Semidiscretización de la ecuación del calor E. de Ingenierías Industriales Métodos Matemáticos I Jesús Rojo 14. El Método de Líneas (MOL) 2012-13 Semidiscretización de la ecuación del calor 14. El Método de Líneas (MOL) 14. El Método de Líneas (MOL) Semidiscretización de la ecuación del calor 1 Semidiscretización de la ecuación del calor 14. El Método de Líneas (MOL) Semidiscretización de la ecuación del calor El Método de Líneas (MOL) Se considera el siguiente problema, ligado a una ecuación parabólica ∂ 2 u(x, t) ∂u(x, t) = , ∂t ∂x 2 u(x, 0) = sen πx , u(0, t) = u(1, t) = 0 x ∈ [0, 1] , t ≥ 0 , que representa, por ejemplo, la distribución de temperaturas en una barra de longitud 1 con distribución inicial sen πx , x ∈ [0, 1] y temperatura 0 en los extremos, a lo largo de todo el proceso. Es fácil comprobar que su única solución viene dada por 2 u(x, t) = e −π t sen πx (o sea, la temperatura tiende a 0 con rapidez). 14. El Método de Líneas (MOL) Semidiscretización de la ecuación del calor Definimos en x ∈ [0, 1] los nodos xn = n · h , con h = 1 , N n = 0, 1, . . . N − 1, N o sea, nodos 0 = x0 < x1 < x2 < . . . < xN−1 < xN = 1 separados por distancias h. Para cada xn nos vamos a referir a la semirecta ’vertical’ (xn , t) , t ≥ 0 y a considerar en ella una función de t, descripción de la solución de la ecuación original en derivadas parciales, pero limitada a la semirecta, en definitiva un (t) = u(xn , t) , t ∈ [0, +∞] . Nótese que, para los extremos de la barra, las u0 (t) y uN (t) valen obligatoriamente u0 (t) = u(x0 , t) = u(0, t) = 0 uN (t) = u(xN , t) = u(1, t) = 0 14. El Método de Líneas (MOL) Semidiscretización de la ecuación del calor pero no son conocidas las que corresponden a los otros índices n = 1, . . . N − 1. Como se observa, hemos hecho una discretización en una de las variables, la x, pero no en la otra, t, que sigue siendo continua. Esto justifica el nombre dado a este procedimiento, que acaba obteniendo las soluciones (generalmente numéricas) a lo largo de las líneas x = xn , t ∈ [0, +∞]. Vamos a ver cómo somos capaces de decir qué es lo que verifican las funciones un (t) = u(xn , t) , t ∈ [0, +∞] , n = 0, 1, . . . N − 1, N . Fijado un valor de t ∈ [0, +∞], la función (una diferente para cada valor de t ) f : x −→ u(x, t) es tal que ∂ 2 u(x, t) = f 00 (x) , ∂x 2 14. El Método de Líneas (MOL) Semidiscretización de la ecuación del calor y, en particular, ∂ 2 u(xn , t) = f 00 (xn ) . ∂x 2 Aproximando esta derivada por la fórmula usual, acabamos obteniendo u(xn−1 , t) − 2 u(xn , t) + u(xn+1 , t) ∂ 2 u(xn , t) = + O(h2 ) , 2 ∂x h2 Ahora bien, u(x, t) verifica ∂ 2 u(xn , t) ∂u(xn , t) = = un0 (t) , 2 ∂x ∂t n = 1, . . . N − 1 , y, en definitiva un0 (t) = un−1 (t) − 2 un (t) + un+1 (t) + O(h2 ) . h2 Es decir, las funciones un (t) consideradas antes son solución del sistema lineal de ecuaciones diferenciales ordinarias 14. El Método de Líneas (MOL) Semidiscretización de la ecuación del calor 1 (un−1 − 2 un + un+1 ) , n = 1, . . . N − 1 , h2 con un error de truncación de O(h2 ). Agrupando las soluciones escalares en el vector de funciones u(t) = (u1 (t) , u2 (t) , . . . , uN−1 (t)) , y teniendo en cuenta que las funciones u0 (t) y uN (t) son (condiciones de contorno) idénticamente nulas, escribimos matricialmente este sistema como un0 = u0 = 1 A u, h2 donde A es la matriz A= −2 1 0 ··· 1 −2 1 · · · 0 1 −2 · · · .. .. .. . . . . . . . 14. El Método de Líneas (MOL) Semidiscretización de la ecuación del calor Por otra parte, la condición inicial (para u) u(x, 0) = sen πx , da origen ahora a las condiciones iniciales para este sistema un (0) = u(xn , 0) = sen πxn = sen(π n h) , que garantizan solución única del sistema. Resumiendo, el Método de Líneas (MOL) permite resolver numéricamente la ecuación parabólica en derivadas parciales como un sistema lineal y de coeficientes constantes de ecuaciones diferenciales ordinarias. Naturalmente, aquí entran en juego los métodos de resolución numérica de este tipo de sistemas. Es conveniente aclarar el carácter más o menos ’stiff’ que pueda tener este sistema lineal, y es lo que examinamos a continuación. Este hecho nos moverá a usar unos u otros métodos, dependiendo del carácter citado. 14. El Método de Líneas (MOL) Semidiscretización de la ecuación del calor Que el sistema anterior sea ’stiff’ depende de los autovalores de la 1 matriz 2 A. A estas alturas ya nos son conocidos y valen h 4 n π 2 µn = − 2 sen , n = 1, . . . , N − 1 . h 2N (A es ahora la matriz −B, para la matriz B ya tratada en el capítulo destinado al caso parabólico). Son reales y negativos, y más negativos cuando se hace decrecer el tamaño de h, que es el objetivo si se desea minimizar el error de truncación del sistema aproximado, cuya truncación es del orden O(h2 ). O sea, nos encontramos no sólo ante un problema ’stiff’, sino que nos interesa de alguna manera acentuar dicho carácter. 14. El Método de Líneas (MOL) Semidiscretización de la ecuación del calor Puesto que se trata de un ejemplo sencillo, sabemos que la (única) solución del sistema lineal es π 2 2 nπ un (t) = e −4 N (sen 2 N ) t sen , n = 1, . . . , N − 1 , N hecho que vamos a comprobar. Por un lado, π 2 −4 N 2 (sen π )2 t nπ 2N un0 (t) = −4 N 2 sen e . sen 2N N Por el otro, recordando que h = 1/N, 1 (un−1 (t) − 2 un (t) + un+1 (t)) h2 2 (n − 1)π nπ (n + 1)π 2 −4 N 2 (sen 2πN ) t sen − 2 sen + sen =N e . N N N 2 π 2 La parte N 2 e −4 N (sen 2 N ) t es común a ambas expresiones; para el resto, aplicando sen(a + b) + sen(a − b) = 2 sen a cos b para a = n π/N y b = π/N, se tiene 14. El Método de Líneas (MOL) Semidiscretización de la ecuación del calor sen nπ (n + 1)π (n − 1)π − 2 sen + sen N N N nπ π nπ + 2 sen cos = −2 sen N N N nπ π = −2 sen 1 − cos , N N y aplicando ahora π , cos 2 a = 1 − 2 sen2 a , a = 2N la igualdad continua como nπ π 2 = −2 sen · 2 sen N 2N π 2 nπ = −4 sen sen , 2N N lo que prueba que, efectivamente un0 (t) = 1 (un−1 (t) − 2 un (t) + un+1 (t)) . h2 14. El Método de Líneas (MOL) Semidiscretización de la ecuación del calor Además, estas soluciones un (t) del sistema verifican también la condición inicial nπ un (0) = sen(π n h) = sen . N Desde el punto de vista numérico, ayudándose de métodos adecuados para sistemas ’stiff’, es posible, haciendo que h → 0, conseguir una aproximación suficiente de las soluciones sobre nodos situados sobre las semirrectas x = xn . Desde el punto de vista matemático, las soluciones un (t) deberían también aproximarse a las trazas sobre xn = n h = n/N de la solución conocida u(x, t) del problema parabólico original. Y así es cuando h → 0 o N → ∞ ya que lim N→∞ sen 2πN π 2N = 1, y lim un (t) = e −π N→∞ 2 t sen n π h = e −π 2 t sen π xn = u(xn , t) . 14. El Método de Líneas (MOL) Semidiscretización de la ecuación del calor El Método de Líneas (MOL) que hemos descrito en un ejemplo lleva una Ecuación en derivadas parciales a un sistema de Ecuaciones diferenciales ordinarias cuando se buscan soluciones numéricas para valores nodales de una de las variables, 0 = x0 < x1 < x2 < . . . < xN−1 < xN = 1 en el ejemplo. Naturalmente que, a continuación, la búsqueda de la solución numérica de este sistema lleva a la discretización en la otra variable, y las soluciones se calculan para nodos 0 = t0 < t1 < t2 < . . .. Finalmente, el proceso total es un método en diferencias para la Ecuación en derivadas parciales, pero ejecutado en dos tiempos independientes. La discretización en t en el ejemplo, es en principio independiente de la inicial en x, e incluso puede evitarse esta discretización cuando el sistema resultante presenta una solución analítica razonablemente sencilla. 14. El Método de Líneas (MOL) Semidiscretización de la ecuación del calor En este sentido, el MOL tiene un interés que puede ir más allá de lo numérico, ligando una Ecuación en derivadas parciales con un problema, ya en una sola variable, de Ecuaciones diferenciales ordinarias. Y es este campo, numéricamente o no, hay gran cantidad de resultados utilizables. Finalmente no hay que olvidar el carácter ’stiff’ del sistema que resulta en la generalidad de los casos, que lleva a que los avances hacia valores más y más cercanos de los nodos xn sean prudentes. 14. El Método de Líneas (MOL)