menos media hora en llegar a
la oficina
b) Si la oficina abre a las 9:00 a.m. y él sale de su casa a las 8:45 a.
m. diariamente, ¿qué porcentaje de días llega tarde?
c) Si sale de su casa a las 8:35 a. m. y en la oficina se sirve un café
entre las 8:45 a. m. y las 9:00 a. m. ¿cuál es la probabilidad de que
se pierda el café?
Sea X = tiempo en minutos que tarda en llegar a su oficina. X ∈ N(24, 3.8)
 X − 24 30 − 24 
≥
 = P( Z ≥ 1.5789) = 0.0580
3.8 
 3.8
 X − 24 15 − 24 
≥
b) P ( X ≥ 15) = P
 = P( Z ≥ −2.3684) = 1 − 0.0089 = 0.9911
3.8 
 3.8
 10 − 24 X − 24 25 − 24 
P (10 ≤ X ≤ 25) = P
≤
≤
 = P(−3.684 ≤ Z ≤ 0.2632) =
3 .8
3 .8 
 3 .8
c) 0.602568 − 0.000117 = 0.602451
1 − 0.602451 = 0.397549
a) P ( X ≥ 30) = P
3. Por fistulación se obtuvo el PH de seis muestras de bilis hepática, con los
siguientes resultados:
7.83, 8.52, 7.32, 7.79, 7.57, 6.98
a) Se desea saber, al nivel de significación 0.05, si la bilis hepática
puede considerarse alcalina (se supone normalidad).
b) Si se conociera que la desviación típica σ = 0.5. ¿qué decisión
tomaríamos el respecto?
(el PH neutro es 7, ácido PH < 7, alcalino o básico PH > 7)
Sea X= PH de la bilis hepática. X ∈ N(µ, σ)
H0: µ = 7
H1: µ > 7
a) Si consideramos σ desconocida, tenemos:

σ 
X = 7.668
S = 0.5236
X −7
 ⇒
∈ t5
S
6


6
R.C= [t 5, 0.05 ,+∞ ) = [2.015,+∞ )
Si H0 es cierta X ∈ N  7,
⇒
X −7
= 3.1262
S
6
Tenemos evidencia estadística suficiente para afirmar que el PH de la bilis
hepática es mayor que 7, o sea que es alcalina, con una confianza del 95%
b) Si consideramos que σ = 0.5 tenemos:
 0.5 
X −7
 ⇒
X ∈ N  7,
∈Z
0.5
6

6
R.C= [Z 0.05 ,+∞ ) = [1.645,+∞ )
⇒
X −7
= 3.2791
0.5
6
Igual que antes, tenemos evidencia estadística suficiente para afirmar que el
PH de la bilis hepática es mayor que 7, o sea que es alcalina, con una
confianza del 95%
4. Dada una moneda ideal, determínese, identificando en cada caso la distribución de
probabilidad utilizada para obtener el valor pedido, lo siguiente:
a) probabilidad de que salgan 3 cruces antes de obtener la primera cara.
b) probabilidad de que sean necesarios 5 intentos para obtener dos caras
a) X = nº de cruces (fracasos) antes de obtener la primera cara (éxito) ÎX ∈ G(½)
P ( X = k ) = p ⋅ (1 − p)
k −1
3
⇒
11
P( X = 4) =   = 0.0625
2 2
b) a) X = nº de cruces (fracasos) antes de la segunda cara (éxitos) ÎX ∈ BN(2, ½)
 n + k − 1 n
 ⋅ p ⋅ (1 − p) k
P ( X = k ) = 
k


⇒
n=2
⇒
k =3
2
3
 4  1   1 
P ( X = 3) =   ⋅   ⋅   = 0.125
 3  2   2 