Plano (1 0 1)

Una teoría discreta de
dislocaciones en redes cristalinas
M.P. Ariza y M. Ortiz
Universidad de Sevilla
California Institute of Technology
MPA & MO
Carlos III 02/05
Índice
• La teoría discreta de redes cristalinas y defectos:
– Cálculo discreto en redes
– Teoría discreta de dislocaciones
• Cálculo diferencial en redes
• Aplicación a elasticidad de redes:
– Existencia y unicidad de soluciones
– Paso al límite del contínuo
• Ejemplos de aplicación:
– Energías de núcleos de dislocación en cristales BCC
– Campos de deslizamiento en equilibrio y distribución de
dislocaciones alrededor de un punto de dilatación
MPA & MO
Carlos III 02/05
Motivación
• Tratamiento clásico redes cristales.
(Born& Huang (1954), Mura (1987))
• Dinámica de dislocaciones: comportamiento
plástico de cristales metálicos.
MPA & MO
Carlos III 02/05
Plasticidad cristales – Comportamiento Macroscópico
Ensayo tracción Cobre
(Franciosi and Zaoui ’82)
Ensayo tracción
uniaxial
Marcas deslizamiento
superficie de cristales
(AFM, C. Coupeau)
Acomodación irreversible del
cortante por planos cristalográficos
MPA & MO
Carlos III 02/05
Motivación
• Tratamiento clásico redes cristales.
(Born& Huang (1954), Mura (1987))
• Dinámica de dislocaciones: comportamiento
plástico de cristales metálicos.
• Modelización multiescala de metales.
MPA & MO
Carlos III 02/05
µs
Polycrystals
ns
time
ms
Modelizacion multiescala
Engineering
calculations
Subgrain
structures
Dislocation
dynamics
Lattice
defects, EoS
nm
µm
length
mm
MPA & MO
Carlos III 02/05
Motivación
• Tratamiento clásico redes cristales.
(Born& Huang (1954), Mura (1987))
• Dinámica de dislocaciones: comportamiento
plástico de cristales metálicos.
• Modelización multiescala de metales.
• Métodos computacionales.
MPA & MO
Carlos III 02/05
Métodos Computacionales
• Cálculos primeros-principios: Núcleos de dislocación,
dipolos, cuadrupolos… ~ 103 átomos (T. Arias ’00)
• Dinámica molecular: Potenciales empíricos ~ 109
átomos (F. Abraham ’03)
• Elasticidad lineal: Dinámica de dislocaciones, L ~ 106b, ε
~ 1% (Bulatov et al. ’03)
Ta cuadrupolo
(T. Arias ´00)
FCC fractura dúctil
(F.F. Abraham ´03)
FCC dinámica dislocaciones
(M. Rhee et al.´02)
MPA & MO
Carlos III 02/05
Dislocaciones elásticas-lineales
MPA & MO
Carlos III 02/05
Dislocaciones elásticas-lineales
MPA & MO
Carlos III 02/05
La teoría discreta
• Hemos desarrollado una teoría (discreta) de la
elasticidad en cristales y defectos en cristales:
– Tiene en cuenta la geometría discreta de los cristales
– Es tratable analíticamente
• Los elementos de la teoría son:
– Cálculo discreto que proporciona las analogías discretas
de operadores diferenciales como grad, div y curl
– Teoría discreta de integración que proporciona la
analogía discreta del teorema de Stokes
– Estática de redes y autodeformaciones como forma de
introducir defectos en la red
– Transformada de Fourier discreta
MPA & MO
Carlos III 02/05
Idea clásica de redes cristalinas
Simple cubic
(SC)
Body-centered cubic
(BCC)
Face-centered cubic
(FCC)
MPA & MO
Carlos III 02/05
Idea clásica de redes cristalinas
Ba2+
Ti4+
O2-
BaTiO3
c
= 1.01
a
c
a
Cubica (alta
temperatura)
Tetragonal
(temperatura
ambiente)
MPA & MO
Carlos III 02/05
Idea clásica de redes cristalinas
MPA & MO
Carlos III 02/05
Cristales como complejos diferenciales discretos
0-cells
2-cells
1-cells
3-cell
Pilar
Cristal BCC
MPA & MO
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Complejo red BCC : 0-cells
MPA & MO
Carlos III 02/05
Complejo red BCC : 1-cells
MPA & MO
Carlos III 02/05
Complejo red BCC : 2-cells
MPA & MO
Carlos III 02/05
Complejo red BCC : 3-cells
MPA & MO
Carlos III 02/05
Redes BCC – Operador frontera
MPA & MO
Carlos III 02/05
Redes BCC – Operador cofrontera
MPA & MO
Carlos III 02/05
Redes BCC – Cup product
MPA & MO
Carlos III 02/05
Redes BCC – Cup product
MPA & MO
Carlos III 02/05
“






 






”



Contínuo vs Discreto
MPA & MO
Carlos III 02/05
Redes BCC: dislocaciones elementales
1-cells Cubicos
1-cells Diagonal
Bucles elementales de dislocación
MPA & MO
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Límite contínuo de la teoría discreta
MPA & MO
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Aplicacion –núcleos dislocación BCC
• La teoría utiliza autodeformaciones (invariante
cristalográfico cortantes en la red) para
introducir defectos en la red (dislocaciones)
aproximación
predice
una
cierta
• Esta
estructura del núcleo de la dislocación,
energías del núcleo
• Pregunta: Como
predicciones?
de
buenas
son
estas
• Estrategia de verificación: Comparar con los
cálculos de primeros principios para núcleos de
dislocación en cristales BCC
MPA & MO
Carlos III 02/05
Nucléos dislocación cristales BCC
Yang et al. (Phil.Mag. A
81, 2001)
Teoría Discreta
Energía núcleo dislocación, Tantalo
MPA & MO
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Campos de deslizamiento en equilibrio
MPA & MO
Carlos III 02/05
Aplicación – Punto de dilatación, BCC
• Se considera un cristal BCC que contiene un
dilatación de fuerza creciente
punto de
• Se desea caracterizar los campos de deslizamiento en
equilibrio y estudiar la estructura de las dislocaciones y
su evolución con el incremento de la fuerza en el punto de
dilatación
• La solución caracteriza el campo lejano de un hueco
creciendo
• En un esquema multiescala, la solución proporciona
condiciones de contorno de trancisión en estudios
atomísticos más detallados
MPA & MO
Carlos III 02/05
Punto de dilatación
Frame 001  09 Aug 2004  square
Z
X
0.5
Z(M)
0
Sistema de deslizamiento A3:
plano
(1 0 1)
dirección [-1 1 1]
Frame 001  09 Aug 2004  square
-0.5
-0.5
-0.5
0
Y (M 0
)
X (M
)
0.5
0.5
Frame 001  09 Aug 2004  square
Frame 001  09 Aug 2004  square
0.6
0.6
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
0
Z(M)
0.2
Z(M)
Y (M )
0.4
0
0
-0.2
-0.2
-0.4
-0.4
-0.6
-0.6
-0.2
-0.4
-0.6
-0.4
-0.2
0
X(M)
0.2
0.4
0.6
-0.6
-0.4
-0.2
0
X(M)
0.2
0.4
0.6
0.8
-0.4
-0.2
0
0.2
Y(M)
0.4
0.6
MPA & MO
Carlos III 02/05
0.
Punto de dilatación
e 001  09 Aug 2004  square
Frame 001  09 Aug 2004  square
Z
Z
Plano (1 0 1)
X
Y
X
Y
0.5
0.5
0
0
-0.5
-0.5
-1
-1
-1
-1
-1
-0.5
Y( M
)
0
0.5
X (M
-0.5
Y (M 0
)
)
0
)
(M  square
Frame 001  09 Aug X
2004
0.5
0.5
1
-1
-0.5
-0.5
0
Z(M)
1
Z(M)
1
Frame 001  09 Aug 2004  square
1
0.5
1
1
1
1
0.5
Y(M)
plano
(1 0 1)
dirección [-1 1 1]
Sistema
deslizamiento A2
plano
(0 -1 1)
dirección [-1 1 1]
0
0.5
Y(M)
Sistema
deslizamiento A3
0
-0.5
-0.5
-1
-1
-1
-1
-0.5
0
X(M)
0.5
1
-0.5
0
X(M)
0.5
1
MPA & MO
Carlos III 02/05
Punto de dilatación
Frame 001  09 Aug 2004  square
Frame 001  09 Aug 2004  square
Z
1
Sistema
deslizamiento B4:
X
Y
1
plano
(-1 0 1)
dirección [1 1 1]
0.5
Z(M)
0
Y(M)
0.5
-0.5
0
-0.5
-1
-1
-1
Plano (1 0 1)
-0.5
-1
-1
-0.5
Y(M
)
0
0
0.5
Frame 001  10 Aug 2004  square
)
X (M
-0.5
0
X(M)
0.5
1
Frame 001  10 Aug 2004  square
0.5
1
Z
1
1
X
Y
0.5
0
Z(M)
0.5
Y(M)
1
0
-0.5
-0.5
Plano (-1 0 1)
-1
-1
-1
-1
-0.5
0
Y (M )
0.5
1
1
0.5
0
X (M )
-0.5
-1
-0.5
0
X(M)
0.5
1
MPA & MO
Carlos III 02/05
Punto de dilatación
Sistema deslizamiento A3:
Plano (1 0 1)
plano
(1 0 1)
dirección [-1 1 1]
Plano (0 1 0)
MPA & MO
Carlos III 02/05
Punto de dilatación
Sistema deslizamiento A3:
Frame 001  09 Aug 2004  square
plano
(1 0 1)
dirección [-1 1 1]
Frame 001  09 Aug 2004  square
Frame 001  09 Aug 2004  square
Z
X
0.5
X
Y
0
Y(M 0
)
0.2
0.4
X(M
)
0
-0.2
Y(M 0
)
0.5
0.2
0.4
Frame 001  09 Aug 2004  square
X(M
0.5
0.5
X
0.4
0.5
X
Y(M
)
0.2
0.4
0.5
X(M
)
0.5
Y
X
Y(M
)
0.2
0.4
0.5
)
Z
Y
X
Y
0
-0.5
-0.5
-0.4
X(M
0.5
0.5
-0.5
0
)
Frame 001  09 Aug 2004  square
-0.5
0
X(M
Z
0
-0.2
0.2
0.4
0.5
-0.4
0
Y(M 0
)
Frame 001  09 Aug 2004  square
Y
0
-0.2
Z
-0.5
0
)
Z(M)
0.2
0.4
-0.5
-0.2
0.2
X(M
Z(M)
)
)
0.5
Z(M)
Z(M)
Z(M)
Y(M
X(M
Y(M 0
)
0
-0.4
0
0
-0.5
-0.4
0
-0.2
0.5
-0.5
-0.2
)
Frame 001  09 Aug 2004  square
-0.5
-0.4
X(M
Z
0
-0.5
0.2
0.4
0.5
0
0
Y(M 0
)
Y
-0.5
-0.5
-0.4
-0.2
Frame 001  09 Aug 2004  square
X
-0.5
)
Z
0
-0.5
-0.4
Y
Z(M)
-0.5
X
0.5
0
-0.5
-0.4
Y
Z(M)
-0.5
X
Z
0.5
0
-0.5
-0.4
Y
Z(M)
0
-0.5
X
Z
0.5
Z(M)
Z(M)
0
Frame 001  09 Aug 2004  square
Z
0.5
-0.2
Frame 001  09 Aug 2004  square
Z
Y
Plano (1 0 1)
-0.5
-0.4
0
-0.2
Y(M
)
0
0.2
0.4
0.5
X(M
)
0
-0.2
Y(M
)
0
0.2
0.4
X(M
)
0.5
MPA & MO
Carlos III 02/05
Punto de dilatación
Sistema deslizamiento A3:
Frame 001  09 Aug 2004  square
plano
(1 0 1)
dirección [-1 1 1]
Frame 001  09 Aug 2004  square
Frame 001  09 Aug 2004  square
Z
X
0.5
X
Y
0
0.2
0.4
X(M
)
Y(M 0
)
0.5
0.2
0.4
Frame 001  09 Aug 2004  square
X(M
Y(M 0
)
0.5
0.5
X
0.4
0.5
)
X
0
0.2
0.4
0.5
X(M
)
0.5
Y
X
0.2
0.4
0.5
)
Z
Y
X
Y
0
-0.5
-0.5
-0.4
X(M
0.5
0.5
-0.5
0
)
Frame 001  09 Aug 2004  square
-0.5
Y(M 0
)
X(M
Z
0
-0.2
0.2
0.4
0.5
-0.4
Y(M 0
)
Y(M 0
)
Frame 001  09 Aug 2004  square
Y
0
-0.2
Z
-0.5
-0.2
)
Z(M)
0.2
X(M
X(M
Z(M)
0
0.2
0.4
Z(M)
Z(M)
Z(M)
Y(M 0
)
0.5
-0.5
-0.4
-0.2
Y(M 0
)
0
-0.5
-0.5
-0.4
0
-0.2
0.5
-0.5
-0.4
)
Frame 001  09 Aug 2004  square
0
-0.5
X(M
Z
0.5
0
0.2
0.4
Y
-0.5
-0.5
-0.4
0
-0.2
Frame 001  09 Aug 2004  square
X
-0.5
)
Z
0
-0.5
-0.4
0
-0.2
Y
Z(M)
-0.5
X
0.5
0
-0.5
-0.4
Y(M 0
)
Y
Z(M)
-0.5
X
Z
0.5
0
-0.5
-0.4
Y
Z(M)
0
-0.5
X
Z
0.5
Z(M)
Z(M)
0
Frame 001  09 Aug 2004  square
Z
0.5
-0.2
Frame 001  09 Aug 2004  square
Z
Y
Plano (0 1 0)
-0.5
-0.4
0
-0.2
Y(M 0
)
0.2
0.4
0.5
X(M
)
0
-0.2
Y(M 0
)
0.2
0.4
X(M
)
0.5
MPA & MO
Carlos III 02/05
Frame 001  09 Aug 2004  square
Nanohuecos en Al - Multiescala
X
0.5
(dentro)
Z(M)
0
-0.5
-0.5
-0.5
0
Y (M 0
)
X (M
)
0.5
0.5
Resultados cuasi-continuos
cavitación nanohuecos en Al
(Marian, Knap and Ortiz, 2004)
Teoría discreta proporciona
CCs ‘trancisión’
MPA & MO
Carlos III 02/05
Conclusiones (I)
• Desarrollo una teoría discreta para cristales y
dislocaciones en cristales
• Permite tratamiento de redes cristalinas como
complejos CW y proporciona operadores
diferenciales e integrales discretos, teorema
de Stokes
• La teoría aporta analogías discretas de:
– El tensor de densidad de dislocación
– La ecuación de conservación del vector de Burgers
– Relación de Kröner…
• La teoría tiene límites continuos:
– Elasticidad lineal (cristales sin dislocaciones)
– Un factor prelogarítmico para conjuntos de dislocaciones arbitrario
MPA & MO
Carlos III 02/05
Conclusiones (II)
• Las energías discretas calculadas para núcleos
de dislocaciones presentan buen acuerdo con
cálculos de primeros principios en critales BCC
• Campos de deslizamiento 3D y distribución de
dislocaciones para un punto de dilatación en
un cristal BCC
• La teoría discreta conecta de forma natural los
modelos atomísticos y la elasticidad lineal
MPA & MO
Carlos III 02/05
Una teoría discreta de
dislocaciones en redes cristalinas
M.P. Ariza y M. Ortiz
Universidad de Sevilla
California Institute of Technology
MPA & MO
Carlos III 02/05