nivel medio matematica 2

Nivel Medio
I-104
Provincia del Neuquén
Patagonia Argentina
www.faena.edu.ar
[email protected]
1
SEGUNDO BLOQUE MATEMATICA
“Está permitida la reproducción total o parcial de parte de cualquier persona o
institución que lo considere de utilidad para todo fin educativo.”
FAENA.
2
_PARA TENER EN CUENTA:
Si usted desea imprimir este material en color “Negro” (escala de grises)
tan solo tiene que escoger la opción “negro” en las opciones de la impresora.
3
_UNIDAD_1: ANGULOS
Relaciones entre ángulos.
Ángulos complementarios y suplementarios.
Ángulos adyacentes y opuestos por el vértice.
Ángulos formados por dos rectas paralelas cortadas por una tercera.
Determinación de ángulos con incógnita.
_UNIDAD_2: NUMEROS RACIONALES
Introducción a los números racionales.
Relaciones entre los conjuntos numéricos vistos.
El orden de los números racionales.
Operaciones con números racionales.
Expresiones decimales.
Operaciones con potencias.
Propiedades de las potencias.
Notación científica.
Ecuaciones de primer grado
_UNIDAD_3: SI.ME.L.A.
Magnitudes y cantidades.
Sistemas de medida.
Cálculo de perímetros, áreas y volúmenes de figuras simples.
_UNIDAD_4: PROPORCIONALIDAD
4
Magnitudes directamente proporcionales.
Magnitudes inversamente proporcionales
Razones y proporciones.
Porcentajes.
Interés simple.
Aplicación de la proporcionalidad: Teorema de Thales.
_UNIDAD_5: POLIGONOS
La circunferencia.
Medida de ángulos. Sistema sexagesimal .Radián.
Operaciones con medidas de ángulos sexagesimales.
Polígonos.
Triángulos y cuadriláteros.
Construcción de polígonos regulares
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ACERCA DE ESTE MODULO
¿QUÉ CONTIENE Y CÓMO SE USA?
Este módulo está compuesto por cinco unidades en las que se
despliegan los contenidos correspondientes al segundo bloque de Matemática.
Para cada unidad encontrará actividades acordes que le permitirán poner en
práctica los conceptos estudiados y poner a prueba su aprendizaje, lo cual deja
abierta la posibilidad de volver atrás y revisar lo ya aprendido si lo considera
necesario.
Al finalizar el módulo encontrará la bibliografía de referencia que le
permitirá profundizar en los contenidos trabajados, y responder a las dudas que
le suscite la lectura de este material.
La estructura de este módulo de estudio permite visualizar con claridad
los conceptos, que se encuentran apartados entre sí, lo cual facilita la
elaboración y comprensión de los mismos. Encontrará cuadros, esquemas y
palabras resaltadas que colaborarán para una mejor comprensión de los
contenidos.
Al final del módulo encontrará actividades de tipo evaluativas que podrán
ser tomadas para evaluaciones futuras y que usted puede usar a modo de
simulacro, para poner a prueba los conocimientos adquiridos a lo largo de toda
la unidad. Se recomienda cumplir con este trabajo de cierre ya que le permitirá
relacionar unos contenidos con otros y darle una conclusión al trabajo realizado
a lo largo de todo el módulo.
Todo lo que usted aporte a lo propuesto por este material, profundizará
su aprendizaje y su dominio sobre la materia. Es un trabajo que depende de
cada uno y que se trata de una inversión. “Quien más lee más sabe”, una
afirmación casi obvia pero poco practicada. Es de este modo cómo uno logra
diferenciarse, crecer y desarrollar un proceso propio.
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7
DESARROLLO DE CONTENIDOS DEL BLOQUE 2. SEGUNDO AÑO
A modo de introducción:
En este módulo se desarrollan los contenidos del segundo bloque de
Matemática. Como pudo verse en el programa anterior, se tocarán los temas
referidos a los ángulos, el conjunto de los números racionales, el sistema
métrico legal argentino, la proporcionalidad y los polígonos. Se abordarán los
contenidos desde lo más general a lo particular, desde la base teórica del tema
en estudio, hasta los ejemplos resueltos por el profesor. Luego de los ejemplos
viene la ejercitación, lo cual ayuda a fijar los conceptos aprendidos en el tema.
Lo primero en abordar serán los ángulos, lograr que el alumno sepa
diferenciar los distintos tipos de ángulos y calcular sus amplitudes a partir de un
dato o a través de ecuaciones, cuando los ángulos están dados en función de
x.
En la segunda unidad se verá el conjunto de los números racionales,
que es una nueva ampliación del campo numérico. Se analizarán sus
propiedades y se las ejercitará, así el alumno irá adquiriendo habilidades
matemáticas. Se aprenderá una nueva forma de expresar los números, la
notación científica, muy útil a la hora de tratar con cantidades de tamaños
industriales o con dimensiones atómicas. Por último, se aprenderá a resolver
ecuaciones simples.
En la tercera unidad se tocarán los sistemas de medida y se conocerán
las medidas utilizadas en la Argentina.
Luego, será abordado el tema de la proporcionalidad numérica. Este es
un tema muy importante y en la ciencia se lo utiliza mucho para modelar
distintas situaciones. Se aprenderá el teorema de Thales, concepto muy
antiguo y muy utilizado. Se aprenderá a calcular porcentajes y luego intereses,
conceptos bancarios mínimos, fundamentales en la rutina cotidiana.
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En la última unidad se hará un recorrido por las distintas clases de
polígonos, su clasificación y sus propiedades. Se hará hincapié en el estudio de
la circunferencia, los triángulos y los cuadriláteros. También será visto el
teorema de Pitágoras, otro concepto muy importante para la resolución de
triángulos.
Los contenidos abordados en este módulo constituyen un conjunto
básico de saberes que cualquier individuo debe manejar para un buen
desarrollo en todo lo que hace a la vida, tanto en el campo personal como
laboral.
Les dedicamos un buen y entusiasta recorrido de la materia.
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OBJETIVOS PARTICULARES DE CADA UNIDAD
OBJETIVOS DE LA UNIDAD 1
Al finalizar esta Unidad se deberá lograr:
Que diferencie los distintos tipos de ángulos.
Que sepa representarlos y hallarlos a partir de determinados datos.
OBJETIVOS DE LA UNIDAD 2
Al finalizar esta Unidad se deberá lograr:
Que el alumno reconozca el conjunto de los números racionales.
Que sepa operar con ellos.
Que logre trabajar correctamente,
sacando
paréntesis, corchetes y
llaves.
Que pueda desarrollar las 6 operaciones con números racionales.
Que trabaje sin dificultad expresando la notación científica.
Que resuelva los diferentes tipos de ecuaciones que se le pudieran
plantear.
OBJETIVOS DE LA UNIDAD 3
Al finalizar esta Unidad se deberá lograr:
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Que el alumno sepa diferenciar los conceptos de magnitudes y
cantidades.
Que sepa reconocer los sistemas de medida.
Que sepa identificar, para cada problema que se le presente, qué
medida le es más útil y más manejable
Que conozca el sistema de medida
que actualmente se usa en
Argentina: SI.ME.L.A. (sistema métrico legal argentino)
Que pueda calcular perímetros, áreas y volúmenes de distintas figuras
geométricas.
OBJETIVOS DE LA UNIDAD 4
Al finalizar esta Unidad se deberá lograr:
Que el alumno sepa diferenciar una magnitud directa de una inversa.
Que sepa representarlas.
Que interprete las razones y proporciones numéricas.
Que sepa resolver problemas de porcentajes y de interés.
Debe demostrar el conocimiento, la comprensión y la aplicación correcta
del teorema de Thales
OBJETIVOS DE LA UNIDAD 5
Al finalizar esta Unidad se deberá lograr:
Que el alumno sepa describir los elementos de una circunferencia.
Que trabaje y opere con distintos ángulos pasándolos a radianes o en el
sistema sexagesimal.
Que reconozca los distintos tipos de polígonos, en especial triángulos y
cuadriláteros.
Que sepa aplicar el teorema de Pitágoras.
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_UNIDAD_1: ANGULOS
RELACIONES ENTRE ANGULOS
Ángulos Complementarios. Son dos ángulos cuya suma de sus amplitudes
es igual a 90º. A cada ángulo se lo llama complemento del otro
nˆ
mˆ
Ejemplo:
Evidentemente, dos ángulos complementarios son agudos por definición.
Ángulos Suplementarios. Son dos ángulos cuya suma de medidas es igual a
180º o
rad. A cada ángulo se lo llama suplemento del otro.
nˆ
ˆ
m
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Ejemplo:
Ángulos Consecutivos. Son dos ángulos que tienen el mismo vértice y un
lado común.
Ángulos Adyacentes. Son los ángulos que además de tener el mismo vértice
y un lado en común (ángulo consecutivo) su suma da 180° (son
suplementarios)
Ejemplo:
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Opuestos por el vértice. Son dos ángulos no adyacentes, formados cuando
dos rectas se interceptan. Los ángulos opuestos son congruentes (iguales).
1̂ y 2̂
Son opuestos por el vértice
3̂ y 4̂
Son opuestos por el vértice
Ejemplo:
3̂
4̂
1̂ 2̂
Nivel Medio
I-104
Ángulos formados por dos rectas paralelas cortadas por una transversal.
R // S
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Ángulos Interiores. Son los que están comprendidos dentro de las paralelas.
En el gráfico son ángulos interiores: 2̂, 4̂, 6̂, 7̂
Ángulos Exteriores. Son los que están comprendidos por fuera de las
paralelas. En el gráfico son: 8̂, 5̂, 1̂, 3̂
Ángulos Alternos Internos. Están comprendidos dentro de las paralelas de un
lado y otro de la transversal y no son adyacentes.
La característica de los ángulos alternos internos es que son iguales.
En el gráfico son alternos internos el 2̂ con el 6̂ y el 4̂ con el 7̂ .
Ángulos Alternos Externos. Están comprendidos fuera de las paralelas de un
lado y otro de la transversal y no son adyacentes.
La característica de los ángulos alternos externos es que son iguales.
En el gráfico son alternos externos el 1̂ con el 5̂ y el 8̂ con el 3̂ .
Ángulos Correspondientes. Están comprendidos uno dentro y otro fuera de
las rectas paralelas del mismo lado de la recta transversal y no son
adyacentes.
La característica de los ángulos correspondientes es que son iguales.
En el grafico son correspondientes 7̂ y 1̂ , 3̂ y 6̂ , 2̂ y 8̂ , 4̂ y 5̂ .
Ángulos Conjugados Internos. Son dos ángulos interiores del mismo lado de
la recta transversal.
Los ángulos conjugados interiores son suplementarios.
En el grafico son conjugados interiores el 4̂ con el 6̂ y el 2̂ con el 7̂ .
4̂
6̂ 180º
2̂
7̂ 180º
Ángulos Congruentes. Dos ángulos son congruentes si tienen la misma
medida (amplitud).
Si mâ
mê
â
ê.
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EJERCICIOS:
1. Encontrar los ángulos suplementarios de:
a) 45° 23’ 35’’
b) 90°59’ 45’’
c) 56° 78’ 20’’
2. Encontrar los ángulos complementarios de:
a) 23° 23’ 23’’
b) 47°09’ 05’’
c) 46° 48’ 20’’
3. Completar:
a) si ˆ y ˆ son suplementarios entonces ˆ y ˆ suman .................
b)
ˆ y ˆ son ángulos ……………
c)
ˆ y ˆ son ángulos ……………
4. Calcular la amplitud del ángulo ˆ
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R// S
5. Calcular el valor de ˆ y ˆ en la siguiente figura.
R // S
6. Calcular el valor de ˆ, ˆ y ˆ en la siguiente figura.
A // B ˆ = 65º
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DETERMINACIÓN DE ANGULOS CON INCOGNITAS
Muchas veces tendremos problemas como el siguiente:
Cuánto valdrán ˆ y ˆ sabiendo que ambos son complementarios y que:
a) ˆ = 4 x + 15º
b) ˆ = x + 30º
Para resolver un problema como el planteado deberá hacerse a través de dos
pasos:
El 1er paso será formar la ecuación correspondiente:
En nuestro ejemplo, si sabemos que ˆ y ˆ son complementarios, entonces:
ˆ + ˆ = 90°
luego: 4 x + 15° + x + 30° = 90°
ˆ
ˆ
Se resuelve como una ecuación común: 4 x + 1 x = 90° - 15 ° - 30°
5 x = 45°
x = 45° : 5
Por lo tanto x = 9°
El 2do paso será reemplazar el valor hallado en los ángulos ˆ y ˆ
ˆ = 4 x + 15°
→ ˆ = 4 . 9º + 15º = 51°
ˆ = x + 30°
→ ˆ = 9º + 30° = 39°
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_UNIDAD_2: GEOMETRIA DEL PLANO Y DEL ESPACIO
_ EJERCICIOS UNIDAD 1:
1)
a) Se sabe que
y
Datos: ˆ = 3 x
son adyacentes. Determinar cuánto vale cada uno.
ˆ = 5 x + 20°
b) Calcular ˆ , ˆ, ˆ y ˆ del siguiente gráfico
Datos: ˆ = 7 x + 18°
ˆ = - 3 x + 78°
Ayuda: ˆ y ˆ son opuestos por el vértice. Por lo tanto sabemos que son
iguales, así que la ecuación que deberemos formar es: ˆ = ˆ
2) ˆ y ˆ son ángulos complementarios, si ˆ = 35 26’34”, calcular el
valor de ˆ .
3) ˆ y ˆ son ángulos suplementarios, si ˆ = 52º 23’, calcular el valor de
ˆ .
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4) Calcular el valor de todos los ángulos de la figura siguiente.
ˆ = 2x – 10º
ˆ = 3x + 20º
5) Calcular el valor de todos los ángulos del siguiente grafico.
A // B
ˆ = 2x + 35º
ˆ = x + 25º
6) Calcular el valor de los ángulos indicados.
A // B
ˆ = 3x + 10º
ˆ = 2x – 10º
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RESPUESTA A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD 1
1) a) x = 20º ; ˆ = 60º y ˆ = 120º
b) x = 6º ; ˆ = ˆ = 60º y ˆ = ˆ = 120º
2) ˆ = 54 33’26”
3) ˆ = 127º 37’
4) ˆ = ˆ = 58º ; ˆ = ˆ = 122º
5) x = 40º ; ˆ = ˆ = ˆ = 65º ; ˆ = ˆ = 115º
6) x = 36º ; ˆ = ˆ = ˆ = 118º ; ˆ = ˆ = 62º
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_UNIDAD_2: NUMEROS RACIONALES
INTRODUCCIÓN A LOS NUMEROS RACIONALES
Medida de un segmento de recta. Números fraccionarios positivos y
negativos.
Consideremos un segmento rectilíneo AB y otro CD, que llamaremos
segmento unidad; tomemos sobre AB, a partir de A, el segmento AE igual CD
y después, a continuación, EF = FG = ....= CD
Pueden presentarse tres casos:
1º ) Que el segmento unidad CD esté contenido en AB un número exacto de
veces, 4 en éste ejemplo. Diremos en éste caso que la medida de AB es el
número natural 4
2º ) Que el segmento unidad CD no esté contenido en el segmento AB, pero
una parte alícuota de CD esté contenida un número exacto de veces. Si el
segmento CD se ha dividido en tres partes iguales, su parte alícuota CE estará
contenida 8 veces en AB (ver figura abajo); serán entonces necesarios dos
números para establecer la medida de AB. Diremos entonces que la medida de
AB es un número fraccionario, positivo o negativo.
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3º) Que no exista ninguna parte alícuota del segmento unidad que esté
contenida exactamente en el segmento considerado. El número que mide
entonces la magnitud considerada es inconmensurable con la unidad, y lo
llamaremos número irracional. (A este tipo de número lo veremos en un año
posterior)
Por otra parte, la división exacta de dos números naturales es imposible
cuando el dividendo no es múltiplo del divisor. Habrá que definir entonces
nuevos números, como dos séptimos, trece novenos,........A / B, que también
llamaremos números fraccionarios.
Queda, pues, demostrada la necesidad de la creación de nuevos entes que
llamaremos números fraccionarios.
Definición: una fracción es un número de la forma a / b, donde a se denomina
numerador y b denominador, donde ambos son números enteros.
Numerador y denominador se denominan términos de la fracción.
Debe observarse que el denominador no puede ser cero. (en matemática está
prohibida la división por cero)
El denominador indica en cuantas partes se debe dividir cada unidad de la
recta numérica y el numerador cuantas de esas partes se deben tomar.
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Ejemplo:
El denominador indica la cantidad de partes en las que vamos a dividir un
chocolate. En cambio el numerador nos indica la cantidad de esas partes que
vamos a comer.
Número racional: se llama número racional al ente abstracto formado por un
par de números naturales afectado del signo + o -, y representado por el
símbolo
a
ó±a/b
b
Representamos 5/2 en la recta numérica.
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RELACIONES ENTRE LOS CONJUNTOS NUMÉRICOS VISTOS
N
Z
Q
Naturales
Enteros negativos
Fracciones
Los números enteros positivos o naturales quedan incluidos en los racionales
mediante el siguiente convenio:
El número racional representado por la fracción
a
es el número natural a ó
1
el negativo –a.
El cero queda incluido en el campo de los números racionales mediante el
convenio:
0
b
0 (siendo b 0)
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EL ORDEN DE LOS NÚMEROS RACIONALES
Tener en cuenta que:
_ cuando el numerador es menor que el denominador, la fracción es menor que
la unidad.
_ cuando el numerador y el denominador son iguales, la fracción es igual a la
unidad.
_ cuando el numerador es mayor que el denominador, la fracción es mayor que
la unidad.
Sabiendo esto, podemos representar las fracciones en la recta numérica:
Se observa que:
- el conjunto Q esta totalmente ordenado por la relación .
- entre dos números racionales existen siempre infinitos números racionales.
- por esta última propiedad se dice que el conjunto Q es DENSO; pero no
continuo. Esto significa que todo número racional se corresponde con un punto
de la recta, pero no todo punto de la recta se corresponde con un número
racional, existen puntos de la recta que no se corresponden con ningún número
racional ( a estos se los denomina números irracionales)
26
OPERACIONES CON NUMEROS RACIONALES
Fracciones equivalentes.
Dos fracciones son equivalentes si al dividir numerador por denominador
obtenemos en ambas el mismo número decimal, por ejemplo 8/4 y 10/5.
Otra forma de definirlas sería: dos fracciones son equivalentes cuando al
multiplicarlas en cruz obtenemos el mismo número.
Es decir, la condición necesaria y suficiente para que dos fracciones sean
equivalentes, es que tengan el mismo signo y que a la vez cumplan la siguiente
condición:
En algunos casos basta con ver que numeradores y denominadores son
proporcionales, ya que “si en una fracción multiplicamos o dividimos arriba y
abajo por el mismo número, obtenemos una fracción equivalente”.
son fracciones equivalentes pues 2·12=24 y 3·8=24 o también porque
Esta propiedad de las fracciones se suele utilizar mucho para simplificar
fracciones, dividiendo numerador y denominador por un divisor común (como
máximo por su mcd), hasta obtener lo que se llama una fracción irreducible es
decir , que no se puede simplificar más.
En algunos casos se confunde esta propiedad y se realizan mal las
operaciones:
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Por lo tanto: “solo se puede simplificar en una fracción cuando tengamos
productos”.
En algunos casos se puede simplificar en una suma sacando factor común y
convirtiendo la suma en un producto:
Suma de dos fracciones.
Pueden ocurrir dos casos:
1º Que tengan el mismo denominador. En este caso, se deben sumar los
numeradores y el denominador se deja igual:
2º Que no tengan el mismo denominador. En este caso, debemos encontrar
fracciones equivalentes que tengan el mismo denominador. Se pueden utilizar
los siguientes métodos:
a) Utilizando fracciones equivalentes:
Este método solo es indicado cuando se tengan que realizar operaciones
sencillas y también para graficar.
b) multiplicando los denominadores:
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Este método es el más sencillo, pero nos da valores muy altos que luego
tenemos que simplificar. Se suele usar cuando los números son pequeños.
El método en forma general es el siguiente:
c) utilizando el m.c.m.
lo bueno de este método es que hay que simplificar mucho menos al final.
Suma de una fracción más un número entero.
Se le pone un 1 debajo del número entero y se suman las fracciones .
Suma de más de dos fracciones.
a) Utilizando fracciones equivalentes:
b) Multiplicar los denominadores:
c) El m.c.m. es igual que con dos fracciones:
m.c.m. = 5 2 3
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d) Utilizando el común denominador
Se haya el m.c.m. de los denominadores y este m.c.m. será el común
denominador.
m.c.m. = 22 3 5 = 60
Una vez hallado el común denominador, se divide el mismo por cada
denominador y el resultado se lo multiplica por el correspondiente numerador.
En el ejemplo
60 : 4 = 15.3 = 45
60 :10 = 6.3 = 18
60 :15 = 4.(-4) = -16
Resta de fracciones.
Se hace igual que en la suma teniendo mucho cuidado con los signos.
No olvidemos que una fracción negativa el signo puede estar en el centro, en el
numerador o en el denominador, como consecuencia de las distintas
operaciones que realizamos, pero al escribir la fracción, al finalizar las
operaciones el signo va en el centro, es decir a la altura de la raya de fracción.
30
Paréntesis , corchetes y llaves.
Hay dos formas de realizar las operaciones:
a) Quitar primero los paréntesis, luego los corchetes y después las llaves, y al
final hacer las operaciones. (No es muy recomendable).
b) Hacer las operaciones paso a paso.
Producto de fracciones.
Se multiplica numerador por numerador y denominador por denominador.
División de fracciones.
Para resolver la división entre fracciones debemos transformarla en producto
colocando la 1º fracción como aparece en la división, pero debemos invertir la
2º fracción; luego resolvemos como cualquier producto.
31
En el caso de que haya más de una división seguida debe de indicarse con
paréntesis cual se hace primero. Lo mismo ocurriría si hubiese un producto y
una división seguidas.
Operaciones combinadas de fracciones.
En el caso de que tengamos varias operaciones a la vez, se realizarán en
primer lugar los productos y divisiones. Luego las sumas y las restas. Este es el
clásico procedimiento de separar en términos. Los términos son expresiones
que están entre signos + ó -.
Paréntesis, corchetes y llaves
Es combinar todo lo visto hasta ahora, aunque se recomienda ir haciendo las
operaciones poco a poco, siempre teniendo en cuenta que se realizan en
primer lugar los productos y divisiones , y después las sumas y las restas.
Nota: el conjunto de los números racionales con la adición y el producto es un
cuerpo conmutativo.
32
EJERCICIO MODELO
Resolver la siguiente operación combinada con fracciones
RESOLUCION
33
EXPRESIONES DECIMALES
Las fracciones nos dan números decimales exactos, periódicos puros o
periódicos mixtos
10/4=2,5 exacto


1/3= 0,3 periódico mixto 743/90= 8,25 periódico puro
A partir de una fracción obtenemos un número decimal, pero ¿a partir de un
número decimal podemos obtener la fracción de la cuál proviene? La
respuesta es afirmativa para todos los números decimales exactos y
todos los periódicos, puros o mixtos. Veámoslo caso por caso.
Si el número es decimal exacto, se escribe el número sin la coma en el
numerador, y en el denominador un 1 seguido de tantos ceros como cifras
tenga la parte decimal: Recordar simplificar.
Si el número es decimal periódico, puro o mixto, se escribe en el
numerador el número entero sin decimales ni ''gorritos'', se le resta la parte no
periódica y en el denominador se coloca tantos nueves como cifras tenga el
periodo y tantos ceros como cifras tenga la parte decimal no periódica (si la
hay).
Expresión decimal periódica pura
Expresión decimal periódica mixta
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OPERACIONES CON POTENCIAS
POTENCIACION
Definición: se define como potencia de base a y exponente n a un número b,
tal que b se obtiene multiplicando a la base por si misma, tantas veces como
indica el exponente.
an = b
b
a a a a........ a
n veces
Ejemplos:
33 = 27
27
3 3 3
3 veces
25 = 32
32
2 22 2 2
5 veces
35
PROPIEDADES DE LAS POTENCIAS
1) Cero elevado a cualquier exponente distinto de cero, da por resultado cero.
0n = 0 con n 0
04 = 0
09 = 0
2) Uno elevado a cualquier exponente da por resultado 1.
1n = 1
13 = 1
15 = 1
3) Todo número elevado a la uno da por resultado dicho número.
a1 = a
51 = 5
181 = 18
En la práctica el exponente 1 es el único que no se escribe y todo número (3, 7,
11, etc) a los fines de determinadas operaciones se los considera con
exponente 1.
4) Todo número (distinto de cero) elevado a la cero, da por resultado 1.
n0 = 1 con n 0
90 = 1
(-15)0 = 1
-80 = -1 (el cero solo afecta al 8 pero no al signo)
5) Cero elevado a la cero no tiene solución.
00 = NO TIENE SOLUCION
6) Producto de potencias de igual base me da por resultado otra potencia que
tiene la misma base, y por exponente la suma de los exponentes de los
factores.
am . an = am+n
32 . 33 = 32+3 = 35 = 243
23 . 24 = 23+4 = 27 = 128
36
7) División de potencias de igual base me da por resultado otra potencia que
tiene la misma base y por exponente la resta de los exponentes (exponente del
dividendo menos exponente del divisor).
am : an = am-n
37 : 34 = 37-4 = 33 = 27
215 : 213 = 215-13 = 22 = 4
8) Potencia de otra potencia me da por resultado otra potencia que tiene la
misma base y por exponente el producto de los exponentes.
(am)n = am.n
(22)3 = 22.3 = 26 = 64
9) Si la base es negativa y el exponente par, el resultado es positivo.
(-a)par = positivo
(-3)2 = 9
(-2)4 = 16
10) Si la base es negativa y el exponente impar, el resultado es negativo.
(-a)impar = negativo
(-5)3 = -125
(-2)5 = -32
11) Propiedad distributiva. La potencia es distributiva solamente con respecto a
la multiplicación y la división.
(a . b)n = an. bn
(2.5)2 = 22. 52 = 4. 25 = 100
(a : b)n = an : bn
(8 : 2)2 = 82 : 22 = 64. 4= 256
a
b
n
an
bn
3
2
3
33
23
27
8
12) Potencia de exponente negativo. Es la inversa de la base elevada al mismo
exponente pero positivo.
37
a
n
1
a
n
2
1
2
22
3
2
3
4
3
2
3
27
8
13) Potencia de exponente fraccionario. Se puede transformar en una raíz cuyo
índice es el denominador del exponente, cuyo radicando es la base de la
potencia elevado a un exponente que es el numerador del exponente de la
potencia.
a
4
m
n
n
3
2
a
m
27
43
64
1
3
3
27
3
8
14) Cuando en una fracción aparecen potencias se pueden subir al numerador
o bajar al denominador sin mas que cambiar el signo al exponente; es decir
que una división de potencias se puede transformar en producto cambiando el
signo del exponente del divisor.
34
32
3
2
34.32
8
3
:
2
5
36
3
2
729
8
3
2
5
3
2
8 5
3
2
3
33
23
27
8
38
OPERACIONES CON RAICES
RADICACIÓN
DEFINICIÓN: Se define como raíz de índice n y radicando a, a un número b, si
y solo si b elevado a la n me da por resultado a
con n perteneciente a los naturales
donde:
n : se denomina índice y pertenece a los naturales
a : se denomina radicando
b : se denomina raíz
: se denomina radical
Ejemplos:
81 9
3
8
5
243 3
2
porque 92 = 81
porque 23 = 8
porque 35 = 243
La raíz de índice 2 es la única en la cual el índice no se escribe y se denomina
raíz cuadrada.
La raíz de índice 3 se denomina raíz cúbica, las demás se denominan por el
índice, raíz cuarta, quinta, sexta , etc.
39
PROPIEDADES DE LA RADICACION
1) La raíz de cualquier índice, del número cero da por resultado cero.
n
0
0
3
0
0
5
0
0
2) La raíz de cualquier índice de uno da por resultado uno.
n
1 1
1 1
5
1 1
3) Si el radicando es negativo y el índice es impar, el resultado es negativo.
impar
a
( )
3
27
3
porque
3
5
32
2
porque
2 5 = 32
3
27
4) Si el radicando es negativo y el índice es par, no tiene solución en el campo
de los números reales. No existe ningún numero real que elevado al cuadrado
o a cualquier número par me de por resultado un número negativo.
5) Raíz de otra raíz : me da por resultado otra raíz cuyo radicando es el mismo
y cuyo índice es el producto de los índices de las raíces.
m n
a
3
64
m.n
a
3.2
64
6
64
2
6) Propiedad distributiva : La radicación es distributiva solamente respecto a la
multiplicación y a la división.
40
n
a.b
n
3
27.64
n
a :b
a .n b
3
n
27.3 64 3.4 12
a :n b
36 : 4
n
3
n
a
b
n
36 : 4
a
b
3
27
8
6:2 3
27
3
8
3
2
7) Producto y división de raíces: Todo producto o división de raíces se pude
realizar solo si los índices de ambas raíces son iguales y el resultado es otra
raíz que tiene el mismo índice y por radicando el producto o división de los
radicándoos dados.
n
a .n b
n
a.b
3
9 .3 3
3
9. 3
n
a :n b
n
3
27 3
a :b
32 : 2
32 : 2
16
4
8) Potencia de una raíz
7
3
22
2
7. 7
3
3
72
7
2 2 .3 2 2 .3 2 2
3
26
22
4
De estos ejemplos se puede deducir que el exponente de una potencia y el
índice de una raíz se pueden simplificar y también que el exponente de una
raíz se puede escribir dentro del radical como exponente del radicando.
5
32
5
5
32
5
32
9
41
NOTACION CIENTIFICA
POTENCIAS DE 10 Y REDONDEO.
Puesto que en la ciencia se habla de cantidades muy grandes o muy pequeñas
(distancia de la Tierra a la Luna, número de partículas en un litro de sustancia,
volumen de un átomo etc.), se utilizan las potencias de 10 para simplificar los
cálculos.
10 = 10
100 = 1
102=100
10-1=1/10=0,1
103=1000
10-2=1/100=0,01
.....
10-3=1/1000=0,001
5·102=5·100=500
10-6=0,000001
8·105=800000
7,5·103=7,5·1000=7500
5·10-1=5·1/10=5/10=0,5
6,4·10-3 = 6,4·0,001=0,0064
0,0052·10-2=0,0052·1/100=0,000052
Por lo tanto cuando un número se multiplica por una potencia de 10 de
exponente positivo, se mueve la coma hacia la derecha tantos lugares como
indique el exponente.
Si por el contrario el exponente de la potencia de 10 es negativo, se mueve la
coma hacia la izquierda.
Otra cosa que también utilizan los científicos es el redondeo de números.
Redondear un número es obtener otro número aproximado al primero, mucho
más fácil de manejar, y consiste simplemente en despreciar las cifras que no
interesen. Si por ejemplo la distancia de Plutón al Sol es de 5.913.498.763.856
42
Km. se puede redondear a 6.000.000.000.000 Km. y utilizando la notación
científica 6·1012 Km.
Redondear un número hasta “n” cifras es sustituir por ceros todas las cifras
siguientes a la de orden “n”. La cifra de orden “n” se deja como está si la que
sigue es menor que 5, y se aumenta en una unidad si la que sigue es mayor o
igual que 5.
Ejemplo:
Redondear el número 3,684684..... hasta:
a) las décimas: 3,7
b) las centésimas: 3,68
c) las milésimas: 3,685
d) el entero más próximo: 4
El error de una aproximación es la diferencia entre el valor exacto y el valor
aproximado.
OBSERVACIÓN:
¿Cómo muestra éstos números una calculadora científica?
¿Cómo ingresamos dichos números en la misma?
Dependiendo de cómo esté configurada la calculadora puede mostrar:
0.00001 o bien 1-05 ó 1.10-05
(es más común que lo muestre de éstas ultimas formas)
17860000 o bien 1.786 07 ó 1.786.10 07
Pero en nuestros cálculos manuales los anotamos así científicamente:
1x10-5
1,786x107
43
NOTACIÓN CIENTÍFICA
Se utiliza para expresar números muy grandes o muy pequeños y se expresa
por un numero mayor o igual que uno y menor que diez, multiplicando por una
potencia de 10 cuyo exponente será positivo e igual a la cantidad de lugares
que corro la coma, si la corro a la izquierda (un número muy grande) o negativo
si la coma la corro a la derecha (un número muy pequeño).
Notación científica 1 n
10
n .10c
Ejemplos:
6000000 = 6 .106
530000000 = 5,3 .108
0,000003 = 3 .10-6
0,0000000047 = 4,7. 10-9
44
ECUACIONES DE PRIMER GRADO
DESCRIPCIÓN Y EJEMPLOS.
Definición: se llama expresión algebraica a todo conjunto de números y
letras unidos por signos que indican las operaciones matemáticas que hay que
efectuar.
Ejemplo: 3ax2 – b2 es una expresión algebraica.
Definición: una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas
que se transforma en igualdad numérica cuando se atribuyen a las letras que
figuran en la igualdad algebraica valores numéricos particulares.
Ejemplo: 3x - 2 = x2 + 1
Son ecuaciones con una incógnita cuando aparece una sola letra
(incógnita normalmente la x).
Ejemplo: x2 + 1 = x + 4
Se dice que son ecuaciones de primer grado cuando dicha letra está
elevada a la potencia 1 (que generalmente no se escribe).
Ejemplos:
1 - 3x = 2x - 9.
3(x-1) = 4 - 2( x +1 )
2x - 3 = 2 + x.
x/2 = 1 - x + 3x/2
45
SOLUCIÓN NUMÉRICA
Los valores particulares que hay que atribuir a las letras para que una ecuación
se convierta en una igualdad numérica se denominan raíces de la ecuación.
Las expresiones algebraicas separadas por el signo “=” son los miembros de
la ecuación.
En una ecuación pueden figurar letras cuyos valores se suponen conocidos, y
que se que se denominan parámetros; las restantes letras que en ella figuran
son las incógnitas.
Las cantidades conocidas están representadas por letras, con el objeto de
tratar al mismo tiempo todos los problemas análogos que solo difieren entre sí
por los valores de los datos. Las incógnitas suelen representarse por las
últimas letras del alfabeto.
Resolver una ecuación es hallar todas sus raíces. En éste caso, al ser
ecuaciones de primer grado, siempre encontraremos una sola raíz.
Si x=a es raíz de una ecuación, se dice que la ecuación se satisface para x=a.
46
EJERCICIOS:
1.Supongamos que queremos resolver la ecuación: 3 (x-1) = 4 – 2 (x+1)
Como ya sabrás, resolver una ecuación es encontrar un valor de x que, al ser
sustituido en la ecuación y realizar las operaciones indicadas, se llegue a que
la igualdad es cierta.
En el ejemplo podemos probar con un valor:
x = 2, llegaríamos a 3 = -2, y veríamos que la igualdad no es cierta,
x = 1 llegaríamos a 0 = 0, que sí es cierto, por lo tanto hemos encontrado una
solución de la ecuación. Veremos más adelante que en algún caso puede
haber más de una solución.
Numéricamente, se resuelve "despejando" la x, o sea, realizando las
operaciones indicadas y pasando términos de un miembro a otro hasta
conseguir:
x = ..número..
Así en el ejemplo anterior se procede:
3(x – 1) = 4 – 2 ( x + 1 ) ( el 3 y el -2 delante del paréntesis lo están
multiplicando, en consecuencia se aplica propiedad distributiva)
Aplicamos la propiedad distributiva en ambos miembros de la ecuación
3x – 3.1 = 4 - 2x – 2.1 (atención al signo cuando haya paréntesis)
3x – 3 = 4 - 2x – 2
Llevamos todos los términos que contienen la incógnita al primer miembro y los
que no la tienen al segundo miembro de la ecuación
3x + 2x = 4 – 2 + 3
Realizamos las sumas y restas en cada miembro
47
5x = 5
Despejamos finalmente la incógnita
x=5:5
Es decir, x = 1 que es la solución que ya habíamos encontrado antes.
Para resolver una ecuación de primer grado se utilizan dos reglas
fundamentales para conseguir dejar la "x" sola en el primer miembro.
Veámoslas para el ejercicio siguiente:
3x + 1 = x - 2.
- Sumar o restar a los dos miembros un mismo número. En este caso restar
1 a los dos miembros y restar x a los dos miembros:
3x +1 -1 - x = x - x - 2 -1 , que una vez operado queda: 2x = -3. Produce el
mismo efecto lo que llamamos "pasar de un miembro a otro sumando lo
que resta o restando lo que suma"
- Multiplicar o dividir los dos miembros por un mismo número. En este caso
por 2:
2x/2 = -3/2, que una vez simplificado queda x = -3/2 que es la solución.
Produce el mismo efecto lo que llamamos "pasar de un miembro a otro lo
que
está
multiplicando
dividiendo
o
lo
que
está
dividiendo
multiplicando".
En ecuaciones más complicadas puede ocurrir también:
- Que haya operaciones indicadas con paréntesis. Se realizan en primer
lugar
(como hicimos en el ejercicio 1)
- Que en la ecuación haya denominadores. En este caso lo primero será
hacer denominador común para ambos miembros, con lo que se podrán
suprimir los denominadores y continuar con los pasos anteriores (ver el
ejercicio 3).
Ejemplo: Para resolver la ecuación:
x
2
3
x
3
2
5.(1 2 x)
6
haciendo denominador común
2.( x
2) 3.( x
6
3)
5.(1 2 x)
6
48
Decimos en este caso que la ecuación tiene solución.
y suprimiendo los denominadores ya estamos como en el caso anterior:
2(x - 2) - 3(x + 3) = 5(1 - 2x)
2. Resuelve numéricamente la siguiente ecuación:
2(x-5) = -2(x-3)
3. Resolver la siguiente ecuación:
x
2
x
3
5
Observar que el denominador común (m.c.m) es 6 con lo que has de llegar a
3x + 2x = 30 y la solución será x = 6.
4. Resolver las siguientes ecuaciones:
a) 1-3x = 2x - 9
b)
1
x
2
1
x 1
3
Problemas de Aplicación:
Una de las aplicaciones más importantes de las ecuaciones es la de resolver
problemas de la vida cotidiana.
Ejemplo: El hermano mayor de una familia con tres hermanos tiene 4 años
más que el segundo y este 3 más que el menor. Si entre todos tienen la edad
del padre que tiene 40 años ¿qué edad tiene cada hermano?
Para resolver estos problemas debemos elegir algún valor desconocido para
llamarle "x". En este caso llamemos:
x = edad del hermano menor.
49
A partir de ello expresar los datos del problema mediante expresiones
algebraicas y plantear una igualdad (ecuación) con ellos. Será:
x + 3: edad del hermano mediano
x + 3 + 4 = x + 7 edad del hermano mayor
Ecuación: suma de las edades de los hermanos = 40
x + x + 3 + x + 7 = 40
3x + 10 = 40
3x = 40 – 10
3x = 30
x = 30 : 3
x = 10
Resolviendo la ecuación se obtiene x = 10, luego la solución del problema es:
Edades de los tres hermanos: 10 , 13 y 17 años.
Ejemplo de ecuaciones con racionales
3
1
x
2
3
3
2
x
2
3
9 4
x
6
5
13
x
6
12
3
4
3
2
18
2
3
x
3
2
3 1
4 3
9 4
12
en lugar de pasar
5
dividiendo, se lo pasa multiplicando por la inversa
6
13 6
12 5
13
x
10
x
50
EJERCICIOS UNIDAD Nº 2
1) Pasar a notación científica
a) 4500000
b) 37400000
c) 200000000
d) 0,00000035
e) 0,00000004
f) 0,00000128
2) Resolver y expresar el resultado en notación científica.
a)
700000 3,5 10 7
2,5 103 4 105
3,2 10 4 5,5 10 6
b)
0,008 2,2 10 7
4,2 10-5 3 109
c)
6 107 2 108
8,5 10 7 5 10 3
d)
2,5 10 5 1,2 10 2
e)
1,5 103 2,2 105
4,5 10 4 5,5 10 6
3) Resolver aplicando propiedades.
a)
3
2
b)
49
25
7
:
5
3
2
3
2
3
2
8
27
3
4
2
3
3
8
27
2
25
4
5
2
1
2
1
2
2
3
5
51
c)
2
15
1
5
d)
2
3
e)
2
5
4
7
6
2
3
6
3
2
5
6
2
3
:
2
3
5
2
5
1
5
9
2
5
:
3 2
:
2 3
1
1
2
5
5
:
1
4
1
2
2
5
2
3
9
4
4) Pasar a fracción, resolver.


a) 1,5 0,6 0,5 1,3 0,25

b) 3,5 2,3 2,5 1,5 0,5
0,5
2
2
3
c)
0,25
1,2
d)


0,4 0,3 1,5 1,3 0,8
5) Resolver las siguientes ecuaciones.
3
a) x
2
1
5
3
2
2
x
5
25
4
b)
5
2
1
1
x
2
3
1
2
2
c)
2
3
1
x
3
3
4
3
x
4
3
d) x
5
16
9
2
3
2
3
2
1
2
2
x
3
1
x
3
2
2
9
3
2
3
27
8
52
RESPUESTA A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD 2
1)
a) 4,5 106
b) 3,74 107
c) 2 108
d) 3,5 10
e) 4 10
8
f) 1,28 10
7
6
2)
a) 2,45 104
c) 1,05 10
b) 1 106
11
e) ≈1,33 10
d) ≈1,42 104
3
3)
a) 25/18
b) 61/30
c) 27/10
d) -139/108
e) -8/125
4)
a) 11/4
b) -7/12
c) 13/60
d) -31/30
a) x = 29/22
b) x = -28/3
c) x = -43/19
d) x = 35/16
5)
53
_UNIDAD_3: SI.ME.L.A.
MAGNITUDES Y CANTIDADES
¿QUE ES MEDIR?
Medir es comparar una magnitud con otra de igual clase, que se ha tomado
como unidad.
DIFERENCIA ENTRE MAGNITUD Y UNIDAD:
MAGNITUD: es cualquier propiedad física que se pueda medir. Hay de dos
tipos de magnitudes: fundamentales (longitud, tiempo, masa, etc) y
derivadas (velocidad, fuerza, volumen, etc).
UNIDAD: cantidad tomada como medida o patrón de comparación con las de
su misma especie. Además es el nombre con el que se designa a cada una de
las unidades dimensionalmente independientes que constituyen la base que
permite la definición de un determinado sistema de unidades.
¿QUE ES UN SISTEMA DE UNIDADES?
Es aquel que está constituido por un reducido número de unidades
fundamentales o primarias, y de las unidades secundarias que de aquellas
derivan, adoptando la condición de no introducir coeficientes numéricos en las
fórmulas que relacionan las unidades.
¿QUE ES EL SI.ME.L.A.?
La ley nacional 19511 estableció el sistema métrico legal argentino. Se basa en
el Sistema Internacional de unidades.
54
Unidades fundamentales:
De longitud → metro
De masa → kilogramo
De tiempo → segundo
De intensidad de corriente → ampere
De temperatura → grados kelvin
De intensidad luminosa → candela
Ejemplo:
Magnitudes:
Cantidades:
Longitud
5 Km, 37 mm, 7 dm
Superficie
3 m2 , 59 cm2
Volumen
8 m3, 36 mm3
Capacidad
10 lt, 5678 Klt
Tiempo
3 seg., 2 hs
Masa
1 Kg. , 789 gr
Intensidad de corriente
6 A, 9 mA
.
.
55
SISTEMAS DE MEDIDA
Los sistemas de medida se basan fundamentalmente en las potencias de 10 y
utilizan casi siempre los mismos prefijos.
mili =10-3=1/1000=0,001
centi =10-2=1/100=0,01
deci =10-1=1/10=0,1
unidad
Deca =10
Hecto =102=100
Kilo =103=1000
Miria =104=10000
Medidas de longitud:
La unidad fundamental de longitud es el metro. Por lo tanto tendremos:
milímetro (mm) =0,001m =10-3 m → 1 m =1000 mm
centímetro (cm) =0,01m=10-2m → 1m =100cm
decímetro (dm) =0,1m=10-1m →1m=10 cm
metro (m)
Decámetro (Dam)=10m =101m
Hectómetro (Hm) =100m =102m
Kilómetro (Km) =1000m =103m
Miriámetro (Mm) =10000m = 104m
56
Medidas de masa:
La unidad fundamental de masa es el gramo. Por lo tanto tendremos:
miligramo (mgr) =0,001gr=10-3gr → 1gr =1000mgr
centigramo (cgr) =0,01gr=10-2gr → 1gr =100cgr
decigramo (dgr) =0,1gr=10-1gr → 1gr =10dgr
gramo (gr)
Decagramo (Dgr) =10gr =101gr
Hectogramo (Hgr) =100gr =102gr
Kilogramo (Kgr) =1000gr =103gr
Miriagramo (Mgr) =10000gr =104gr
Quintal métrico (Qm) =100000gr =105gr
Tonelada métrica (Tm) =1000000gr =106gr
Medidas de tiempo:
La unidad fundamental de tiempo es el segundo.
Minuto =60sg
Hora =3600sg
Día =86400sg
Año =31536000sg
Medidas de superficie y volumen:
La unidad fundamental son los m2 para la superficie y m3 para el volumen.
La siguiente figura representa un cuadrado de 1m de lado
1m =100cm
1 m2
1m =100cm
57
La superficie o área de dicho cuadrado es = lado x lado =1m x 1m =1m2
1m2 =10dm·10dm =100dm2
1m2 =100cm·100cm =10000cm2
1m2 =1000mm·1000mm =1000000mm2
1m2 = 0,1Dm·0,1Dm = 0,01Dm2
1m2= 0,01Hm·0,01Hm = 0,0001Hm2
1m2 = 0,001Km·0,001Km =0,000001Km2
La siguiente figura representa un cubo de 1 m de arista
1 m3
1m
1m
1m
El volumen de dicho cubo será = lado x lado x lado =1m x 1m x 1m=1m3
1m3 =10dm·10dm·10dm=1000dm3
1m3=100cm·100cm·100cm=106cm3
1m3=1000mm·1000mm·1000mm=109mm3
Escalera de conversión:
Recordar que por ejemplo multiplicar por 100 equivale a añadir dos ceros o
mover la coma dos lugares a la derecha, y dividir por cien equivale a mover la
coma dos lugares hacia la izquierda.
58
Medidas de capacidad:
La unidad fundamental de capacidad (cantidad de gas o líquido que cabe
dentro de un recipiente) es el litro, es decir, cuando hablamos de líquidos y
gases, la unidad fundamental no son los metros cúbicos, si no que son los
litros.
mililitro (ml) =0,001l=10-3l(1ml
1cm3) → 1l =1000ml
centilitro (cl) =0,01l=10-2l → 1l =100cl
decilitro (dl) =0,1l=10-1l → 1l =10dl
litro (l) (1l
1dm3)
Decalitro (Dl) =10l=101l
Hectolitro (Hl) =100l=102l
Kilolitro (Kl) =1000l=103l(1Kl
1m3)
Mirialitro (Ml) =10000l =104l
Por lo tanto recordar que:
1Kl =1m3 es decir, un metro cúbico de agua 1m x 1m x 1m contiene
1000 litros de agua.
1l =1dm3 es decir, un litro de agua ocupa el mismo volumen que un cubo
de 10cm x 10cm x 10cm.
1ml =1cm3 es decir, un mililitro de agua ocupa el mismo volumen que un
dado de 1cm x 1cm x 1cm.
Relación peso-capasidad-volumen:
1 dm3 = 1 L para cualquier líquido
1 dm3 = 1 L = 1 Kg. Solo para el agua
59
CALCULO DE PERIMETROS, AREAS Y VOLÚMENES DE FIGURAS
SIMPLES
Fórmulas de superficie y de volumen.
Áreas (A) y perímetros (P) de figuras planas
Cuadrado
Rectángulo
Triángulo
l
h
l
h
b
b
A = l • l = l2
A = (b • h)/2
P = 4·• l
P = 4·l P = 2 • b + 2 •·h
P=suma de los lados
Trapecio
Rombo
Paralelogramo
b
h
D
h
d
B
a
l
b
A = [(B + b)•h]/2
A = (D • d)/2
A=b•h
P = suma de los lados
P = 4 •·l
P = 2·• b + 2·• a
Polígono regular
Círculo
Sector circular
a
l
r
A = (nl • a)/2 = (P• a)/2
A=
P=n•l
P = 2·• ·• r
n: número de lados
• r2
nº
A = ( • r2 • nº)/360º
P = (2·• ·• r • nº)/360º
nº: medida del ángulo en grados
a: apotema
60
Nota: en el caso del hexágono regular, se puede calcular el área como la suma
de 6 triángulos equiláteros, en los demás polígonos regulares se podrá calcular
como la suma de triángulos isósceles.
Elipse: A =
•a•b
Fórmulas de volumen.
Cilindro circular recto: V =
Esfera: V = 4/3 •
• r2 • h
• r3
61
Cubo: V = lado • lado • lado = lado3
Paralelepipedo: V = largo • ancho • altura ( prisma rectangular )
Ejemplos:
1) Calcular el área del paralelogramo de base = 6 cm y altura = 8 cm
Area = 6 cm x 8 cm = 48 cm2
2) Calcular el volumen de un cilindro de r = 3 m y de altura = 6000 mm
Volumen = superficie de la base x altura
Primero se hace un cambio de unidades:
6000 mm = 600 cm = 60 dm = 6 m
V=
x ( 3 m)2 x 6 m = 3,14 x 9 m2 x 6 m = 169,56 m3
62
EJERCICIOS:
1. Calcular la superficie de un círculo cuyo radio es la tercera parte de 6 cm.
2. Calcular el área de la siguiente figura siendo a = 23 cm, b = 8 cm y c = 6 cm.
Cuya base y altura se pueden obtener de la figura. Se recomienda dividir la
figura en un rectángulo y en un triangulo, calcular el área de cada uno y luego
sumarlas para obtener el área total de la figura.
3. Calcular la diferencia de volumen entre un cubo y una esfera cuyo diámetro
es igual a la longitud del lado del cubo. Ayuda: 2 r = lado
4. Calcular el total de líquido que puede contener un tanque de forma cilíndrica
cuya altura es de 3 m y el diámetro de su base es de 2,40 m.
5. Calcular el radio de una esfera sabiendo que su volumen es de 3000 m3.
Despejar r de la formula del volumen de una esfera.
6. Calcular el volumen de un cilindro circular recto de 200 cm de radio y 3 m de
altura, la cantidad de litros de agua que se necesitan para llenarlo y cuanto
pesa al llenarlo de agua, sabiendo que el peso del cilindro vacío es de 20 Kg.
(se aconseja pasar las unidades de longitud a dm antes de resolver).
63
7. Calcular la superficie total de la figura. Superficie significa lo mismo que
área.
8. Un verdulero compra 50 Kg. De papas, 250 Hg. De zapallitos, 3500 g de
puerro, 1500 Dag de lechuga y 200000 dg de tomates ¿cuantos Kg. de verdura
compró en total?.
9. Un vehículo recorre 215 Km. luego 850 Hm. A continuación 108000m y por
ultimo 3500 Dam. ¿cuál fue el recorrido total del vehículo?. Expresar el
resultado en Km., m y también en cm, pero este ultimo con notación científica.
10. Una pileta de natación rectangular tiene 50 m de largo, 150 dm de ancho y
200 cm de profundidad. Calcular su volumen y la cantidad de agua que se
necesita para llenarla.
RESPUESTAS EJERCICIOS UNIDAD 3
1) 12,57 cm2
2) 208 cm2
3) 3,81xr3 cm3
4) 13571,68 L
5) 8,95 m
6) V = 37699,11 dm3 ; C = 37699,11 L y P = 37719,11 Kg.
7) 192 m2
8) 113,5 Kg.
9) 443 Km, 443000 m, 4,43 x 107 cm
10) V = 1500 m3 ; C = 1500000 L
64
_UNIDAD_4: PROPORCIONALIDAD:
MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES
Ejemplo:
Para hacer mermelada de frutilla se necesita cierta cantidad de azúcar por
cada kilo de frutilla, es decir cuanta más mermelada queramos tener más
frutillas y por lo tanto más azúcar debemos de echar. En la siguiente tabla se
muestran algunas de estas cantidades:
Cantidad (Kg.)
Frutillas
4
12
20
28
14
Azúcar
2
6
10
14
7
Entonces, las magnitudes directamente proporcionales son dos magnitudes
relacionadas de tal forma que al multiplicar una de ellas por un valor , la otra
también queda multiplicada por el mismo, es decir, si aumenta o disminuye una
magnitud, la otra también.
El cociente entre dos magnitudes directamente proporcionales es constante, y
se llama constante de proporcionalidad (K).
En este ejemplo las dos magnitudes son directamente proporcionales porque al
aumentar una, aumenta la otra en la misma proporción .
La constante de proporcionalidad es
4
2
12
6
20
10
28
14
14
7
2
K
65
Observa también que eligiendo dos fracciones cualesquiera el producto de
extremos es igual al producto de medios: 14 10
7 20 →140
140
Esta última propiedad nos va a servir para hacer lo que se llama la regla de
tres directa, (o regla de tres simple) así por ejemplo tomando la segunda y
tercera fracción. Si 12 Kg de frutillas necesitan 6 Kg de azúcar, ¿cuántos Kg de
azúcar se necesitarán para 20 Kg de frutillas?
12 x = 6 20 → ? = 120 / 12 =10
Se suelen expresar estos cálculos de esta otra forma:
12 Kg de frutillas----------------6 Kg de azúcar
20 Kg de frutillas ---------------- x
x = (20 . 6)/12 = 10 Kg de azúcar
O también:
12 Kg de frutillas----------------20 Kg de frutillas
6 Kg de azúcar ---------------- x
x = (6 . 20)/12 = 10 Kg de azúcar
Si representamos gráficamente dos magnitudes directamente proporcionales
obtendremos una semirrecta con origen en el origen de coordenadas
Kg.
frutillas
66
Si llamamos y a los kg de azúcar y x a los kg de frutillas, todos los cocientes de
y
x
K (en este ejemplo K = 2) y si escribimos y en función de x resulta y K . x
(con esta fórmula en nuestro ejemplo y
2 . x , puedo hallar y para cualquier
valor de x, y también x para cualquier valor de y, dado que si y 2 . x→ x=y 2)
En la recta podemos observar cómo por cada unidad que aumentan las
frutillas, aumenta 2 unidades la cantidad de azúcar. (recordemos que 2 es la
constante de proporcionalidad).
67
EJERCICIOS:
1. Un avión tarda 2 minutos para recorrer 4,5 Km. ¿Cuánto tarda en recorrer
con la misma velocidad: 180 Km.; 900 Km.; 225 Km.; respectivamente?
2. Un obrero gana $960 por 8 horas de trabajo. ¿Cuánto tiempo ha trabajado
para ganar $1.920 y $2.400 respectivamente?
3. En un día de trabajo de 8 horas, un obrero ha hecho 10 cajas. ¿Cuántas
horas tardará en hacer 25 de esas mismas cajas?
4. Si una docena de copas cuesta $744. ¿Cuánto debe abonar por 17 copas?
5. Una operadora de PC copia 5 hojas de un libro en 2 horas. ¿ Cuantas horas
tardará en copiar 35 hojas, trabajando siempre al mismo ritmo?.
6. En la siguiente tabla x e y son magnitudes directamente proporcionales,
hallar el valor de K y completar la tabla.
X
Y
5
20
2
12
8
40
RESPUESTAS
1) 80 Km, 400 Km, 100 Km
4)$1054
2) 16 hs, 20 hs
5) 14 hs
3) 20 hs
6) K = 4, y = 8; 32, x = 3 ; 10
68
MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES
Cuando 2 magnitudes están relacionadas, si al crecer una también crece la
otra, esas magnitudes son directamente proporcionales. Se debe observar que
si una de ellas decrece también decrece la otra.
En cambio, si al crecer una, disminuye la otra proporcionalmente, o viceversa,
entonces esas magnitudes son inversamente proporcionales.
Por lo tanto las magnitudes inversamente proporcionales son dos magnitudes
relacionadas de tal forma que al multiplicar una de ellas por un valor, la otra
queda dividida por el mismo valor. En este caso el producto de cada par de
valores correspondientes a dos magnitudes inversamente proporcionales es
constante, y se llama constante de proporcionalidad inversa (K).
Ejemplo:
Para organizar una fiesta de cumpleaños un grupo de amigos alquila un local
por un precio fijo. En un principio son 12 amigos y les toca pagar 50 pesos a
cada uno, eso quiere decir que el local cuesta 12 . 50 = 600 pesos. Si en lugar
de ir 12 amigos, fuesen muchos más, les tocaría pagar menos a cada uno.
Veamos la tabla que relaciona el número de amigos con lo que les toca pagar:
Nº de amigos
Dinero por persona
x
6
12
24
48
200
x
50
25
x
En este caso siempre el producto del número de amigos, por lo que paga cada
uno debe ser de 600 pesos, luego 12 . 50 = 24 . 25 = 600 (constante de
proporcionalidad inversa)
69
Por lo tanto si queremos calcular cuanto pagarían 6 amigos:
6 . x = 12 . 50 → x = 600 / 6 = $100
Esta última propiedad nos va a servir para hacer lo que se llama una regla de
tres inversa, se suelen expresar los cálculos de la siguiente forma.
12 amigos ------------ $50 c/u
6 amigos ------------ x
x = (12 X 50) / 6 = $100 c/u
Si representamos gráficamente dos magnitudes inversamente proporcionales
obtendremos una hipérbola:
Si llamamos y a la cantidad de dinero por persona y x al numero de amigos,
todos los productos de y x
función de x resulta y
K (en el ejemplo K = 600) y si escribimos y en
K
(en nuestro ejemplo y = 600/x ) esto permite hallar
x
el valor de y para cualquier valor de x , y el de x para cualquier valor de y (el
único valor que no puede tomar x es cero, dado que la división por 0 no existe )
si y
K
→x=K/y
x
70
EJERCICIOS:
1. Ocho obreros han tardado 24 horas para realizar cierto trabajo. ¿Cuánto
tiempo hubiesen empleado para hacer el mismo trabajo 4 obreros, 6 obreros,
12 obreros respectivamente?
2. Un ganadero tiene 36 ovejas y alimento para ellas por el término de 28 días.
Con 20 ovejas mas, sin disminuir la ración diaria y sin agregar forraje ¿cuántos
días podrá alimentarlas?
3. Para empapelar una habitación se necesitan 15 rollos de papel de 0,45 m.
de ancho. ¿Cuántos rollos se necesitarán si el ancho fuera de 0,75 m?
4. Con 15 Kg. de hierro se han hecho 420 tuercas de 4 pulgadas. ¿Cuántas
tuercas semejantes a las anteriores, pero de 3 pulgadas, se pueden hacer con
la misma cantidad de hierro?
5. Un trabajo puede ser realizado por 80 obreros en 42 días. Si el plazo para
terminarlo es de 30 días ¿cuántos obreros deberán aumentarse?
6. x e y son magnitudes inversamente proporcionales, hallar el valor de K y
completar la tabla.
X
Y
8
2
16
8
32
2
RESPUESTAS
1) 48 hs; 32 hs;16 hs
2) 18 días
3) 9 rollos
4) 560 tuercas
5) 32 obreros
6) K = 32, y = 4; 1, x = 4 ; 16
71
RAZONES Y PROPORCIONES
RAZÓN
Es una comparación de una cantidad respecto a otra cantidad semejante, el
resultado es un número abstracto, es decir no tiene unidades.
Una razón es una fracción, por lo tanto, todas las propiedades que tiene una
fracción se aplica a las razones.
Elementos de una razón:
p
q
a
a es la razón entre p y q.
p = antecedente
q = consecuente.
PROPORCIÓN
Dados cuatro números a, b, c, y d, en ese orden, si la razón entre los dos
primeros es igual a la razón entre los otros dos, esos cuatro números
constituyen una proporción.
Representación:
a
b
c
d
72
Denominación:
Se lee “ a es a b como c es a d ”
Términos de una Proporción:
Son los elementos que forman la proporción: Si
a
b
c
d
Extremos a y d
Medios b y c
Antecedentes a y c
Consecuentes b y d
Propiedades de las Proporciones:
a) En una proporción pueden invertirse las razones.
Si
a
b
c
b
entonces
a
d
d
c
Ejemplo:
2
3
8
12
3
2
12
8
b) Propiedad fundamental de las proporciones: el producto de los extremos es
igual al producto de los medios.
Si
a
b
c
entonces a . d = b . c
d
Ejemplo:
Si
5
7
10
14
5 14 7 10
70 70
73
c) En una proporción la suma de antecedente y consecuente de la primera
razón es a su antecedente (o consecuente) como la suma de antecedente y
consecuente de la segunda razón es a su antecedente (o consecuente).
Si
a
b
c
d
a
Si
a
b
c
d
a
b
c
b
d
d
b
c
a
d
c
Ejemplo:
Si
4
5
20
25
4 5
5
20 25
25
d) En una proporción la resta de antecedente y consecuente de la primera
razón es a su antecedente (o consecuente), como la resta de antecedente y
consecuente de la segunda razón es a su antecedente (o consecuente).
Si
a
b
c
d
a
Si
a
b
c
d
a
b
c
b
d
d
b
a
c
d
c
Ejemplo:
Si
7
3
14
6
7 3
3
14 6
6
e) Calculo de extremos o medios desconocidos.
Ejemplo 1:
x
5
x
x
12
10
60
10
6
x 10 5 12
(aplicando
la
propiedad
fundamental
de
las
proporciones despejo x )
74
Ejemplo 2:
2
3
3
4
1
2
1
2
1
3
1
2
x
(conviene resolver primero antecedentes y consecuentes y después aplicar la
propiedad fundamental de las proporciones)
4 3
6
3 2
4
7
6
1
4
x
2 3
6
x
5
6
x
5 6
24 7
7
x
6
x
1 5
4 6
5
28
75
PORCENTAJES
Los porcentajes o tantos por ciento expresan la razón entre dos magnitudes
directamente proporcionales e indican la cantidad o valor de una de ellas que
corresponde a 100 de la otra, por ejemplo si nos dicen que el 70% de los
alumnos del instituto está vacunado contra la hepatitis, quiere decir que por
cada 100 alumnos, 70 están vacunados, y que por lo tanto si el instituto tiene
200 alumnos, habrá 140 vacunados.
El cálculo del tanto por ciento de una cantidad es un caso particular de regla de
tres en el cual uno de los valores conocidos es siempre 100. Así, para hallar el
70% de 200 alumnos haríamos:
100%--------------200 alumnos
70% -------------- x
x
200 70
140 alumnos
100
También puede hacerse:
100%
70%
x
200
x
100 x
70 200
70 200
100
x 140 alumnos
76
EJERCICIOS:
1. Calcular el 12% de 6.000 habitantes.
2. ¿Qué tanto por ciento obtuvo un industrial que gano $17.000 en una venta
de mercaderías que le costaron $85.000?
3. A una persona cuyo sueldo mensual es de $1.260 y le retienen $113,40 para
una compañía de seguros ¿qué porcentaje con respecto al sueldo representa
el dinero retenido?
4. ¿Cuánto se debe pagar por una compra de $519 si se hace un descuento
del 6%?
5. Un viajante recibió el 2% de comisión sobre $48.000 de mercaderías
vendidas. ¿Cuánto dinero recibió?
RESPUESTAS
1) 720 habitantes
2) 20 %
4) $487,86
5) $960
3) 9 %
77
INTERÉS SIMPLE
Si depositamos en una cuenta bancaria una cantidad de dinero, que se llama
capital, al cabo de un tiempo tendremos el capital que habíamos depositado
más otra cantidad de dinero que el banco nos abona y que se llama interés.
El interés que producen 100 pesos depositados en una cuenta bancaria
durante un año se llama tanto por ciento o tasa (r).
Ejemplo:
Colocamos una cierta cantidad de dinero con una tasa del 4%.
Capital($)
100
200
300
1000
300000
x
Intereses($)
4
8
12
40
x
6000
En esta tabla se observa que fijado la tasa (4%) y el tiempo (1 año), los
intereses son directamente proporcionales a los capitales (a doble capital,
doble interés, a triple capital, triple interés, etc)
100 ------------- 4
300000 ------------- x
x
300000 4
100
$12000 (en un año)
Los bancos también nos pueden prestar dinero, entonces somos nosotros los
que al cabo de un tiempo fijado, debemos devolver al banco todo el capital que
nos prestó, más un interés que será lo que gana el banco con esa operación.
78
Como proporción sería:
100
4
x
x
300000
x
100 x
4 300000
1200000
100
$12000
Ejemplo:
Si el banco nos ha prestado $10.000 a un 8% por cada año y debemos
devolverlo en 5 años ¿cuánto dinero pagaremos al banco?
100 ----------- 8
10.000 ----------- x
x
pagar en intereses $800 · 5
10000 8
100
$800 al año, luego en 5 años debemos
$4000
En total hay que pagar al banco $10.000 + $4.000 = $14.000 pesos en 5 años.
Si queremos pagar este dinero mensualmente entonces
12·5 = 60 meses →
14000
$233,33 .
60
Otra forma sería:
100
8
x
x
1000
x
100 x
8 10000
80000
100
$800
por año
$800 · 5años $4000
$10000 + $4000 = $14000 en 5años
79
EJERCICIOS:
1. Calcular qué interés producirán $38.000 durante 2 años al 12% anual.
2. Si el banco nos ha prestado al 6% anual una suma de $12.000 y debemos
devolverlo en 7 años. ¿Cuál es el monto que pagaremos al banco?
3. En una escuela de 500 alumnos, el 15% de los alumnos practica fútbol, el
3% básquet, el 6% vóley y el resto otros deportes. Calcular cuantos alumnos
practican cada deporte.
4. Si en un corralón de materiales para la construcción compré artículos por un
monto de $ 8000 y me descuentan el 8% por pago al contado. ¿cuanto debo
abonar?
RESPUESTAS
1) $9.120 de interés
2) $ 5040
básquet, 30% vóley
4) $640
3) 75% fútbol, 15 %
80
APLICACIÓN DE LA PROPORCIONALIDAD: TEOREMA DE THALES
MODELO DE EJERCICIO 1
Trazar 4 rectas paralelas a igual distancia una de otra. Luego trazar 2 rectas
transversales tales que formen distintos ángulos respecto de las rectas
paralelas.
Indicar con las 1º letras del alfabeto los puntos de intersección entre cada una
de las rectas paralelas con cada una de las transversales. Luego comparar las
longitudes de los segmentos en una misma transversal. Hacer lo mismo en la
otra transversal. Elaborar una conclusión.
Resolución
Si se realiza prolijamente, los resultados deben ser aproximadamente:
ab = bc = cd (la longitud de los segmentos)
fg = gh = hi
81
La conclusión es que la longitud de los segmentos es igual, siempre y cuando
las paralelas estén a igual distancia.
MODELO DE EJERCICIO 2
Asignarle al segmento ab una longitud u.
Asignarle al segmento fg la longitud n.
¿Cuánto mide el segmento bd?
¿Y gi?
Divide la longitud de los segmentos ab por bd y fg por gi. Concluya.
Resolución
ab = u ; fg = n
bd = 2u ; gi = 2n
ab
bd
u
2u
1
2
fg
gi
n
2n
1
2
La conclusión es:
ab
fg
bd
gi
82
ENUNCIADO DEL TEOREMA DE THALES
Si tres o mas paralelas son cortadas por dos transversales, la razón entre dos
segmentos cualesquiera sobre una de las transversales es igual a la razón
entre los segmentos correspondientes sobre la otra transversal.
A // B // C // D
ab
a`b`
bc
b`c`
o
ac
a`c`
cd
c`d `
o
ad
a`d `
ab
a`b`
Veamos que la razón entre dos segmentos sobre la recta S es igual a la razón
entre los segmentos correspondientes sobre la recta T.
83
MODELO DE EJERCICIO 3
Construir un triángulo grande, luego indicar con a’ un punto situado a los 2/3 de
la longitud de ab, a partir del vértice a. Indicar con c’ un punto situado a los 2/3
de la longitud de bc, a partir del vértice c.
Trazar la recta determinada por los puntos a’ y c’; luego responder:
a) La recta R (determinada por a’ y c’) ¿es paralela al segmento ac?
b)
c)
ab
cb
ab
cb
ab
cb
ac
ab
cb
ac
Resolución
Los triángulos abc y a b c son semejantes pues tienen sus lados homólogos
proporcionales y sus ángulos iguales aˆ
aˆ y cˆ cˆ (por ser correspondientes
entre paralelas) y b̂ es común a ambos triángulos.
84
COROLARIO DEL TEOREMA DE THALES
“Si una recta es paralela a uno de los lados de un triángulo e intersecta a
los otros 2, determina en ellos segmentos proporcionales “
Cuando dos rectas paralelas cortan a dos rectas secantes, determinan en
éstas segmentos proporcionales
La razón entre dos segmentos en uno de sus lados es igual a la razón entre los
segmentos correspondientes en el otro lado.
BD
CE
DA
EA
Cuando tres o mas rectas paralelas cortan a dos rectas secantes,
determinan en éstas segmentos proporcionales.
85
Ejemplo
Calcular la longitud de X.
De acuerdo al teorema de Thales:
ba
bc
aa
cc
x
15 cm
5 cm
15 cm 7 cm
5 cm
x
7 cm
21 cm
86
EJERCICIOS:
1. Calcular la longitud de X.
2. Calcular la longitud de X1 y de X2 .
87
3. Usando el teorema de Thales, calcular el valor del segmento desconocido X.
a)
b)
4. Calcular el extremo medio desconocido.
a)
b)
c)
d)
RESPUESTAS:
1) X = 20 cm
2) X1 = 207/13 cm; X2 = 52/3 cm
3) a) x = 8 cm
b) x = 16 cm
4) a) x = 49/6
b) x = 6
c) x = 11/12
d) x = 11/34
88
_UNIDAD_5: POLÍGONOS
LA CIRCUNFERENCIA
DEFINICIÓN
Se denomina circunferencia al lugar geométrico de los puntos M del plano que
están a una distancia R, llamada radio, de un punto fijo O, llamado centro de
la circunferencia.
Se denomina círculo a la porción del plano limitada por la circunferencia y que
contiene al centro O.
1.- Dibuja en tu cuaderno una circunferencia de 3 cm. de radio. ¿Necesitas
algún instrumento o aparato para dibujarlo? ¿Cómo se llama?
2.- ¿Cómo dibujarías una circunferencia, en el campo, que tuviera 14 m de
radio?
ELEMENTOS DE UNA CIRCUNFERENCIA
Recuerda que la circunferencia es la línea, la curva, y que el círculo es
la superficie de su interior
En la figura siguiente tienes los elementos fundamentales que podemos
trazar en una circunferencia.
La medida angular de un arco PQ es la del ángulo central correspondiente
POQ.
89
Centro: Es el punto fijo, en donde se coloca el compás para trazarla.
Radio: Es cualquier segmento con un extremo en el centro y el otro
sobre la circunferencia.
Diámetro: Segmento determinado por dos puntos de la circunferencia y
que contiene al centro. Es igual a dos radios.
Cuerda: Segmento determinado por dos puntos indiferentes de la
circunferencia.
Arco: Porción de circunferencia determinada por dos puntos.
Círculo: Parte de plano limitado por la circunferencia.
Secante: Recta que corta la circunferencia en dos puntos cualesquiera
(por ejemplo la cuerda).
Tangente: Es la recta que toca un solo punto de la circunferencia
3.- Ángulos inscriptos en la circunferencia:
Los ángulos A y B, en la siguiente figura, son ángulos inscriptos porque
su vértice está en la circunferencia. Ambos abarcan el mismo arco PQ.
Al variar el valor del arco PQ, varían los valores de los ángulos A y B.
90
4. Medida de un ángulo inscripto:
La medida de un ángulo inscripto en una circunferencia es igual a la
mitad del arco que abarca, es decir a la mitad del ángulo central.
En la figura siguiente, tenemos los dos ángulos, A y B, de la figura
anterior, y además, el ángulo central POQ. Observa los tres.
91
MEDIDAS DE ÁNGULOS. SISTEMA SEXAGESIMAL. RADIÁN
Puesto que el ángulo recto resulta una medida demasiado grande para medir
ángulos, se definen otro tipo de unidades :
a) División sexagesimal
La unidad que habitualmente se utiliza es el grado sexagesimal, que es la
noventava parte de un ángulo recto. Por lo tanto una circunferencia tiene 4
ángulos rectos * 90º cada uno = 4·90 = 360º
Minuto sexagesimal es la sesentava parte de un grado sexagesimal . 1º = 60'
Segundo sexagesimal es la sesentava parte de un minuto sexagesimal .
1'=60''
b) Radián
Un radián es el ángulo cuyo arco tiene la longitud igual al radio de una
circunferencia centrada en el vértice.
Como ya veremos, el perímetro de una circunferencia es 2· ·R =2·3,14·R
=6,28·R es decir el perímetro de una circunferencia es aproximadamente 6
veces el Radio de la circunferencia que nosotros dibujemos. Por lo tanto en un
giro completo hay 6,28 radianes, es decir:
1 revolución = 360º = 2· radianes
Si hacemos una regla de tres:
360º
2· radianes
xº
1 radián
x =360/2
57º 17’ 44,8’’
En el caso de que tengamos que pasar de grados a radianes (o a la inversa)
resolveremos una regla de tres , siempre dejando el valor de
sin operar.
92
Ejemplo:
¿Cuántos radianes son 30º?
360º ----------------------2· radianes
30º------------------------ x radianes
x = 30·· 2· /360 = /6 radianes
¿Cuántos grados son /4 radianes?
360º---------------------- 2· radianes
x-------------------------- /4 radianes
x = (360· /4)/2 = 45º
Expresión compleja y decimal de la medida de un ángulo sexagesimal
La medida de un ángulo puede venir expresada en grados, minutos y
segundos, o en una sola unidad :
8º 30' 36''
8,51º
Forma compleja
Forma decimal
En lugar de utilizar 360º = 2 se puede usar 180º =
radianes
Ejemplo 1:
180º
150º
radianes
x=
150º
180º
5
6
radianes
Ejemplo 2:
180º
3
5
3
x= 5
180º
108
93
OPERACIONES CON MEDIDAS DE ÁNGULOS SEXAGESIMALES
a) Suma
Para sumar ángulos deberemos sumar grados con grados, minutos con
minutos y segundos con segundos.
32º 15' 6''
+ 2º 8' 29''
34º 23' 35''
Si el resultado de alguna de estas sumas es mayor o igual que 60, lo pasamos
a la unidad inmediatamente superior.
15º 20' 16''
+ 20º 30' 54''
35º 50' 70''
Los minutos y segundos deben expresarse en el resultado final con valores
menores que 60, si alguno de ellos es mayor que 60 se resta 60 (ó 120 ó 180,
etc, es decir lo que sea necesario para que quede un valor menor que 60) y
luego se le suma 1 unidad a la columna de la izquierda (si le resto 120, le sumo
2 unidades y así con el resto )
Teniendo en cuenta que 70'' = 1' 10'' el resultado de la suma lo expresaríamos
como :
35º 51' 10''
Importante: si la suma de dos ángulos es 90º, es decir, juntos forman un
ángulo recto, se dice que son complementarios. Si la suma de dos ángulos es
180º, es decir, forman un ángulo llano, se dice que son suplementarios .
b) Resta
La operación se dispone igual que la suma
94
30º 31' 12''
-
22' 48''
Puesto que no podemos restarle 48'' a 12'' debemos modificar el minuendo
pasando 1 minuto a segundos: 30º 31' 12'' = 30º 30' 72''
Con lo cual ya podemos realizar la resta:
30º 30' 72''
-
22' 48''
30º 8' 24''
c) Multiplicación
Para multiplicar un ángulo por un número natural debemos multiplicar por
separado los grados minutos y segundos por dicho número:
4º 20' 10''
x5
20º 100' 50''
Ahora bien como 100' = 1º 40' se tiene que: 20º 100' 50'' = 21º 40' 50''
d) División
Para dividir un ángulo entre un número natural, se dividen por separado
grados, minutos y segundos entre este número natural y el resto de grados o
minutos se multiplica por 60 y el resultado se suma en la columna que esta a la
derecha (el único resto que no se multiplica por 60 es el de los segundos).
206º
37'
46''
06º
5
41º 19' 33''
1ºx60 = 60'
97'
47'
2'x60 = 120''
166''
16
1''
→ RESTO
95
POLÍGONOS
1- Definición de polígonos:
Es la región del plano limitada por una línea poligonal cerrada.
Los elementos de los polígonos son:
a) Lados: segmentos que limitan el polígono, AB, BC, CD, DA.
b) Perímetro: suma de las longitudes de los lados.
c) Vértices: Puntos donde se unen dos lados consecutivos, A, B, C, D. En todo
polígono el nº de lados y vértices coincide.
d) Diagonales : son los segmentos que unen vértices no consecutivos .
e) Ángulos interiores : son los ángulos formados por lados consecutivos .
f) Ángulos exteriores : son los ángulos formados por un lado y la prolongación
de otro consecutivo .
Ángulo interior = ABC
Ángulo exterior = CBF
96
2.- Clasificación de los polígonos:
a) Por el número de lados:
Triángulo
Cuadrilátero
Pentágono
Hexágono
Heptágono
Octógono
Eneágono
Decágono
b) Por su forma:
Equilátero: lados iguales
Equiángulo: ángulos iguales
Regular: lados y ángulos iguales
Irregular: lados y ángulos desiguales
97
TRIANGULOS Y CUADRILATEROS
Triángulos. Clasificación.
Como ya vimos, los triángulos son polígonos de 3 lados y por lo tanto 3
ángulos.
Se pueden clasificar:
a) Por sus lados:
Equilátero, si tiene los tres lados iguales
Isósceles, si tiene dos lados iguales
Escaleno, si tiene los tres lados diferentes
b) Por sus ángulos:
Rectángulo, si tiene un ángulo recto
Acutángulo, si sus tres ángulos son agudos
Obtusángulo, si tiene un ángulo obtuso
En los triángulos rectángulos el lado opuesto al ángulo recto se llama
hipotenusa y los otros dos lados, catetos.
98
Propiedades del triángulo
1.En todo triángulo, un lado cualquiera es menor que la suma de los otros dos,
pero mayor que su diferencia.
En la figura se observa que si a fuese mayor que b+c entonces no podríamos
juntar sus lados. Pero por otro lado a-b tampoco puede ser mayor que c para
que se puedan unir .
2.La suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180º.
Los ángulos alternos internos entre paralelas son iguales.
Como por otro lado un ángulo llano mide 180º tenemos que a + b + c = 180º
3. Un ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los dos ángulos
interiores no adyacentes.
= 180º – a = b + c
99
Rectas y puntos notables de un triángulo.
Mediatrices: son las rectas perpendiculares trazadas en los puntos medios de
los lados.
Las tres mediatrices de un triángulo se cortan en un punto que se llama
circuncentro que equidista de los vértices del triángulo y por lo tanto es el
centro de la circunferencia circunscripta al triángulo.
Bisectrices: son las semirrectas que dividen en dos partes iguales los ángulos
interiores al triángulo.
Las tres bisectrices de un triángulo se cortan en un punto llamado incentro que
equidista de los lados del triángulo y por lo tanto es el centro de la
circunferencia inscripta al triángulo.
Alturas: son los segmentos perpendiculares a un lado o a su prolongación,
trazados desde el vértice opuesto.
100
Las tres alturas de un triángulo se cortan en un punto llamado ortocentro.
Medianas: son los segmentos que unen un vértice con el punto medio del lado
opuesto.
Las tres medianas de un triángulo se cortan en un punto llamado baricentro o
centro de gravedad.
Teorema de Pitágoras
“En un triángulo rectángulo la suma de los cuadrados de los catetos es igual al
cuadrado de la hipotenusa”
A2 = B2 + C2
Donde A = Hipotenusa
B y C = Catetos
Ejemplo:
A2
B = 4 cm
C = 3 cm
A
4cm
2
4cm
3cm
2
3cm
2
2
A
25cm2
A 5cm
101
Cuadriláteros. Clasificación.
Los cuadriláteros como su propio nombre indica son aquellos polígonos de
cuatro lados y por lo tanto cuatro ángulos. Se clasifican según el paralelismo de
sus lados en:
1.Trapezoides son los que no tienen ningún lado paralelo a otro.
Entre ellos está el romboide, que tiene los lados iguales dos a dos.
2.Trapecios son los cuadriláteros con dos lados paralelos.
Los trapecios se pueden clasificar en:
Trapecio rectángulo, es el que tiene dos ángulos rectos
Trapecio isósceles, es el que tiene los lados no paralelos iguales
Trapecio escaleno, sus lados son distintos.
3.Paralelogramos son aquellos cuadriláteros que tienen los lados paralelos
dos a dos y por lo tanto los ángulos opuestos (no adyacentes) son iguales y los
lados opuestos son iguales.
Los paralelogramos se pueden clasificar en:
Rectángulo, es el paralelogramo que tiene los 4 ángulos iguales
(rectos), pero los lados adyacentes no son iguales.
Cuadrado, es el que tiene los 4 lados y 4 ángulos iguales.
Rombo, es el que tiene los 4 lados iguales, y los ángulos opuestos
iguales.
Paralelogramo, propiamente dicho, cuando no es ninguno de los
anteriores.
102
EJERCICIOS UNIDAD Nº5
1) Calcular 38º 54` 57`` + 48º 48`52``
2) Calcular 173º 49`53`` - 41º 54`27``
3) Calcular 27º 47`51`` x 6
4) Calcular 179º 49`20`` : 5
5) Pasar a radianes
a) 120º
b) 225º
c) 270º
d) 315º
6) Pasar a grados
a)
3
4
b)
5
6
c)
4
3
d)
3
5
7) Los siguientes datos corresponden a los lados de triángulos
rectángulos, en los cuales A es la hipotenusa y B y C los catetos.
Utilizando el teorema de Pitágoras calcular el lado faltante.
a) B = 8 cm y C = 6 cm. Calcular A
b) A = 20 cm y B = 10 cm. Calcular C
c) A = 16 cm y C = 8 cm. Calcular B
d) B = 20 cm y C = 10 cm. Calcular A
103
RESPUESTAS:
1) 87º 43`49``
2) 131º 55` 26``
3) 166º 47` 6``
4) 35º 57` 52``
5)
a)
2
3
b)
5
4
c)
3
2
d)
7
4
6)
a) 135º
b) 150º
c) 240º
d) 108º
7)
a) A = 10 cm
b) B = 17,32 cm
c) B = 13,86 cm
d) A = 22,36 cm
104
Manual de matemática de séptimo grado.
Enciclopedia temática Océano.
Tapia 2 y 3. Editorial Estrada
Apuntes universitarios:
Apuntes sobre geometría, cátedra de Álgebra y Geometría I
Números reales, cátedra de Álgebra y Geometría I
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