Todo: Interpolación numérica

Métodos numéricos y álgebra lineal
CB00851
Interpolación numérica
Objetivos
UNIDAD V
Interpolación numérica
duración
Contenido temático
4.5 hrs.
objetivos
•
•
•
5.1 Interpolación simple
5.2 Método de Lagrange
5.3 Método de Newton
•
Definir interpolación numérica
Explicar usos y ventajas
Deducir y aplicar los métodos para
encontrar
un
polinomio
de
interpolación:
o Interpolación simple
o Método de Lagrange
o Método de Newton
Aplicar los métodos de interpolación
para la solución de un problema
Bibliografía del tema
Burden, pp. 104 a 165 capítulo 3
Chapra, pp. 449 a 598 parte cinco: capítulos 18
Gerald, pp. 220 a 353 capítulo 3
Maron, pp. 593 a 657 capítulo 6
Nakamura, pp. 22 a 61 capítulo 2
Nieves, pp. 317 a 359: capítulo 5
NGJ/v06
Unidad V
99
Métodos numéricos y álgebra lineal
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Interpolación numérica
5. Interpolación numérica
Introducción
En la ingeniería y en cualquier ciencia, es común contar con un conjunto de
datos (valores discretos) a lo largo de un comportamiento continuo. Sin embargo, en
muchas ocasiones se requiere tener conocimiento de una estimación en puntos entre
los valores discretos.
Ejemplos:
• En la termodinámica se utilizan tablas de vapor que relacionan la presión y el
volumen específico a una temperatura particular.
• En los negocios se cuenta con información de número de piezas vendidas y la
ganancia obtenida.
• En el inicio del estudio de la astronomía, a partir de observaciones periódicas,
estableció las posiciones de los cuerpos celestes.
Determinar el volumen específico a un presión diferente de los datos que se tienen,
poder calcular la ganancia obtenida con un número cualquiera de piezas vendidas y
establecer el movimiento de un cuerpo celeste se pueden obtener interpolando los
datos obtenidos.
La palabra interpolación significa pasar una curva por un conjunto dado de puntos.
Matemáticamente el problema de interpolación es que dado un conjunto de puntos
en la gráfica de una función, encontrar una función interpolante cuya gráfica pase por
uno o más puntos seleccionados.
La interpolación es el cálculo de valores para una función tabulada en puntos que
no aparecen en la tabla.
Esto es, aproximar información discreta o funciones complejas a funciones
analíticamente sencillas. Esto es muy necesario en el campo de la ingeniería.
Los nombres de muchos matemáticos famosos están asociados con procedimientos
de interpolación: Gauss, Newton, Bessel y Stirling por mencionar algunos.
La necesidad de interpolar se inició precisamente con los primeros estudios de
astronomía cuando el movimiento de cuerpos celestes debía de determinarse a partir
de observaciones periódicas.
Actualmente las calculadoras y las computadoras calculan los valores de las
funciones trigonométricas y logarítmicas por lo que ya no es necesario interpolar para
conocer valores de senos o cosenos o cualquier otra función matemática como se hacía
anteriormente.
Sin embargo los métodos numéricos constituyen la base de procedimientos como
derivación e integración numérica y solución de ecuaciones diferenciales ordinarias y
parciales.
También, estos métodos demuestran resultados teóricos importantes sobre
polinomios y la exactitud de los métodos numéricos.
Interpolar con polinomios sirve como una excelente introducción a ciertas técnicas
para trazar curvas suaves.
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Unidad V
100
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Interpolación numérica
Interpolación
Los métodos para determinar una función polinomial (función interpolante) que
nos permita determinar el valor en un punto dado, son:
1. Interpolación lineal simple
2. Método de Lagrange
3. Método de Newton.
Es importante aclarar que la interpolación se lleva a cabo a partir de datos
exactos, obtenidos de una función o de un comportamiento periódico o de cifras
exactas o valores bien conocidos.
Cuando se cuenta con datos obtenidos de mediciones se requiere hacer un
“ajuste de curvas” para obtener un valor.
Ejemplos de interpolación polinomial:
Lineal: de primer orden, conectada a dos puntos
Cuadrática: de segundo orden (parabólica), conectada a tres puntos
Cúbica: de tercer orden, conectada a cuatro puntos.
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5.1 Interpolación lineal simple
Sea una función f (x) dada en forma tabular:
Punto
x
f ( x)
0
1
2
3
......
n
x0
x1
x2
x3
........
xn
f (x0 )
f ( x1 )
f (x 2 )
f ( x3 )
........
f (xn )
Para un polinomio simple de grado uno (lineal): si se desea encontrar f ( x k )
donde xi < x k < x j entonces
1) establecer la funciones lineales:
f ( xi ) =a 0 + a1 xi
f ( x j ) =a 0 + a1 x j
2) encontrar los valores de a 0 y a1 por medio de cualquier método de solución de
dos ecuaciones con dos incógnitas.
3) El polinomio obtenido será: P ( x) = a 0 + a1 x para encontrar P( x k ) = a 0 + a1 x k
Para un polinomio simple de grado dos (cuadrático): si se desea encontrar
f ( x k ) donde xi < x k < x j y x h menor que xi o mayor x j que entonces
f ( xi ) =a 0 + a1 xi + a 2 xi2
1) establecer la funciones cuadráticas: f ( x j ) =a 0 + a1 x j + a 2 x 2j
f ( x h ) = a 0 + a1 x h + a 2 x h2
2) encontrar los valores de a 0 , a1 y a 2 por medio de cualquier método de solución
de tres ecuaciones con tres incógnitas.
3) El polinomio obtenido será: P( x) = a 0 + a1 x + a 2 x 2 para encontrar
P( x k ) = a 0 + a1 x k + a 2 x k2
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En forma general la interpolación simple genera un polinomio de grado n - 1 a partir
de n datos:
1) establecer la funciones polinomiales:
f ( x0 ) = a 0 + a1 x0 + a 2 x02 + ...... + a n −1 x0n −1
f ( x1 ) = a 0 + a1 x1 + a 2 x12 + ...... + a n −1 x1n −1
f ( x 2 ) = a 0 + a1 x 22 + a 2 x 22 + ...... + a n −1 x 2n −1
.
.
f ( x n −1 ) =a 0 + a1 x n2−1 + a 2 x n2−1 + ...... + a n −1 x nn −1
2) encontrar los valores de a 0 , a1 , a 2 .........a n −1 por medio de cualquier método de
solución de n ecuaciones con n incógnitas. Cuya matriz se define:
⎤
⎡1 x 0 x 20 x03 ........
x n0 −1
⎡ f ( x0 ) ⎤
⎥
⎢
2
3
⎢ f (x ) ⎥
x1
⎥
⎢1 x1 x1 x1 ........
1
⎢
⎥
⎥
⎢
2
3
⎢
⎥
x
x
x
x
f
(
x
)
1
........
2
2
2
2
2
⎥
⎢
⎢
⎥
⎥ =
A = ⎢.
⎢
⎥
⎥
⎢
⎢
⎥
⎥
⎢.
⎢
⎥
⎥
⎢.
⎢
⎥
⎥
⎢
⎢
⎥
2
3
⎢1 x n −1 x n −1 x n −1 ........
x n −1 ⎥
⎣ f ( x n −1 )⎦
⎦
⎣
3) El polinomio obtenido : P ( x) = a 0 + a1 x + a 2 x 2 + ..........a n −1 x n
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Ejemplo:
punto
Temperatura
oC
Presión
atm
0
56.5
1
113
2
181
3
214.5
1
5
20
40
Encontrar la temperatura cuando la presión es igual a 2
1) LINEAL
f ( x0 ) = a 0 + a1 x0
x0 = 1
f ( x 0 ) = 56.5
ec´n − 1 : a 0 + a1 = 56.5
f ( x1 ) = a 0 + a1 x1
x0 = 5
f ( x1 ) = 113
ec´n − 2 : a 0 + 5a1 = 113
a 0 = 42.375
a1 = 14.125
p ( x) = 42.375 + 14.125 x
p (2) = 70.625
2) CUADRÁTICA
f ( x0 ) = a 0 + a1 x0 + a 2 x 02
x0 = 1 |
f ( x0 ) = 56.5
ec´n − 1 : a 0 + a1 + a 2 = 56.5
f ( x1 ) = a 0 + a1 x1 + a x
x1 = 5 |
f ( x1 ) = 113
ec´n − 2 :
x 2 = 20 |
f ( x 2 ) = 181
2
2 1
f ( x 2 ) = a 0 + a1 x 2 + a 2 x
2
2
a 0 + 5a1 + 25a 2 = 113
ec´n − 3 : a 0 + 20a1 + 400a 2 = 181
a 0 = 39.85 a1 = 17.153
a 2 = −0.504
p ( x) = 39.85 + 17.153x − 0.504 x 2
p (2) = 72.14
3) POLINOMIAL
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Interpolación numérica
f ( x0 ) = a 0 + a1 x0 + a 2 x 02 + a3 x03
x0 = 1 |
f ( x1 ) = a 0 + a1 x1 + a x + a x
x1 = 5 | f ( x1 ) = 113
2
2 1
3
3 1
f ( x 2 ) = a0 + a1 x 2 + a 2 x + a3 x
2
2
3
2
f ( x3 ) = a0 + a1 x 2 + a 2 x 22 + a3 x33
f ( x0 ) = 56.5
ec´n − 1 : a 0 + a1 + a 2 + a3 = 56.5
ec´n − 2 :
x 2 = 20 | f ( x 2 ) = 1
x3 = 40 |
a0 = 38.226605 a1 = 18.65867
f ( x3 ) = 214.5
a 0 + 5a1 + 25a 2 +125a3 = 113
ec´n − 3 : a0 + 20a1 + 400a 2 +8000a3 = 181
ec´n − 4 : a0 + 40a1 + 1600a 2 +64000a3 = 214.5
a 2 = −0.7957017 a3 = 0.01098516
p( x) = 38.226605 + 18.65867 x − 0.7957017 x 2 + 0.01098516 x 3
p(2) = 78.814
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Actividades colaborativas
Hoja de trabajo
Hoja de trabajo de Interpolación simple
En equipo de dos personas, resuelve la siguiente hoja de trabajo en estas misma hojas
Matrícula ________ Nombre ___________________________
Matrícula ________ Nombre ___________________________
1) Los valores t = {0.0, 10.0, 27.4, 42.1} y s = {61.5, 62.1, 66.3, 70.3}
representan la cantidad s en gramos de dicromato de potasio disueltos en 100
partes de agua a la temperatura t en grados centígrados. Para una temperatura
de 25 grados, encuentra la cantidad de gramos de dicromato de potasio. Por
medio de interpolación simple:
a. Lineal
b. Cuadrática
c. Polinomial grado 3
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2) La siguiente tabla contiene las presiones de vapor del cloruro de magnesio. Por
medio de interpolación simple, polinomial de grado 5 calcula la presión de
vapor correspondiente a una temperatura de 1100 0 C . Calcula el error.
Punto
0
1
2
3
4
5
6
7
Presión
(mg de Hg)
Temperatura
0
C
10
20
40
60
100
200
400
760
930
988
1050
1088
1142
1316
1223
1418
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Solución de Hoja de trabajo de Interpolación simple
1) Los valores t = {0.0, 10.0, 27.4, 42.1} y s = {61.5, 62.1, 66.3, 70.3}
representan la cantidad s en gramos de dicromato de potasio disueltos en 100
partes de agua a la temperatura t en grados centígrados. Para una temperatura de
25 grados, encuentra la cantidad de gramos de dicromato de potasio. Por medio de
interpolación simple:
a. Lineal
b. Cuadrática
c. Polinomial grado 3
Solución:
a 0 + a1 x 0 = f ( x0 )
a 0 + 10a1 = 61.5
a 0 + a1 x1 = f ( x1 )
a 0 + 27.4a1 = 62.1
a 0 = 59.69
a. Lineal
a1 = 0.2414
f ( x) = 59.69 + 0.2414 x
f (25) = 65.725
b. Cuadrática
a 0 + a1 x 0 + a 2 x02 = f ( x0 )
a 0 + 10a1 + 100a 2 = 61.5
a 0 + a1 x1 + a 2 x12 = f ( x1 )
a 0 + 27.4a1 + 750.76a 2 = 62.1
a 0 + a1 x 2 + a 2 x 22 = f ( x 2 )
a 0 + 42.1a1 + 1772.442a 2 = 70.3
a0 = 59.95
a1 = 0.2056
a 2 = 9.57
f ( x) = 59.95 + 0.2056 x + 9.57 x 2
f (25) = 6046.34
c. Cúbica
a 0 + a1 x 0 + a 2 x02 + a3 x03 = f ( x0 )
a 0 + 10a1 + 100a 2 + 1000a3 = 61.5
a 0 + a1 x1 + a 2 x12 + a3 x13 = f ( x1 )
a 0 + 27.4a1 + 750.76a 2 + 20570a3 = 62.1
a 0 + a1 x 2 + a 2 x 22 + a3 x 23 = f ( x 2 )
a 0 + 42.1a1 + 1772.442a 2 + 74618a3 = 70.3
a 0 = 61.5
a1 = −0.043
a 2 = 0.0116
a3 = −0.000134
f ( x) = 61.5 − 0.043x + 0.0116 x − 0.000134 x 3
f (25) = 65.58
2
x
t
0.00
10.00
27.40
42.10
61.50
62.10
66.30
70.30
NGJ/v06
lineal
59.69
62.10
66.30
69.85
error cuadrática
2.94%
59.95
0.01%
1019.01
0.01%
7250.36
0.64%
17030.57
error
2.52%
1540.91%
10835.68%
24125.56%
Unidad V
cúbica
61.50
62.10
66.27
70.25
error
0.00%
0.01%
0.04%
0.07%
108
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Interpolación numérica
2) La siguiente tabla contiene las presiones de vapor del cloruro de magnesio. Por
medio de interpolación simple, polinomial de grado 5 calcula la presión de
vapor correspondiente a una temperatura de 1100 0 C . Calcula el error
Punto
0
1
2
3
4
5
6
7
Presión
(mg de Hg)
Temperatura
0
C
10
20
40
60
100
200
400
760
930
988
1050
1088
1142
1316
1223
1418
grado = 5
1
1
1
1
1
1
10
20
40
60
100
200
a0=
a1=
a2=
a3=
a4=
a5=
10
20
40
60
100
200
400
NGJ/v06
100
400
1600
3600
10000
40000
1000
8000
64000
216000
1000000
8000000
10000
160000
2560000
12960000
100000000
1600000000
100000
3200000
102400000
777600000
1E+10
3.2E+11
930
988
1050
1088
1142
1316
837.012
11.619
-0.2647
3.478
-2.183
4.95E-08
930
988
1050
1088
1142
1316
1223
-17425.2631
1973.68%
-320492.33
32538.49%
-5365004.68
511052.83%
-27539812.3
2531332.75%
-214822153
18811146.68%
-3464967587 263295509.36%
-5.5662E+10 4551246051.54%
Unidad V
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Interpolación numérica
Tarea de Interpolación simple
En forma individual resuelve la siguiente tarea en estas mismas hojas.
Matrícula ________ Nombre ___________________________
1) Por medio de interpolación simple, para la siguiente tabla de datos, encuentra
el polinomio que menos error genere.
Punto
x
y
NGJ/v06
0
0.0
10.00
1
2.5
4.97
2
5.0
2.47
Unidad V
3
7.5
1.22
4
10.0
0.61
5
12.5
0.3
6
15.0
0.14
110
Métodos numéricos y álgebra lineal
CB00851
Interpolación numérica
Solución Tarea de Interpolación simple
1) Por medio de interpolación simple, para la siguiente tabla de datos, encuentra
el polinomio que menos error genere.
Punto
0
1
2
3
4
5
6
x
0.0
2.5
5.0
7.5
10.0
12.5
15.0
xy
10.00
4.97
2.47
1.22
0.61
0.3
0.14
Lineal:
x
y
5
7.5
2.47
1.22
a0=
a1=
4.97
-0.5
y = 4.97 − 0.5 x
cuadrática
2.5
5
7.5
4.97
2.47
1.22
1
1
1
2.5
5
7.5
6.25
25
56.25
4.97 a0= 8.72
2.47 a1= -1.25
1.22 a2=
0.1
y = 8.72 − 1.25 x + 0.1x 2
1
1
1
1
cúbica
2.5
5
7.5
10
6.25 15.625
25
125
56.25 421.875
100
1000
4.97
2.47
1.22
0.61
a0=
a1=
a2=
a3=
9.33
-2.197
0.1976
0.00651
y = 9.33 − 2.197 x + 0.1976 x 2 + 0.00651x 3
n=4
1
1
1
1
1
2.5
5
7.5
10
12.5
6.25 15.625 39.0625
25
125
625
56.25 421.875 3164.06
100
1000
10000
156.25 1953.13 24414.1
4.97
2.47
1.22
0.61
0.3
a0=
a1=
a2=
a3=
a4=
9.6
-2.422
0.261
-0.014
0.0003
y = 9.6 − 2.422 x + 0.261x 2 − 0.014 x 3 + 0.0003 x 4
x
0
2.5
5
7.5
10
12.5
y
10
4.97
2.47
1.22
0.61
0.3
NGJ/v06
4.97
3.72
2.47
1.22
-0.03
-1.28
lineal
50.30%
25.15%
0.00%
0.00%
104.92%
526.67%
Cuadrática
8.72
12.80%
6.22
25.15%
4.97
101.21%
4.97
307.38%
6.22
919.67%
8.72 2806.67%
Unidad V
cúbica
9.33
6.70%
5.1742
4.11%
4.0988 65.94%
6.7139 450.32%
13.63 2134.43%
25.457 8385.78%
9.6
11.027
14.58
19.371
24.78
30.459
n=4
4.00%
121.87%
490.28%
1487.76%
3962.30%
10053.13%
111
Métodos numéricos y álgebra lineal
CB00851
Interpolación numérica
5.2 Método de Lagrange
Sea una función f(x) dada en forma tabular:
0
1
2
3
......
n
x0
x1
x2
x3
........
xn
Punto
x
f (x0 )
f ( x)
f ( x1 )
f (x 2 )
f ( x3 )
........
f (xn )
El método de Lagrange establece el polinomio:
P ( x) = a0 ( x − xn ) + a1 ( x − xn −1 ) + a2 (x − xn − 2 ) + ...... + an ( x − x0 )
f ( xi )
donde ai =
(xi − xi +1 )
en general
P( x) =
Li = Π
n
∑ L ( x)
i =0
(x − x )
i
f ( xi )
para j = 0 hasta n con j ≠ i
xi − x j
1) Polinomio lineal:
P( x) = L0 ( x) f ( x0 ) + L1 f ( x1 )
donde:
j
( x − x1 ) y
( x0 − x1 )
(x − x1 ) f ( x )
P ( x) =
(x0 − x1 ) 0
L0 ( x) =
P ( x) =
( x − x0 )
( x1 − x0 )
(x − x0 ) f ( x )
(x1 − x0 ) 1
L1 ( x) =
+
f ( x0 )
(x − x1 ) + f ( x1 ) (x − x0 )
(x0 − x1 )
(x1 − x0 )
2) Polinomio cuadrático:
P( x) = L0 ( x) f ( x0 ) + L1 f ( x1 ) + L2 f ( x2 )
( x − x0 )( x − x2 )
(x − x1 )( x − x2 )
L1 ( x) =
( x0 − x1 )( x0 − x2 )
( x1 − x0 )( x1 − x2 )
(x − x0 )(x − x2 )
(x − x1 )(x − x2 ) ( )
f (x )
f x0 +
P ( x) =
(x0 − x1 )(x0 − x2 )
(x1 − x0 )(x1 − x2 ) 1
L0 ( x) =
P ( x) =
L2 =
( x − x0 ) ( x − x1 )
( x 2 − x0 ) ( x 2 − x1 )
f ( x0 )
f ( x1 )
(x − x1 )(x − x2 ) +
(x − x0 )(x − x2 ) +
(x0 − x1 )(x0 − x2 )
(x1 − x0 )(x1 − x2 )
f ( x2 )
( x − x0 ) ( x − x1 )
( x 2 − x0 ) ( x 2 − x1 )
NGJ/v06
Unidad V
112
Métodos numéricos y álgebra lineal
CB00851
Interpolación numérica
Ejemplo:
punto
x
f (x)
0
3.2
22
1
2.7
17.8
2
1.0
14.2
Obtener el polinomio de Lagrange de grado 4
x
f(x)
Diferencia de x´s
1
14.2
2.7
17.8
-1.7
3.2
22
-0.5
4.8
38.3
-1.6
5.6
51.7
-8.0
3
4.8
38.3
P( x) =
n
∑ L ( x)
(x − x )
i =0
Li = Π
4
5.6
51.7
i
j
xi − x j
f ( xi )
para j = 0 hasta n con j ≠ i
P4 ( x ) = L0 ( x) f ( x0 ) + L1 ( x) f ( x1 ) + L2 ( x) f ( x 2 ) + L3 ( x) f ( x3 ) + L4 ( x) f ( x 4 )
L0 ( x) =
(x − x1 ) (x − x2 ) (x − x3 ) (x − x4 )
(x0 − x1 ) (x0 − x2 ) (x0 − x3 ) (x0 − x4 )
L2 ( x) =
(x − x0 ) (x − x1 ) (x − x3 ) (x − x4 )
(x2 − x0 ) (x2 − x1 ) (x2 − x3 ) (x2 − x4 )
L4 ( x) =
(x − x0 ) (x − x1 ) (x − x2 ) (x − x3 )
(x4 − x0 ) (x4 − x1 ) (x4 − x2 ) (x4 − x3 )
L0 ( x) =
L1 ( x) =
L3 ( x) =
(x − 2.7 ) (x − 3.2) (x − 4.8) (x − 5.6)
(1 − 2.7 ) (1 − 3.2) (1 − 4.8) (1 − 5.6)
( x − x0 ) ( x − x 2 ) ( x − x3 ) ( x − x 4 )
(x1 − x0 ) (x1 − x2 ) (x1 − x3 ) (x1 − x4 )
(x − x0 ) (x − x1 ) (x − x2 ) (x − x4 )
(x3 − x0 ) (x3 − x1 ) (x3 − x2 ) (x3 − x4 )
x 4 − 16.3 x 3 + 96.88 x 2 − 248.448 x + 232.243
65.3752
=
L1 ( x) =
(x − 1) (x − 3.2) (x − 4.8) (x − 5.6)
(2.7 − 1) (2.7 − 3.2) (2.7 − 4.8) (2.7 − 5.6)
=
x 4 − 14.6 x 3 + 73.76 x 2 − 146.176 x + 86.06
− 5.1765
L2 ( x) =
(x − 1) (x − 2.7 ) (x − 4.8) (x − 5.6)
(3.2 − 1) (3.2 − 2.7) (3.2 − 4.8) (3.2 − 5.6)
=
x 4 − 14.1x 3 + 68.06 x 2 − 127.536 x + 72.576
4.224
(x − 1) (x − 2.7 ) (x − 3.2) (x − 5.6)
(4.8 − 1) (4.8 − 2.7 ) (4.8 − 3.2) (4.8 − 5.6)
(x − 1) (x − 2.7 ) (x − 3.2) (x − 4.8)
L4 ( x) =
(5.6 − 1) (5.6 − 2.7 ) (5.6 − 3.2) (5.6 − 4.8)
L3 ( x ) =
=
=
x 4 − 12.5 x 3 + 53.18 x 2 − 90.064 x + 48.384
− 10.2144
4
3
x − 11.7 x + 47.66 x 2 − 78.432 x + 41.472
25.612
P4 ( x) = −1.4715 x 4 + 20.5714 x 3 − 95.4317 x 2 + 169.6807 x − 71.3489
NGJ/v06
Unidad V
113
Métodos numéricos y álgebra lineal
CB00851
Interpolación numérica
Actividades colaborativas
Hoja de trabajo
Hoja de trabajo de Interpolación Lagrange
En equipo de dos personas, resuelve la siguiente hoja de trabajo en estas misma hojas
Matrícula ________ Nombre ___________________________
Matrícula ________ Nombre ___________________________
1) Dada la siguiente tabla donde y es la amplitud de la oscilación de un péndulo
largo, en cm. y x es el tiempo medido en min. desde que inició la oscilación.
Encuentra el polinomio de Lagrange de segundo grado que pasa por los puntos
1, 2 y 3 y el valor de x correspondiente a y = 2 cm .
Punto
x
y
0
0.0
10.00
1
2.5
4.97
2
5.0
2.47
3
7.5
1.22
4
10.0
0.61
5
12.5
0.3
6
15.0
0.14
2) En una reacción química, la concentración del producto C B cambia con el
tiempo como se indica en la tabla de abajo. Calcula la concentración C B cuando
t = 0.82 usando un polinomio de Lagrange de tercer grado.
CB
t
NGJ/v06
0.00
0.00
0.30
0.10
0.55
0.40
Unidad V
0.80
0.60
1.10
0.80
1.15
1.00
114
Métodos numéricos y álgebra lineal
CB00851
Interpolación numérica
Solución de Hoja de trabajo de Interpolación Lagrange
1) Dada la siguiente tabla donde y es la amplitud de la oscilación de un péndulo
largo, en cm. y x es el tiempo medido en min. desde que inició la oscilación.
Encuentra el polinomio de Lagrange de segundo grado que pasa por los puntos
1, 2 y 3 y el valor de x correspondiente a y = 2 cm .
Punto
x
y
0
0.0
10.00
1
2.5
4.97
2
5.0
2.47
3
7.5
1.22
4
10.0
0.61
5
12.5
0.3
6
15.0
0.14
P( x) = L0 f ( x0 ) + L1 f ( x1 ) + L2 f ( x 2 )
=
( x − x0 )( x − x1 )
( x − x0 )( x − x 2 )
( x − x1 )( x − x 2 )
f ( x2 )
f ( x1 ) +
f ( x0 ) +
( x0 − x1 )( x0 − x 2 )
( x1 − x0 )( x1 − x 2 )
( x 2 − x0 )( x 2 − x1 )
x0 = 4.97
f ( x0 ) = 2.5
x1 = 2.47
f ( x1 ) = 5
x 2 = 1.22
f ( x 2 ) = 7.5
( x − 2.47)( x − 1.22)
(2.5) + ( x − 4.97)( x − 1.22) (5) + ( x − 4.97)( x − 2.47) (7.5)
(1.22 − 4.97)(1.22 − 2.47)
(2.47 − 4.97)(2.47 − 1.22)
(4.97 − 2.47)(4.97 − 1.22)
(2 − 2.47)(2 − 1.22)
(2.5) + (2 − 4.97)(2 − 1.22) (5) + (2 − 4.97)(2 − 2.47) (7.5)
P (2) =
(1.22 − 4.97)(1.22 − 2.47)
(2.47 − 4.97)(2.47 − 1.22)
(4.97 − 2.47)(4.97 − 1.22)
para y = 2 x = 5.84
P( x) =
NGJ/v06
Unidad V
115
Métodos numéricos y álgebra lineal
CB00851
Interpolación numérica
2) En una reacción química, la concentración del producto C B cambia con el
tiempo como se indica en la tabla de abajo. Calcula la concentración C B cuando
t = 0.82 usando un polinomio de Lagrange de tercer grado.
0.00
0.00
CB
t
0.30
0.10
0.55
0.40
0.80
0.60
1.10
0.80
1.15
1.00
P3 ( x ) = L0 ( x) f ( x0 ) + L1 ( x) f ( x1 ) + L2 ( x) f ( x 2 ) + L3 ( x) f ( x3 )
L0 ( x) =
(x − x1 ) (x − x2 ) (x − x3 )
(x0 − x1 ) (x0 − x2 ) (x0 − x3 )
L3 ( x) =
L1 ( x) =
(x − x0 ) (x − x1 ) (x − x2 )
(x3 − x0 ) (x3 − x1 ) (x3 − x2 )
(x − 0.6) (x − 0.8) (x − 1)
(0.4 − 0.6) (0.4 − 0.8) (0.4 − 1)
(x − 0.4) (x − 0.8) (x − 1)
L1 ( x) =
(0.6 − 0.4) (0.6 − 0.8) (0.6 − 1)
(x − 0.4) (x − 0.6) (x − 1)
L2 ( x) =
(0.8 − 0.4) (0.8 − 0.6) (0.8 − 1)
(x − 0.4) (x − 0.6) (x − 0.8) =
L3 ( x ) =
(1.0.4) (1. − 0.6) (1 − 0.8)
L0 ( x ) =
(x − x0 ) (x − x2 ) (x − x3 )
(x1 − x0 ) (x1 − x2 ) (x1 − x3 )
=
=
=
L4 ( x) =
L2 ( x) =
(x − x0 ) (x − x1 ) (x − x3 )
(x2 − x0 ) (x2 − x1 ) (x2 − x3 )
(x − x0 ) (x − x1 ) (x − x2 )
(x4 − x0 ) (x4 − x1 ) (x4 − x2 )
x 3 + 2.4 x 2 1.88 x + 0.48
(0.55)
− 0.048
x 3 + 2.2 x 2 + 1.52 x + 0.32
(0.85)
0.016
x 3 + 2 x 2 + 1.24 x + 0.24
(1.1)
− 0.016
x 3 + 1.8 x 2 + 1.04 x + 0.192
(1.15)
0.048
P3 ( x ) = −6.25 x 3 + 11.875 x 2 − 5.875 x + 1.4
P3 (0.82) = 1.1212
NGJ/v06
Unidad V
116
Métodos numéricos y álgebra lineal
CB00851
Interpolación numérica
Tarea de Interpolación Lagrange
En forma individual resuelve la siguiente tarea en estas mismas hojas.
Matrícula ________ Nombre ___________________________
1) Para la siguiente tabla de datos, encuentra el polinomio de Lagrange que arroja
el menor porcentaje de error para calcular el valor de y cuando x = 300 :
Punto
0
1
2
3
x
140
180
220
240
y
12,800
7,500
5,000
3,800
2) Por medio de interpolación de Lagrange, para la siguiente tabla de datos,
encuentra el polinomio que menos error genere.
Punto
x
y
NGJ/v06
0
0.0
10.00
1
2.5
4.97
2
5.0
2.47
Unidad V
3
7.5
1.22
4
10.0
0.61
5
12.5
0.3
6
15.0
0.14
117
Métodos numéricos y álgebra lineal
CB00851
Interpolación numérica
Solución Tarea de Interpolación Lagrange
1) Para la siguiente tabla de datos, encuentra el polinomio de Lagrange que arroja
el menor porcentaje de error para calcular el valor de y cuando x = 300 :
Punto
0
1
2
3
x
140
180
220
240
y
12,800
7,500
5,000
3,800
P3 ( x) = −0.00833x 3 + 5.375 x 2 − 1209.167 x + 99600
P3 (300) = −4400
2) Por medio de interpolación de Lagrange, para la siguiente tabla de datos,
encuentra el polinomio que menos error genere.
Punto
x
y
0
0.0
10.00
1
2.5
4.97
2
5.0
2.47
3
7.5
1.22
4
10.0
0.61
5
12.5
0.3
6
15.0
0.14
P3 ( x) = −0.0016 x 3 + 0.072 x 2 − 11.13x + 6.35
NGJ/v06
Unidad V
118
Métodos numéricos y álgebra lineal
CB00851
Interpolación numérica
5.3 Método de Newton
Diferencias divididas
Por definición:
f ´(x) = Lim
x → x0
f ( x) − f ( x0 )
x − x0
cuando tenemos:
punto
x
0
x0
1
x1
f (x0 )
f (x)
2
x2
f ( x1 )
f (x 2 )
.................
.................
.................
n
xn
f (xn )
f ( x1 ) − f ( x 0 )
(teorema del valor medio)
x1 − x0
la derivada se calcula: f ´(x) =
donde f ( x1 ) − f ( x0 ) se le llama primera diferencia dividida y se representa por f [x0 , x1 ]
x1 − x0
por lo que:
f ( x1 ) − f ( x0 )
x1 − x0
para obtener una aproximación de la primera derivada en un punto:
f [x0 , x1 ] =
PRIMERAS DIFERENCIAS DIVIDIDAS:
f [x0 , x1 ] =
f ( x1 ) − f ( x0 )
x1 − x0
f [x1 , x 2 ] =
f ( x 2 ) − f ( x1 )
x 2 − x1
f [x 2 , x 3 ] =
f ( x3 ) − f ( x 2 )
x3 − x 2
.
.
.
f [xi , xi +1 ] =
NGJ/v06
f ( xi +1 ) − f ( xi )
xi +1 − xi
Unidad V
119
Métodos numéricos y álgebra lineal
CB00851
Interpolación numérica
Para obtener una aproximación de derivadas de orden más alto:
SEGUNDAS DIFERENCIAS DIVIDIDAS
f [x1 , x 2 ] − f [x0 , x1 ]
f [x0 , x1 , x 2 ] =
x 2 − x0
f [x 2 , x3 ] − f [x1 , x2 ]
x3 − x1
f [x1 , x 2 , x3 ] =
f [x3 , x4 ] − f [x 2 , x3 ]
x4 − x2
f [x2 , x3 , x4 ] =
.
f [xi , xi +1 , xi + 2 ] =
f [xi +1 , xi + 2 ] − f [xi , xi +1 ]
xi + 2 − xi
TERCERAS DIFERENCIAS DIVIDIDAS
f [x1 , x 2 , x3 ] − f [x0 , x1 , x2 ]
x3 − x 0
f [x0 , x1 , x 2 , x3 ] =
f [x2 , x3 , x4 ] − f [x1 , x 2 , x3 ]
x4 − x1
f [x1 , x 2 , x3 , x 4 ] =
f [x3 , x4 , x5 ] − f [x 2 , x3 , x 4 ]
x5 − x 2
f [x2 , x3 , x4 , x5 ] =
.
f [xi +1 , xi + 2 , xi +3 ] − f [xi , xi +1 , xi + 2 ]
xi + 3 − xi
En general para I DIFERENCIAS DIVIDIDAS
f [xi , xi +1 , xi + 2 , xi +3 ] =
f [x1 , x2 , x3 ,........xi ] − f [x0 , x1 , x2 ,........xi −1 ]
xi − x0
f [x0 , x1 , x2 , x3 ,........xi ] =
o
f [xi , xi +1 , xi + 2 ,........xi + h ] =
NGJ/v06
f [xi +1 , xi + 2 ,........xi + h ] − f [xi , xi +1 ,........xi + h ]
xi + h − xi
Unidad V
120
Métodos numéricos y álgebra lineal
CB00851
Interpolación numérica
EJEMPLO:
pu
nto
x
f(x)
0
-2
-18
1
-1
-5
PRIMERAS
diferencias
divididas
1er orden
SEGUNDAS TERCERAS
diferencias diferencia
divididas
s
2do orden divididas
3er orden
− 5 − (−18)
= 13
− 1 − (−2)
3 − 13
= −5
0 − (−2)
− 2 − (−5)
=3
0 − (−1)
2
0
− 1 − (−5)
=1
2 − ( −2 )
4
5
2
3
3 − (−1)
=1
3 − (−1)
6
NGJ/v06
142
−1−1
=0
6 − (−1)
9−0
=3
3−0
-2
7
−1−1
=0
2 − (−2)
0−3
= −1
2 − (−1)
-2
− 2 − (−2)
=0
−2−0
3
CUARTAS
diferencias
divididas
4to orden
7 − (−2)
=9
3− 2
9−3
=1
6−0
142 − 7
= 45
6−3
45 − 9
=9
6−2
Unidad V
121
Métodos numéricos y álgebra lineal
CB00851
Interpolación numérica
Aproximación polinomial de Newton
Pn ( x) = a0 + a1 ( x − x0 ) + a2 ( x − x0 )(x − x1 ) + a3 (x − x0 )( x − x1 )(x − x2 ) + ....... + an (x − x0 )(x − x1 )(x − x2 ).....(x − xn )
a 0 = f (x 0 )
a1 =
f (x1 ) − f (x 0 )
= f [x 0 , x1 ]
x1 − x0
f (x1 ) − f (x 0 )
f (x 2 ) − f (x1 )
−
x 2 − x1
x1 − x0
a2 =
= f [x0 , x1 , x 2 ]
x 2 − x0
a3 = f [x0 , x1 , x 2 , x3 ]
n
n −1
k =0
i =0
Pn ( x) = ∑ a k Π ( x − xi )
..
a n = f [x0 , x1 , x 2 , x3 ,......x n ]
..
EJEMPLO:
punto
x
f ( x)
0
1.0
22
punto
0
x
1
f (x)
22
1
2.7
17.8
2
3.2
14.2
1
2.7
17.8
1er orden
2
3.2
14.2
3
4.8
38.3
2do orden 3er orden
4
5.6
51.7
4to orden
-2.47058824
-2.14973262
-7.2
3.35550608
10.601190
5
15.0625
3
4.8
38.3
-1.47144176
-3.41312603
0.703125
16.75
4
5.6
51.7
P1 ( x) = 14.2 − 2.4706( x − 1) lineal
P2 ( x) = 14.2 − 2.4706( x − 1) − 2.1498( x − 1)( x − 2.7) cuadrática
P3 ( x) = 14.2 − 2.4706( x − 1) − 2.1498( x − 1)( x − 2.7) + 3.5556( x − 1)( x − 2.7)( x − 3.2)
P4 ( x) = 14.2 − 2.4706( x − 1) − 2.1498( x − 1)( x − 2.7)
+ 3.5556( x − 1)( x − 2.7)( x − 3.2) − 1.4715( x − 1)( x − 2.7)( x − 3.2)( x − 4.8)
NGJ/v06
Unidad V
polinomial
122
Métodos numéricos y álgebra lineal
CB00851
Interpolación numérica
Polinomio de Newton en diferencias finitas
Interpolación de Newton hacia delante y hacia atrás con puntos de igual separación.
Cuando:
x1 − x0 = h y x2 − x1 = h
x1 − x 0 = h
en general
xi +1 − xi1 = h
x 2 − x 0 = 2h
también: x3 − x0 = 3h
.....
x n − x 0 = nh
x − x 0 = sh
xi − x 0 = ih
x 0 − x1 = −ih
entonces:
x = x 0 + sh
x − xi = x 0 + sh + xi
= sh + ( x 0 − xi )
= sh − ih
= h( s − i )
donde:
h es el int ervalo
x − x0
s=
h
i es el punto
como:
Pn ( x) = a0 + a1 ( x − x0 ) + a2 ( x − x0 )( x − x1 ) + a3 ( x − x0 )( x − x1 )( x − x2 ) + ....... + an ( x − x0 )( x − x1 )(x − x2 ).....( x − xn )
x − x 0 = sh
x − x0 = sh
y
x − x1 = h( s − 1)
x − xi = h( s − i )
entonces
(x − x 0 )(x − x 1 ) = (sh )[h(s − 1)]
(x − x 0 )(x − x 1 )........(x − x i ) = (sh )[h( s − 1)]..........h( s − i)
n
k −1
Pn ( x) = ∑ ak h k Π ( s − i )
k =0
NGJ/v06
Unidad V
i =0
123
Métodos numéricos y álgebra lineal
CB00851
Interpolación numérica
Esta ecuación se puede simplificar si: Δf ( x) = f ( x + h) − f ( x)
Operador lineal en diferencia hacia
adelante
Δ (Δf ( x )) = Δ2 f ( x )
= Δ ( f ( x + h) − f ( x))
= Δf ( x + h) − Δf ( x)
= [ f ( x + h + h) − f ( x + h) ] − [ f ( x + h) − f ( x ) ]
= f ( x + 2h) − 2 f ( x + h) − f ( x )
en general: Δi f ( x) = f ( x + ih) − if ( x + h) + f ( x)
entonces:
Δf ( x 0 ) = f ( x1 ) − f ( x 0 )
= hf [x 0 , x1 ]
por lo tanto: f [x0 , x1 ] =
Δf ( x)
h
f ( x 2 ) − f ( x1 ) f ( x1 ) − f (x 0 )
−
x 2 − x1
x1 − x0
f [x0 , x1 , x 2 ] =
x 2 − x0
y
=
por lo tanto:
f ( x 2 ) − 2 f ( x1 ) + f (x 0 )
2h 2
Δ f ( x0 ) = f ( x 2 ) − 2 f ( x1 ) + f ( x0 )
2
y
Δ2 f ( x 0 )
f [x0 , x1 , x 2 ] =
2h 2
Δn f ( x 0 )
hacia delante
en general: f [x0 , x1 , x 2 ,........x n ] =
n!h n
s( s − 1) 2
s( s − 1)( s − 2) 3
Δ f ( x0 ) +
P n ( x) = f ( x0 ) + sΔf ( x0 ) +
Δ f ( x0 ) + .....
2!
3!
por lo tanto:
s ( s − 1)( s − 2)....( s − (n − 1)) n
+
Δ f ( x0 )
n!
si: ∇f ( x) = f ( x) − f ( x − h) hacia atrás
entonces: ∇ i f ( x) = f ( x) − if ( x − h) + f ( x − ih)
∇ n f ( xn )
hacia atrás
y en general: f [x0 , x1 , x 2 ,........x n ] =
n!h n
Obtener el polinomio en diferencias finitas hacia atrás
NGJ/v06
Unidad V
124
Métodos numéricos y álgebra lineal
CB00851
Interpolación numérica
Ejemplo:
Punto
Temperatura oF
Presión Lb/plg2
punto
0
x
50
0
1
50
60
24.94 30.11
f (x)
2
70
36.05
Δf (x )
3
80
42.84
Δ2 f ( x)
4
90
50.57
Δ3 f ( x)
5
100
59.30
Δ4 f ( x)
24.94
5.17
1
60
30.11
0.77
5.94
2
70
36.05
0.08
0.85
6.79
3
80
42.84
0.94
7.73
4
90
0.01
0.09
50.57
-0.03
0.06
1.00
8.73
5
100
59.30
x − 50
h = 10
y
s=
10
s( s − 1) 2
s ( s − 1)( s − 2) 3
Δ f ( x0 ) +
P n ( x) = f ( x 0 ) + sΔf ( x 0 ) +
Δ f ( x0 ) + ...
2!
3!
s ( s − 1)( s − 2)....( s − (n − 1)) n
+
Δ f ( x0 )
n!
⎛ x − 50 ⎞ ⎡⎛ x − 50 ⎞ ⎤
⎜
⎟ ⎢⎜
⎟ − 1⎥
x − 50
⎝ 10 ⎠ ⎣⎝ 10 ⎠ ⎦
P 5 ( x) = 24.94 +
5.17 +
0.77
10
2!
⎛ x − 50 ⎞ ⎡⎛ x − 50 ⎞ ⎤ ⎡⎛ x − 50 ⎞ ⎤
⎜
⎟ ⎢⎜
⎟ − 1⎥ ⎢⎜
⎟ − 2⎥
⎝ 10 ⎠ ⎣⎝ 10 ⎠ ⎦ ⎣⎝ 10 ⎠ ⎦
+
0.08
3!
⎛ x − 50 ⎞ ⎡⎛ x − 50 ⎞ ⎤ ⎡ ⎛ x − 50 ⎞ ⎤ ⎡⎛ x − 50 ⎞ ⎤
⎟ ⎢⎜
⎟ −1 ⎥ ⎢ ⎜
⎟ − 2⎥ ⎢⎜
⎟ − 3⎥
⎜
⎝ 10 ⎠ ⎣⎝ 10 ⎠ ⎦ ⎣ ⎝ 10 ⎠ ⎦ ⎣⎝ 10 ⎠ ⎦
0.01
+
4!
⎛ x − 50 ⎞ ⎡ x − 50 ⎤ ⎡⎛ x − 50 ⎞ ⎤ ⎡⎛ x − 50 ⎞ ⎤ ⎡ ⎛ x − 50 ⎞ ⎤
− 1⎥ ⎢⎜
⎜
⎟
⎟ − 2⎥ ⎢⎜
⎟ − 3⎥ ⎢ ⎜
⎟ − 4⎥
⎝ 10 ⎠ ⎢⎣ 10
⎦ ⎣⎝ 10 ⎠ ⎦ ⎣⎝ 10 ⎠ ⎦ ⎣ ⎝ 10 ⎠ ⎦
−
0.04
5!
P5 ( x) = 4.756 + 0.1643 x + 0.0178 x 2 − 0.0002 x 3 + 10 −6 x 4 − 3 × 10 −9 x 5
hacer el polinomio hacia atrás
NGJ/v06
Unidad V
125
Métodos numéricos y álgebra lineal
CB00851
Interpolación numérica
Estimación del error
Al aproximar una función a un polinomio se comete un error. En realidad:
f ( x) = P1 ( x) + R1 ( x)
como P1 ( x) es lineal: P1 ( x) = f (x0 ) + ( x − x0 ) f [x0 , x1 ]
R1 ( x) = f ( x ) − [ f ( x0 ) + (x − x 0 ) f [x0 , x1 ] ]
= f ( x ) − f ( x 0 ) − ( x − x0 ) f [x0 , x1 ]
⎤
⎡ f (x ) − f (x0 )
− f [x0 , x1 ]⎥
= (x − x0 ) ⎢
(x − x0 )
⎦
⎣
= ( x − x0 ) [ f [x, x1 ] − f [x 0 , x1 ] ]
entonces: multiplicando y dividiendo por
= ( x − x0 ) ( x − x1 ) f [x, x0 , x1 ]
como
(x − x1 )
f [x, x0 , x1 ] ≅ f [x0 , x1 , x 2 ]
entonces
R1 ( x) = ( x − x0 ) ( x − x1 ) f [x0 , x1 , x 2 ]
De igual forma:
R2 ( x) = (x − x0 ) (x − x1 )( x − x 2 ) f [x 0 , x1 , x 2 , x3 ]
En general:
⎡ n
⎤
Rn ( x) = ⎢ Π ( x − xi ) ⎥ f [x 0 , x1 , x 2 ,..........x n +1 ]
⎣ i =0
⎦
• Para disminuir el error se deben usar argumentos más cercanos a x
• Cuando x está fuera del intervalo se llama extrapolación y el error es mayor
• No siempre el polinomio de grado mayor es el de menor error
• No se puede determinar el valor exacto del error.
NGJ/v06
Unidad V
126
Métodos numéricos y álgebra lineal
CB00851
Interpolación numérica
Actividades colaborativas
Hoja de trabajo
Hoja de trabajo de Interpolación Método de Newton
En equipo de dos personas, resuelve la siguiente hoja de trabajo en estas misma hojas
Matrícula ________ Nombre ___________________________
Matrícula ________ Nombre ___________________________
1) Para los siguientes valores:
Punto
e
p
0
40
0.63
1
60
1.36
2
80
2.18
3
100
3.00
4
120
3.93
5
140
6.33
6
160
8.59
Donde e son los volts y p los kilowatts en una curva de pérdida en el núcleo para un
motor eléctrico:
a) Elabora una tabla de diferencias divididas
b) Con el polinomio de Newton en diferencias divididas de segundo grado,
aproxima el valor de p correspondiente a e = 90 volts.
2) En la siguiente tabla:
i
v
1
120
2
94
3
75
4
62
Donde i es la corriente y v es el voltaje consumido por un arco magnético, aproxima
el valor de v para i = 3.5 por un polinomio de Newton de diferencias divididas y
compara con el valor dado por la fórmula empírica: v = 30.4 + 90.4i −0.507 , calcula el
error.
NGJ/v06
Unidad V
127
Métodos numéricos y álgebra lineal
CB00851
Interpolación numérica
Solución de Hoja de trabajo de Interpolación Método de Newton
1) Para los siguientes valores:
Punto
0
1
2
3
4
5
6
e
40
60
80
100
120
140
160
p
0.63
1.36
2.18
3.00
3.93
6.33
8.59
Donde e son los volts y p los kilowatts en una curva de pérdida en el núcleo para un
motor eléctrico:
a) Elabora una tabla de diferencias divididas
p
e
1ª dif
2ª dif
3ª dif
4ª dif
5ª dif
0
40
0.63
1.36 − 0.63
60 − 40
= 0.0365
1
60
1.36
2.18 − 1.36
80 − 60
= 0.041
2
80
0.41 − 0.0365
80 − 40
= 0.0001125
0.41 − 0.41
100 − 60
=0
2.18
3 − 2.18
100 − 80
= 0.041
3
100
120
0.465 − 0.41
120 − 80
= 0.0001375
3
140
6.27
8.59 − 6.27
160 − 140
= 0.1185
6
160
9.9 x10 −9 − 2.4 x10 −5
160 − 40
= 10 −10
2.6 x10 −5 − 2.2 x10 −6
140 − 60
= 2.9 x10 − 7
0.1145 − 0.0465
140 − 100
= 0.0017
3.93
2.9 x10 −7 − 5.3 x10 −8
140 − 40
= 2.4 x10 − 9
1.7 x10 −2 − 1.3 x10 −4
140 − 80
= 2.65 x10 − 5
6.27 − 3.93
140 − 120
= 0.1145
5
2.2 x10 −6 − 1.8 x10 −4
120 − 40
= 5.310 −8
1.375 x10 −4 − 0
120 − 60
= 2.295 x10 − 6
3.93 − 3
120 − 100
= 0.0465
4
0 − 1.125 x10 −4
100 − 40
= 1.875 x10 − 4
2.5 x10 75 − 2.9 x10 −5
160 − 60
= 9.9 x10 − 9
2.6 x10 −5 − 2.6 x10 −5
160 − 80
= 6.5 x10 − 7
10 −4 − 1.7 x10 −3
160 − 100
= 2.65 x10 − 5
0.1185 − 6.27
160 − 120
= 0.0001
8.59
NGJ/v06
Unidad V
128
Métodos numéricos y álgebra lineal
CB00851
Interpolación numérica
b) Con el polinomio de Newton en diferencias divididas de segundo grado,
aproxima el valor de p correspondiente a e = 90 volts.
P2 (e) = 0.63 + (e − 40)(0.0365) + (e − 40)(e − 60)(1.25 x10 −4 )
=1.25 x10 − 4 e 2 + 0.02525e − 0.56
P2 (90) = 1.25 x10 − 4 (90 ) + 0.02525(90) − 0.56
2
= 2.62375
2) En la siguiente tabla:
1
120
i
v
2
94
3
75
4
62
Donde i es la corriente y v es el voltaje consumido por un arco magnético, aproxima
el valor de v para i = 3.5 por un polinomio de Newton de diferencias divididas y
compara con el valor dado por la fórmula empírica: v = 30.4 + 90.4i −0.507 , calcula el
error.
1
120
2
94
3
75
-26
3.5
-19
-0.16666667
3
-13
4
62
V3 (i) = 120 − 26i + 3.5i 2 − 0.17i 3
v (i ) = 30.4 + 90.4i −0.507
V3 (3.5) = 120 − 26(3.5) + 3.5(3.5) 2 − 0.17(3.5) 3
v(3.5) = 30.4 + 90.4(90) −0.507
= 78.2989
= 64.73
NGJ/v06
Unidad V
129
Métodos numéricos y álgebra lineal
CB00851
Interpolación numérica
Tarea de Interpolación Método de Newton
En forma individual resuelve la siguiente tarea en estas mismas hojas.
Matrícula ________ Nombre ___________________________
1) Con los siguientes valores
Punto
l/r
p/a
0
140
12,800
1
180
7,500
2
220
5,000
3
240
3,800
Donde p / a es la carga en lb / pu lg 2 que causa la ruptura de una columna de hierro
dulce con extremos redondeados y l / r es la razón de la longitud de la columna al
mínimo radio de giro de su sección transversal.
Encuentra el polinomio de tercer grado que pasa por estos puntos en sus distintas
formas:
a) Aproximación polinomial simple P3 ( x) = a0 + a1 x + a2 x 2 + a3 x 3
b) Polinomio de Lagrange
c) Aproximación de Newton (diferencias divididas)
d) Aproximación de Newton en diferencias finitas (hacia delante y hacia atrás)
2) Para la siguiente tabla de datos, encuentra el polinomio que menos error genere.
Punto
x
y
0
0.0
10.00
1
2.5
4.97
2
5.0
2.47
3
7.5
1.22
4
10.0
0.61
5
12.5
0.3
6
15.0
0.14
a) Por medio de diferencias divididas
b) Has una tabla para el error de cada método:
• Interpolación simple
• Lagrange
• Newton
¿Qué método arroja menor error?
3) Calcula la concentración C B cuando t = 0.82 usando un polinomio de de Newton de
diferencias finitas hacia atrás.
CB
t
NGJ/v06
0.00
0.00
0.30
0.10
0.55
0.40
Unidad V
0.80
0.60
1.10
0.80
1.15
1.00
130
Métodos numéricos y álgebra lineal
CB00851
Interpolación numérica
Solución Tarea de Interpolación Método de Newton
1) Con los siguientes valores
Punto
l/r
p/a
0
140
12,800
1
180
7,500
2
220
5,000
3
240
3,800
Donde p / a es la carga en lb / pu lg 2 que causa la ruptura de una columna de hierro
dulce con extremos redondeados y l / r es la razón de la longitud de la columna al
mínimo radio de giro de su sección transversal.
Encuentra el polinomio de tercer grado que pasa por estos puntos en sus distintas
formas:
a) Aproximación polinomial simple: P3 ( x) = a0 + a1 x + a2 x 2 + a3 x 3
(1) : 12800 = a 0 + 140a1 + (140 ) a 2 + (140 ) a 3
2
3
(2) : 7500 = a 0 + 180a1 + (180 ) a 2 + (180 ) a 3
2
3
(3) : 5000 = a 0 + 220a1 + (220 ) a 2 + (220 ) a3
2
3
(4) : 3800 = a 0 + 240a1 + (240) a 2 + (240) a3
2
a 0 = 71278.77
3
a1 = −720.7991
⎡140
⎢
⎢180
⎢
⎢220
⎢240
⎣
19600
274000
32400
5832000
48400 10648000
67600 17576000
a 2 = 2.616438
12800 ⎤
⎥
7500 ⎥
⎥
5000 ⎥
3800⎥⎦
a3 = 3.224886 x10 −3
b) Polinomio de Lagrange
P3 (l ) = L0 P(l 0 ) + L1 P(l1 ) + L2 P(l 2 ) + L3 P(l 3 )
L0 =
(l − 180)(l − 220)(l − 260)
(140 − 180)(140 − 220)(140 − 260)
L1 =
(l − 140)(l − 220)(l − 260)
(180 − 140)(180 − 220)(180 − 260)
L2 =
(l − 140)(l − 180)(l − 260)
(220 − 140)(220 − 180)(220 − 260)
L3 =
(l − 140)(l − 180)(l − 220)
(260 − 140)(260 − 180)(260 − 220)
P3 (l ) = −0.034l 3 + 2.98l 2 + 547.39l + 75056.25
NGJ/v06
Unidad V
131
Métodos numéricos y álgebra lineal
CB00851
Interpolación numérica
c) Polinomio de Newton (Diferencias divididas)
punto
l/r
p/a
l/r^2
l/r^3
0
140 12800 19600
2744000
1
180
7500 32400
5832000
2
220
5000 48400 10648000
1a diferencia 2da diferencia 3a diferencia delta-1 delta-2 delta-3
-37.8571429
-5300
-0.308035714
-62.5
2800
0.00595238
l − 140
40
-1500
1300
-30
s=
-2500
0.40625
-1200
h = 40
⎛ l − 140 ⎞
⎛ l − 140 ⎞
P3 (l ) = 12,800 + ⎜
⎟ (− 5300) + ⎜
⎟
⎝ 40 ⎠
⎝ 40 ⎠
⎛ l − 140 ⎞
+⎜
⎟
⎝ 40 ⎠
⎡⎛ l − 140 ⎞ ⎤
⎢⎜ 40 ⎟ − 1⎥ (2800)
⎠ ⎦
⎣⎝
⎡⎛ l − 140 ⎞ ⎤
⎢⎜ 40 ⎟ − 1⎥
⎠ ⎦
⎣⎝
⎡⎛ l − 140 ⎞ ⎤
⎢⎜ 40 ⎟ − 2⎥ (− 1500 )
⎠ ⎦
⎣⎝
P3 (l ) = 0.3l 3 − 155.75l 2 + 27190l − 5600
2) Para la siguiente tabla de datos, encuentra el polinomio que menos error genere.
Punto
x
y
0
0.0
10.00
1
2.5
4.97
2
5.0
2.47
3
7.5
1.22
4
10.0
0.61
5
12.5
0.3
6
15.0
0.14
a) Por medio de diferencias divididas
b) Has una tabla para el error de cada método:
• Interpolación simple
• Lagrange
• Newton
¿Qué método arroja menor error?
3) Calcula la concentración C B cuando t = 0.82 usando un polinomio de de Newton de
diferencias finitas hacia atrás.
CB
t
0.00
0.00
0
0.30
0.10
0.55
0.40
0.80
0.60
1.10
0.80
1.15
1.00
0
0.3
0.2
NGJ/v06
0.3
-0.05
Unidad V
132
Métodos numéricos y álgebra lineal
CB00851
Interpolación numérica
0.25
0.4
0.55
0.6
0.8
0.05
0
0.25
0.05
0.05
0.3
0.8
1.11022E-16
1.1
-0.35
-0.35
-0.3
-0.25
0.05
1
1.15
⎛ x −1⎞
⎛ x −1⎞
P5 ( x) = 1.15 + ⎜
⎟(0.05) + ⎜
⎟
⎝ 0 .2 ⎠
⎝ 0.2 ⎠
⎛ x − 1⎞
+⎜
⎟
⎝ 0.2 ⎠
⎡⎛ x − 1 ⎞ ⎤
⎢⎜ 0.2 ⎟ + 1⎥ (−0.25)
⎠ ⎦
⎣⎝
⎡⎛ x − 1 ⎞ ⎤ ⎡⎛ x − 1 ⎞ ⎤
⎢⎜ 0.2 ⎟ + 1⎥ ⎢⎜ 0.2 ⎟ + 2⎥ (−0.3)
⎠ ⎦ ⎣⎝
⎠ ⎦
⎣⎝
⎛ x − 1 ⎞ ⎡⎛ x − 1 ⎞ ⎤ ⎡⎛ x − 1 ⎞ ⎤ ⎡⎛ x − 1 ⎞ ⎤
+⎜
⎟ ⎢⎜
⎟ + 1⎥ ⎢⎜
⎟ + 3⎥ (−0.35)
⎟ + 2⎥ ⎢⎜
⎝ 0.2 ⎠ ⎣⎝ 0.2 ⎠ ⎦ ⎣⎝ 0.2 ⎠ ⎦ ⎣⎝ 0.2 ⎠ ⎦
⎛ x − 1 ⎞ ⎡⎛ x − 1 ⎞ ⎤ ⎡⎛ x − 1 ⎞ ⎤ ⎡⎛ x − 1 ⎞ ⎤ ⎡⎛ x − 1 ⎞ ⎤
+⎜
⎟ ⎢⎜
⎟ + 1⎥ ⎢⎜
⎟ + 2⎥ ⎢⎜
⎟ + 3⎥ ⎢⎜
⎟ + 4⎥ (−0.35)
⎝ 0.2 ⎠ ⎣⎝ 0.2 ⎠ ⎦ ⎣⎝ 0.2 ⎠ ⎦ ⎣⎝ 0.2 ⎠ ⎦ ⎣⎝ 0.2 ⎠ ⎦
P5 (0.82) = 1.1275
NGJ/v06
Unidad V
133
Métodos numéricos y álgebra lineal
CB00851
Interpolación numérica
Algoritmos para ser incluidos en el
Proyecto Final
7. Interpolación
lineal simple
⎡1 x0 x 20 x03 ........
⎤
x n0 −1
⎡ f ( x0 ) ⎤
⎢
⎥
2
3
⎢ f (x ) ⎥
x1
⎢1 x1 x1 x1 ........
⎥
1
⎢
⎥
⎢
⎥
2
3
⎢
⎥
1
x
x
x
........
x
f
(
x
)
2
2
⎢ 2 2 2
⎥
⎢
⎥
⎥ =
A = ⎢.
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
.
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢.
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
2
3
⎢1 x n −1 x n −1 x n −1 ........
x n −1 ⎥
⎣ f ( x n −1 )⎦
⎣
⎦
n
Lagrange
(x − x j )
P ( x) = ∑ Li ( x) f ( xi ) Li = Π
para j = 0 hasta n con j ≠ i
xi − x j
i =0
Diferencias
divididas
f [x0 , x1 , x2 , x3 ,........xi ] =
f [x1 , x2 , x3 ,........xi ] − f [x0 , x1 , x2 ,........xi −1 ]
xi − x 0
o
f [xi , xi +1 , xi + 2 ,........xi + h ] =
f [xi +1 , xi + 2 ,........xi + h ] − f [xi , xi +1 ,........xi + h1 ]
xi + h − xi
Aproximación
n
k −1
polinomial de Pn ( x) = ∑ a k Π ( x − xi )
i =0
k =0
Newton
ak = f [x0 , x1 ,......xk ]
..
Polinomio de
Newton en
diferencias
finitas
NGJ/v06
s ( s − 1) 2
Δ f ( x0 )
2!
s( s − 1)( s − 2) 3
s ( s − 1)( s − 2)....( s − (n − 1)) n
+
Δ f ( x0 ) + ..... +
Δ f ( x0 )
3!
n!
h es el int ervalo
x − x0
∇ n f ( xn )
s=
f [x0 , x1 , x 2 ,........x n ] =
h
n!h n
i es el punto
P n ( x) = f ( x0 ) + sΔf ( x0 ) +
Unidad V
134