Pauta PRUEBA Nº3 – EII450_1° 08

Pauta Prueba Nº3
EII-450 Investigación de Operaciones II
30 de Julio de 2008
Pregunta I (50 Pts).
Conteste las siguientes preguntas considerando el problema del Vendedor Viajero Probabilístico (PVVP).
a)
(16P) Para la siguiente red con los respectivos datos indicados, y dada la solución a posteriori indicada, calcule el costo esperado de
dicha solución. Secuencia a Priori: 1 – 3 – 4 – 2.
1
2
3
Arco
Costo
Arco
Costo
1-2
2-1
1-3
3-1
1-4
4-1
3
5
12
2
6
7
2-3
3-2
2-4
4-2
3-4
4-3
8
10
1
11
9
4
4
Nodo
p
1
0.2
2
0.4
3
0.3
4
0.5
R:
CE  C12  p1  p2  q3  q4  C13  p1  p3  C14  p1  p4  q3  C23  p2  p3  q1 
C24  p2  p4  q1  q3  C34  p3  p4  C21  p2  p1  C31  p3  p1  q2  q4 
C41  p4  p1  q2  C32  p3  p2  q4  C42  p4  p2  C43  p4  p3  q1  q2
Reemplazando los valores
p1 = 0.2 ; p2 = 0.4 ; p3 = 0.3 ; p4 = 0.5
q1 = 0.8 ; q2 = 0.6 ; q3 = 0.7 ; q4 = 0.5
CE  3  0.2  0.4  0.7  0.5  12  0.2  0.3  6  0.2  0.5  0.7  8  0.4  0.3  0.8 
1 0.4  0.5  0.8  0.7  9  0.3  0.5  5  0.4  0.2  2  0.3  0.2  0.6  0.5 
7  0.5  0.2  0.6  10  0.3  0.4  0.5  11 0.5  0.2  4  0.5  0.3  0.8  0.6
Costo Esperado = 7,398
b) (6P) Para la siguiente red y dada la secuencia a priori indicada, muestre las soluciones a a-posteriori asociadas a las realizaciones
indicadas, así como el costo y la probabilidad asociada:

1
2

5
 Solución a priori: 3-6-2-5-1-4
 Realización 1: Nodos presentes 1,2,3
 Realización 2: Nodos presentes 1,4,6
 Realización 2: Nodos presentes 2,3,5,6
6
3
R: Sea
4
Cij = Costo de (i,j)
pi = Probabilidad de que aparezca el nodo i.
q i = (1- pi ) Probabilidad de que no aparezca el nodo i.
Realización 1: Nodos presentes 1, 2, 3
Costo: C32  C21  C13
Probabilidad asociada:
p1  p2  p3  q4  q5  q6
Realización 2: Nodos presentes 1, 4, 6
Costo: C61  C14  C46
Probabilidad asociada:
p1  q2  q3  p4  q5  p6
Realización 3: Nodos presentes 2, 3, 5, 6
Costo: C36  C62  C25  C53
Probabilidad asociada:
q1  p2  p3  q4  p5  p6
c)
(12P) Para la red anterior, y considerando la misma solución a-priori establecida en la pregunta anterior, calcule el costo esperado de
dicha solución, considerando que sólo los nodos 5 y 6 poseen una probabilidad de no aparecer en una realización, con p = 0.4 (los
otros nodos tienen p = 1). Considere que todos los costos tienen costo = 1 (se recomienda utilizar como costo esperado la suma
ponderada entre el costo de las soluciones a-posteriori de cada realización posible y sus respectivas probabilidades).
R:
Forma 1:
A continuación se presenta la tabla de todas las posibles realizaciones considerando que sólo los nodos 5 y 6 poseen probabilidad de no
aparecer.
Realización
1
2
3
4
5
6
Costo
Probabilidad
C36  C62  C25  C51  C14  C43
p1  p2  p3  p4  p5  p6
C32  C25  C51  C14  C43
p1  p2  p3  p4  p5  q6
C36  C62  C21  C14  C43
p1  p2  p3  p4  q5  p6
C32  C21  C14  C43
p1  p2  p3  p4  q5  q6
1
2
3
4
Sea
p5  p6  0,4
q5  q6  0,6
p1  p2  p3  p4  1
q1  q2  q3  q4  0
Cij =1
Reemplazando los valores correspondientes se tiene:
Costo Esperado = 6  0,4  0,4  5  0,4  0,6  5  0,6  0,4  4  0,6  0,6  4,8
Forma 2:
CE  C12  p1  p2  q4  q3  q6  C21  p2  p1  q5  C15  p1  p5  q4  q3  q6  q2  C51  p5  p1 
C14  p1  p4  C41  p4  p1  q3  q6  q2  q5  C16  p1  p6  q4  q6  C61  p6  p1  q2  q5 
C13  p1  p3  q4  C31  p3  p1  q6  q2  q5  C25  p2  p5  C52  p5  p2  q1  q4  q3  q6 
C23  p2  p3  q5  q1  q4  C32  p3  p2  q6  C26  p2  p6  q5  q1  q4  q2  C62  p6  p2 
C24  p2  p4  q5  q1  C42  p4  p2  q3  q6  C56  p5  p6  q1  q4  q3  C65  p6  p5  q2 
C54  p5  p4  q1  C45  p4  p5  q3  q6  q2  C53  p5  p3  q1  q4  C35  p3  p5  q6  q2 
C63  p6  p3  q2  q5  q1  q4  C36  p3  p6  C64  p6  p4  q2  q5  q1  C46  p4  p6  q3 
C34  p3  p4  q6  q2  q5  q1  C43  p4  p3
Sabiendo que
CE
p1  p2  p3  p4  1 y q1  q2  q3  q4  0 :
 C36  p6  C62  p6  C32  q6  C25  p5  C51  p5  C21  q5  C14  C43
Y reemplazando los valores correspondientes se tiene:
CE
 0.4  0.4  0.6  0.4  0.4  0.6  1  1  4,8
d) (16P) Mediante algún método heurístico en dos fases, basado en los métodos vistos en clases, encuentre una solución heurística para
el problema del PVV asociado la siguiente red. Asuma arcos bi-direccionales y simétricos. En la segunda fase realice al menos 1
iteración compleja del método que elegido.
1
2
5
6
3
4
Arco
1-2
1-3
1-4
1-5
1-6
Costo
3
5
12
2
6
Arco
2-3
2-4
2-5
2-6
3-4
Costo
8
10
1
11
9
Arco
3-5
3-6
4-5
4-6
5-6
Costo
8
10
1
11
9
R:
Para la fase I tenemos las siguientes posibilidades:
- heurística del vecino más cercano
- heurística inserción más próxima
- heurística inserción más lejana
- heurística inserción más barata
- heurística inserción aleatoria
En este caso se utilizará para la fase I la heurística del vecino más cercano:
1) elegir un nodo inicial.
2) luego, elegir como siguiente nodo el vecino más próximo.
3) Continuar de este modo hasta el final.
Escogemos el nodo 1 como nodo inicial, la solución es 1 – 5 – 2 – 3 – 4 – 6 – 1
Costo inicial: 2+1+8+9+11+6 = 37
Para la fase II aplicamos la heurística de mejoramiento 2-opt, después de analizar todas las posibles combinaciones tenemos las siguientes
posibilidades para la primera iteración:
1) Si se elimina (1,5) y (4,6), agregando los arcos (1,4) y (5,6), se genera un ahorro:
C15  C46  C14  C56 = 2+11-12-9 = -8.
2) Si se elimina (1,5) y (3,4), agregando los arcos (1,3) y (5,4), genera un ahorro: 2+9-5-1 = 5.
3) Si se elimina (1,5) y (2,3), agregando los arcos (1,2) y (5,3), genera un ahorro: 2+8-3-8 = -1.
4) Si se elimina (5,2) y (6,1), agregando los arcos (5,6) y (2,1), genera un ahorro: 1+6-9-3 = -5.
5) Si se elimina (5,2) y (4,6), agregando los arcos (5,4) y (2,6), genera un ahorro: 1+11-1-11 = 0.
6) Si se elimina (5,2) y (3,4), agregando los arcos (5,3) y (2,4), genera un ahorro: 1+9-8-10 = -8.
7) Si se elimina (2,3) y (6,1), agregando los arcos (2,6) y (3,1), genera un ahorro: 8+6-11-5 = -2.
8) Si se elimina (2,3) y (4,6), agregando los arcos (2,4) y (3,6), genera un ahorro: 8+11-10-10 = -1.
9) Si se elimina (3,4) y (6,1), agregando los arcos (3,6) y (4,1), genera un ahorro: 9+6-10-12 = -7.
La alternativa 2 es la que genera más ahorro, por lo tanto el costo final = 37-5 = 32.
Solución:
Pregunta II (35P).
a) Considere un problema general de ruteo vehicular, en que se dispone de un grafo G(N,A) no completo, con los respectivos costos o
distancias para todos los arcos existentes. Sin embargo, considerando que es factible visitar cualquier nodo a partir de cualquier otro nodo.
¿Qué elemento de pre-procesamiento le permitiría modelar dicha situación, utilizando las típicas restricciones de entrada y salida
exactamente una vez para cada nodo visitado? (7pts)
R: Como se tiene un grafo G(N,A) no completo cuyos arcos están definidos a priori, este conjunto no contiene todos los arcos directos
que unan todos los nodos. Tal como muestra la red el nodo A no tiene arco directo al nodo G. Para considerar que sea factible visitar
cualquier nodo a partir de cualquier otro nodo es necesario encontrar el camino de costo mínimo que una estos nodos utilizando los arcos
del conjunto A, e incorporar dicho arco. Para esto se utiliza el algoritmo de Dijkstra para cada par de nodos que no tenga arco
directo, este algoritmo calcula la ruta más corta entre este par de nodos. En el ejemplo entre el nodo A y G, el algoritmo encontrará
la ruta mas corta que los una utilizando los arcos existentes de la red, dicha ruta podría ser por ejemplo A-B-C-E-G ó A-B-E-G ó A-C-FG, o cualquiera otra que una dichos arcos, pero al menor costo. El costo del arco (a,g) será el costo de la ruta mas corta que una dichos
arcos.
B
E
A
C
G
D
F
b) Es usual en los problemas de ruteo vehicular considerar procesos de sólo carga o sólo descarga. ¿Qué implicancia o complejidad tendría
el no considerar dicho supuesto a la hora de formular un modelo de optimización para dichos problemas? (7pts)
R: Si se desea realizar un ruteo vehicular donde se pueda realizar carga y descarga, se debe tener en consideración la capacidad del
vehiculo. Dicha capacidad debe ser restringida para cada visita, de modo tal de no sobre pasar la capacidad máxima disponible en ese
momento. Para dicha restricción se debe tener una variable
W k que indique la capacidad del camión disponible al momento de la visita
k
k. La variable W debe ser actualizada cada vez que se visite a un cliente, y se debe restringir la carga C que se puede subir al vehiculo,
de acuerdo a la capacidad disponible en ese momento y a la descarga que se realiza en esa etapa.
W k  Capacidad del vehiculo al comienzo de la etapa k.
C k  Carga del vehiculo en la etapa k.
D k  Descarga del vehiculo en la etapa k.
C k  W k  Dk
W
k 1
k  K
 W  D -C
k
k
k
k  K
c) ¿Qué inconveniente posee una formulación del PVV, en la cual se incluyen restricciones de eliminación de sub-tours? Plantee y
describa dos maneras de evitar dicha complejidad. (7pts)
R: El inconveniente de agregar las restricciones de sub-tours es que aumentan el número de restricciones considerablemente,
demandando eventualmente mayores recursos para su resolución. Una solución a dicho problema es agregar de manera secuencial grupos
de restricciones de acuerdo a las violaciones que se estén realizando en cuanto a la generación de ciclos. Una segunda solución es utilizar
la formulación de PVV por etapas, donde la variable
X ijk decide si se recorre el arco (i,j) en la etapa k. Dicha formulación no requiere de
restricciones para evitar la formación de ciclos, ya que cuenta con restricción para la visita del primer nodo, del último nodo, y para las
visitas intermedias.
d) Considerando el Problema de Ruteo de Vehículos analizado en clases. Discuta las ventajas y desventajas de utilizar un método de
solución basado en un esquema de barrido y otro basado en el método de Clark&Wright. (7pts)
R:
Barrido: Tiene la ventaja de de dar buenas soluciones cuando el volumen de cada parada es una pequeña fracción de la capacidad del
vehículo. En general entrega soluciones de manera bastante fácil cuando el número de clientes es grande. Permite de una manera
relativamente fácil incorporar restricciones prácticas. Luego de definir las zonas que corresponden a cada vehiculo, puedo utilizar el PVV
dentro de cada una para resolver la secuencia de visitas.
Desventajas: Cuando se llega a la última asignación, la capacidad del vehiculo puede ser no aprovechada de manera eficiente. En general
puede no aprovecharse la capacidad no sólo del último vehiculo sino de cualquiera. La solución inicial puede ser escogida según
múltiples criterios, lo que gatilla en soluciones mejores que otras. No es efectivo para resolver problemas con ventanas de tiempo (se
puede asegurar soluciones factibles).
Clark&Wright: Tiene la ventaja de arrojar buenas soluciones cuando son pocos clientes, al calcular ahorros puede aprovechar de mejor
forma la capacidad de los vehículos. Puede abordar mejor los aspectos vinculados a ventanas de tiempo.
Desventajas: Complejo de utilizar para un número grande de clientes.
e) Plantee modificaciones para ambos enfoques, de modo de generar potencialmente mejoras a las obtenidas mediante los enfoques
básicos vistos en clases. (7pts)
R: Una mejora para el método del barrido, es no sólo realizar el barrido de forma polar, ya que existen clientes que si bien están
agrupados dentro de un área polar, están muy lejos del depósito. Podría ser más eficiente realizar el barrido polar, pero habiendo dividido
el área total en círculos concéntricos cuyo perímetro es criterio del modelador (es decir segmentación radial). También es posible separar
en zonas con una capacidad máxima igual al doble o al triple de un vehiculo. En dicho caso cada zona de debería abordar con
metodologías para el VRP, en vez de un PVV. Esto puede aprovechar mejor las capacidades de los vehículos y dar mejores soluciones.
D
Una mejora para C&W es que el criterio no sea tan solo los ahorros generados, sino la demanda de cada cliente, por lo que se podría
generar un criterio de ahorro ponderado. También se puede vetar o eliminar a priori ahorros que se sospeche generen soluciones poco
eficientes, o bien asegurar o incluir desde un principio ahorros que se sospechen buenos, independiente del valor de dicho ahorro. Lo
mismo se puede hacer con ahorros que involucren clientes muy grandes (con mucha demanda) o que estén muy alejados del resto.
Pregunta III (35 Pts).
1.
(15P) Considere el problema de localización de centros de distribución, en el cual usted no posee información de costos de
transporte ni de instalación de centros. De este modo los únicos indicadores de interés que puede analizar son: número de centros
instalados (todos homogéneos con capacidad de despacho diaria Q), y las distancia total o promedio entre los centros y cada uno de
los clientes asignados a ellos. Asuma que cada cliente j posee una demanda anual qj, y la distancia entre cada cliente j y cada centro
i es dij. Plantee y describa una formulación Multi-objetivo para abordar dicho problema.
R:
La función objetivo (multi-objetivo) busca minimizar el número de centros de distribución instalados, al mismo tiempo que minimiza la
distancia total entre los centros y cada uno de los clientes asignados a ellos (ponderando además por las demandas de los clientes).
Restricciones:
1) Todos los clientes deben ser asignados a un centro de distribución.
2) La demanda de los clientes asignados a un centro de distribución no debe ser superior a la capacidad de despacho del centro.
3) Si se asigna un cliente al centro, éste (centro) debe ser instalado.
4) Integralidad (variables binarias).
2.
(15P) Considere que para el problema anterior, usted desea incluir un análisis del nivel de servicio entregado por su sistema. Para
ello, considere que por medio de un estudio de marketing usted dispone de información respecto a los potenciales centros de
distribución que no serían deseables de asignar a cada cliente existente. Del mismo estudio, usted sabe además cuales centros serían
los ideales para cada cliente. Establezca matemáticamente el indicador a ser optimizado, así como las restricciones, variables y
parámetros que se requieran, de modo de maximizar la demanda “asignada” a un centro ideal, y asegurando que al menos un R% de
la demanda no sea asignada a un centro indeseable, considerando naturalmente la información del estudio de marketing.
R:
Para este modelo se debe definir 2 Parámetros (calculados en base al estudio de marketing):
Las Variables de decisión serán iguales a las del modelo de la parte 1:
Observación: al incorporar la restricción 3, el problema puede llegar a ser infactible.
La función objetivo busca maximizar la cantidad de clientes asignados a un centro ideal.
Restricciones:
1)
2)
3)
4)
5)
Todos los clientes deben ser asignados a un centro de distribución.
La demanda de los clientes asignados a un centro de distribución no debe ser superior a la capacidad de despacho del centro.
Asegura que al menos un R% de la demanda total es asignada a un centro deseable.
Si se asigna un cliente al centro, éste (centro) debe ser instalado.
Integralidad (variables binarias).