¿Cómo funcionan las funciones? Autoevaluación resuelta

¿Cómo funcionan las funciones?
Autoevaluación resuelta
1.- Indicar la respuesta correcta a la siguiente pregunta:
a) ¿Porqué la ley de f(x) que sigue no corresponde a una función de reales en los reales?
f (x)
ln (x) si x 0
7 si x 0
Porque ln(x) no está definido para x < 0 FALSO
Porque la función no está definida en x = 0 VERDADERO
2.- Tachar lo que no corresponda, y justificarlo.
Dadas las siguientes gráficas, la opción que corresponde a la representación del espacio recorrido en función
del tiempo en un movimiento rectilíneo uniforme, con v=30km/h, es:
La gráfica de color azul Porque son magnitudes directamente proporcionales, e = 30t.
Además, en el gráfico se aprecia que en t = 1, e = 30
La gráfica de color violeta Falsa, la recta no pasa por el origen y no resultarían magnitudes
directamente proporcionales
La gráfica de color negro. Falsa, la recta no pasa por el origen y no resultarían magnitudes
directamente proporcionales
3.- Dadas las leyes f(x)= 2 x
3 y g(x)= 2 x 3 , correspondientes a funciones reales,
a) Marcar con una cruz la opción correcta. Pensar la justificación en cada respuesta.
V
F
1) Tienen la misma ordenada al origen.
x
2) Las dos funciones tienen las mismas asíntotas horizontales
x
3) La gráfica de f(x) se obtiene multiplicando por 3, a las ordenadas de y = 2x.
x
x
4) La gráfica de g(x) se obtiene por desplazamiento horizontal de y = 2 .
x
1) Falsa, porque f(0)=4 y g(0)=8
2) Falsa, porque f(x) tiene asíntota horizontal y=3 mientras que g(x) tiene asíntota horizontal y=0
3) Falsa, porque la gráfica de f(x) se obtiene por traslación vertical, 3 unidades en el sentido positivo de
las y.
4) Verdadera, porque la gráfica de g(x) se obtiene por traslación horizontal, 3 unidades en el sentido
negativo de las x.
b) Marcar en el cuadro con una cruz en el lugar que corresponda según el color con que está
representada cada función.
f(x)
negro
azul
violeta
rojo
g(x)
Porque Cf = ]3; +∞[
x
x
Porque Cg = ]0; +∞*
4.- La ley de Boyle, establece que, si la temperatura de un gas se mantiene constante, la presión ejercida
por el gas es inversamente proporcional al volumen. Se pide:
a) Indicar cuales de las siguientes gráficas, corresponde al volumen en función de la presión. Justificar la
respuesta.
Gráfica 1
Gráfica 2
Gráfica 3
La gráfica correspondiente es la número 1, pues son magnitudes inversamente proporcionales y ambas
positivas.
La gráfica 3 es representativa de magnitudes directamente proporcionales
b) Si la temperatura es constante e igual a 600, indicar cuál de las siguientes es la ley correspondiente al
volumen en función de la presión:
v
v
v
600
p
p
600
600 p
La opción correcta es la primera, ya que la ley corresponde a magnitudes inversamente proporcionales.
Las otras corresponden a leyes de magnitudes directamente proporcionales.
5.- Indicar cuál de las siguientes leyes corresponde a la gráfica de la función real que se muestra en la
figura:
y = sen(x + )
y = 2 sen(x +
y = - 2 sen(x +
) Correcta, ya que la amplitud de la onda es 2, y el seno está
desplazado horizontalmente unidades a la izquierda
)
6.- Por observación de la gráfica de y = f(x), mostrada en la figura, contestar verdadero o falso, justificando
la respuesta. Las verdaderas mediante definiciones, teoremas, propiedades, etc. Las falsas, con un
contraejemplo.
a) El dominio de f es R
b) Conociendo que en f(1) se obtiene el máximo
valor de f, el codominio de f es [-∞; f(1)*
c) f resulta una función inyectiva.
d) f no puede restringirse para ser biyectiva.
e) f no es par ni impar en su dominio.
f) la ecuación de su asíntota horizontal es x=0
g) la función no presenta ceros.
h) f es estrictamente creciente.
a) V
b) Falso. Cf= ]-∞; f(1)]
c) Falso. Trazando una recta paralela al eje x, por ejemplo y=2, la misma corta a la gráfica en más de
un punto.
d) Falso f: Df= ]-∞; 1]→ ]-∞; f(1)], resulta biyectiva
e) Verdadero. La gráfica no resulta simétrica ni con respecto al eje y ni al origen de coordenadas.
f) Verdadero. Se puede observar que a medida que los valores de la variable x, se hacen cada vez
más pequeños y negativos, la función se acerca al eje x.
g) Falso. Como la función corta el eje x, ahí se encuentra el cero o raiz de la misma.
h) Falso . f es estrictamente creciente ]-∞; 1[ y estrictamente decreciente en ]1; 5[
7.- En muchas situaciones cuando un fenómeno crece muy rápido, se dice que tiene crecimiento
exponencial.
A continuación se muestran las representaciones gráficas de las funciones f(x)= x3 (color violeta) y g(x)= 2x
(color azul). Como se puede apreciar, para x=1,37 (aproximadamente), se produce una intersección de
ambas.
Observando el gráfico anterior, responder:
a) ¿Cómo son entre sí los valores f(x) y g(x) para 1< x <1,37?
b) ¿Cómo son entre sí los valores f(x) y g(x) para x>1,37?
c) ¿La función g(x), puede superar en algún punto a la f(x)?
Volver a pensar la respuesta dada en c), analizando el siguiente gráfico, donde se ha modificado el
intervalo donde se muestra la función.
a) f(x) < g(x) en dicho intervalo
b) para valores mayores que 1,37 pero menores a 9,94 la potencial supera a la exponencial, pero
luego sucede lo contrario
Conclusión: a medida que los valores de x aumentan, en algún punto, la función exponencial alcanza a
la función potencial y finalmente para x cada vez más grandes, termina siendo insignificante la función
potencial comparada con la exponencial.
Siempre, toda función de crecimiento exponencial, a partir de un cierto valor de x, es mayor que
cualquier función potencial.
¿Qué conclusión puedes sacar?