Problema 5.3 Un estudiante ha decidido instalar un estante para

58
Resistencia de materiales. Problemas resueltos
Problema 5.3
Un estudiante ha decidido instalar un estante para colocar sus libros y apuntes. Los ha colocado uno
junto al otro y ha medido la longitud total de estante que necesita y la anchura que debe tener. Al ir a
comprar el estante ve que para estas dimensiones puede escoger varios espesores distintos. No sabe
cuál escoger. Entonces recurre a un amigo suyo que está haciendo 3er curso de Ingeniería Industrial y
le expone el problema:
He decidido instalar un estante para libros, según el croquis de la figura:
h
b
a
a
A
A 100 cm
a 15 cm
b 20 cm
p libros y apuntes
0,6 Kg/cm
En la tienda me han informado de que la madera de los estantes tiene las siguientes características
mecánicas:
V adm
4 N/mm 2
E 10 000 N/mm 2
La cuestión es:
a) ¿De qué espesor h mínimo debo colocar el estante?
b) Los dos apoyos los he colocado, simétricamente, a una distancia a = 15 cm del extremo por
razones puramente estéticas. Pero, atendiendo a razones de comportamiento resistente, ¿cuál
sería la distancia óptima de los apoyos a los extremos, que podría minimizar el espesor h del
estante?
c) Finalmente, me preocupa saber cuál será la flecha que tendrá el estante, una vez cargado, en su
punto central (con la distancia a inicial).
59
5 Dimensionado de secciones o flexión
Resolución:
a) Determinación de h mínima.
p
A
B
C
D
h
b
a
a
A
x
RB
-
M
Tramo AB:
+
M
p
MA
+
-
0 MB
-
T
p
a2
2
TA
p ˜ x
0
vE
Tramo BC:
p
x2
2
+
T
M
pA
2
RC
x2
A
p x a Ÿ
2
2
MB
MC
§
¨ xE
©
A·
¸
2¹
ME
a2
a2
A
p a a p
2
2
2
2
a
MB p
2
A2
A2
A˜a
A2
A˜a
p
p
p
p
p
8
4
2
8
2
p
TB
p˜a
60
Resistencia de materiales. Problemas resueltos
T
p ˜ x p
A
2
A
2
TB
p˜a p
TC
p ˜ A a p
A
2
p˜a p
A
2
Tramo CD:
M
M
T
x2
x2
A
A
A
p x a p x A a p
p x a x A a 2
2
2
2
2
2
A a 2 p A 2A a A p a 2
x
A
MC p
p
p 2 x A 2
2
2
2
2
A2
A
MD p
p 2A A 0
2
2
p
p ˜ x p ˜A
TC
TD
p A a p ˜ A
p˜A p˜A 0
p˜a
Con A = 100 cm, a = 15 cm y p = 0,6 Kg/cm, tenemos los siguientes resultados:
MB
V máx
M máx
MC
112,5 ˜ p
67,5 cmKg
ME
500 ˜ p 300 cmKg
ME
d V adm
Wz
40,77 Kg/cm 2
Ÿ
ME ˜6
40,77 ˜ 20
Wz
b
20 hmín
Ÿ W z , mín
Ÿ hmín
b) Determinación de la distancia a óptima.
Óptimo resistente:
M máx M máx MB
ME
p
a2
2
p
a˜A
A2
p
8
2
ME
b ˜ h2
40.77
6
1,49 cm
61
5 Dimensionado de secciones o flexión
a2 A ˜ a A2
4
0
2
a
A
A2
§A·
r ¨ ¸ 2
4
© 2¹
a
A
2 ˜ A2
r
2
4
­0,207 ˜ A
A
2
A Ÿ a ®
r
2
2
¯ 1,207 ˜ A Así pues, la distancia ‘a’ óptima es:
a óptima
Y se tiene, un momento máximo:
M máx
La segunda solución no
interesa, porque cae fuera
del intervalo analizado
20,7 cm
128,7 cmKg
c) Cálculo de la flecha en el punto central, por el método de la fuerza unitaria.
F=1
A
B
C
Tramo BE:
D
Mc
E
a
1
˜ x a 2
Tramo EC:
a
Mc
A
1
A·
§
˜ x a 1 ˜ ¨ x ¸
2
a
¹
©
x
M’
+
G
wW
wF
³
G
ª1
«
¬« EI
M
M c ˜ dx
EI
2
2 EI
A
§
2 ¨
a ¨
³
©
p
³
a
o
p
x2
1
˜ 0 dx a
EI
A
§
2 ¨
a ¨
³
©
p
º
·
A
x2
1
p x a x a ¸¸ ˜ dx » ˜ 2
2
2
2
¹
¼»
x3
a
a˜A˜ x
a2 ˜ A ·
A
A˜a
¸ ˜ dx
x p x2 p
p x2 p
p
2
2
2
2
2
2 ¸¹