Las matemáticas de los fractales
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Fractales Fractales autosimilares Fractales no lineales Este curso Las matemáticas de los fractales Ricardo A. Sáenz Universidad de Colima Taller Internacional de Ciencia para Jóvenes CIMAT 16 - 21 de mayo de 2012 1 / 37 Fractales Fractales autosimilares Fractales no lineales Este curso Famosos Artísticos Naturales Fractales: objetos famosos Conjunto de Mandelbrot Benoît Mandelbrot, 1924 - 2010 2 / 37 Fractales Fractales autosimilares Fractales no lineales Este curso Famosos Artísticos Naturales Fractales: objetos famosos Conjunto de Mandelbrot Benoît Mandelbrot, 1924 - 2010 Triángulo de Sierpinski Wacław Sierpiński, 1882 - 1969 2 / 37 Fractales Fractales autosimilares Fractales no lineales Este curso Famosos Artísticos Naturales Fractales: objetos artísticos Generado con Sterling. 3 / 37 Fractales Fractales autosimilares Fractales no lineales Este curso Famosos Artísticos Naturales Fractales: objetos artísticos Generado con Sterling. Generado con Vision of Chaos. 3 / 37 Fractales Fractales autosimilares Fractales no lineales Este curso Famosos Artísticos Naturales Fractales: objetos de la naturaleza Patrones formados en cristales congelados. 4 / 37 Fractales Fractales autosimilares Fractales no lineales Este curso Famosos Artísticos Naturales Fractales: objetos de la naturaleza Patrones formados en cristales congelados. Romanescu, una variedad de brócoli. 4 / 37 Fractales Fractales autosimilares Fractales no lineales Este curso Vectores en el plano Teorema de Hausdorff Ejemplos Fractales autosimilares Triángulo de Sierpinski. 5 / 37 Fractales Fractales autosimilares Fractales no lineales Este curso Vectores en el plano Teorema de Hausdorff Ejemplos Fractales autosimilares Formado por la unión de tres imágenes de sí mismo. S = S1 ∪ S2 ∪ S3 Triángulo de Sierpinski. 5 / 37 Fractales Fractales autosimilares Fractales no lineales Este curso Vectores en el plano Teorema de Hausdorff Ejemplos El plano cartesiano Cada punto se denota por un par de coordenadas (a, b) El plano cartesiano 6 / 37 Fractales Fractales autosimilares Fractales no lineales Este curso Vectores en el plano Teorema de Hausdorff Ejemplos El plano cartesiano Cada punto se denota por un par de coordenadas (a, b) Los puntos se pueden ver como vectores. El plano cartesiano 6 / 37 Fractales Fractales autosimilares Fractales no lineales Este curso Vectores en el plano Teorema de Hausdorff Ejemplos El plano cartesiano Cada punto se denota por un par de coordenadas (a, b) Los puntos se pueden ver como vectores. Suma: Si x = (a, b) y y = (c, d), x + y = (a + c, b + d) Multiplicación escalar: El plano cartesiano λx = (λa, λb) 6 / 37 Fractales Fractales autosimilares Fractales no lineales Este curso Vectores en el plano Teorema de Hausdorff Ejemplos Suma vectorial Suma vectorial 7 / 37 Fractales Fractales autosimilares Fractales no lineales Este curso Vectores en el plano Teorema de Hausdorff Ejemplos Suma vectorial Suma vectorial Multiplicación escalar (si λ < 0, cambia sentido) 7 / 37 Fractales Fractales autosimilares Fractales no lineales Este curso Vectores en el plano Teorema de Hausdorff Ejemplos Triángulo de Sierpinski Definimos las siguientes contracciones: 1 F1 (x) = (x − p1 ) + p1 2 1 F2 (x) = (x − p2 ) + p2 2 1 F3 (x) = (x − p3 ) + p3 2 donde p1 , p2 , p3 son los vértices de un triángulo equilátero. 8 / 37 Fractales Fractales autosimilares Fractales no lineales Este curso Vectores en el plano Teorema de Hausdorff Ejemplos Triángulo de Sierpinski Definimos las siguientes contracciones: 1 F1 (x) = (x − p1 ) + p1 2 1 F2 (x) = (x − p2 ) + p2 2 1 F3 (x) = (x − p3 ) + p3 2 donde p1 , p2 , p3 son los vértices de un triángulo equilátero. Cada Fi contrae a los puntos del plano hacia pi . 8 / 37 Fractales Fractales autosimilares Fractales no lineales Este curso Vectores en el plano Teorema de Hausdorff Ejemplos Triángulo de Sierpinski Definimos las siguientes contracciones: 1 F1 (x) = (x − p1 ) + p1 2 1 F2 (x) = (x − p2 ) + p2 2 1 F3 (x) = (x − p3 ) + p3 2 donde p1 , p2 , p3 son los vértices de un triángulo equilátero. Cada Fi contrae a los puntos del plano hacia pi . Entonces, si Si = Fi (S), donde S es el triángulo de Sierpinski, S = S1 ∪ S2 ∪ S3 . 8 / 37 Fractales Fractales autosimilares Fractales no lineales Este curso Vectores en el plano Teorema de Hausdorff Ejemplos La curva de Koch (Niels F. Helge von Koch, 1870 - 1924) 9 / 37 Fractales Fractales autosimilares Fractales no lineales Este curso Vectores en el plano Teorema de Hausdorff Ejemplos La curva de Koch (Niels F. Helge von Koch, 1870 - 1924) 1 1 F1 (x) = (x1 , −x2 ) + √ (x2 , x1 ), 2 2 3 1 1 1 1 F2 (x) = (x1 , −x2 ) − √ (x2 , x1 ) + , √ 2 2 2 3 2 3 donde x = (x1 , x2 ) 9 / 37 Fractales Fractales autosimilares Fractales no lineales Este curso Vectores en el plano Teorema de Hausdorff Ejemplos Existencia y unicidad Teorema (Felix Hausdorff, 1868 - 1942) Dada una familia de contracciones F1 , F2 , . . . , FN , existe un único conjunto no vacío y compacto K tal que K = F1 (K ) ∪ F2 (K ) ∪ . . . FN (K ). 10 / 37 Fractales Fractales autosimilares Fractales no lineales Este curso Vectores en el plano Teorema de Hausdorff Ejemplos Existencia y unicidad Teorema (Felix Hausdorff, 1868 - 1942) Dada una familia de contracciones F1 , F2 , . . . , FN , existe un único conjunto no vacío y compacto K tal que K = F1 (K ) ∪ F2 (K ) ∪ . . . FN (K ). Demostración. Idea: Mostrar que la iteraciones [ Fi1 (Fi2 (· · · (A) · · · )), i1 ,i2 ,... para cualquier conjunto no vacío A, tienen un límite. 10 / 37 Fractales Fractales autosimilares Fractales no lineales Este curso Vectores en el plano Teorema de Hausdorff Ejemplos Ejemplo: curva de Koch Iniciamos con los puntos (0, 0) y (1, 0): 11 / 37 Fractales Fractales autosimilares Fractales no lineales Este curso Vectores en el plano Teorema de Hausdorff Ejemplos Ejemplo: curva de Koch Iniciamos con los puntos (0, 0) y (1, 0): Aplicamos las funciones F1 y F2 : 11 / 37 Fractales Fractales autosimilares Fractales no lineales Este curso Vectores en el plano Teorema de Hausdorff Ejemplos Ejemplo: curva de Koch Iniciamos con los puntos (0, 0) y (1, 0): Aplicamos las funciones F1 y F2 : 11 / 37 Fractales Fractales autosimilares Fractales no lineales Este curso Vectores en el plano Teorema de Hausdorff Ejemplos Ejemplo: curva de Koch Una nueva iteracón de F1 y F2 : 12 / 37 Fractales Fractales autosimilares Fractales no lineales Este curso Vectores en el plano Teorema de Hausdorff Ejemplos Ejemplo: curva de Koch Una nueva iteracón de F1 y F2 : 12 / 37 Fractales Fractales autosimilares Fractales no lineales Este curso Vectores en el plano Teorema de Hausdorff Ejemplos Ejemplo: curva de Koch Una nueva iteracón de F1 y F2 : Después de tres iteraciones: 12 / 37 Fractales Fractales autosimilares Fractales no lineales Este curso Vectores en el plano Teorema de Hausdorff Ejemplos Ejemplo: curva de Koch Una nueva iteracón de F1 y F2 : Después de tres iteraciones: 12 / 37 Fractales Fractales autosimilares Fractales no lineales Este curso Vectores en el plano Teorema de Hausdorff Ejemplos Ejemplo: curva de Koch Cuatro: 13 / 37 Fractales Fractales autosimilares Fractales no lineales Este curso Vectores en el plano Teorema de Hausdorff Ejemplos Ejemplo: curva de Koch Cuatro: Cinco: 13 / 37 Fractales Fractales autosimilares Fractales no lineales Este curso Vectores en el plano Teorema de Hausdorff Ejemplos Ejemplo: curva de Koch Seis: 14 / 37 Fractales Fractales autosimilares Fractales no lineales Este curso Vectores en el plano Teorema de Hausdorff Ejemplos Ejemplo: curva de Koch Seis: Ocho: 14 / 37 Fractales Fractales autosimilares Fractales no lineales Este curso Vectores en el plano Teorema de Hausdorff Ejemplos Ejemplo: curva de Koch Después de 16 iteraciones, tenemos una muy buena aproximación de nuestro fractal verdadero: 15 / 37 Fractales Fractales autosimilares Fractales no lineales Este curso Vectores en el plano Teorema de Hausdorff Ejemplos Otros fractales autosimilares El pentakun 16 / 37 Fractales Fractales autosimilares Fractales no lineales Este curso Vectores en el plano Teorema de Hausdorff Ejemplos Otros fractales autosimilares El pentakun Copo de nieve 16 / 37 Fractales Fractales autosimilares Fractales no lineales Este curso Vectores en el plano Teorema de Hausdorff Ejemplos Otros fractales autosimilares Árbol de Hata Masayoshi Hata, Univ. Kyoto 17 / 37 Fractales Fractales autosimilares Fractales no lineales Este curso Vectores en el plano Teorema de Hausdorff Ejemplos Otros fractales autosimilares Árbol de Hata Masayoshi Hata, Univ. Kyoto Tetrahedro de Sierpinski (en el espacio tridimensional) 17 / 37 Fractales Fractales autosimilares Fractales no lineales Este curso Llega Mandelbrot Los conjuntos de Julia El conjunto de Mandelbrot La observación de Mandelbrot Hasta los 60’s, los fractales solo eran conjuntos “patológicos” abstractos Benoît Mandelbrot (1924 - 2010) 18 / 37 Fractales Fractales autosimilares Fractales no lineales Este curso Llega Mandelbrot Los conjuntos de Julia El conjunto de Mandelbrot La observación de Mandelbrot Hasta los 60’s, los fractales solo eran conjuntos “patológicos” abstractos Servían como contraejemplos en cálculo Benoît Mandelbrot (1924 - 2010) 18 / 37 Fractales Fractales autosimilares Fractales no lineales Este curso Llega Mandelbrot Los conjuntos de Julia El conjunto de Mandelbrot La observación de Mandelbrot Hasta los 60’s, los fractales solo eran conjuntos “patológicos” abstractos Servían como contraejemplos en cálculo Mandelbrot: ¿cuál es la longitud de la costa británica?, Science, 1967 Benoît Mandelbrot (1924 - 2010) 18 / 37 Fractales Fractales autosimilares Fractales no lineales Este curso Llega Mandelbrot Los conjuntos de Julia El conjunto de Mandelbrot La observación de Mandelbrot Mandelbrot observó que la longitud de la costa británica depende de la unidad con la que se mide. Figura: Tomando unidades de 200km, 100km, 50km, obtenemos 2400km, 2800km y 3450km, respectivamente. 19 / 37 Fractales Fractales autosimilares Fractales no lineales Este curso Llega Mandelbrot Los conjuntos de Julia El conjunto de Mandelbrot La observación de Mandelbrot Conclusiones de Mandelbrot: La mejor aproximación a una costa no es una curva suave 20 / 37 Fractales Fractales autosimilares Fractales no lineales Este curso Llega Mandelbrot Los conjuntos de Julia El conjunto de Mandelbrot La observación de Mandelbrot Conclusiones de Mandelbrot: La mejor aproximación a una costa no es una curva suave La curva que mejor la aproxima debe tener una “infinidad de picos” 20 / 37 Fractales Fractales autosimilares Fractales no lineales Este curso Llega Mandelbrot Los conjuntos de Julia El conjunto de Mandelbrot La observación de Mandelbrot Conclusiones de Mandelbrot: La mejor aproximación a una costa no es una curva suave La curva que mejor la aproxima debe tener una “infinidad de picos” Los “picos” se repiten en todas las escalas 20 / 37 Fractales Fractales autosimilares Fractales no lineales Este curso Llega Mandelbrot Los conjuntos de Julia El conjunto de Mandelbrot La observación de Mandelbrot Conclusiones de Mandelbrot: La mejor aproximación a una costa no es una curva suave La curva que mejor la aproxima debe tener una “infinidad de picos” Los “picos” se repiten en todas las escalas (autosimilaridad) 20 / 37 Fractales Fractales autosimilares Fractales no lineales Este curso Llega Mandelbrot Los conjuntos de Julia El conjunto de Mandelbrot La observación de Mandelbrot Conclusiones de Mandelbrot: La mejor aproximación a una costa no es una curva suave La curva que mejor la aproxima debe tener una “infinidad de picos” Los “picos” se repiten en todas las escalas (autosimilaridad) Mandelbrot acuñó el término “fractal” para describir tal comportamiento 20 / 37 Fractales Fractales autosimilares Fractales no lineales Este curso Llega Mandelbrot Los conjuntos de Julia El conjunto de Mandelbrot Los números complejos Mandelbrot estudió procesos iterativos en el plano complejo. Los números complejos son los números de la formados a + bi, a, b ∈ R donde i 2 = −1. 21 / 37 Fractales Fractales autosimilares Fractales no lineales Este curso Llega Mandelbrot Los conjuntos de Julia El conjunto de Mandelbrot Los números complejos Mandelbrot estudió procesos iterativos en el plano complejo. Los números complejos son los números de la formados a + bi, a, b ∈ R donde i 2 = −1. Se denotan por la letra C. 21 / 37 Fractales Fractales autosimilares Fractales no lineales Este curso Llega Mandelbrot Los conjuntos de Julia El conjunto de Mandelbrot Los números complejos Mandelbrot estudió procesos iterativos en el plano complejo. Los números complejos son los números de la formados a + bi, a, b ∈ R donde i 2 = −1. Se denotan por la letra C. Podemos sumarlos: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i. 21 / 37 Fractales Fractales autosimilares Fractales no lineales Este curso Llega Mandelbrot Los conjuntos de Julia El conjunto de Mandelbrot Los números complejos Mandelbrot estudió procesos iterativos en el plano complejo. Los números complejos son los números de la formados a + bi, a, b ∈ R donde i 2 = −1. Se denotan por la letra C. Podemos sumarlos: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i. (Sí, igual que a los vectores.) 21 / 37 Fractales Fractales autosimilares Fractales no lineales Este curso Llega Mandelbrot Los conjuntos de Julia El conjunto de Mandelbrot Los números complejos Mandelbrot estudió procesos iterativos en el plano complejo. Los números complejos son los números de la formados a + bi, a, b ∈ R donde i 2 = −1. Se denotan por la letra C. Podemos sumarlos: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i. (Sí, igual que a los vectores.) También podemos multiplicarlos: (a + bi) × (c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i. 21 / 37 Fractales Fractales autosimilares Fractales no lineales Este curso Llega Mandelbrot Los conjuntos de Julia El conjunto de Mandelbrot Multiplicación compleja La multiplicación compleja requiere explicación: (a + bi) × (c + di) = ac + adi + bci + bdi 2 = ac + bdi 2 + (ad + bc)i = (ac − bd) + (ad + bc)i, 22 / 37 Fractales Fractales autosimilares Fractales no lineales Este curso Llega Mandelbrot Los conjuntos de Julia El conjunto de Mandelbrot Multiplicación compleja La multiplicación compleja requiere explicación: (a + bi) × (c + di) = ac + adi + bci + bdi 2 = ac + bdi 2 + (ad + bc)i = (ac − bd) + (ad + bc)i, donde hemos usado el hecho i 2 = −1. 22 / 37 Fractales Fractales autosimilares Fractales no lineales Este curso Llega Mandelbrot Los conjuntos de Julia El conjunto de Mandelbrot Multiplicación compleja La multiplicación compleja requiere explicación: (a + bi) × (c + di) = ac + adi + bci + bdi 2 = ac + bdi 2 + (ad + bc)i = (ac − bd) + (ad + bc)i, donde hemos usado el hecho i 2 = −1. El número es equivalente a la ¡raíz cuadrada de −1! 22 / 37 Fractales Fractales autosimilares Fractales no lineales Este curso Llega Mandelbrot Los conjuntos de Julia El conjunto de Mandelbrot Ejemplos z = 2 + 3i, w = 1 − i z + w = 3 + 2i, zw = 5 + i. 23 / 37 Fractales Fractales autosimilares Fractales no lineales Este curso Llega Mandelbrot Los conjuntos de Julia El conjunto de Mandelbrot Ejemplos z = 2 + 3i, w = 1 − i z + w = 3 + 2i, zw = 5 + i. z = 1 − 2i, w = 2 + i z +w = 23 / 37 Fractales Fractales autosimilares Fractales no lineales Este curso Llega Mandelbrot Los conjuntos de Julia El conjunto de Mandelbrot Ejemplos z = 2 + 3i, w = 1 − i z + w = 3 + 2i, zw = 5 + i. z = 1 − 2i, w = 2 + i z + w = 3 − i, 23 / 37 Fractales Fractales autosimilares Fractales no lineales Este curso Llega Mandelbrot Los conjuntos de Julia El conjunto de Mandelbrot Ejemplos z = 2 + 3i, w = 1 − i z + w = 3 + 2i, zw = 5 + i. z = 1 − 2i, w = 2 + i z + w = 3 − i, zw = 23 / 37 Fractales Fractales autosimilares Fractales no lineales Este curso Llega Mandelbrot Los conjuntos de Julia El conjunto de Mandelbrot Ejemplos z = 2 + 3i, w = 1 − i z + w = 3 + 2i, zw = 5 + i. z = 1 − 2i, w = 2 + i z + w = 3 − i, zw = 4 − 3i. 23 / 37 Fractales Fractales autosimilares Fractales no lineales Este curso Llega Mandelbrot Los conjuntos de Julia El conjunto de Mandelbrot Ejemplos z = 2 + 3i, w = 1 − i z + w = 3 + 2i, zw = 5 + i. z = 1 − 2i, w = 2 + i z + w = 3 − i, zw = 4 − 3i. z = 1 − i, w = 1 + i z +w = 23 / 37 Fractales Fractales autosimilares Fractales no lineales Este curso Llega Mandelbrot Los conjuntos de Julia El conjunto de Mandelbrot Ejemplos z = 2 + 3i, w = 1 − i z + w = 3 + 2i, zw = 5 + i. z = 1 − 2i, w = 2 + i z + w = 3 − i, zw = 4 − 3i. z = 1 − i, w = 1 + i z + w = 2, 23 / 37 Fractales Fractales autosimilares Fractales no lineales Este curso Llega Mandelbrot Los conjuntos de Julia El conjunto de Mandelbrot Ejemplos z = 2 + 3i, w = 1 − i z + w = 3 + 2i, zw = 5 + i. z = 1 − 2i, w = 2 + i z + w = 3 − i, zw = 4 − 3i. z = 1 − i, w = 1 + i z + w = 2, zw = 23 / 37 Fractales Fractales autosimilares Fractales no lineales Este curso Llega Mandelbrot Los conjuntos de Julia El conjunto de Mandelbrot Ejemplos z = 2 + 3i, w = 1 − i z + w = 3 + 2i, zw = 5 + i. z = 1 − 2i, w = 2 + i z + w = 3 − i, zw = 4 − 3i. z = 1 − i, w = 1 + i z + w = 2, zw = 2. 23 / 37 Fractales Fractales autosimilares Fractales no lineales Este curso Llega Mandelbrot Los conjuntos de Julia El conjunto de Mandelbrot El plano complejo A los números complejos los acomodamos en un plano: 24 / 37 Fractales Fractales autosimilares Fractales no lineales Este curso Llega Mandelbrot Los conjuntos de Julia El conjunto de Mandelbrot El plano complejo A los números complejos los acomodamos en un plano: La distancia del origen al punto z es su valor absoluto: |z| = p a2 + b 2 24 / 37 Fractales Fractales autosimilares Fractales no lineales Este curso Llega Mandelbrot Los conjuntos de Julia El conjunto de Mandelbrot El plano complejo A los números complejos los acomodamos en un plano: La distancia del origen al punto z es su valor absoluto: |z| = p a2 + b 2 (teorema de Pitágoras). 24 / 37 Fractales Fractales autosimilares Fractales no lineales Este curso Llega Mandelbrot Los conjuntos de Julia El conjunto de Mandelbrot El proceso zn+1 = zn2 + c Mandelbrot estudió el proceso, con números complejos, zn+1 = zn2 + c, con valor inicial z0 y c ∈ C. 25 / 37 Fractales Fractales autosimilares Fractales no lineales Este curso Llega Mandelbrot Los conjuntos de Julia El conjunto de Mandelbrot El proceso zn+1 = zn2 + c Mandelbrot estudió el proceso, con números complejos, zn+1 = zn2 + c, con valor inicial z0 y c ∈ C. Pregunta: ¿Cómo se comporta la sucesión zn cuando n crece? 25 / 37 Fractales Fractales autosimilares Fractales no lineales Este curso Llega Mandelbrot Los conjuntos de Julia El conjunto de Mandelbrot El proceso zn+1 = zn2 + c Mandelbrot estudió el proceso, con números complejos, zn+1 = zn2 + c, con valor inicial z0 y c ∈ C. Pregunta: ¿Cómo se comporta la sucesión zn cuando n crece? Ejemplo: c = 0, z0 = 2: 25 / 37 Fractales Fractales autosimilares Fractales no lineales Este curso Llega Mandelbrot Los conjuntos de Julia El conjunto de Mandelbrot El proceso zn+1 = zn2 + c Mandelbrot estudió el proceso, con números complejos, zn+1 = zn2 + c, con valor inicial z0 y c ∈ C. Pregunta: ¿Cómo se comporta la sucesión zn cuando n crece? Ejemplo: c = 0, z0 = 2: z1 = 4, z2 = 16, z3 = 256, z4 = 65536, . . . 25 / 37 Fractales Fractales autosimilares Fractales no lineales Este curso Llega Mandelbrot Los conjuntos de Julia El conjunto de Mandelbrot El proceso zn+1 = zn2 + c Mandelbrot estudió el proceso, con números complejos, zn+1 = zn2 + c, con valor inicial z0 y c ∈ C. Pregunta: ¿Cómo se comporta la sucesión zn cuando n crece? Ejemplo: c = 0, z0 = 2: z1 = 4, z2 = 16, z3 = 256, z4 = 65536, . . . Vemos que zn → ∞ (crece indefinidamente). 25 / 37 Fractales Fractales autosimilares Fractales no lineales Este curso Llega Mandelbrot Los conjuntos de Julia El conjunto de Mandelbrot El proceso zn+1 = zn2 + c c = 0, z0 = 1/2: 26 / 37 Fractales Fractales autosimilares Fractales no lineales Este curso Llega Mandelbrot Los conjuntos de Julia El conjunto de Mandelbrot El proceso zn+1 = zn2 + c c = 0, z0 = 1/2: 1 1 1 1 z1 = , z2 = , z3 = , z4 = ,... 4 16 256 65536 26 / 37 Fractales Fractales autosimilares Fractales no lineales Este curso Llega Mandelbrot Los conjuntos de Julia El conjunto de Mandelbrot El proceso zn+1 = zn2 + c c = 0, z0 = 1/2: 1 1 1 1 z1 = , z2 = , z3 = , z4 = ,... 4 16 256 65536 En este caso zn → 0. 26 / 37 Fractales Fractales autosimilares Fractales no lineales Este curso Llega Mandelbrot Los conjuntos de Julia El conjunto de Mandelbrot El proceso zn+1 = zn2 + c c = 0, z0 = 1/2: 1 1 1 1 z1 = , z2 = , z3 = , z4 = ,... 4 16 256 65536 En este caso zn → 0. c = 0, z0 = 1: 26 / 37 Fractales Fractales autosimilares Fractales no lineales Este curso Llega Mandelbrot Los conjuntos de Julia El conjunto de Mandelbrot El proceso zn+1 = zn2 + c c = 0, z0 = 1/2: 1 1 1 1 z1 = , z2 = , z3 = , z4 = ,... 4 16 256 65536 En este caso zn → 0. c = 0, z0 = 1: z1 = 1, z2 = 1, z3 = 1, . . . 26 / 37 Fractales Fractales autosimilares Fractales no lineales Este curso Llega Mandelbrot Los conjuntos de Julia El conjunto de Mandelbrot El proceso zn+1 = zn2 + c c = 0, z0 = 1/2: 1 1 1 1 z1 = , z2 = , z3 = , z4 = ,... 4 16 256 65536 En este caso zn → 0. c = 0, z0 = 1: z1 = 1, z2 = 1, z3 = 1, . . . En este caso zn = 1 para todo n. c = 0, z0 = 1/2 + i/3: 26 / 37 Fractales Fractales autosimilares Fractales no lineales Este curso Llega Mandelbrot Los conjuntos de Julia El conjunto de Mandelbrot El proceso zn+1 = zn2 + c c = 0, z0 = 1/2: 1 1 1 1 z1 = , z2 = , z3 = , z4 = ,... 4 16 256 65536 En este caso zn → 0. c = 0, z0 = 1: z1 = 1, z2 = 1, z3 = 1, . . . En este caso zn = 1 para todo n. c = 0, z0 = 1/2 + i/3: z1 ≈ 0.14−0.33i, z2 ≈ −0.092−0.093i, z3 ≈ −0.0001+0.017i En este caso también zn → 0 26 / 37 Fractales Fractales autosimilares Fractales no lineales Este curso Llega Mandelbrot Los conjuntos de Julia El conjunto de Mandelbrot El proceso zn+1 = zn2 + c Podemos ver que, en el caso c = 0, el proceso zn+1 = zn2 satisface: zn → 0 si |z0 | < 1; |zn | = 1 si |z0 | = 1; y |zn | → ∞ si |z0 | > 1. 27 / 37 Fractales Fractales autosimilares Fractales no lineales Este curso Llega Mandelbrot Los conjuntos de Julia El conjunto de Mandelbrot El proceso zn+1 = zn2 + c Podemos ver que, en el caso c = 0, el proceso zn+1 = zn2 satisface: zn → 0 si |z0 | < 1; |zn | = 1 si |z0 | = 1; y |zn | → ∞ si |z0 | > 1. zn se mantiene acotado si |z0 | ≤ 1, 27 / 37 Fractales Fractales autosimilares Fractales no lineales Este curso Llega Mandelbrot Los conjuntos de Julia El conjunto de Mandelbrot El proceso zn+1 = zn2 + c Podemos ver que, en el caso c = 0, el proceso zn+1 = zn2 satisface: zn → 0 si |z0 | < 1; |zn | = 1 si |z0 | = 1; y |zn | → ∞ si |z0 | > 1. zn se mantiene acotado si |z0 | ≤ 1, o sea, en el conjunto 27 / 37 Fractales Fractales autosimilares Fractales no lineales Este curso Llega Mandelbrot Los conjuntos de Julia El conjunto de Mandelbrot Conjuntos de Julia (Gaston M. Julia, 1893 - 1978) Para otros c, el conjunto de z0 donde zn se mantiene acotado es mucho más interesante: 28 / 37 Fractales Fractales autosimilares Fractales no lineales Este curso Llega Mandelbrot Los conjuntos de Julia El conjunto de Mandelbrot Conjuntos de Julia (Gaston M. Julia, 1893 - 1978) Para otros c, el conjunto de z0 donde zn se mantiene acotado es mucho más interesante: c = 0.285 28 / 37 Fractales Fractales autosimilares Fractales no lineales Este curso Llega Mandelbrot Los conjuntos de Julia El conjunto de Mandelbrot Conjuntos de Julia (Gaston M. Julia, 1893 - 1978) Para otros c, el conjunto de z0 donde zn se mantiene acotado es mucho más interesante: c = 0.285 c = 0.45 + 0.1428i 28 / 37 Fractales Fractales autosimilares Fractales no lineales Este curso Llega Mandelbrot Los conjuntos de Julia El conjunto de Mandelbrot Conjuntos de Julia La frontera de estos conjuntos es llamada conjunto de Julia. 29 / 37 Fractales Fractales autosimilares Fractales no lineales Este curso Llega Mandelbrot Los conjuntos de Julia El conjunto de Mandelbrot Conjuntos de Julia La frontera de estos conjuntos es llamada conjunto de Julia. c = 0.4 + 0.6i 29 / 37 Fractales Fractales autosimilares Fractales no lineales Este curso Llega Mandelbrot Los conjuntos de Julia El conjunto de Mandelbrot Conjuntos de Julia La frontera de estos conjuntos es llamada conjunto de Julia. c = 0.4 + 0.6i c = −0.8 + 0.156i 29 / 37 Fractales Fractales autosimilares Fractales no lineales Este curso Llega Mandelbrot Los conjuntos de Julia El conjunto de Mandelbrot Conjuntos de Julia Los conjuntos de Julia presentan la misma complejidad a distintas escalas: 30 / 37 Fractales Fractales autosimilares Fractales no lineales Este curso Llega Mandelbrot Los conjuntos de Julia El conjunto de Mandelbrot Conjuntos de Julia Los conjuntos de Julia presentan la misma complejidad a distintas escalas: 30 / 37 Fractales Fractales autosimilares Fractales no lineales Este curso Llega Mandelbrot Los conjuntos de Julia El conjunto de Mandelbrot Conjuntos de Julia Los conjuntos de Julia presentan la misma complejidad a distintas escalas: 30 / 37 Fractales Fractales autosimilares Fractales no lineales Este curso Llega Mandelbrot Los conjuntos de Julia El conjunto de Mandelbrot Conjuntos de Julia Los conjuntos de Julia presentan la misma complejidad a distintas escalas: ¡Julia no los vio! No había computadoras en ese entonces. 30 / 37 Fractales Fractales autosimilares Fractales no lineales Este curso Llega Mandelbrot Los conjuntos de Julia El conjunto de Mandelbrot Conjunto de Mandelbrot Los conjuntos de Julia son muy distintos para distintos c; 31 / 37 Fractales Fractales autosimilares Fractales no lineales Este curso Llega Mandelbrot Los conjuntos de Julia El conjunto de Mandelbrot Conjunto de Mandelbrot Los conjuntos de Julia son muy distintos para distintos c; En particular, para algunos c, el conjunto de Julia es conexo, y para otros es disconexo; 31 / 37 Fractales Fractales autosimilares Fractales no lineales Este curso Llega Mandelbrot Los conjuntos de Julia El conjunto de Mandelbrot Conjunto de Mandelbrot Los conjuntos de Julia son muy distintos para distintos c; En particular, para algunos c, el conjunto de Julia es conexo, y para otros es disconexo; Definición Al conjunto de todos los números c tales que el conjunto de Julia es conexo se le llama el conjunto de Mandelbrot. Lo denotaremos por M. 31 / 37 Fractales Fractales autosimilares Fractales no lineales Este curso Llega Mandelbrot Los conjuntos de Julia El conjunto de Mandelbrot Conjunto de Mandelbrot Los conjuntos de Julia son muy distintos para distintos c; En particular, para algunos c, el conjunto de Julia es conexo, y para otros es disconexo; Definición Al conjunto de todos los números c tales que el conjunto de Julia es conexo se le llama el conjunto de Mandelbrot. Lo denotaremos por M. Teorema (Julia - Fatou) M es el conjunto de c tales que, si z0 = 0, la sucesión zn es acotada. (Pierre Joseph Louis Fatou, 1878 - 1929) 31 / 37 Fractales Fractales autosimilares Fractales no lineales Este curso Llega Mandelbrot Los conjuntos de Julia El conjunto de Mandelbrot Conjunto de Mandelbrot El conjunto de Mandelbrot también es un fractal: 32 / 37 Fractales Fractales autosimilares Fractales no lineales Este curso Contenido Resumen En este curso nos enfocaremos al estudio de los fractales autosimilares. Veremos el problema de cómo medirlos (curvas de longitud infinita, figuras de área cero) y la aparición de la dimensión fraccionaria. Al final, discutiremos cómo construir fractales autosimilares con la computadora. 33 / 37 Fractales Fractales autosimilares Fractales no lineales Este curso Contenido Día dos La curva de Koch: “longitud infinita” El conjunto de Cantor: “longitud cero” El triángulo de Sierpinski: “área cero” ¿Por qué ocurre lo anterior? 34 / 37 Fractales Fractales autosimilares Fractales no lineales Este curso Contenido Día tres La medida de Hausdorff Propiedades La dimensión de Hausdorff Algunos ejemplos 35 / 37 Fractales Fractales autosimilares Fractales no lineales Este curso Contenido Día cuatro Pregunta: ¿Cómo calculamos la dimensión de Hausdorff? 36 / 37 Fractales Fractales autosimilares Fractales no lineales Este curso Contenido Día cuatro Pregunta: ¿Cómo calculamos la dimensión de Hausdorff? Teorema de Hutchinson Ejemplos 36 / 37 Fractales Fractales autosimilares Fractales no lineales Este curso Contenido Día cinco Introducción a Mathematica Implementación de recursividad Dibujaremos algunos de los fractales autosimilares vistos aquí 37 / 37
