Dimensión y conjuntos de Julia

[Ide@s CONCYTEG]
Dimensión y
conjuntos de
Julia
Año 2, Núm. 25, 14 de septiembre
de 2007
hormiga caminando sobre un línea recta
horizontal, donde su movimiento está
restringido a las direcciones izquierda y
derecha)
le
consideramos
unidimensional. Si hay dos grados de
libertad de movimiento independiente
Mónica Moreno Rocha
1
(movimiento
generado
combinación
izquierda-derecha
arriba-abajo),
1
Introducción:
el
concepto de dimensión
por
le
la
y
llamamos
bidimensional. Tres grados de libertad o
ninguna corresponden pues a objetos
tridimensionales o a los de dimensión
La mayoría de nosotros tenemos una
cero, respectivamente.
idea intuitiva de lo que significa la
caracterización tiene sus problemas:
dimensión de un objeto. En general, un
¿cuál es la dimensión de una curva en el
objeto que tiene ancho, altura y grosor
espacio tridimensional? Considere la
lo consideramos tridimensional; aquel
misma hormiga subiendo ahora por una
que sólo tienen longitud y altura le
curva helicoidal: ahora su movimiento
llamamos bidimensional, y el que sólo
es de abajo hacia arriba y de izquierda a
tienen
derecha,
longitud
lo
consideramos
Notemos
¿és
que
pues
la
ésta
helicoidal
unidimensional. Otra forma de entender
bidimensional? No, la curva sigue
dimensión es al considerar los grados de
siendo unidimensional, pues la clave
libertad de movimiento independiente:
está
si un objeto tiene un único grado de
independiente”.
libertad (por ejemplo, piense en una
Nuestro
en
el
término
“movimiento
objetivo
es
proporcionarle al lector una definición
1
Investigador Asociado "C", SNI: Nivel I,
Grupo de Sistemas Dinámicos. Obtuvo su
doctorado en el 2002 en la Universidad de
Boston, EUA. Sus áreas de interés son:
sistemas dinámicos Holomorfos y teoría del
contínuo.
formal del concepto de dimensión desde
el punto de vista matemático. A partir
de allí abordaremos una generalización
de dimensión la cual permite estudiar
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objetos fractales. Concluiremos con una
Una bola abierta centrada en x y de
descripción de la investigación actual
radio r se define como el conjunto de
realizada en el CIMAT y financiada por
puntos
CONCYTEG
estrictamente menor que r, y se denota
sobre
dimensión
de
Hausdorff aplicada a un tipo específico
que
están
a
distancia
por
de conjuntos fractales: los conjuntos de
Julia.
Un subconjunto A de X se dice
2Dimensión topológica
abierto si es la unión arbitraria de bolas
abiertas. Decimos que A es cerrado si su
El concepto de dimensión topológica
complemento X\A, es abierto.
requiere de ciertas definiciones y
conceptos de la Topología, la rama de
las
matemáticas
que
estudia
la
estructura global de un objeto. A forma
de ejemplo, considere una esfera y un
En la línea real, los intervalos
]0,1[ y [0,1] son ejemplos de un
conjunto
en el otro (sin cortar o romper)
independientemente
de
sus
dimensiones, color, textura, etc. Por
otro
lado,
una
esfera
no
pude
deformarse en una tasa sin tener que
hacer un orificio en la esfera para
formar el asa.
Comencemos con un espacio
y
uno
cerrado,
respectivamente.
cubo, estos son el mismo objeto para la
topología ya que uno se puede deformar
abierto
Como
hemos
mencionado,
la
Topología no requiere de conceptos de
distancia,
por
lo
que
podemos
prescindir de la función d(x,y) y trabajar
en un espacio topológico: diremos que
X es un espacio topológico si podemos
elegir una colección C de subconjuntos
en X que definimos como los abiertos
de X. Esta colección debe satisfacer los
siguientes axiomas:
métrico X y una función de distancia
dada por
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1. X y el conjunto vacío ∅ son
topológico X tiene dimensión d si cada
abiertos (por lo tanto están
cubierta E tiene un refinamiento E’ para
contenidos en C).
la
2. La unión de dos conjuntos
abiertos es un abierto.
3. La intersección de un número
cual,
cada
contenido
en,
punto
a
lo
x∈X
está
más,
d+1
subconjuntos de E’. Además, d es el
entero más pequeño con esta propiedad.
Pongamos
finito de abiertos es un abierto.
a
prueba
esta
Dado un subconjunto A de X,
definición: una colección finita de
decimos que A tiene una cubierta
puntos tiene dimensión cero, ya que
abierta si existe una colección E de
cada punto se cubre con una bola
abiertos en X tal que
abierta centrada en él y cualquier
refinamiento de ésta cubierta implica
reducir el radio de la bola (ver Figura
esto es, A está contenido en la unión de
2).
todos los conjuntos en E.
Un refinamiento de la cubierta E
es otra cubierta E’ tal que cada conjunto
V en E’ está contenido en algún U de E
(ver Figura 1).
Figura 2: Cada punto puede cubrirse con d+1=1 abiertos y
subsecuentes refinamientos siguen cumpliendo esta
propiedad, por lo que d=0.
En cambio, la curva helicoidal
puede cubrirse con bolas abiertas
Figura 1: Los discos de borde rojo representan el
refinamiento E’ de la cubierta E compuesta por discos de
borde azul.
tridimensionales:
cada
refinamiento
puede elegirse de tal forma que cada
punto x sobre la curva esté contenido en
Pasemos ahora a la definición
no más de d+1=2 bolas abiertas de
central de esta sección: un espacio
menor tamaño. Esto se logra al cubrir la
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curva “siguiendo” su trayectoria suave,
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3 Dos Ejemplos
si ésta fuese muy irregular, podríamos
necesitar de más abiertos (ver Figura 3).
En 1904, Helge von Koch publicó un
artículo donde reportaba la existencia de
una curva tal que, para cada punto en
ella, no existía una línea tangente a la
curva que pasara por dicho punto (en
otras
palabras,
la
curva
no
era
diferenciable). La ahora llamada curva
de Koch (ver Figura 4) es el ejemplo de
Figura 3: A la izquierda se tiene la curva helicoidal y
cubiertas con intersecciones “a pares”. A la derecha se
muestra una curva irregular con un refinamiento en rojo
que presenta intersecciones de tres o más abiertos.
una curva totalmente irregular y que no
contiene segmentos de línea.
Notemos que la curva irregular
de
la
Figura
3
tiene
dimensión
topológica d=1, ya que se puede refinar
la cubierta hasta lograr que el diámetro
Figura 4: La curva de Koch.
de cada abierto sea menor a la longitud
de los segmentos que conforman la
La curva de Koch también tiene la
curva. A partir de allí, cada punto será
propiedad de autosimilitud, esto es, la
cubierto por a lo más dos abiertos.
curva contiene copias a escala de sí
Este
ejemplo
nos
lleva
a
misma. De la Figura 4 es posible
considerar la siguiente pregunta: ¿es
apreciar cuatro copias a menor escala de
posible construir una curva tan irregular
la curva original, y cada copia con
que sea imposible calcular su dimensión
cuatro copias más pequeñas y éstas a la
topológica?
vez
con
perceptibles.
472
cuatro
copias
apenas
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La construcción de ésta curva se
Este proceso también nos brinda
logra por medio del siguiente proceso
una idea de cómo construir cubiertas
iterativo (ver Figura 5):
abiertas: podemos elegir bolas abiertas
1. Considere
una
línea
recta
horizontal de longitud 1.
B(x i ,ri ) centradas en el punto medio x i
de cada segmento de la construcción y
2. Dividir la recta en tres partes
de radio ri mayor que la longitud del
iguales, removiendo el tercio
segmento dividido por 2. En cada paso
medio.
de iteración, las cubiertas se refinan por
3. Añadir en el tercio medio un
triángulo equilátero sin su base.
un factor de magnificación M=2 y a lo
más dos bolas contendrán el mismo
Repetir el paso 2 y 3 a los
punto. A partir de estas cubiertas es
segmentos resultantes. En el límite de
posible verificar que la dimensión
este proceso iterativo se obtiene la
topológica de la curva de Koch es d=1.
curva de Koch.
En 1915 el matemático polaco
Waclaw Sierpinski dio a conocer una
curva donde cada punto en ella es un
punto de ramificación, esto significa
que cada punto tiene tres o más
segmentos que emanan de él (por
ejemplo, las letras E, Y y T contienen
un
único
punto
de
ramificación,
mientras que la L, M y N no contienen
ninguno). Su ejemplo, ahora conocido
como el Triangulo de Sierpinski, puede
también describirse de una forma
recursiva (ver Figura 6):
1. Considere
un
triángulo
equilátero sólido, denotado por
T0 con base de longitud 1.
2. Remueva
Figura 5: El proceso iterativo de la construcción.
triángulo
473
el
interior
equilátero
del
central
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construido al conectar los puntos
y dejaremos al lector verificar que su
medios de cada lado de T0 .
dimensión topológica es d=1.
Denote el objeto resultante por
T1 (note que los triángulos en T1
tienen la mitad del tamaño de T0
por lo que su factor de magnitud
4
Dimensión
Hausdorff
de
es 2).
3. Repita el paso 2 a cada uno de
los triángulos equiláteros que
elimine
el
triángulo equilátero central de cada uno
de los 3k triángulos que conforman Tk
para obtener 3k +1 triángulos (con factor
de magnitud 2 k ) que conforman a Tk +1 .
En el límite de este proceso, se obtiene
el
triángulo
de
Sierpinski
publicó una generalización del concepto
de dimensión donde d puede ser un
conforman T1 para obtener T2 .
Recursivamente
En 1918 el matemático Felix Hausdorff
que
denotaremos por T.
número real no negativo, lo que permite
hablar
de
dimensiones
con
parte
fraccionaria. Los objetos con dimensión
fraccionaria son llamados conjuntos
fractales
(formalizaremos
esta
definición más adelante). Aunque se ha
conocido la existencia de conjuntos
fractales desde principios del siglo XX,
su estudio formal tomó auge a partir de
los trabajos de Benoit Mandelbrot en las
pasadas décadas de los 70’s y 80’s.
Actualmente, la teoría de fractales y la
Figura 6: La construcción del triángulo de Sierpinski.
dimension fraccionaria tienen una gama
amplia de aplicaciones a la ciencia,
En base a la construcción, es
fácil ver que T es autosimilar: para cada
entero k>0 existen 3k +1 copias de T y
cada copia tiene un factor de magnitud
como
lo
son
en
el
estudio
de
turbulencias, el crecimiento de plantas o
el movimiento Browniano de partículas,
la distribución de galaxias en el
k
2 . No intentaremos probar que T en
universo, etcétera.
realidad es una curva en el plano donde
cada punto es un punto de ramificación
Para simplificar la exposición,
supongamos lo siguiente:
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la medida H m ( S ) = ∞ (de cierta forma,
la escala con la que medimos S es muy
Sea
B = {U j } una cubierta abierta
(contable) del conjunto S y definamos el
tamaño de S por
fina)
que
si
m > d H (S)
H m ( S) = 0
(la
escala
mientras
entonces
es
demasiado grande). Notemos que si
d = d H (S),
entonces
H d ( S)
puede
tomar cualquier valor no negativo,
incluyendo ∞ .
el supremo tomado sobre todos los
Podemos
ahora
definir
un
elementos de la cubierta B. Definimos
conjunto fractal como aquel cuya
la medida m-dimensional de Hausdorff
dimensión de Hausdorff es mayor que
m
H ( S) por
su dimensión topológica. Cabe notar
que
en
general
Hausdorff
es
la
difícil
dimensión
de
de
calcular
donde el ínfimo se toma sobre todas las
directamente, aunque para los ejemplos
cubiertas contables B = {U j } de S cuyo
dados en la sección anterior esto es
tamaño es menor o igual que δ . A
posible gracias a la condición de
medida que δ decrece, el ínfimo no
autosimilitud. Si un conjunto A es
puede decrecer y por lo tanto el límite
autosimilar tal que para cada entero n>0
existe, con lo que 0 ≤ H m (S) ≤ ∞.
existen Pn piezas autosimilares y cada
A partir de la medida m-
pieza tiene un factor de contracción
dimensional de Hausdorff podemos
0 < M n < 1,
ahora definir la dimensión de Hausdorff
d H (A) se calcula de la ecuación
entonces
la
dimensión
de un conjunto S no vacío, como el
número real d H ( S ) que satisface
Para el caso de la curva de
Koch, notemos que para cada n>0
existen
Esto es, d H (S) es el único valor
4n
subconjuntos tales que
pueden magnificarse por un factor de
real para el cual, si m < d H ( S ) , entonces
3n . Al resolver la ecuación, tenemos
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iteración de polinomios cuadráticos de
la forma
donde el polinomio, z y c toman valores
complejos.
Similarmente, para el triángulo
de Sierpinski, se tiene
De
forma
sucinta, podemos
definir el conjunto de Mandelbrot por
Esto es, M es la colección de
5
Dimensión
conjuntos de Julia
de
todos los valores del parámetro c tal que
la órbita del origen no converge a
infinito. El conjunto de Julia (o
La Dinámica Holomorfa es una rama de
conjunto caótico del polinomio) se
las
define por
matemáticas
que
estudia
el
comportamiento asintótico de puntos en
el plano complejo bajo interación de
funciones holomorfas (por ejemplo,
polinomios,
funciones
racionales,
ciertas funciones trigonométricas, entre
otras). Los orígenes de la dinámica
holomorfa se remontan a 1920 con los
trabajos de Pierre Fatou y Gaston Julia,
dando los fundamentos de la teoría de
iteraciones. En 1982 Benoit Mandelbrot
produjo las primeras imágenes de
computadora
del
conjunto
ahora
conocido como conjunto de Mandelbrot
esto es, la frontera del conjunto de
puntos que escapan a infinito bajo
iteración. El conjunto de Fatou Fc se
define como el complemento de J c .
Los conjuntos de Julia para
polinomios
(y
para
muchas
otras
funciones holomorfas) son ejemplos de
conjuntos fractales: presentan una cierta
forma de autosimilitud y su dimensión
de Hausdorff es, en la gran mayoría de
(ver Figura 7), el cual está asociado a la
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los casos, mayor que su dimensión
topológica (ver Figura 8).
Por lo que, para cada
δ,
H m (J c ) ≤ 1 y por lo tanto d H ( J c ) ≤ 2, lo
que nos dá una cota superior para la
dimensión de Hausdorff. La idea es
pues encontrar una cotas inferiores.
Como
muestra
del
avance
logrado para el caso de polinomios
cuadráticos, se cuenta con los resultados
Figura 7: El conjunto de Mandelbrot asociado a la familia
de polinomios cuadráticos Pc .
de David Ruelle y Curt McMullen: si el
valor absoluto del parámetro c es
pequeño, entonces
En raras ocasiones se ha logrado
calcular explícitamente la dimensión de
Hausdorff para ciertos conjuntos de
esto es, la dimensión converge a uno,
Julia,
mientras que
aunque
con
ayuda
de
los
ordenadores es posible implementar
algoritmos
que
estimen
con
gran
precisión la dimensión de J c utilizando
si el valor absoluto de c es muy grande.
cubiertas abiertas. Sin embargo, estos
cálculos no son suficientes desde el
punto de vista matemático: es necesario
formalizar
dichas
estimaciones
encontrando (y probando la existencia
de) cotas para d H (J c ) . Observemos que
para cada δ podemos encontrar una
cubierta
B = {U j }
diam(U j ) < δ y
de
Jc
con
Figura
8:
El
conjunto
de
Julia
para
c ≈ 0.2539 + 0.00048i y dimensión de Hausdorff
d H ≈ 1.405 (figura y cómputos realizados por T. M.
Jonassen).
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Parte
de
mi
Año 2, Núm. 25, 14 de septiembre
de 2007
investigación
realizada en el CIMAT y auspiciada por
CONCyTEG a partir de Abril del
presente año, es realizar un estudio
similar del comportamiento asintótico
de la dimensión de Hausdorff para
ciertas
familias
uniparaméticas
de
funciones racionales dadas por
Figura
con λ
9:
El
conjunto
de
Julia
para
≈ 0.5926 y m=2, n=1.
Rλ
donde el párametro λ toma valores
complejos, m>1 y n>0 son enteros
positivos dados. Los conjuntos de Julia
asociados a estas funciones presentan
una autosimilitud y simetrías que
generalizan
las
propiedades
del
triángulo de Sierpinski: de hecho, si
λ ≈ 0.5926 y m=2, n=1, entonces el
conjunto
de
Julia
asociado
es
homeomorfo al triángulo de Sierpinski
Figura
10:
Conjunto
de
λ ≈ 0.08713 + 0.378i y m=3, n=2.
Julia
para
(ver Figura 9). Para otros valores del
parámetro y de las potencias, los
Las metas principales de este
conjuntos de Julia presentan otras
proyecto serán ajustar la teoría de
características topológicas: estos pueden
dimensión conocida para polinomios a
ser homeomorfos a la Carpeta de
funciones racionales de tipo hiperbólico
Sierpienski o al conjunto de Cantor
y subhiperbólico, implementar ciertos
ambos ejemplos de conjuntos fractales
algoritmos computacionales para la
en
familia Rλ y finalmente probar la
el
plano
cuya
Hausdorff es conocida.
dimensión
de
existencia de cotas inferiores para d H .
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[Ide@s CONCYTEG]
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Año 2, Núm. 25, 14 de septiembre
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