´ALGEBRA LINEAL I

Estadı́stica, Fı́sica y Matemáticas
Primer Curso
ÁLGEBRA LINEAL I
Juan A. Navarro González
24 de octubre de 2016
2
Índice general
1. Preliminares
1.1. Relaciones de Equivalencia
1.2. Números Complejos . . . .
1.3. Permutaciones . . . . . . .
1.4. Matrices . . . . . . . . . . .
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1
2
4
6
2. Espacios Vectoriales
9
2.1. Espacios Vectoriales y Subespacios Vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2. Teorı́a de la Dimensión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.3. Suma Directa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3. Aplicaciones Lineales
17
3.1. Aplicaciones Lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.2. Teorema de Isomorfı́a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.3. Cambio de Base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4. Geometrı́a Euclı́dea
23
4.1. Producto Escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.2. Espacios Vectoriales Euclı́deos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.3. Bases Ortonormales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
5. Endomorfismos
5.1. Polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2. Valores y Vectores Propios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3. Diagonalización de Endomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
29
29
30
31
4
ÍNDICE GENERAL
Capı́tulo 1
Preliminares
1.1.
Relaciones de Equivalencia
Definición: Dar una relación ≡ en un conjunto X es dar una familia de parejas ordenadas
de X, y pondremos x ≡ y cuando la pareja (x, y) esté en tal familia. Diremos que es una
relación de equivalencia si tiene las siguientes propiedades:
1. Reflexiva: x ≡ x, ∀x ∈ X.
2. Simétrica: x, y ∈ X, x ≡ y ⇒ y ≡ x.
3. Transitiva: x, y, z ∈ X, x ≡ y, y ≡ z ⇒ x ≡ z.
Ejemplo: Sea n un número natural, n ≥ 2. Diremos que dos números enteros a, b ∈ Z son
congruentes módulo n cuando b − a es múltiplo de n:
a ≡ b (mód. n) cuando
b − a = cn para algún c ∈ Z .
La relación de congruencia módulo n es una relación de equivalencia en el conjunto Z:
Reflexiva: Si a ∈ Z, entonces a ≡ a (mód. n) porque a − a = 0 · n.
Simétrica: Si a ≡ b (mód. n), entonces b − a = cn, donde c ∈ Z; luego a − b = (−c)n, y
por tanto b ≡ a (mód. n).
Transitiva: Si a ≡ b y b ≡ c (mód. n), entonces b − a = xn y c − b = yn, donde x, y ∈ Z;
luego c − a = (c − b) + (b − a) = yn + xn = (y + x)n, y por tanto a ≡ c (mód. n).
Esta relación de equivalencia tiene además la siguiente propiedad:
a ≡ b (mód. n) ⇒ a + c ≡ b + c y ac ≡ bc (mód. n)
c∈Z
pues si b = a + xn, donde x ∈ Z, entonces b + c = a + c + xn y bc = (a + xn)c = ac + xcn.
Definición: Dada una relación de equivalencia ≡ en un conjunto X, llamaremos clase de
equivalencia de un elemento x ∈ X al subconjunto de X formado por todos los elementos
relacionados con x. Se denota
x̄ = [x] := {y ∈ X : x ≡ y} .
Diremos que un subconjunto C ⊆ X es una clase de equivalencia de la relación ≡ si es
la clase de equivalencia de algún elemento x ∈ X; es decir, C = x̄ para algún x ∈ X.
El conjunto cociente de X por ≡ es el conjunto formado por las clases de equivalencia
de ≡, y se denota X/ ≡.
1
2
CAPÍTULO 1. PRELIMINARES
Teorema 1.1.1 Si ≡ es una relación de equivalencia en un conjunto X, en el conjunto
cociente X/ ≡ sólo se identifican los elementos equivalentes:
[x] = [y] ⇔ x ≡ y
;
x, y ∈ X .
Demostración: Si [x] = [y], entonces y ∈ [y] = [x]; luego x ≡ y.
Recı́procamente, si x ≡ y, veamos que [y] ⊆ [x]. En efecto, si z ∈ [y], entonces y ≡ z, y
por la propiedad transitiva x ≡ z; luego z ∈ [x].
Ahora bien, si x ≡ y, entonces y ≡ x; luego también [x] ⊆ [y], y [x] = [y].
Corolario 1.1.2 Cada elemento x ∈ X está en una única clase de equivalencia de ≡.
Demostración: x está en [x], porque x ≡ x, y si x ∈ [y], entonces y ≡ x; luego [y] = [x].
Ejemplo: Cuando en Z consideramos la relación de congruencia módulo n, la clase de
equivalencia de a ∈ Z es
[a] = a + nZ = {a + cn : c ∈ Z} ,
y coincide con la clase [r] del resto de la división de a por n, pues a = cn + r.
Por tanto el conjunto cociente, que se denota Z/nZ, tiene n elementos:
Z/nZ = {[1], [2], . . . , [n] = [0]} .
1.2.
Números Complejos
Definición: Los números complejos son las parejas de números reales z = x + yi (donde
x ∈ R se llama parte real de z e y ∈ R se llama parte imaginaria) que se suman y
multiplican con las siguientes reglas (i2 = −1):
(x1 + y1 i)+(x2 + y2 i) := (x1 + x2 ) + (y1 + y2 )i
(x1 + y1 i)·(x2 + y2 i) := (x1 x2 − y1 y2 ) + (x1 y2 + x2 y1 )i
El conjunto de todos los números complejos se denota C. El conjugado de un número
complejo
+ yi es el número complejo z̄ := x − yi, y el módulo de z es el número real
√ z = x√
|z| := z · z̄ = x2 + y 2 ≥ 0. Las siguientes propiedades son de comprobación sencilla:
z + u = z̄ + ū
|z| = 0 ⇔ z = 0
zu = z̄ ū
|zu| = |z| · |u|
z̄¯ = z
z + z̄ ≤ 2|z|
|z| = |z̄|
|z + u| ≤ |z| + |u|
excepto la última. Para demostrarla bastará ver que |z + u|2 ≤ (|z| + |u|)2 :
|z + u|2 = (z + u)(z + u) = (z + u)(z̄ + ū) = |z|2 + |u|2 + z ū + z̄u
= |z|2 + |u|2 + z ū + z ū ≤ |z|2 + |u|2 + 2|z ū|
= |z|2 + |u|2 + 2|z| · |ū| = |z|2 + |u|2 + 2|z| · |u| = (|z| + |u|)2 .
Si un número complejo z = x + yi no es nulo, tenemos que z z̄ = |z|2 = x2 + y 2 > 0, ası́
que su inverso z −1 existe, es de módulo |z −1 | = |z|−1 , y es
z̄
z̄
x
y
1
= 2 =
= 2
− 2
i.
z
|z|
z · z̄
x + y2
x + y2
Por tanto, si zz ′ = 0 y z ̸= 0, entonces z ′ = z −1 zz ′ = z −1 · 0 = 0.
1.2. NÚMEROS COMPLEJOS
3
Exponencial Compleja
Definición: Si t ∈ R, pondremos eti := cos t + i sen t, donde el seno y coseno se consideran
d
en radianes para que dt
(eit ) = ieit . Tenemos la fórmula de Euler (1707-1783)
e2πi = 1
y en general e2πni = 1 para todo número entero√n.
El número complejo eti es de módulo |eti | = cos2 t + sen2 t = 1, y todo número complejo de módulo 1 es eθi para algún número real θ.
Si z ∈ C es de módulo ρ ̸= 0, el módulo de z/ρ es 1, ası́ que z/ρ = eθi y
z = ρeθi = ρ(cos θ + i sen θ)
para algún número real θ = arg z que llamamos argumento de z (bien definido salvo la
adición de un múltiplo entero de 2π).
Cuando z = x + yi; x, y ∈ R, tenemos que
cos θ = x/ρ ,
sen θ = y/ρ
,
tan θ = y/x .
Ejemplos: Si ρ es un número real positivo, arg ρ = 0, arg (ρi) = π/2, arg (−ρ) = π y
arg (−ρi) = 3π/2 porque
π
ρ = ρe0 , ρi = ρe 2 i , −ρ = ρeπi , −ρi = ρe
3π
2 i
.
Por otra parte, las fórmulas del seno y coseno de una suma expresan que
′
′
eti et i = e(t+t )i
′
eti et i = (cos t + i sen t)(cos t′ + i sen t′ ) =
(
)
(
)
= (cos t)(cos t′ ) − (sen t)(sen t′ ) + i (cos t)(sen t′ ) + (sen t)(cos t′ )
′
= cos(t + t′ ) + i sen(t + t′ ) = e(t+t )i ;
′
′
y la igualdad (ρeθi )(ρ′ eθ i ) = ρρ′ e(θ+θ )i muestra que
arg (z · z ′ ) = (arg z) + (arg z ′ )
de modo que arg (z −1 ) = −arg z, al ser arg z −1 + arg z = arg (z −1 z) = arg 1 = 0.
Ahora, si u ∈ C y un = z = ρeiθ , entonces
|u|n = |un | = |z| = ρ
narg (u) = arg (un ) = arg z = θ + 2πk ,
k∈Z
√
Luego |u| = n ρ y arg (u) = nθ + 2kπ
n , y claramente basta tomar k = 0, . . . , n − 1. Ası́, todo
número complejo no nulo z = ρeiθ tiene n raı́ces n-ésimas complejas, que son:
√
n
ρ e(
θ+2kπ
n
θ
2kπ
)i = √
n
ρ e n ie n i
En particular, las raı́ces n-ésimas de la unidad complejas son
e
2kπ
n i
; k = 1, . . . , n,
y vemos que las raı́ces n-ésimas de un número complejo no nulo se obtienen multiplicando
una de ellas por las raı́ces n-ésimas de la unidad.
4
CAPÍTULO 1. PRELIMINARES
Ejemplos: Las raı́ces n-ésimas de la unidad complejas, cuando n = 2, 3, 4, 6 y 8, son:
n = 2; e
2π
2 i
n = 3; e
2π
3 i
n = 4; e
2π
4 i
= eπi = −1, e
= − 12 +
= i, e
2π
n = 6; e 6 i =
8π
e6i=
n = 8; e
e
2π
8 i
=
√
√
3
2 i,
e
= e2πi = 1.
4π
3 i
= −1, e
= − 21 −
6π
4 i
√
3
2 i,
= −i, e
8π
4 i
e
6π
3 i
= 1.
= 1.
√
4π
6π
3
3
1
1
6 i = −
i, e 6 i = −1,
2 + 2 √i, e
2 + 2
√
10π
12π
− 12 − 23 i, e 6 i = 21 − 23 i, e 6 i = 1.
=
10π
8 i
4π
4 i
4π
2 i
4π
6π
8π
√1 i, e 8 i = i, e 8 i = − √1 + √1 i, e 8 i = −1,
2
2
2
12π
16π
14π
− √12 − √12 i, e 8 i = −i, e 8 i = − √12 − √12 i, e 8 i
√1
2
+
= 1.
Por último, si z = x + yi pondremos ez = ex eyi = ex (cos y + i sen y), de modo que
′
′
ez +z = ez ez para cualesquiera números complejos z ′ , z.
Cuando eu = z, decimos que u es el logaritmo neperiano de z, y ponemos u = ln z.
Ası́, el logaritmo neperiano de z = ρe(θ+2kπ)i = eln ρ e(θ+2kπ)i = eln ρ+(θ+2kπ)i es
ln z = ln ρ + (θ + 2kπ)i.
1.3.
Permutaciones
Definición: Sean X e Y dos conjuntos. Dar una aplicación f : X → Y es asignar a cada
elemento x ∈ X un único elemento f (x) ∈ Y , llamado imagen de x por la aplicación f .
Si g : Y → Z es otra aplicación, llamaremos composición de g y f a la aplicación
(
)
g ◦ f : X −→ Z, (g ◦ f )(x) := g f (x) .
La identidad de un conjunto X es la aplicación IdX : X → X, IdX (x) = x.
Sea f : X → Y una aplicación.
Si A ⊆ X, pondremos f (A) := {f (x) : x ∈ A} y es un subconjunto de Y .
Si B ⊆ Y , pondremos f −1 (B) := {x ∈ X : f (x) ∈ B} y es un subconjunto de X.
Si y ∈ Y , puede ocurrir que f −1 (y) no tenga ningún elemento o tenga más de uno, de
modo que, en general, f −1 no es una aplicación de Y en X.
Diremos que una aplicación f : X → Y es inyectiva si elementos distintos tienen imágenes distintas:
x, y ∈ X, f (x) = f (y) ⇒ x = y
(i.e., cuando, para cada y ∈ Y se tiene que f −1 (y) tiene un elemento o ninguno) y diremos
que f es epiyectiva si todo elemento de Y es imagen de algún elemento de X:
y ∈ Y ⇒ y = f (x) para algún x ∈ X ,
es decir, cuando f (X) = Y o, lo que es igual, cuando, para cada y ∈ Y se tiene que f −1 (y)
tiene al menos un elemento.
Diremos que una aplicación f : X → Y es biyectiva cuando es inyectiva y epiyectiva;
es decir, cuando cada elemento y ∈ Y es imagen de un único elemento de X, de modo que
f −1 (y) tiene un único elemento, y en tal caso f −1 : Y → X sı́ es una aplicación, llamada
aplicación inversa de f porque f −1 ◦ f = IdX y f ◦ f −1 = IdY .
Definición: Las permutaciones de n elementos son las aplicaciones biyectivas
σ : {1, . . . , n} −→ {1, . . . , n} .
1.3. PERMUTACIONES
5
El conjunto de todas las permutaciones de n elementos se denota Sn , y está claro que su
cardinal es n! = n · (n − 1) · . . . · 2 · 1. El producto de permutaciones es la composición de
aplicaciones, y como son aplicaciones biyectivas, toda permutación σ tienen una permutación
inversa σ −1 , de modo que σ −1 (j ) = i cuando σ(i) = j. Además, (στ )−1 = τ −1 σ −1 .
Definición: Si d ≥ 2, dados a1 , . . . , ad ∈ {1, . . . , n} distintos, denotaremos (a1 . . . ad ) la
permutación σ ∈ Sn tal que σ(ai ) = ai+1 , entendiendo que σ(ad ) = a1 , y deja fijos los
restantes elementos. Diremos que tal permutación (a1 . . . ad ) es un ciclo de longitud d. Los
ciclos (a1 a2 ) de longitud 2 se llaman trasposiciones.
Diremos que dos ciclos (a1 . . . ad ) y (b1 . . . bk ) son disjuntos cuando ai ̸= bj para todo
par de ı́ndices i, j; en cuyo caso conmutan:
(a1 . . . ad )(b1 . . . bk ) = (b1 . . . bk )(a1 . . . ad ).
El inverso de un ciclo σ = (a1 . . . ad ) es σ −1 = (ad . . . a1 ).
Toda permutación σ descompone claramente en producto de ciclos disjuntos, y también
en producto de trasposiciones, porque todo ciclo es producto de trasposiciones:
(a1 a2 a3 . . . ad ) = (a1 a2 )(a2 a3 ) · · · (ad−1 ad ) .
(1.1)
Signo de una permutación
Definición: Consideremos el siguiente polinomio con coeficientes enteros:
∏
∆(x1 , . . . , xn ) =
(xj − xi )
1≤i<j≤n
∏
Dada una permutación σ ∈ Sn , los factores de ∆(xσ(1) , . . . , xσ(n) ) = i<j (xσ(j) − xσ(i) )
coinciden, eventualmente salvo el signo, con los de ∆(x1 , . . . , xn ). Luego ambos polinomios
coinciden o difieren en un signo, ∆(xσ(1) , . . . , xσ(n) ) = ±∆(x1 , . . . , xn ), y llamaremos signo
de σ al número entero sgn(σ) = ±1 tal que
∆(xσ(1) , . . . , xσ(n) ) = sgn(σ) · ∆(x1 , . . . , xn ) .
(1.2)
Llamaremos pares a las permutaciones de signo 1, e impares a las de signo –1.
Teorema 1.3.1 El signo de cualquier producto de permutaciones es el producto de los signos
de los factores: sgn(τ σ) = (sgn τ )(sgn σ) .
El signo de las trasposiciones es –1, y el signo de los ciclos de longitud d es (−1)d−1 .
Demostración: Sean σ, τ ∈ Sn . Aplicando τ a los ı́ndices de las indeterminadas x1 , . . . , xn
en la igualdad 1.2, obtenemos que
∆(x(τ σ)(1) , . . . , x(τ σ)(n) ) = (sgn σ) · ∆(xτ (1) , . . . , xτ (n) )
= (sgn σ)(sgn τ ) · ∆(x1 , . . . , xn ) .
Luego sgn(τ σ) = (sgn σ)(sgn τ ) = (sgn τ )(sgn σ).
Un cálculo directo demuestra que el signo de la trasposición (12) es –1.
Si (ij) es otra trasposición, tomamos una permutación τ tal que τ (1) = i, τ (2) = j, de
modo que (ij) = τ · (12) · τ −1 , y concluimos que
sgn(ij) = sgn(τ ) · sgn(12) · sgn(τ −1 ) = −sgn(τ ) · sgn(τ −1 ) = −sgn(τ · τ −1 ) = −1.
Por último, cuando σ = (a1 . . . ad ) es un ciclo de longitud d, se sigue directamente de 1.1
que sgn(σ) = (−1)d−1 , porque todas las trasposiciones tienen signo –1.
6
CAPÍTULO 1. PRELIMINARES
1.4.
Matrices
En adelante pondremos K = Q, R ó C, y llamemos escalares a los elementos de K.
Dada una matriz A = (aij ) de m filas y n columnas (donde el subı́ndice i indica la fila
y el subı́ndice j la columna), su matriz traspuesta es At = (aji ), que tiene n filas y m
columnas. Si B = (bjk ) es otra matriz de n filas y r columnas, su producto AB es una
matriz m × r cuyo coeficiente cik de la fila i y columna k es
cik =
n
∑
aij bjk = ai1 b1k + ai2 b2k + . . . + ain bnk .
j=1
El, producto de matrices es asociativo, aunque no conmutativo, y (AB)t = B t At .
La matriz unidad In es la matriz n × n con todos sus coeficientes nulos, salvo los de la
diagonal, que son la unidad. Si A es una matriz m × n, entonces Im A = A y AIn = A.
Una matriz cuadrada A de n columnas se dice que es invertible si existe otra matriz
cuadrada B de n columnas tal que AB = In = BA, en cuyo caso tal matriz B es única y se
pone B = A−1 . Si A y B son matrices invertibles n × n, entonces (AB)−1 = B −1 A−1 .
Determinantes
Definición: El determinante de una matriz cuadrada A = (aij ) de n filas y columnas es
∑
(sgn σ)a1σ(1) . . . anσ(n)
|A| :=
σ∈Sn
y tiene las siguientes propiedades (que se probarán en el curso de Álgebra Lineal II):
1. |A| = |At |.
2. Es lineal en cada columna (y por tanto en cada fila):
|A1 , . . . , Ai + Bi , . . . , An | = |A1 , . . . , Ai , . . . , An | + |A1 , . . . , Bi , . . . , An | ,
|A1 , . . . , λAi , . . . , An | = λ|A1 , . . . , Ai , . . . , An | .
3. |Aσ(1) , . . . , Aσ(n) | = (sgn σ)|A1 , . . . , An |.
a11 a12 . . . a1n 0 a22 . . . a2n = a11 . . . ann , |In | = 1.
4. . . . . . . . . . . . . 0
. . . 0 ann 5. |AB| = |A| · |B| ,
|A−1 | = |A|−1 .
Luego el determinante es 0 cuando dos columnas (o dos filas) son iguales y
|A1 , . . . , Ai , . . . , An | = |A1 , . . . , Ai + λAj , . . . , An |
,
i ̸= j .
Definición: El adjunto Aij de una matriz A es (−1)i+j por el determinante de la matriz
que se obtiene eliminando la fila i y la columna j de la matriz A.
El determinante de A puede calcularse desarrollando por cualquier fila o columna:
|A| = ai1 Ai1 + . . . + ain Ain ,
|A| = a1j A1j + . . . + anj Anj .
Si el determinante de una matriz A no es nulo, entonces A es invertible, y su inversa es


A11 . . . An1
1 
... ... ... 
A−1 =
|A|
A1n . . . Ann
1.4. MATRICES
7
(Nótese que el coeficiente de la fila i y columna j es el adjunto Aji , no Aij ). Por tanto, una
matriz cuadrada A es invertible si y sólo si su determinante no es nulo.
Definición: El rango (por columnas) de una matriz A es el máximo número de columnas
de A linealmente independientes, y se denota rg A.
El rango por filas de una matriz A es el rango (por columnas) de su traspuesta At .
Los menores de orden r de una matriz A son los determinantes de las matrices formadas
con los coeficientes de r filas y r columnas de A (obviamente r no ha de superar el número
de columnas ni de filas de A).
Teorema del Rango: El rango de una matriz es el orden del mayor menor no nulo.
Como los menores de A y At son los mismos, el rango por filas de cualquier matriz A
coincide con su rango por columnas.
Sistemas de Ecuaciones Lineales
Regla de Crámer (1704-1752): Si A es una matriz cuadrada invertible, entonces el sistema
de ecuaciones lineales AX = B tiene una única solución, que es
xi =
|A1 , . . . , B, . . . , An |
|A1 , . . . , Ai , . . . , An |
donde A1 , . . . , An denotan las columnas de la matriz A.
Demostración: Si A es invertible, la única solución de AX = B es X = A−1 B. Además, si
x1 , . . . , xn es la solución del sistema, entonces x1 A1 + . . . + xn An = B y por tanto:
∑
|A1 , . . . , B, . . . , An | = j xj |A1 , . . . , Aj , . . . , An | = xi |A1 , . . . , Ai , . . . , An |
porque la matriz (A1 , . . . , Aj , . . . , An ) tiene dos columnas iguales (las columnas i y j) cuando
i ̸= j. Luego xi = |A1 , . . . , B, . . . , An |/|A1 , . . . , Ai , . . . , An | es la única solución del sistema.
Teorema de Rouché-Frobënius (1832-1910, 1849-1917): Un sistema de ecuaciones lineales AX = B es compatible si y sólo si rgA = rg(A|B) .
Si un sistema de ecuaciones lineales AX = B es compatible y X0 es una solución particular, AX0 = B, entonces todas las soluciones se obtienen sumándole las soluciones del
sistema homogéneo AY = 0; es decir, las soluciones son X = X0 + Y , donde AY = 0.
8
CAPÍTULO 1. PRELIMINARES
Capı́tulo 2
Espacios Vectoriales
2.1.
Espacios Vectoriales y Subespacios Vectoriales
En adelante pondremos K = Q, R ó C, y llamemos escalares a los elementos de K.
Definición: Dar una estructura de K-espacio vectorial en un conjunto E (cuyos elementos
llamamos vectores o puntos) es asignar a cada par de vectores e1 , e2 ∈ E otro vector
e1 + e2 ∈ E, y a cada escalar λ ∈ K y cada vector e ∈ E, otro vector λe ∈ E, de modo que:
Axioma
Axioma
Axioma
Axioma
Axioma
Axioma
Axioma
Axioma
1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
8:
e1 + (e2 + e3 ) = (e1 + e2 ) + e3 para cualesquiera vectores e1 , e2 , e3 ∈ E.
e1 + e2 = e2 + e1 para cualesquiera vectores e1 , e2 ∈ E.
Existe un vector 0 ∈ E tal que e + 0 = e para todo vector e ∈ E.
Para cada vector e ∈ E existe un vector −e tal que e + (−e) = 0.
λ(e1 + e2 ) = λe1 + λe2 para todo λ ∈ K, e1 , e2 ∈ E.
(λ1 + λ2 )e = λ1 e + λ2 e para todo λ1 , λ2 ∈ K, e ∈ E.
(λµ)e = λ(µe) para todo λ, µ ∈ K, e ∈ E.
1 · e = e para todo vector e ∈ E.
Si e, v ∈ E, ponemos v − e := v + (−e), y decimos que −e es el opuesto del vector e.
En los espacios vectoriales son válidas las reglas usuales del cálculo vectorial:
e + v = e′ + v ⇒ e = e′
e+v =v ⇒ e=0
e + v = 0 ⇒ v = −e
0·e=0 , λ·0=0
,
−0 = 0
λ · (−e) = (−λ)e = −(λe)
− (−e) = e , (−1)e = −e
λ(e − v) = λe − λv , (λ − µ)e = λe − µe
λe = 0 ⇒ λ = 0 ó e = 0
Definición: Un subconjunto V de un espacio vectorial E es un subespacio vectorial de
E cuando la suma de vectores y el producto por escalares de E definan también en V una
estructura de K-espacio vectorial; es decir, cuando
1. v1 + v2 ∈ V , para todo v1 , v2 ∈ V .
2. λv ∈ V , para todo λ ∈ K y v ∈ V .
3.
0∈V.
9
10
CAPÍTULO 2. ESPACIOS VECTORIALES
Ejemplos:
1. En la Geometrı́a euclı́dea, los segmentos orientados con origen en un punto prefijado O
forman un espacio vectorial real. Éste es el ejemplo paradigmático de espacio vectorial,
que motiva los nombres de los conceptos que iremos introduciendo.
2. K n = K× . n. . ×K = {(λ1 , . . . , λn ) : λ1 , . . . , λn ∈ K} es un K-espacio vectorial.
Si A es una matriz m×n con coeficientes en K, las soluciones del sistema de ecuaciones
lineales homogéneo AX = 0 forman un subespacio vectorial de K n .
3. Fijados dos números naturales positivos m y n, la suma de matrices y el producto de
matrices por escalares definen una estructura de K-espacio vectorial en el conjunto
Mm×n (K) de todas las matrices de m filas y n columnas con coeficientes en K.
4. C es un C-espacio vectorial, y también es un R-espacio vectorial y un Q-espacio vectorial. Estas tres estructuras de espacio vectorial sobre C son bien distintas, porque en
cada caso los escalares son diferentes.
5. Un espacio vectorial E nunca puede ser el conjunto vacı́o, porque el axioma 3 impone la existencia del vector nulo. El espacio vectorial que tiene un único vector (que
necesariamente ha de ser el vector nulo) se denota 0.
6. Todo espacio vectorial E admite los subespacios vectoriales triviales 0 y E.
7. Si e1 , . . . , en son vectores de un espacio vectorial E, entonces
Ke1 + . . . + Ken := {λ1 e1 + . . . + λn en ; λ1 , . . . , λn ∈ K}
es un subespacio vectorial de E que contiene a los vectores e1 , . . . , en , y diremos que
es el subespacio vectorial de E generado por e1 , . . . , en .
También se denota ⟨e1 , . . . , en ⟩, y si un subespacio vectorial V de E contiene a los
vectores e1 , . . . , en , entonces Ke1 + . . . + Ken ⊆ V .
8. Si V y W son dos subespacios vectoriales de un espacio vectorial E, entonces su
intersección V ∩ W y su suma V + W := {v + w; v ∈ V y w ∈ W } también son
subespacios vectoriales de E.
9. Si E y F son dos K-espacios vectoriales, su producto directo E × F es un K-espacio
vectorial cuando la suma y el producto por escalares se definen del siguiente modo:
(e, f ) + (e′ , f ′ ) := (e + e′ , f + f ′ )
,
λ(e, f ) := (λe, λf ) .
10. Diremos que un subconjunto X de un espacio vectorial E es una subvariedad lineal
si existe un subespacio vectorial V de E y algún punto p ∈ E tales que
X = p + V := {p + v; v ∈ V } .
En tal caso diremos que V es la dirección de X, y que X es la subvariedad lineal que
pasa por p con dirección V . Diremos que dos subvariedades lineales p + V y q + W son
paralelas si sus direcciones V y W son incidentes (V ⊆ W ó W ⊆ V ).
11. Espacio Vectorial Cociente: Cada subespacio vectorial V de un K-espacio vectorial
E define una relación de equivalencia en E (llamada congruencia módulo V ):
e ≡ e′ (módulo V ) cuando e′ − e ∈ V ; es decir e′ ∈ e + V .
2.2. TEORÍA DE LA DIMENSIÓN
11
i) e ≡ e para todo vector e ∈ E, porque e − e = 0 ∈ V .
ii) Si e ≡ e′ , entonces e′ − e ∈ V ; luego e − e′ = −(e′ − e) ∈ V y e′ ≡ e.
iii) e ≡ e′ , e′ ≡ e′′ ⇒ e′ − e, e′′ − e′ ∈ V ; e′′ − e = (e′′ − e′ ) + (e′ − e) ∈ V y e ≡ e′′ .
La clase de equivalencia [p] = p + V de p ∈ E es la subvariedad lineal de dirección V
que pasa por p. Por tanto, si una subvariedad lineal X = p + V de dirección V pasa
por un punto q, entonces p ≡ q (mód. V ) y por tanto también X = q + V .
El conjunto cociente (que se denota E/V ) es el conjunto de todas las subvariedades
lineales de E de dirección V , y las siguientes operaciones definen en el conjunto E/V
una estructura de K-espacio vectorial (compruébense los 8 axiomas) y diremos que es
el espacio vectorial cociente de E por V :
[e1 ] + [e2 ] := [e1 + e2 ]
λ · [e ] := [λe ]
Veamos que estas definiciones no dependen de los vectores elegidos en las clases:
Si [e1 ] = [e′1 ] y [e2 ] = [e′2 ], entonces e′1 − e1 , e′2 − e2 ∈ V ; luego e′1 + e′2 − (e1 + e2 ) ∈ V
y por tanto [e1 + e2 ] = [e′1 + e′2 ].
Si [e] = [e′ ], entonces e′ −e ∈ V ; luego λe′ −λe = λ(e′ −e) ∈ V y por tanto [λe] = [λe′ ].
Con esta estructura de espacio vectorial que hemos de definido en E/V , el opuesto de
un vector ē ∈ E/V es [−e], y el vector nulo de E/V es precisamente la clase de 0 ∈ E,
de modo que ē = 0 precisamente cuando e ≡ 0 (módulo V ):
[e] = 0 ⇔ e ∈ V
(2.1)
Nota 2.1.1 Si e ∈ Ke1 + . . . + Ken , entonces ē ∈ K ē1 + . . . + K ēn .
En efecto, si e = λ1 e1 + . . . + λn en , entonces ē = [λ1 e1 + . . . + λn en ] = λ1 ē1 + . . . + λn ēn .
2.2.
Teorı́a de la Dimensión
Definición: Diremos que unos vectores e1 , . . . , en de un espacio vectorial E lo generan, o
que forman un sistema de generadores de E cuando todo vector de E es una combinación
lineal de e1 , . . . , en con coeficientes en K:
Ke1 + . . . + Ken = E .
Diremos que e1 , . . . , en son linealmente dependientes si existen escalares λ1 , . . . , λn
tales que λ1 e1 + . . . + λn en = 0 y algún λi ̸= 0, de modo que ei es combinación lineal de
los restantes vectores. En caso contrario diremos que son linealmente independientes.
Es decir, e1 , . . . , en son linealmente independientes cuando la única combinación lineal nula
es la que tiene todos los coeficientes nulos:
λ1 e1 + . . . + λn en = 0 ⇒ λ1 = . . . = λn = 0
;
donde λ1 , . . . , λn ∈ K.
Diremos que una sucesión de vectores e1 , . . . , en de un espacio vectorial E es una base
de E cuando tales vectores sean linealmente independientes y generen E. En tal caso, cada
vector e ∈ E se escribe de modo único como combinación lineal con coeficientes en K
e = x1 e1 + . . . + xn en ,
12
CAPÍTULO 2. ESPACIOS VECTORIALES
y diremos que (x1 , . . . , xn ) ∈ K n son las coordenadas del vector e en la base e1 , . . . , en .
En efecto, si e = x1 e1 + . . . + xn en = y1 e1 + . . . + yn en , entonces
(x1 − y1 )e1 + . . . + (xn − yn )en = x1 e1 + . . . + xn en − (y1 e1 + . . . + yn en ) = e − e = 0 ;
luego yi − xi = 0 para todo ı́ndice i, porque e1 , . . . , en son linealmente independientes.
Ejemplos 2.2.1
1. Sea e un vector no nulo. Como λe = 0 ⇒ λ = 0; tenemos que e es linealmente
independiente, y por tanto define una base del subespacio vectorial Ke = ⟨e⟩. Además,
si otro vector v no está en Ke, entonces e, v son linealmente independientes, de modo
que forman una base del subespacio vectorial Ke + Kv = ⟨e, v⟩.
2. Los vectores e1 = (1, 0, . . . , 0), e2 = (0, 1, . . . , 0), . . . , en = (0, . . . , 0, 1) forman una
base de K n , llamada base usual de K n . Las coordenadas de un vector e = (a1 , . . . , an )
de K n en esta base son precisamente (a1 , . . . , an ), porque e = a1 e1 + . . . + an en .
3. Las matrices m × n que tienen todos sus coeficientes nulos, excepto uno que es la
unidad, definen una base de Mm×n (K), base que está formada por mn matrices. Las
coordenadas de una matriz en tal base son precisamente los coeficientes de la matriz.
Lema Fundamental: Sean e1 , . . . , en vectores de un K-espacio vectorial E. Si tenemos
que v1 , . . . , vr ∈ Ke1 + . . . + Ken y r > n, entonces los vectores v1 , . . . , vr son linealmente
dependientes.
Demostración: Si vr = 0 es obvio: 0 · v1 + 0 · v2 + . . . + 0 · vr−1 + 1 · vr = 0.
Si vr ̸= 0, procedemos por inducción sobre n. Si n = 1, entonces v1 , vr ∈ Ke1 , ası́ que
v1 = λ1 e1 , vr = λr e1 y λr ̸= 0 porque vr ̸= 0. Luego v1 , . . . , vr son linealmente dependientes:
λr v1 − λ1 vr = λr λ1 e1 − λ1 λr e1 = 0 .
∑n
Si n > 1, reordenando los vectores e1 , . . . en si es preciso, tendremos vr = i=1 λi ei con
λn =
̸ 0. Despejando, obtenemos que en ∈ Ke1 + . . . + Ken−1 + Kvr , y por tanto
v1 , . . . , vr−1 ∈ Ke1 + . . . + Ken ⊆ Ke1 + . . . + Ken−1 + Kvr .
De acuerdo con 2.1.1, en el espacio vectorial cociente E/(Kvr ) tendremos que
v̄1 , . . . , v̄r−1 ∈ K ē1 + . . . + K ēn−1 + K v̄r = K ē1 + . . . + K ēn−1 ,
donde r − 1 > n − 1, y por hipótesis de inducción existen escalares λ1 , . . . , λr−1 , alguno no
nulo, tales que
0 = λ1 v̄1 + . . . + λr−1 v̄r−1 = [λ1 v1 + . . . + λr−1 vr−1 ] .
∑r−1
∑r−1
Luego i=1 λi vi ∈ Kvr según 2.1, y concluimos que i=1 λi vi = λr vr para algún escalar
λr ; es decir, los vectores v1 , . . . , vr son linealmente dependientes.
Teorema 2.2.2 Todas las bases de un espacio vectorial tienen igual número de vectores.
Demostración: Si e1 , . . . , en y v1 , . . . , vr son dos bases de un espacio vectorial E, como
los vectores e1 , . . . , en ∈ E = Kv1 + . . . + Kvr son linealmente independientes, por el lema
fundamental tenemos que n ≤ r. Como los vectores v1 , . . . , vr ∈ E = Ke1 + . . . + Ken son
linealmente independientes, también tenemos que r ≤ n; luego n = r.
2.2. TEORÍA DE LA DIMENSIÓN
13
Definición: Si un espacio vectorial E ̸= 0 admite una base, llamaremos dimensión de E
al número de vectores de cualquier base de E, y lo denotaremos dimK E; o sencillamente
dim E cuando no induzca a confusión. También diremos que el espacio vectorial E = 0 tiene
dimensión 0 y que su base es el vacı́o. Diremos que un espacio vectorial E tiene dimensión
infinita cuando ninguna familia finita de vectores de E sea una base de E.
La dimensión de una subvariedad lineal X = p + V es la de su dirección V . Las subvariedades lineales de dimensión 1 y 2 se llaman rectas y planos respectivamente.
Ejemplos 2.2.3
1. Según los ejemplos 2.2.1, para todo vector no nulo e tenemos que dim K (Ke) = 1; y si
además v ∈
/ Ke, entonces dim K (Ke + Kv) = 2.
También, dimK K n = n y dimK Mm×n (K) = mn .
2. En particular dimC C = 1; aunque dimR C = 2, porque 1, i forman una base de
C = R + Ri como R-espacio vectorial.
finita n, cada base e1 , . . . , en define una
3. Si E es un Q-espacio vectorial de dimensión
∑
biyección K n → E, (λ1 , . . . , λn ) 7→ i λi ei , y por tanto el conjunto E es numerable.
Como R y C no son numerables, dim Q R = dim Q C = ∞.
4. El K-espacio vectorial K[x] := {a0 + a1 x + a2 x2 + . . . ; a0 , a1 . . . ∈ K}, formado por
todos los polinomios con coeficientes en K en una indeterminada x, tiene dimensión
infinita, porque los polinomios 1, x, . . . , xn son linealmente independientes.
El subespacio vectorial Pn := {a0 + a1 x + . . . + an xn : a0 , . . . , an ∈ K}, formado por
todos los polinomios de grado ≤ n con coeficientes en K, admite la base 1, x, . . . , xn ;
luego dim Pn = n + 1.
5. Por dos puntos distintos p y q = p + e pasa una única recta p + Ke, formada por los
puntos p + te = tq + (1 − t)p, donde t ∈ K. El punto p + 12 e = p+q
2 recibe el nombre
de punto medio entre p y q.
6. En un triángulo (la figura formada por tres puntos no alineados abc) las igualdades
(
)
a+b+c
a 2b+c
b 2a+c
c 2a+b
2 b+c
= +
= +
= +
=a+
− a = ...
3
3 3 2
3 3 2
3 3 2
3
2
muestran que las tres medianas (rectas que unen un vértice con el punto medio del
lado opuesto) se cortan en el punto g = a+b+c
, llamado baricentro, que divide a cada
3
mediana en la proporción 2:1.
Proposición 2.2.4 Todo sistema finito de generadores {e1 , . . . , en } de un espacio vectorial
E ̸= 0 contiene una base de E. Por tanto n ≥ dim E, y si además n = dim E, entonces los
vectores e1 , . . . , en ya forman una base de E.
Demostración: Para ver que {e1 , . . . , en } contiene una base de E procedemos por inducción
sobre n.
Si n = 1, e1 ̸= 0 porque Ke1 = E ̸= 0; luego e1 es ya una base de E = Ke1 .
Si n > 1, y los vectores e1 , . . . , en son linealmente independientes,
∑n forman ya una base
de E. Si son linealmente dependientes, tendremos alguna relación i=1 λi ei = 0 con algún
coeficiente λi no nulo. Reordenando los vectores e1 , . . . , en podemos suponer que λn ̸= 0.
Despejando en tenemos que en ∈ Ke1 + . . . + Ken−1 . Luego E = Ke1 + . . . + Ken−1 , y por
hipótesis de inducción {e1 , . . . , en−1 } contiene una base de E.
Por último, si n = dim E, entonces los vectores e1 , . . . , en ya forman una base de E;
porque una base de E no puede tener menos de n vectores según 2.2.2.
14
CAPÍTULO 2. ESPACIOS VECTORIALES
Lema 2.2.5 Si e1 , . . . , em ∈ E son linealmente independientes, y no se pueden ampliar con
un vector de E de modo que lo sigan siendo, entonces ya forman una base de E.
Demostración: Para todo vector e ∈ E tenemos que e1 , . . . , em , e son linealmente dependientes:
λ1 e1 + . . . + λm em + λe = 0
y algún coeficiente no es nulo. Si λ = 0, entonces e1 , . . . , er serı́an linealmente dependientes,
en contra de la hipótesis. Luego λ ̸= 0 y despejando vemos que e ∈ Ke1 + . . . + Kem .
Luego los vectores e1 , . . . , em generan E, y como son linealmente independientes por
hipótesis, forman una base de E.
Proposición 2.2.6 Sea E un espacio vectorial de dimensión finita. Toda familia {e1 , . . . , er }
de vectores de E linealmente independiente se puede ampliar hasta obtener una base de E.
Por tanto r ≤ dim E, y si además r = dim E, entonces los vectores e1 , . . . , er ya forman
una base de E.
Demostración: Añadimos vectores de E hasta obtener una familia linealmente independiente
e1 , . . . , er , e′1 , . . . , e′s que ya no pueda ampliarse de modo que lo siga siendo (el proceso
termina porque, si n = dim E, en virtud el lema fundamental en E no puede haber más de
n vectores linealmente independientes, ası́ que siempre r + s ≤ n).
Ahora e1 , . . . , er , e′1 , . . . , e′s ya es base de E por el lema anterior.
Por último, si r = dim E, entonces los vectores e1 , . . . , er ya forman una base de E;
porque una base de E no puede tener más de r vectores según 2.2.2.
Teorema 2.2.7 Sea V subespacio vectorial de un espacio vectorial de dimensión finita E.
1.
dim V ≤ dim E
2.
dim (E/V ) = dim E − dim V
y sólo se da la igualdad cuando V = E.
.
Demostración: Veamos primero que la dimensión de V también es finita. Tomemos en V
una familia {v1 , . . . , vr } linealmente independiente que ya no pueda ampliarse con un vector
de V de modo que lo siga siendo (existe porque, si n = dim E, por el lema fundamental en
E no puede haber más de n vectores linealmente independientes).
Por el lema anterior v1 , . . . , vr forman una base de V , de modo que r = dim V .
Ahora 2.2.6 permite ampliarla hasta obtener una base v1 , . . . , vr , e1 , . . . , es de E.
Luego dim V = r ≤ r + s = dim E; y si se da la igualdad, entonces s = 0 y v1 , . . . , vr ya
es base de E, de modo que E = Kv1 + . . . + Kvr = V .
En cuanto a la segunda afirmación, basta probar que ē1 , . . . , ēs es una base de E/V .
Como v1 , . . . , vr , e1 , . . . , es generan E, y en E/V tenemos que v̄1 = . . . = v̄r = 0, se sigue que
E/V = K ē1 + . . . + K ēs . Veamos por último que ē1 , . . . , ēs son linealmente independientes:
∑s
∑s
∑s
Si 0 = i=1 λi ēi = [ i=1 λi ei ], entonces i=1 λi ei ∈ V de acuerdo con 2.1, ası́ que
λ1 e1 + . . . + λs ee = µ1 v1 + . . . + µr vr
∑s
∑r
para ciertos escalares µ1 , . . . , µr . Luego i=1 λi ei − j=1 µj vj = 0, y como los vectores
v1 , . . . , vr , e1 , . . . , es son linealmente independientes, concluimos que λ1 = . . . = λs = 0.
Corolario 2.2.8 Sea e1 , . . . , en una base de un espacio vectorial E. Si A es la matriz que
tiene por columnas las coordenadas de v1 , . . . , vm ∈ E en tal base de E, entonces
dim (Kv1 + . . . + Kvm ) = rg A .
2.3. SUMA DIRECTA
15
Demostración: Pongamos r = rg A y d = dim (Kv1 + . . . + Kvm ).
Como {v1 , . . . , vm } genera Kv1 + . . . + Kvm , de acuerdo con 2.2.2 contiene una base
vi1 , . . . , vid de Kv1 + . . . + Kvm , ası́ que las columnas i1 , . . . , id de la matriz A son linealmente independientes y por tanto d ≤ r (pues unos vectores son linealmente independientes
precisamente cuando sus coordenadas son linealmente independientes en K n ).
Por otra parte, como la matriz A tiene r columnas linealmente independientes, hay r
vectores vj1 , . . . , vjr linealmente independientes en Kv1 + . . . + Kvm , y de acuerdo con
2.2.6 concluimos que r ≤ d .
Ejemplos:
1. Dados tres puntos distintos no alineados a, b = a + e y c = a + v, tenemos que v ∈
/ Ke,
porque c no está en la recta a + Ke que pasa por a y b. Luego dim (Ke + Kv) = 2, y
vemos que a + Ke + Kv es un plano que pasa por a, b, c.
Y es el único, si otro plano P = p+V pasase por ellos, tendremos que b, c ∈ P = a+V ;
luego e = b−a, v = c−a ∈ V y Ke+Kv ⊆ V . Ambos subespacios vectoriales coinciden
porque son de dimensión 2.
2. Sean X = p + V , Y = q + W dos subvariedades lineales paralelas de igual dimensión.
Como dim V = dim W , y además V ⊆ W ó W ⊆ V , 2.2.7.1 afirma que V = W : dos
subvariedades lineales paralelas de igual dimensión tienen la misma dirección.
3. Con las notaciones del corolario anterior, tenemos que
v1 , . . . , vm son linealmente independientes ⇔ rg A = m .
v1 , . . . , vm generan E
⇔ rg A = dim E .
4. Dados n vectores v1 = (a11 , . . . , an1 ), . . . , vn = (a1n , . . . , ann ) en K n , la condición
necesaria y suficiente para que formen una base de K n es que el determinante de la
matriz A = (aij ) no sea nulo.
Teorema de Rouché-Frobënius (1832-1910, 1849-1917): Un sistema de ecuaciones lineales AX = B es compatible si y sólo si rgA = rg(A|B) .
Demostración: Sean A1 , . . . , An las columnas de A, de modo que el sistema AX = B puede
escribirse x1 A1 + . . . + xn An = B, y la condición de que sea compatible significa que en K m
tenemos que B ∈ ⟨A1 , . . . , An ⟩; es decir, que ⟨A1 , . . . , An ⟩ = ⟨A1 , . . . , An , B⟩. Ahora bien, el
teorema 2.2.7.1 afirma que
⟨A1 , . . . , An ⟩ = ⟨A1 , . . . , An , B⟩ ⇔ dim⟨A1 , . . . , An ⟩ = dim⟨A1 , . . . , An , B⟩
y, de acuerdo con 2.2.8, esta última condición significa que rg A = rg (A|B) .
2.3.
Suma Directa
Definición: Diremos que la suma V1 + . . . + Vr de unos subespacios vectoriales V1 , . . . , Vr
de un espacio vectorial E es directa si cada vector e ∈ V1 + . . . + Vr descompone de modo
único en la forma e = v1 + . . . + vr , donde vi ∈ Vi ; es decir, si la aplicación
s : V1 × . . . × Vr −→ V1 + . . . + Vr
,
s(v1 , . . . , vr ) = v1 + . . . + vr ,
(que siempre es epiyectiva, por definición de suma de subespacios vectoriales) también es
inyectiva. En tal caso, el subespacio vectorial V1 + . . . + Vr se denota V1 ⊕ . . . ⊕ Vr .
Teorema 2.3.1 La condición necesaria y suficiente para que la suma de dos subespacios
vectoriales V y W de un espacio vectorial E sea directa es que V ∩ W = 0.
16
CAPÍTULO 2. ESPACIOS VECTORIALES
Demostración: Si la suma de V y W es directa y e ∈ V ∩ W , entonces
0 = 0 + 0 = e + (−e) ,
donde 0, e ∈ V y 0, −e ∈ W . La unicidad de la descomposición del vector 0 en suma de un
vector de V y otro de W implica que e = 0. Luego V ∩ W = 0.
Recı́procamente, si V ∩ W = 0 y un vector e ∈ V + W admite dos descomposiciones
e = v + w = v ′ + w′
;
v, v ′ ∈ V, w, w′ ∈ W
entonces v ′ − v = w − w′ ∈ W . Como v ′ − v ∈ V , se sigue que v ′ − v ∈ V ∩ W = 0. Luego
0 = v ′ − v = w − w′ , y concluimos que v = v ′ y w = w′ . Es decir, tal descomposición es
única, ası́ que la suma de V y W es directa.
Definición: Diremos que dos subespacios vectoriales V y W de un espacio vectorial E son
suplementarios (o que W es un suplementario de V en E, o que V es un suplementario de
W en E) cuando E = V ⊕ W ; i.e., cuando cada vector de E descompone, y de modo único,
en suma de un vector de V y otro de W ; es decir, cuando V + W = E y V ∩ W = 0.
Ejemplos:
1. Si e1 , . . . , en es una base de un espacio vectorial E, entonces cada vector e ∈ E descompone de modo único como combinación lineal e = λ1 e1 + . . . + λn en ; luego
E = Ke1 ⊕ . . . ⊕ Ken
y vemos ası́ que un suplementario de V = Ke1 ⊕ . . . ⊕ Ker en E es el subespacio
vectorial W = Ker+1 ⊕ . . . ⊕ +Ken .
2. Para hallar un suplementario de un subespacio vectorial V de E basta ampliar una
base v1 , . . . , vr de V hasta obtener una base v1 , . . . , vr , w1 , . . . , ws de E, porque en tal
caso W = Kw1 + . . . + Kws es un suplementario de V en E.
3. Sean p + V y q + W dos subvariedades lineales de un espacio vectorial E. Dar un punto
de corte es dar vectores v ∈ V , w ∈ W tales que p + v = q + w; es decir, q − p = v − w.
Por tanto, la condición necesaria y suficiente para que se corten es que q − p ∈ V + W ,
y el punto de corte es único cuando la suma V ⊕ W es directa.
Capı́tulo 3
Aplicaciones Lineales
3.1.
Aplicaciones Lineales
Definición: Diremos que una aplicación f : E → E ′ entre dos K-espacios vectoriales es
K-lineal, (o simplemente lineal, si K se sobrentiende) cuando
f (e + v) = f (e) + f (v) para todo e, v ∈ E
f (λ · e) = λ · f (e) para todo λ ∈ K, e ∈ E
Toda aplicación lineal f : E → E ′ verifica que f (0) = 0, que f (−e) = −f (e), y también
que f (λ1 e1 + . . . + λn en ) = λ1 f (e1 ) + . . . + λn f (en ).
(
)
En efecto, f (0) = f (0 · 0) = 0 · f (0) = 0, f (−e) = f (−1)e = (−1)f (e) = −f (e) y
f (λ1 e1 + . . . + λn en ) = f (λ1 e1 ) + . . . + f (λn en ) = λ1 f (e1 ) + . . . + λn f (en ).
′
′
′′
Proposición 3.1.1 Si dos aplicaciones f (: E →
) E y h : E → E son K-lineales, entonces
su composición hf : E → E ′′ , (hf )(e) = h f (e) , también es K-lineal.
Demostración: Para todo λ ∈ K y todo e, v ∈ E tenemos que
(
)
(
)
(hf )(e + v) = h f (e + v) = h f (e) + f (v) = h(f (e)) + h(f (v)) = (hf )(e) + (hf )(v)
(
)
(
)
(hf )(λe) = h f (λe) = h λ · f (e) = λ · h(f (e)) = λ · (hf )(e)
Proposición 3.1.2 Si f : E → E ′ es una aplicación lineal, entonces su núcleo Ker f =
f −1 (0) := {e ∈ E : f (e) = 0} es un subespacio vectorial de E, y su imagen Im f = f (E) :=
{f (e); e ∈ E} es un subespacio vectorial de E ′ .
Demostración: Veamos que Ker f es un subespacio vectorial de E. Tenemos que 0 ∈ Ker f
porque f (0) = 0. Ahora, si e1 , e2 ∈ Ker f , por definición f (e1 ) = f (e2 ) = 0, ası́ que
f (e1 + e2 ) = f (e1 ) + f (e2 ) = 0
f (λe1 ) = λf (e1 ) = 0
Luego e1 + e2 ∈ Ker f y λe1 ∈ Ker f , ası́ que Ker f es un subespacio vectorial de E.
Veamos que Im f es un subespacio vectorial de E ′ :
Tenemos que 0 ∈ Im f porque 0 = f (0). Ahora, si e′1 , e′2 ∈ Im f , por definición existen
vectores e1 , e2 ∈ E tales que e′1 = f (e1 ) y e′2 = f (e2 ), ası́ que
e′1 + e′2 = f (e1 ) + f (e2 ) = f (e1 + e2 ) ∈ Im f
λe′1 = λf (e1 ) = f (λe1 ) ∈ Im f
y concluimos que Im f es un subespacio vectorial de E ′ .
17
18
CAPÍTULO 3. APLICACIONES LINEALES
Proposición 3.1.3 Una aplicación lineal f : E → E ′ es inyectiva si y sólo si Ker f = 0.
Demostración: Si f es inyectiva y e ∈ Ker f , entonces f (e) = 0 = f (0); luego e = 0.
Recı́procamente, supongamos que Ker f = 0. Si f (e) = f (v), donde e, v ∈ E, entonces
f (v − e) = f (v) − f (e) = 0; luego v − e ∈ Ker f = 0 y por tanto e = v; i.e., f es inyectiva.
Ejemplos:
1. Una aplicación lineal f : E → E ′ es epiyectiva si y sólo si Im f = E ′ .
2. Sea V un subespacio vectorial de un espacio vectorial E. La inclusión i : V → E,
i(v) = v, es una aplicación lineal inyectiva y su imagen es Im i = V .
La proyección canónica π : E → E/V , π(e) = [e], es una aplicación lineal epiyectiva y
su núcleo es Ker π = V de acuerdo con 2.1 (v. página 11).
3. Cada matriz A ∈ Mm×n (K) define una aplicación lineal f : K n → K m , f (X) = AX,
cuyo núcleo Ker f está formado por todas las soluciones de la ecuación homogénea
AX = 0. Por otra parte, la condición B ∈ Im f significa que el sistema de m ecuaciones
lineales con n incógnitas AX = B es compatible.
4. Cada familia {e1 , . . . , en } de vectores de un K-espacio vectorial E define una aplicación
f : K n −→ E
,
f (λ1 , . . . , λn ) = λ1 e1 + . . . + λn en ,
que siempre es K-lineal. La imagen de esta aplicación lineal es Im f = Ke1 +. . .+Ken ,
ası́ que f es epiyectiva cuando e1 , . . . , en generan E.
Además la condición de que e1 , . . . , en sean linealmente independientes significa que
Ker f = 0, de modo que en tal caso la aplicación lineal f es inyectiva. Por tanto,
cuando e1 , . . . , en forman una base de E, esta aplicación lineal f es biyectiva.
Matriz de una Aplicación Lineal
Definición: Sea f : E → E ′ una aplicación lineal entre dos espacios vectoriales de dimensión
finita. Si fijamos una base e1 , . . . , en de E y una base e′1 , . . . , e′m de E ′ , tendremos que
f (ej ) = a1j e′1 + . . . + amj e′m
,
1≤j≤n
(3.1)
para ciertos escalares aij ∈ K, y diremos que A = (aij ) es la matriz de la aplicación
lineal f en las bases e1 , . . . , en de E y e′1 , . . . , e′m de E ′ . Por definición, la columna j-ésima
de la matriz A está formada por las coordenadas del vector f (ej ) en la base e′1 , . . . , e′m de
E′.
Ahora, para cada vector e = x1 e1 + . . . + xn en ∈ E tendremos que su imagen f (e) es
f (e) =
n
∑
j=1
xj f (ej ) =
n ∑
m
∑
j=1 i=1
xj aij e′i =
m (∑
n
∑
i=1 j=1
)
aij xj e′i .
Es decir, si X denota las coordenadas del vector e en la base e1 , . . . , en , puestas en columna, entonces las coordenadas X ′ de f (e) en la base e′1 , . . . , e′m se obtienen multiplicando
X por la matriz A de f en las bases consideradas:
X ′ = AX
Proposición 3.1.4 Si A es la matriz de una aplicación lineal f : E → E ′ , entonces
dim (Im f ) = rg A
(3.2)
3.2. TEOREMA DE ISOMORFÍA
19
∑
∑
Demostración: Sea e1 , . . . , en una base de E. Como f ( i λi ei ) = i λi f (ei ), la imagen de
f está generada por los vectores f (e1 ), . . . , f (en ):
Im f = ⟨f (e1 ), . . . , f (en )⟩ ,
y tenemos que dim ⟨f (e1 ), . . . , f (en )⟩ = rg A de acuerdo con 2.2.8 y 3.1.
3.2.
Teorema de Isomorfı́a
Definición: Diremos que una aplicación K-lineal f : E → E ′ es un isomorfismo cuando
es biyectiva, y en tal caso la aplicación inversa f −1 : E ′ → E también es K-lineal (y por
supuesto biyectiva, ası́ que f −1 también es un isomorfismo).
En efecto, si e′ , v ′ ∈ E ′ , entonces e′ = f (e) y v ′ = f (v), donde e, v ∈ E, de modo que
(
)
(
)
f −1 (e′ + v ′ ) = f −1 f (e) + f (v) = f −1 f (e + v) = e + v = f −1 (e′ ) + f −1 (v ′ )
(
)
(
)
f −1 (λe′ ) = f −1 λf (e) = f −1 f (λe) = λe = λ · f −1 (e′ ) .
Diremos que dos K-espacios vectoriales E y E ′ son isomorfos si existe algún isomorfismo
K-lineal f : E → E ′ , en cuyo caso pondremos E ≃ E ′ .
Ejemplos:
1. Si una matriz A ∈ Mn×n (K) es invertible, la aplicación que induce f : K n → K n ,
f (X) = AX, es un isomorfismo, y el isomorfismo inverso f −1 : K n → K n es precisamente el que define la matriz inversa A−1 ; es decir, f −1 (X) = A−1 X.
2. Si V1 , . . . , Vn son subespacios vectoriales de un espacio vectorial E, la aplicación
s : V1 × . . . × Vn → V1 + . . . + Vn
,
s(v1 , . . . , vn ) = v1 + . . . + vn ,
es lineal y epiyectiva. Además esta aplicación lineal s es inyectiva precisamente cuando
la suma es directa, de modo que en tal caso V1 × . . . × Vn ≃ V1 ⊕ . . . ⊕ Vn .
3. Si e1 , . . . , en es una base de un K-espacio vectorial E, entonces la aplicación lineal
f : K n −→ E
,
f (x1 , . . . , xn ) = x1 e1 + . . . + xn en ,
es un isomorfismo. El isomorfismo inverso f −1 : E → K n asigna a cada vector e ∈ E
sus coordenadas (x1 , . . . , xn ) en la base e1 , . . . , en . Por tanto, todo espacio vectorial
de dimensión n es isomorfo a K n .
4. Los isomorfismos transforman vectores linealmente independientes en vectores linealmente independientes, y sistemas de generadores en sistemas de generadores (compruébese); luego bases en bases. Por tanto, si E ≃ E ′ , entonces dim E = dim E ′ .
Teorema de Isomorfı́a: Si f : E → E ′ es una aplicación lineal, entonces la aplicación
lineal ϕ : E/Ker f → Im f , ϕ(ē) = f (e), es un isomorfismo:
E/Ker f ≃ Im f
Demostración: Veamos primero que ϕ es una aplicación bien definida, que ϕ(ē) no depende
del representante elegido, que si ē = v̄, entonces f (e) = f (v). Ahora bien, si ē = v̄, entonces
e ≡ v (módulo Ker f ); luego v − e ∈ Ker f , 0 = f (v − e) = f (v) − f (e) y f (e) = f (v).
20
CAPÍTULO 3. APLICACIONES LINEALES
Veamos ahora que tal aplicación ϕ es lineal:
ϕ(ē + v̄) = ϕ([e + v]) = f (e + v) = f (e) + f (v) = ϕ(ē) + ϕ(v̄)
ϕ(λē) = ϕ([λe]) = f (λe) = λf (e) = λϕ(ē) .
ϕ es inyectiva: Si 0 = ϕ(ē) = f (e), entonces e ∈ Ker f , luego ē = 0 por 2.1.
ϕ es epiyectiva: Si e′ ∈ Im f , entonces existe e ∈ E tal que e′ = f (e) = ϕ(ē).
Corolario 3.2.1 Para toda aplicación lineal f : E → E ′ tenemos que
dim (Ker f ) + dim (Im f ) = dim E
2.2.7
Demostración: dim (Im f ) = dim (E/Ker f ) = dim E − dim (Ker f ) .
Corolario 3.2.2 Si A es la matriz de una aplicación lineal f : E → E ′ , entonces
dim (Ker f ) = (no de columnas) − rg A
3.2.1
3.1.4
Demostración: dim (Ker f ) = dim E − dim (Im f ) = dim E − rg A.
Corolario 3.2.3 Las soluciones de un sistema homogéneo AX = 0 de m ecuaciones lineales
con n incógnitas y coeficientes en K forman un subespacio vectorial de K n de dimensión
n − rg A; y las soluciones de un sistema no homogéneo compatible AX = B forman una
subvariedad lineal de K n de dirección AX = 0 y dimensión n − rg A.
Demostración: Sea V = {X ∈ K n : AX = 0} el conjunto de soluciones del sistema homogéneo AX = 0. La matriz A ∈ Mm×n (K) define una aplicación lineal f : K n → K m ,
f (X) = AX, y V es precisamente el núcleo de f . La matriz de f en las bases usuales de K n
y K m (ver 2.2.1) es A, ası́ que 3.2.2 afirma que la dimensión de V es n − rg A.
Por último, si un sistema AX = B es compatible, las soluciones se obtienen sumando a
una solución particular X0 las soluciones de la ecuación homogénea AX = 0; luego forman
la subvariedad lineal X0 + V y, por tanto, su dimensión también es n − rg A.
Definición: Fijada una base de un espacio vectorial de dimensión finita E, dar ecuaciones
paramétricas de un subespacio vectorial V de E es dar las coordenadas de un sistema de
generadores de V (mejor si forman una base de V ), y dar ecuaciones implı́citas de V es dar
un sistema homogéneo de ecuaciones lineales (mejor si son independientes) cuyas soluciones
sean las coordenadas de los vectores de V .
Dar ecuaciones paramétricas de una subvariedad lineal X de E es dar las coordenadas
de un punto de X y de un sistema de generadores de la dirección de X, y dar ecuaciones implı́citas de X es dar un sistema de ecuaciones lineales cuyas soluciones sean las
coordenadas de los puntos de X.
Ejemplo: Fijada una base (e1 , . . . , en ) de un espacio vectorial E, las ecuaciones paramétricas
e implı́citas del subespacio vectorial nulo son


x1 = 0λ1 
x1 = 0 
......
......
,


xn = 0λn
xn = 0
mientras que las ecuaciones paramétricas de E que da la base fijada son

x1 = λ1 
......

xn = λn
3.2. TEOREMA DE ISOMORFÍA
21
y la ecuación implı́cita de E es 0x1 + . . . + 0xn = 0.
Ejemplo: Fijada una base (e1 , e2 , e3 , e4 ) de un espacio vectorial E de dimensión 4, consideremos la subvariedad lineal X de ecuaciones paramétricas

 
 
   
4
1
x1 = λ1 + 4λ2 + 2 
x1
2


3
2
x2  1
x2 = 2λ1 + 3λ2 + 1







,   =   + λ1   + λ2  
2
3
x3 = 3λ1 + 2λ2 + 1 
x3
1


1
4
x4 = 4λ1 + λ2 + 3
3
x4
cuya dirección V admite como base los vectores de coordenadas (1, 2, 3, 4) y (4, 3, 2, 1), de
modo que dim V = 2. Hallemos primero ecuaciones implı́citas de la dirección V .
Si (x1 , x2 , x3 , x4 ) son las coordenadas de un vector de V , entonces


1 4 x1
2 3 x2 

2 = rg 
3 2 x3 
4 1 x4
1 4 x1 0 = 2 3 x2 = −5x1 + 10x2 − 5x3
3 2 x3 1 4 x1 0 = 2 3 x2 = −10x1 + 15x2 − 5x4
4 1 x4 Vemos ası́ que las coordenadas de los vectores de V son soluciones del sistema de ecuaciones
lineales homogéneo
}
x1 − 2x2 + x3 = 0
(3.3)
2x1 − 3x2 + x4 = 0
Como ambos subespacios vectoriales de K 4 tienen dimensión 2, coinciden, de modo que unas
ecuaciones implı́citas de V vienen dadas por 3.3. Ahora, como la subvariedad lineal X pasa
por el punto de coordenadas (2, 1, 1, 3), unas ecuaciones implı́citas de X son
}
x1 − 2x2 + x3 = 1
2x1 − 3x2 + x4 = 4
Teorema 3.2.4 Si V y W son dos subespacios vectoriales de un espacio vectorial de dimensión finita E, entonces
dim (V + W ) = dim V + dim W − dim (V ∩ W )
Demostración: Consideremos la aplicación lineal f : V → (V + W )/W , f (v) = [v], que es
epiyectiva, pues para toda clase [v + w] ∈ (V + W )/W tenemos que
[v + w] = [v] + [w] = [v] + 0 = f (v) ,
y su núcleo es Ker f = {v ∈ V : [v] = 0} = V ∩ W . Terminamos por 2.2.7 y 3.2.1:
dim V = dim (V ∩ W ) + dim (V + W )/W = dim (V ∩ W ) + dim (V + W ) − dim W .
Corolario 3.2.5 Sean V y W dos subespacios vectoriales de un espacio vectorial de dimensión finita E. Si la suma de V y W es directa, entonces
dim (V ⊕ W ) = dim V + dim W
22
CAPÍTULO 3. APLICACIONES LINEALES
Demostración: De acuerdo con 2.3.1 tenemos que V ∩ W = 0, ası́ que
dim (V + W ) = dim V + dim W − dim (V ∩ W ) = dim V + dim W .
Corolario 3.2.6 Si E y F son dos K-espacios vectoriales de dimensión finita,
dim (E × F ) = dim E + dim F .
Demostración: La aplicación lineal p : E × F → E, p(e, v) = e, es epiyectiva, y su núcleo
0 × F es claramente isomorfo a F ; luego
dim (E × F ) = dim E + dim (0 × F ) = dim E + dim F .
3.3.
Cambio de Base
Definición: Sea e1 , . . . , en una base de un espacio vectorial E. Si consideramos una nueva
base v1 , . . . , vn de E, tendremos escalares bij ∈ K tales que
vj = b1j e1 + . . . + bnj en
,
1≤j≤n
(3.4)
y diremos que B = (bij ) ∈ Mn×n (K) es la matriz de cambio de base.
Las columnas de la matriz de cambio de base B están formadas por las coordenadas
de los vectores de la nueva base en la antigua. Es decir, B es la matriz de la identidad
Id : E → E cuando en el espacio de salida se considera la nueva base v1 , . . . , vn y en el de
llegada la base antigua e1 , . . . , en .
Por tanto, de acuerdo con 3.2, si X̄ son las coordenadas de un vector e ∈ E en la nueva
base, y X son las coordenadas de Id(e) = e en la base antigua, tendremos que X = B X̄.
Por otra parte, también tenemos una matriz de cambio de base C ∈ Mn×n (K) cuando
se considera que v1 , . . . , vn es la base inicial de E y que e1 , . . . , en es la nueva base, de
modo que X̄ = CX. Luego X = BCX y X̄ = CB X̄, y como estas igualdades son válidas
para cualesquiera columnas X, X̄, se concluye que BC = CB = I. Es decir, la matriz B es
invertible, y su inversa es la matriz C. En resumen, la relación entre las coordenadas X y
X̄ de un mismo vector e ∈ E en las bases e1 , . . . , en y v1 , . . . , vn respectivamente es
X = B X̄
X̄ = B −1 X
,
(3.5)
Aplicaciones Lineales
Sea f : E → E ′ una aplicación lineal y sea A ∈ Mm×n (K) la matriz de f en ciertas bases
e1 , . . . , en y e′1 , . . . , e′m de E y E ′ respectivamente.
′
Consideremos nuevas bases v1 , . . . , vn y v1′ , . . . , vm
de E y E ′ respectivamente, las correspondientes matrices de cambio de base B ∈ Mn×n (K) y C ∈ Mm×m (K), y sea Ā ∈
Mm×n (K) la matriz de f en estas nuevas bases de E y E ′ . Vamos a determinar la nueva
matriz Ā de f en términos de la matriz A y las matrices de cambio de base B y C
Sean X y X̄ las coordenadas de un vector e ∈ E en las bases e1 , . . . , en y v1 , . . . , vn
respectivamente, y sean X ′ e X̄ ′ las coordenadas de f (e) ∈ E ′ en las bases e′1 , . . . , e′m y
′
v1′ , . . . , vm
respectivamente. De acuerdo con 3.2 tendremos que
X ′ = AX
,
X̄ ′ = ĀX̄
y de acuerdo con 3.5 tendremos que X̄ = B −1 X , X ′ = C X̄ ′ ; luego
AX = X ′ = C X̄ ′ = C ĀX̄ = C ĀB −1 X .
Como esta igualdad es válida para cualquier columna X, concluimos que
A = C ĀB −1
,
Ā = C −1 AB
(3.6)
Capı́tulo 4
Geometrı́a Euclı́dea
4.1.
Producto Escalar
Definición: Dar un producto escalar en un espacio vectorial real E es asignar a cada par
de vectores e, v ∈ E un número real, que denotaremos e · v (ó < e | v >), de modo que se
verifiquen las siguientes condiciones:
1. Bilineal : (e + e′ ) · v = e · v + e′ · v , (λe) · v = λ(e · v),
e · (v + v ′ ) = e · v + e · v ′ , e · (λv) = λ(e · v).
2. Simétrico: e · v = v · e.
3. Definido-positivo: e · e ≥ 0 , y sólo se da la igualdad cuando e = 0.
Fijado un producto escalar
en un espacio vectorial real E, se llama módulo de un vector
√
e ∈ E al número real +√ e · e (que es positivo cuando e ̸= 0) y se denota |e|, ó ∥e∥.
Nótese que ∥λe∥ = λ2 e · e = |λ| · ∥e∥.
La distancia entre dos puntos p, q ∈ E es el módulo de su diferencia: d(p, q) := ∥q − p∥.
Ejemplos:
1. En la geometrı́a euclı́dea, los vectores con origen en un punto prefijado O forman un
espacio vectorial real de dimensión 3. Fijada una unidad de longitud, el módulo de un
vector es la longitud del segmento, y el producto escalar de dos vectores no nulos es
el producto de sus módulos por el coseno del ángulo que forman. Éste es el ejemplo
paradigmático de producto escalar, que motiva los nombres que introduciremos.
2. El producto escalar usual en Rn es
(x1 , . . . , xn ) · (y1 , . . . , yn ) :=
n
∑
xi yi = x1 y1 + . . . + xn yn .
i=1
3. Un producto escalar en C es < z1 | z2 > := z1 z̄2 + z̄1 z2 .
4. Un producto escalar en Mn×n (R) es∑< A | B > := tr At B. Es definido-positivo porque,
si A = (aij ), entonces < A | A > = ij a2ij .
5. En el espacio vectorial de todas las funciones reales continuas sobre un intervalo dado
[a, b], un producto escalar es
∫
< f | g > :=
f (t)g(t) dt
a
23
b
24
CAPÍTULO 4. GEOMETRÍA EUCLÍDEA
Lema 4.1.1 Para todo par de vectores e, v ∈ E se tiene la desigualdad de Cauchy-Schwarz
|e · v| ≤ ∥e∥ · ∥v∥ ; y por tanto la desigualdad triangular: ∥e + v∥ ≤ ∥e∥ + ∥v∥ .
Demostración: El polinomio p(t) = (te + v) · (te + v) = (e · e)t2 + 2(e · v)t + v · v es de grado
2 (salvo cuando e = 0, caso en que la desigualdad es obvia) y no toma valores negativos,
porque el producto escalar es definido-positivo, ası́ que no puede tener dos raı́ces reales
distintas (es decir, su discriminante no puede ser positivo):
4(e · v)2 − 4(e · e)(v · v) ≤ 0 ;
luego (e · v)2 ≤ (e · e)(v · v), y tomando raı́z cuadrada vemos que |e · v| ≤ ∥e∥ · ∥v∥.
En cuanto a la desigualdad triangular, como |e · v| ≤ ∥e∥ · ∥v∥, tenemos que
∥e + v∥2 = (e + v) · (e + v) = e · e + v · v + 2(e · v) ≤ e · e + v · v + 2|e · v| ≤
≤ ∥e∥2 + ∥v∥2 + 2∥e∥ · ∥v∥ = (∥e∥ + ∥v∥)2
y tomando raı́z cuadrada se concluye que ∥e + v∥ ≤ ∥e∥ + ∥v∥.
e·v
Definición: Si e, v ̸= 0, de acuerdo con el lema anterior, tenemos que −1 ≤ ∥e∥·∥v∥
≤ 1, y
diremos que el coseno del ángulo α que forman dos vectores no nulos e y v es
cos α :=
e·v
∥e∥ · ∥v∥
(de modo que el ángulo α que forman e y v está bien definido salvo un signo). El ángulo que
forman 3 puntos distintos abc es el ángulo que forman los vectores a − b y c − b. Diremos
que dos vectores e, v ∈ E son ortogonales cuando e · v = 0; es decir, cuando cos α = 0.
Cuando λµ > 0, el ángulo que forman e y v coincide con el que forman λe y µv, porque
(λe) · (µv)
λµ(e · v)
e·v
=
=
·
∥λe∥ · ∥µv∥
|λµ| · ∥e∥ · ∥v∥
∥e∥ · ∥v∥
Ejemplos:
1. Si en un triángulo abc consideramos los vectores e = b − a y v = c − a, de modo que
c − b = v − e, de la igualdad
∥v − e∥2 = (v − e) · (v − e) = ∥v∥2 + ∥e∥2 − 2(e · v)
se sigue tanto el Teorema de Pitágoras (s. VI a. de C.) como su recı́proco:
c
e · v = 0 ⇔ ∥v − e∥2 = ∥e∥2 + ∥v∥2
v−e
v
α
a
b
e
α = π/2 ⇔ ∥c − a∥2 = ∥b − a∥2 + ∥c − b∥2
2. Vamos a demostrar el Teorema de Tales (s. VI a. de C.): Si en un triángulo se traza
una recta paralela a un lado, corta a los otros dos lados en segmentos proporcionales.
Como los vectores e y v son linealmente independientes,
v
βv − αe = λ(v − e), α = λ = β
∥βv∥
∥v∥
=
∥αe∥
∥e∥
βv
αe
e
∥αe∥
∥βv − αe∥
∥βv∥
=
=
∥v∥
∥e∥
∥v − e∥
4.1. PRODUCTO ESCALAR
25
3. Si h es el punto de corte de las alturas de un triángulo abc (rectas que pasan por un
vértice y son perpendiculares al lado opuesto) trazadas por c y a, tenemos que
(b − a) · (h − c) = 0
(c − b) · (h − a) = 0
(4.1)
(4.2)
y sumando obtenemos que (c − a) · (h − b) = 0, de modo que la altura trazada por el
tercer vértice b pasa también por h: Las tres alturas de un triángulo se cortan en un
punto h, llamado ortocentro.
4. Si f es el punto de corte de las mediatrices (rectas perpendiculares a los lados por
el punto medio) de los lados ab y bc, tendremos que
0 = 2(b − a) · (f −
0 = 2(c − b) · (f −
a+b
2 )
b+c
2 )
= (b − a) · 2f + a · a − b · b
(4.3)
= (c − b) · 2f + b · b − c · c
(4.4)
y sumando obtenemos que 0 = (c − a) · 2f + a · a − c · c = 2(c − a) · (f − a+c
2 ), de modo
que la mediatriz del lado ab también pasa por f : las tres mediatrices se cortan en un
punto f , llamado circuncentro.
5. Sumando ahora 4.1 con 4.3, y 4.2 con 4.4, y recordando que el baricentro es g =
obtenemos también que
a+b+c
,
3
(b − a) · (h + 2f − 3g) = 0
(c − b) · (h + 2f − 3g) = 0
Como los vectores b − a, c − b son linealmente independientes, porque los puntos a, b, c
no están alineados, se sigue que h + 2f − 3g = 0; es decir,
g=
h 2f
2
+
= h + (f − h)
3
3
3
de modo que el baricentro está en el segmento que determinan el ortocentro y el
circuncentro, y a doble distancia del primero que del segundo. La recta que pasa por
estos tres puntos recibe el nombre de recta de Euler (1707-1783).
6. Consideremos un cuadrilátero (la figura formada por cuatro puntos ordenados abcd
en los que no hay 3 alineados) y pongamos e = b−a, v = c−a. La condición de que sea
un paralelogramo (los lados opuestos son paralelos) es que c − d = λe y c − b = µv
para ciertos escalares λ, µ; luego c − a = e + µv = λe + v.
d
c
λe
v
a
µv
e
b
Como los vectores e, v son linealmente independientes, porque los puntos cab no están
alineados, se sigue que λ = µ = 1, de modo que los lados opuestos son iguales, d − c =
b − a y d − b = c − a, y las dos diagonales se bisecan mutuamente:
b+c
a+b+c+d
a+d
=
=
.
2
2
4
26
CAPÍTULO 4. GEOMETRÍA EUCLÍDEA
4.2.
Espacios Vectoriales Euclı́deos
Definición: Llamaremos espacio vectorial euclı́deo, en honor de Euclides (325?-265? a.
de C.), a todo espacio vectorial real E de dimensión finita dotado de un producto escalar, y
diremos que el ortogonal de un subespacio vectorial V de E es:
V ⊥ := {e ∈ E : e · v = 0 para todo vector v ∈ V } .
Teorema 4.2.1 Si V es un subespacio vectorial de un espacio vectorial euclı́deo E, su
ortogonal es un subespacio vectorial de E de dimensión:
dim V ⊥ = dim E − dim V
Demostración: Sea v1 , . . . , vd una base de V , y consideremos la aplicación lineal
f : E −→ Rd
,
f (e) = (e · v1 , . . . , e · vd ) .
Su núcleo es
Ker f = {e ∈ E : e · v1 = 0, . . . , e · vd = 0} = (Rv1 + . . . + Rvd )⊥ = V ⊥ ,
porque si un vector e ∈ E es ortogonal a ciertos vectores, e · v1 = . . . = e · vd = 0, entonces
también es ortogonal a todas sus combinaciones lineales,
e · (λ1 v1 + . . . + λd vd ) = λ1 (e · v1 ) + . . . + λr (e · vd ) = 0 ,
de modo que e ∈ (Rv1 + . . . + Rvd )⊥ . Luego V ⊥ es un subespacio vectorial de E y
dim E = dim V ⊥ + dim (Im f ) ≤ dim V ⊥ + d = dim V ⊥ + dim V,
3.2.1
(4.5)
donde la desigualdad se debe a que la imagen de f es un subespacio vectorial de Rd .
Por otra parte, si v ∈ V ⊥ ∩ V , entonces v · v = 0; luego v = 0, porque el producto escalar
es definido-positivo, y vemos que V ⊥ ∩ V = 0 . Por tanto
dim V ⊥ + dim V = dim (V ⊥ + V ) ≤ dim E
3.2.4
(4.6)
y comparando con 4.5 concluimos que dim V ⊥ + dim V = dim E.
Corolario 4.2.2 Si V es un subespacio vectorial de un espacio vectorial euclı́deo E, tenemos
que E = V ⊥ ⊕ V y que (V ⊥ )⊥ = V .
Demostración: Como V ⊥ ∩ V = 0, la suma de V y V ⊥ es directa por 2.3.1 y, de acuerdo con
3.2.5, su dimensión es dim (V ⊥ ⊕ V ) = dim V ⊥ + dim V = dim E, ası́ que 2.2.7.1 permite
concluir que V ⊥ ⊕ V = E.
Por otra parte, V ⊆ (V ⊥ )⊥ por definición de V ⊥ , y de acuerdo con 4.2.2
dim (V ⊥ )⊥ = dim E − dim (V ⊥ ) = dim E − (dim E − dim V ) = dim V ,
ası́ que de nuevo 2.2.7.1 permite concluir que (V ⊥ )⊥ = V .
Corolario 4.2.3 Si V y W son subespacios vectoriales de un espacio vectorial euclı́deo E:
1. V ⊆ W ⇔ W ⊥ ⊆ V ⊥
2. V = W ⇔ V ⊥ = W ⊥
3. (V + W )⊥ = V ⊥ ∩ W ⊥
4. (V ∩ W )⊥ = V ⊥ + W ⊥
4.3. BASES ORTONORMALES
27
Demostración: Si V ⊆ W , es claro que W ⊥ ⊆ V ⊥ . Recı́procamente, si W ⊥ ⊆ V ⊥ ,
entonces (V ⊥ )⊥ ⊆ (W ⊥ )⊥ ; luego V ⊆ W de acuerdo con 4.2.2.
2.– Si V ⊥ = W ⊥ , entonces (V ⊥ )⊥ = (W ⊥ )⊥ ; luego V = W de acuerdo con 4.2.2.
3.– Como V ⊆ V + W y W ⊆ V + W , tenemos que (V + W )⊥ ⊆ V ⊥ y (V + W )⊥ ⊆ W ⊥ ;
luego (V + W )⊥ ⊆ V ⊥ ∩ W ⊥ .
Además, si e ∈ V ⊥ ∩ W ⊥ , para todo vector v + w ∈ V + W tendremos que
e · (v + w) = e · v + e · w = 0 .
Luego V ⊥ ∩ W ⊥ ⊆ (V + W )⊥ y concluimos que (V + W )⊥ = V ⊥ ∩ W ⊥ .
4.– De acuerdo con el segundo apartado, para demostrar que (V ∩ W )⊥ = V ⊥ + W ⊥
basta ver que sus ortogonales coinciden:
( ⊥
)⊥ 3
)⊥
4.2.2
4.2.2 (
V + W ⊥ = (V ⊥ )⊥ ∩ (W ⊥ )⊥ = V ∩ W = (V ∩ W )⊥
.
Ejemplos:
1. Se llama distancia de un punto p a una subvariedad lineal X al ı́nfimo de las distancias
de p a los puntos de X:
d(p, X) := ı́nf d(p, x) .
x∈X
Existe un único punto q ∈ X tal que p − q es ortogonal a la dirección de X. Además,
la distancia de p a X se alcanza en tal punto: d(p, q) = d(p, X).
En efecto, si X = x + V , según 4.2.2 tendremos p − x = v + w donde v ∈ V y w ∈ V ⊥ ,
y esta descomposición es única. Es decir, q = x + v es el único punto de X tal que
p − q ∈ V ⊥ . Además, para cualquier otro punto x′ ∈ X, por el teorema de Pitágoras
tendremos d(p, x′ )2 = d(p, q)2 + d(q, x′ )2 , ası́ que d(p, q) < d(p, x′ ) cuando x′ ̸= q.
2. Si V es un subespacio vectorial de un espacio vectorial euclı́deo E, de acuerdo con
4.2.2 tenemos que E = V ⊥ ⊕ V . La aplicación lineal sV : E → E que es la identidad
en V y transforma cada vector de V ⊥ en su opuesto se llama simetrı́a respecto de
V , y la aplicación lineal pV : E → V que es la identidad en V y se anula en todos los
vectores de V ⊥ se llama proyección ortogonal sobre V .
Es decir, cada vector e ∈ E descompone de modo único en suma, e = v + w, de un
vector v ∈ V y otro w ∈ V ⊥ , y por definición sV (e) = v − w , pV (v + w) = v .
3. Se dice que dos subvariedades lineales X = p + V , Y = q + W de un espacio vectorial
euclı́deo E son perpendiculares cuando V y W ⊥ son incidentes (i.e., cuando V ⊆ W ⊥
ó W ⊥ ⊆ V ), lo que, en virtud de 4.2.3, equivale a que W y V ⊥ sean incidentes.
Cuando V ⊆ W ⊥ , tenemos que V ∩ W ⊆ W ⊥ ∩ W = 0; luego V ∩ W = 0.
Cuando W ⊥ ⊆ V , tenemos que E = W ⊥ + W ⊆ V + W ; luego V + W = E.
4.3.
Bases Ortonormales
Definición: Diremos que una base e1 , . . . , en de un espacio vectorial euclı́deo E es ortonormal cuando todos los vectores de la base son de módulo 1 y mutuamente ortogonales:
{
1 cuando i = j
ei · ej =
0 cuando i ̸= j
Por definición, en una base ortonormal el producto escalar de dos vectores e, v ∈ E de
coordenadas (x1 , . . . , xn ), (y1 , . . . , yn ) respectivamente, es
e · v = (x1 e1 + . . . + xn en ) · (y1 e1 + . . . + yn en ) = x1 y1 + . . . + xn yn .
28
CAPÍTULO 4. GEOMETRÍA EUCLÍDEA
Teorema 4.3.1 Todo espacio vectorial euclı́deo E ̸= 0 admite bases ortonormales.
Demostración: Procedemos por inducción sobre n = dim E. Cuando n = 1, tenemos que
E = Rv. Si tomamos e = v/∥v∥, entonces e · e = 1 y e ya es una base ortonormal de E.
Si n > 1, tomamos un vector no nulo v ∈ E y ponemos en = v/∥v∥, de modo que
en · en = 1. De acuerdo con 4.2.1, dim (Ren )⊥ = n − 1, ası́ que por hipótesis de inducción
existe alguna base ortonormal e1 , . . . , en−1 de (Ren )⊥ . Ahora los vectores e1 , . . . , en son
de módulo 1 y mutuamente ortogonales, ası́ que basta ver que e1 , . . . , en forman una base
de E. Como el número de vectores coincide con la dimensión de E, de acuerdo con 2.2.2 es
suficiente probar que e1 , . . . , en generan E. Ahora bien,
Re1 + . . . + Ren−1 + Ren = (Ren )⊥ + Ren = E .
4.2.2
Capı́tulo 5
Endomorfismos
5.1.
Polinomios
En este capı́tulo, de nuevo los escalares serán K = Q, R ó C.
Regla de Ruffini (1765-1822): Sea p(x) un polinomio con coeficientes en K. Si α ∈ K es
una raı́z de p(x), entonces p(x) es múltiplo de x − α:
p(x) = (x − α)q(x) .
Demostración: Dividiendo p(x) por x − α tendremos que p(x) = (x − α)q(x) + r, y sustituyendo x = α en esta igualdad obtenemos que
0 = p(α) = (α − α)q(α) + r = r ,
y concluimos p(x) = (x − α)q(x).
Definición: Si α ∈ K es una raı́z de un polinomio no nulo p(x) con coeficientes en K,
llamaremos multiplicidad de tal raı́z al mayor número natural m tal que (x − α)m divida
a p(x); es decir, p(x) = (x − α)m q(x) donde q(x) ya no admite la raı́z α, de acuerdo con la
Regla de Ruffini. Las raı́ces de multiplicidad 1 se denominan simples.
Consideremos un polinomio p(x) ̸= 0 con coeficientes en K. Si admite una raı́z α1 ∈ K,
tendremos p(x) = (x − α1 )m1 q1 (x), donde el polinomio q1 (x) también tiene coeficientes en
K y ya no admite la raı́z α1 . Ahora, si p(x) admite otra raı́z α2 ∈ K, ha de ser una raı́z de
q1 (x), de modo que p(x) = (x−α1 )m1 (x−α2 )m2 q2 (x). Procediendo de este modo obtenemos
una descomposición
p(x) = (x − α1 )m1 (x − α2 )m2 . . . (x − αr )mr q(x) ,
(5.1)
donde α1 , . . . , αr son todas las raı́ces de p(x) en K, los exponentes m1 , . . . , mr son sus
respectivas multiplicidades, y el polinomio q(x) carece de raı́ces en K. Esta descomposición
muestra que el número de raı́ces en K de un polinomio no nulo p(x), cada una contada con
su multiplicidad, está acotado por el grado del polinomio, y diremos que p(x) tiene todas sus
raı́ces en K cuando se dé la igualdad; i.e., cuando en 5.1 el polinomio q(x) sea constante.
Teorema de D’Alembert (1717-1783): Todo polinomio no constante con coeficientes complejos admite alguna raı́z compleja.
La demostración de este teorema fundamental se dará en cursos posteriores. De acuerdo
con este teorema, en el caso de polinomios con coeficientes complejos, en la descomposición
5.1 el factor q(x) ha de ser constante: El número de raı́ces complejas de un polinomio no
constante, contadas con su multiplicidad, siempre es el grado del polinomio.
29
30
5.2.
CAPÍTULO 5. ENDOMORFISMOS
Valores y Vectores Propios
Definición: Llamaremos endomorfismos de un K-espacio vectorial E a las aplicaciones
K-lineales T : E → E. Si S, T : E → E son dos endomorfismos, su producto ST es la
composición S ◦ T , que también es un endomorfismo de E.
Dado un endomorfismo T de un K-espacio vectorial E, diremos que un escalar α ∈ K es
un valor propio de T si existe algún vector no nulo e ∈ E tal que T (e) = αe, en cuyo caso
diremos que e es un vector propio de T y pondremos
Vα := Ker (αId − T ) = {e ∈ E : T (e) = αe}
de modo que Vα es un subespacio vectorial de E, y Vα ̸= 0.
Definición: Fijada una base e1 , . . . , en de un espacio vectorial E de dimensión finita n,
cada endomorfismo T : E → E está determinado por su matriz A = (aij ) ∈ Mn×n (K) en
tal base:
n
∑
T (ej ) =
aij ei , j = 1, . . . , n .
i=1
y diremos que el polinomio
x − a11
−a12
−a21
x
− a22
cT (x) := .
.
.
...
−an1
−an2
...
−a1n (∑
)
n
...
−a2n n
=
x
−
a
xn−1 + . . . + (−1)n |A|
ii
...
. . . i=1
. . . x − ann es el polinomio caracterı́stico de T , pues no depende de la base elegida, sino sólo de T . En
efecto, si se considera una nueva base en E, y B es la matriz del cambio de base, según 3.6
la matriz Ā de T en la nueva base es
Ā = B −1 AB ,
(5.2)
y tenemos que
|xI − Ā| = |xB −1 IB − B −1 AB| = |B −1 (xI − A)B| =
= |B −1 | · |xI − A| · |B| = |B|−1 |B| · |xI − A| = |xI − A| .
Teorema 5.2.1 Sea T un endomorfismo de un K-espacio vectorial de dimensión finita E.
Los valores propios de T son las raı́ces en K de su polinomio caracterı́stico cT (x).
Demostración: Sea n = dim E. Por definición, α ∈ K es un valor propio de T precisamente
cuando 0 ̸= Ker (αId − T ); es decir, si y sólo si
(
) 3.2.2
0 ̸= dim Ker (αId − T ) = n − rg (αI − A) ;
lo que significa que rg (αI − A) < n, y ocurre justamente cuando cT (α) = |αI − A| = 0.
Corolario 5.2.2 El número de valores propios de un endomorfismo T de un espacio vectorial E de dimensión n siempre es menor o igual que n.
Demostración: El grado del polinomio caracterı́stico cT (x) es n = dim E, y el número de
raı́ces en K de un polinomio siempre está acotado por el grado del polinomio.
Corolario 5.2.3 Todo endomorfismo de un espacio vectorial complejo de dimensión finita
tiene algún valor propio.
Demostración: Es consecuencia directa de 5.2.1 y del Teorema de D’Alembert.
5.3. DIAGONALIZACIÓN DE ENDOMORFISMOS
31
Teorema de Hamilton-Cayley (1805-1865 y 1821-1895): El polinomio caracterı́stico c(x) =
xn + . . . + c1 x + c0 de un endomorfismo T de un K-espacio vectorial de dimensión finita E
siempre anula al endomorfismo: c(T ) = T n + . . . + c1 T + c0 Id = 0 .
Demostración: Si A ∈ Mn×n (K) es la matriz de T en una base de E, la matriz del endomorfismo c(T ) es c(A) = An + . . . + c1 A + c0 I = 0, ası́ que el teorema afirma que c(A) = 0,
donde c(x) = |xI − A|; luego basta probarlo en el caso K = C.
En tal caso procedemos por inducción sobre n = dim E. Si n = 1, entonces A = (a) para
algún escalar a ∈ C. Luego c(x) = x − a y c(A) = A − aI = 0.
Si n > 1, de acuerdo con 5.2.3, el endomorfismo T tiene algún valor propio α ∈ C.
Consideremos un vector propio e1 ∈ E de valor propio α, y una base e1 , . . . , en en E. La
matriz A de T en esta base es de la forma
(
)
α ...
A=
0 Ā
para cierta matriz cuadrada Ā de n − 1 columnas. Luego c(x) = (x − α)c̄(x), donde c̄(x) =
|xI − Ā| y, por hipótesis de inducción, c̄(Ā) = 0. Ahora
( r
)
α ...
r
A =
0 Ār
(
)(
0 ...
c̄(α)
c(A) = (A − αI)c̄(A) =
0 B
0
5.3.
...
c̄(Ā)
)
(
)(
0 ...
c̄(α)
=
0 B
0
)
...
=0.
0
Diagonalización de Endomorfismos
Definición: Diremos que un endomorfismo T de un K-espacio vectorial de dimensión finita
E es diagonalizable si existe alguna base e1 , . . . , en de E formada por vectores propios de
T ; i.e., T (ej ) = αj ej para ciertos escalares αj ∈ K, lo que significa que la matriz de T en
tal base es diagonal (todos sus coeficientes son nulos, salvo quizás los de la diagonal):


α1 0 . . . 0
 0 α2 . . . 0 

D = 
. . . . . . . . . . . . 
0
0 . . . αn
De acuerdo con 5.2, un endomorfismo T de matriz A es diagonalizable si existe alguna
matriz invertible B tal que D = B −1 AB es una matriz diagonal D. En tal caso A = BDB −1 ,
y es sencillo calcular las potencias Am (y por tanto, la solución general Xm = Am X0 del
sistema de ecuaciones en diferencias finitas Xm+1 = AXm ), porque
Am = (BDB −1 )(BDB −1 ) . . . (BDB −1 ) = BDm B −1 .
Igualmente, la solución general del sistema de ecuaciones diferenciales X ′ = AX es X = B X̄,
donde X̄ es la solución general del sistema X̄ ′ = DX̄. En efecto:
X ′ = B X̄ ′ = BDX̄ = BDB −1 X = AX .
Ahora, para resolver el sistema X̄ ′ = DX̄; es decir, x̄′i = αi x̄i , basta observar que la
solución general de la ecuación diferencial x′ = αx es
x′
= (ln x)′
x
ln x = αt + K
α=
x(t) = eK+αt = ceαt .
Ejemplos:
32
CAPÍTULO 5. ENDOMORFISMOS
1. Para resolver la ecuación diferencial x′′ = ax′ + bx, a, b ∈ R, planteamos el siguiente
sistema de ecuaciones diferenciales con una nueva función incógnita y(t):
{
( )′ (
)( )
(
)
x′ = y
x
0 1
x
0 1
,
=
,
A
=
y
b a
y
b a
y ′ = ay + bx
El polinomio caracterı́stico del endomorfismo A : R2 → R2 es
u
−1 = u2 − au − b .
c(u) = |uI − A| = −b u − a Si el polinomio caracterı́stico u2 −au−b tiene dos raı́ces reales y distintas (a2 +4b > 0)
√
a ± a2 + 4b
α1 , α2 =
2
éstas son los valores propios de tal endomorfismo. Para hallar vectores propios se han
de resolver los sistemas de ecuaciones lineales homogéneos
(
)( ) ( )
(
)( ) ( )
α1
−1
x1
0
α2
−1
x1
0
=
,
=
−b α1 − a
x2
0
−b α2 − a
x2
0
α1 x1 − x2 = 0
,
α2 x1 − x2 = 0
Los vectores propios e1 = (1, α1 ) y e2 = (1, α2 ) forman una base de R2 ,y nos permiten
diagonalizar la matriz A:
(
)
(
)
α1 0
1
1
D=
= B −1 AB
,
B=
0 α2
α1 α2
Ahora resolvemos el sistema de ecuaciones diferenciales X̄ ′ = DX̄:
{
{
( )′ (
)( )
x̄′ = α1 x̄
x̄ = c1 eα1 t
x̄
α1 0
x̄
=
,
,
′
ȳ
0 α2
ȳ
ȳ = α2 ȳ
ȳ = c2 eα2 t
y la solución general del sistema de ecuaciones diferenciales X ′ = AX es X = B X̄:
( ) (
) ( α t)
x
1
1
c1 e 1
=
y
α1 α2
c2 eα2 t
x(t) = c1 eα1 t + c2 eα2 t
c1 , c2 ∈ R .
2. Si el polinomio caracterı́stico u2 − au − b tiene dos raı́ces imaginarias (a2 + 4b < 0)
√
a
−a2 − 4b
α ± iω = ± i
,
2
2
hemos de sustituir R por C en el razonamiento anterior y considerar funciones con
valores complejos, de modo que la solución general de la ecuación diferencial x′′ =
ax′ + bx es
(
)
x(t) = c1 e(α+iω)t +c2 e(α−iω)t = eαt c1 eiωt +c2 e−iωt
,
c1 , c 2 ∈ C
En las soluciones reales c1 y c2 han de ser conjugados, c1 = ρeiθ y c2 = ρe−iθ , ası́ que
(
)
x(t) = eαt ρei(ωt+θ) + ρe−i(ωt+θ)
x(t) = c eαt cos(ωt + θ)
c, θ ∈ R .
5.3. DIAGONALIZACIÓN DE ENDOMORFISMOS
33
3. Para hallar las sucesiones (xn ) = (x0 , x1 , . . .) tales que xn+2 = axn+1 +bxn , planteamos
el siguiente sistema de ecuaciones con una nueva sucesión incógnita (yn ):
{
(
) (
)( )
xn+1 = yn
xn+1
0 1
xn
,
=
, Xn+1 = AXn
yn+1
b a
yn
yn+1 = ayn + bxn
cuya solución general es Xn = An X0 . Cuando a2 +4b ̸= 0, la matriz A es diagonalizable,
A = BDB −1 , de modo que la solución general es Xn = BDn B −1 X0 :
( ) (
)( n
)(
)−1 ( )
xn
1
1
α1 0
1
1
x0
=
yn
α1 α2
0 α2n
α1 α2
y0
(
xn
yn
)
(
=
α1n
α1n+1
α2n
α2n+1
)( )
c1
c2
( ) (
c1
1
=
c2
α1
,
1
α2
)−1 ( )
x0
y0
(5.3)
xn = c1 α1n + c2 α2n
4. La sucesión de Fibonacci (1170-1250) es la sucesión 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,... cuyos
términos iniciales son x0 = 0, x1 = 1, y cada término es la suma de los dos anteriores:
2
−1
xn+2 = xn+1 + x√
,
n . Como las raı́ces del polinomio u − u − 1 son α1 = ϕ y α2 = −ϕ
′
donde ϕ = (1 + 5)/2 ≈ 1 618... es la llamada proporción áurea, el término general
de la sucesión de Fibonacci es
xn = c1 ϕn + c2 (−ϕ)−n .
(5.4)
Las constantes c1 y c2 pueden determinarse a partir de los términos iniciales x0 = 0,
y0 = x1 = 1 mediante la fórmula 5.3, o bien resolviendo el sistema de ecuaciones
lineales que se obtiene al dar los valores n = 0 y n = 1 en 5.4:
}
1
1
c1 + c2 = x0 = 0
,
c1 =
= √ , c2 = −c1 .
−1
c1 ϕ − c2 ϕ−1 = x1 = 1
ϕ+ϕ
5
xn =
ϕn − (−ϕ)−n
√
.
5
Lema 5.3.1 Sean α1 , . . . , αr todos los valores propios de un endomorfismo T de un espacio
vectorial E de dimensión finita. T es diagonalizable si y sólo si Vα1 + . . . + Vαr = E.
Demostración: Si T es diagonalizable, por definición Vα1 + . . . + Vαr contiene una base de
E, y como es un subespacio vectorial de E, concluimos que Vα1 + . . . + Vαr = E.
Recı́procamente, si Vα1 + . . . + Vαr = E, considerando una base en cada sumando Vαi
vemos que E admite un sistema de generadores formado por vectores propios de T , y 2.2.2
permite concluir que E admite una base formada por vectores propios de T ; es decir, que T
es diagonalizable.
Teorema 5.3.2 Si α1 , . . . , αm son valores propios de un endomorfismo T , distintos entre
sı́, entonces la suma de los subespacios vectoriales Vα1 , . . . , Vαm es directa, y por tanto
dim (Vα1 + . . . + Vαm ) = dim Vα1 + . . . + dim Vαm .
Demostración: Según la definición de suma directa, hemos de probar que es inyectiva la
siguiente aplicación lineal:
s : Vα1 × . . . × Vαm −→ Vα1 + . . . + Vαm
,
s(v1 , . . . , vm ) = v1 + . . . + vm .
34
CAPÍTULO 5. ENDOMORFISMOS
Procedemos por inducción sobre m, y el enunciado es obvio cuando m = 1.
Si m > 1 y v1 + . . . + vm = 0, donde vi ∈ Vαi , tendremos que
0 = T (v1 + . . . + vm ) = α1 v1 + . . . + αm vm
y restando la igualdad 0 = αm (v1 + . . . + vm ) obtenemos que
0 = (α1 − αm )v1 + . . . + (αm−1 − αm )vm−1 .
Por hipótesis de inducción, se sigue que (α1 − αm )v1 = . . . = (αm−1 − αm )vm−1 = 0. Como
αi ̸= αj cuando i ̸= j, concluimos que v1 = . . . = vm−1 = 0, y por tanto que también
vm = −v1 − . . . − vm−1 = 0.
Por último, dim (Vα1 ⊕ . . . ⊕ Vαm ) = dim Vα1 + . . . + dim Vαm de acuerdo con 3.2.5.
Corolario 5.3.3 Si un endomorfismo T de un K-espacio vectorial E de dimensión n tiene
n valores propios distintos (su polinomio caracterı́stico tiene todas sus raı́ces en K y son
simples), entonces T es diagonalizable.
Demostración: Si α1 , . . . , αn son los valores propios de T , tenemos que 1 ≤ dim Vαi ası́ que
5.3.2
n ≤ dim Vα1 + . . . + dim Vαn = dim (Vα1 + . . . + Vαn ) ≤ dim E = n .
Luego dim (Vα1 + . . . + Vαn ) = n, de modo que Vα1 + . . . + Vαn = E y T es diagonalizable
de acuerdo con 5.3.1.
Criterio de Diagonalización: Un endomorfismo T de un K-espacio vectorial de dimensión finita E es diagonalizable si y sólo si su polinomio caracterı́stico cT (x) tiene todas sus
raı́ces en K y la multiplicidad mi de cada raı́z αi coincide con la dimensión de Vαi :
mi = dim Vαi .
Demostración: Si T es diagonalizable, por definición su matriz en alguna base de E es


α1 0 . . . 0
 0 α2 . . . 0 

D = 
. . . . . . . . . . . . 
0
0 . . . αn
ası́ que su polinomio caracterı́stico cT (x) = |xI − D| = (x − α1 ) . . . (x − αn ) claramente tiene
todas sus raı́ces en K, y la multiplicidad mi de cada raı́z αi es el número de veces que se
repite αi en la sucesión α1 , . . . , αn , de modo que rg (D − αi I) = n − mi y
(
)
3.2.2
mi = n − rg (αi I − D) = dim Ker (αi Id − T ) = dim Vαi .
Recı́procamente, sean α1 , . . . , αr ∈ K las raı́ces en K de cT (x) y m1 , . . . , mr sus respectivas multiplicidades. Si cT (x) tiene todas sus raı́ces en K, entonces
m1 + . . . + mr = gr cT (x) = dim E .
Si además mi = dim Vαi para todo ı́ndice i = 1, . . . , r, entonces
5.3.2
dim (Vα1 + . . . + Vαr ) = dim Vα1 + . . . + dim Vαr = m1 + . . . + mr = dim E,
y obtenemos que Vα1 + . . . + Vαr = E. Luego T es diagonalizable de según 5.3.1.
Nota: Si A es la matriz de T en una base de E, de acuerdo con 3.2.2 tenemos que
(
)
dim Vαi = dim Ker (αi I − T ) = n − rg (αi I − A) .
Índice alfabético
altura, 25
aplicación, 4
biyectiva, 4
epiyectiva, 4
inversa, 4
inyectiva, 4
lineal, 17
argumento, 3
áurea, proporción, 33
baricentro, 25
base, 11
, cambio de, 22
ortonormal, 27
biyectiva, aplicación, 4
cambio de base, 22
caracterı́stico, polinomio, 30
ciclo, 5
circuncentro, 25
clase de equivalencia, 1
cociente
, conjunto, 1
, espacio vectorial, 11
complejos, números, 2
composición, 4
congruencia, 1, 10
conjugado, 2
conjunto cociente, 1
coordenadas, 12
coseno, 24
Crámer, regla de, 7
cuadrilátero, 25
D’Alembert, teorema de, 29
dependencia lineal, 11
determinante, 6
diagonalizable, endomorfismo, 31
diagonalización, criterio de, 34
dimensión, 13
dirección, 10
directa, suma, 15
disjuntos, ciclos, 5
distancia, 23, 27
ecuaciones
implı́citas, 20
paramétricas, 20
endomorfismo, 30
diagonalizable, 31
epiyectiva, aplicación, 4
equivalencia
, clase de, 1
, relación de, 1
escalar, 6, 9
, producto, 23
espacio vectorial, 9
cociente, 11
euclı́deo, 26
Euler
, fórmula de, 3
, recta de, 25
exponencial compleja, 4
generadores, sistema de, 11
Hamilton-Cayley, teorema de, 31
identidad, 4
imagen, 4, 17
imaginaria, parte, 2
impar, permutación, 5
implı́citas, ecuaciones, 20
independencia lineal, 11
inversa
, aplicación, 4
, matriz, 6
invertible, matriz, 6
inyectiva, aplicación, 4
isomorfı́a, teorema de, 19
isomorfismo, 19
lineal
, aplicación, 17
, dependencia, 11
, independencia, 11
, subvariedad, 10
logaritmo neperiano, 4
módulo
35
36
de un número complejo, 2
de un vector, 23
matriz, 6
, determinante de una, 6
, menor de una, 7
, rango de una, 7
invertible, 6
traspuesta, 6
unidad, 6
mediana, 25
mediatriz, 25
medio, punto, 13
menor de una matriz, 7
multiplicidad de una raı́z, 29
núcleo, 17
ortocentro, 25
ortogonal
, proyección, 27
, subespacio vectorial, 26
ortonormal, base, 27
paralelismo, 10
paralelogramo, 25
paramétricas, ecuaciones, 20
permutación, 4
impar, 5
par, 5
perpendicularidad, 27
Pitágoras, teorema de, 24
plano, 13
polinomio caracterı́stico, 30
producto
de matrices, 6
de números complejos, 2
escalar, 23
propio
, valor, 30
, vector, 30
proyección
ortogonal, 27
punto, 9
raı́z simple, 29
rango, 7
, teorema del, 7
real, parte, 2
recta, 13
relación, 1
de equivalencia, 1
Rouché-Frobënius, teorema de, 7, 15
Ruffini, regla de, 29
ÍNDICE ALFABÉTICO
signo de una permutación, 5
simetrı́a, 27
simple, raı́z, 29
sistema de generadores, 11
subespacio vectorial, 9
subvariedad lineal, 10
suma
de subespacios vectoriales, 10
directa, 15
suplementario, 16
Tales, teorema de, 24
trasposición, 5
traspuesta, matriz, 6
triángulo, 25
unidad, matriz, 6
valor propio, 30
vector, 9
propio, 30