Macroeconomía Avanzada Computacional

Macroeconomía Avanzada Computacional
José L. Torres Chacón
Departamento de Teoría e Historia Económica
Universidad de Málaga
Septiembre 2010
ii
Indice
I
Sistemas dinámicos básicos
1 Una introducción a la macroeconomía dinámica computacional
1.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Ecuaciones en diferencias . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Resolución numérica . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Efectos de una perturbación . . . . . . . . . . . . . . .
1.5 Cambio en el valor de los parámetros . . . . . . . . . .
1.6 Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
7
7
8
10
16
21
24
2 Computación de modelos dinámicos básicos
27
2.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2 Resolución numérica del modelo más simple jamás visto 28
2.2.1 Valor de las variables en estado estacionario . . 33
2.2.2 Efectos de un aumento en la cantidad de dinero 37
2.2.3 Efectos de cambios en los parámetros . . . . . 39
2.3 Resolución numérica del Ejercicio 2.4: El desbordamiento
del tiempo de cambio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.3.1 Efectos de un aumento en la cantidad de dinero 49
iv
Indice
2.4
II
2.3.2 Efectos de cambios en los parámetros . . . . . 52
Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
Introducción al equilibrio general
3 La elección intertemporal del consumidor
3.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 El problema del consumidor en tiempo discreto y con
vida …nita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Ejemplo: función de utilidad logarítmica . . . . . . .
3.4 El problema del consumidor en Excel . . . . . . . . .
3.4.1 Cambio en los parámetros . . . . . . . . . . .
3.4.2 Cambio en las variables exógenas (cambio en
la renta) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.3 Cambio en la función de utilidad . . . . . . .
3.5 La decisión de consumo en MatLab . . . . . . . . . .
56
57
. 57
.
.
.
.
58
59
60
66
. 70
. 72
. 76
4 Las empresas y la decisión de inversión
4.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Computación en Excel del modelo de la Q de Tobin .
4.2.1 Linearización del modelo . . . . . . . . . . . . .
4.2.2 Efectos de una disminución en el tipo de interés
4.3 Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
81
81
82
82
85
88
5 El gobierno y la política …scal
91
5.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
5.2 Los impuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
5.2.1 Cambio en el tipo impositivo . . . . . . . . . . 94
5.3 La seguridad social . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
5.3.1 Cambio en las cotizaciones a la seguridad social 104
6 El modelo básico de equilibrio general
107
6.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
6.2 Computación del modelo simpli…cado en Excel . . . . 108
6.2.1 El modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
6.3 Computación del modelo en MatLab . . . . . . . . . . 117
6.3.1 El algoritmo de Newton-Raphson . . . . . . . . 117
6.4 Computación del modelo de equilibrio general dinámico
básico en MatLab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
Indice
6.4.1
6.4.2
III
1
Cálculo del estado estacionario . . . . . . . . . 129
Dinámica del modelo . . . . . . . . . . . . . . . 131
Crecimiento económico
7 Introducción al crecimiento económico
7.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2 Modelo con ahorro exógeno en tiempo discreto . .
7.3 Resolución en Excel . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3.1 Efectos de un aumento en la tasa de ahorro
136
.
.
.
.
137
. 137
. 138
. 141
. 144
8 El modelo de Ramsey
149
8.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
8.2 El modelo de Ramsey en tiempo discreto y con vida
…nita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
8.3 Resolución numérica del modelo de Ramsey linearizado153
8.3.1 Linearización del modelo . . . . . . . . . . . . . 153
2
Indice
Prefacio
El presente manual forma parte de un conjunto de manuales
que recogen diverso material correspondiente a la asignatura de
Macroeconomía Avanzada II, que se imparte el Departamento
de Teoría e Historia Económica en la Licenciatura de Economía
de la Facultad de Ciencias Económicas y Empresariales de la
Universidad de Málaga. El material que se imparte en dicha
asignatura se ha dividido en tres manuales: Uno teórico, que
hemos denominado AMA (Apuntes de Macroeconomía Avanzada),
otro de ejercicios resueltos que hemos denominado EMA (Ejercicios
de Macroeconomía Avanzada) y un tercero de computación que
es el presente y que hemos denominado MAC (Macroeconomía
Avanzada Computacional). Los tres manuales tienen una estructura
similar, estando pensados para su utilización de forma conjunta, ya
que contienen desarrollos que son complementarios, si bien están
pensados para poder ser también utilizados de forma independiente.
Este manual comprende una serie de ejercicios de computación,
usando los diferentes desarrollos teóricos que componen la asignatura
y que se dividen en tres partes: Sistemas Dinámicos Básicos,
Introducción al Equilibrio General Dinámico e Introducción al
crecimiento. El objetivo es resolver los diferentes desarrollos teóricos
pero utilizando técnicas de computación. Computación quiere decir
que vamos a utilizar un ordenador para resolver los distintos modelos
4
Indice
teóricos y que dicha resolución se va a llevar a cabo de forma
numérica.
Al usar un método de resolución numérico, esto signi…ca que
tenemos que considerar la variable tiempo como una variable en
tiempo discreto. Por tanto, los análisis que hemos llevado a cabo
en tiempo continuo en AMA y EMA, tenemos que rede…nirlos y
resolver dichos desarollos en tiempo discreto.
Los programas informáticos que vamos a utilizar son dos: Excel
y MatLab. Excel es una hoja de cálculo, similar a otras como
puede ser la hoja de cálculo Calc de Open O¢ ce. Las ventajas de
una hoja de cálculo es que son fáciles de manejar, al tiempo que
tienen una capacidad muy elevada para realizar una gran variedad
de operaciones de cálculo. Por su parte, MatLab es un lenguaje de
programación, siendo más difícil de usar que una hoja de cálculo,
pero con una ‡exibilidad y con un poder de cálculo muy superior.
El manejo de un programa u otro dependerá de la complejidad
del problema que queramos resolver. No obstante, la mayoría de
ejercicios trataremos de realizarlos en la hoja de cálculo.
Parte I
Sistemas dinámicos
básicos
5
6
1
Una introducción a la macroeconomía
dinámica computacional
1.1 Introducción
En este tema vamos a llevar a cabo un ejercicio de computación
simple con el objetivo de ilustrar como podemos utilizar un
ordenador para realizar simulaciones numéricas de los modelos
macroeconómicos. En concreto, en este tema vamos a realizar
una serie de simulaciones numéricas correspondientes al ejemplo
de sistema dinámico desarrollado en el capítulo 1 de AMA. Dicho
ejemplo lo vamos a resolver de forma numérica usando una hoja de
cálculo. En particular, vamos a usar la hoja de cálculo Excel, aunque
también podríamos usar la hoja de cálculo Calc de Open O¢ ce.
A la hora de computar numéricamente los sistemas dinámicos
resueltos analíticamente, el único elemento diferenciador que
tenemos que considerar es que los desarrollos teóricos los hemos
realizado en tiempo continuo, lo que supone trabajar con ecuaciones
diferenciales. La computación numérica requiere pasar del tiempo
continuo al tiempo discreto. Por tanto, en lugar de trabajar con
ecuaciones diferenciales trabajaríamos con ecuaciones en diferencias,
siendo todo lo demás igual.
Resolver numéricamente este tipo de sistemas tiene importantes
ventajas. En primer lugar, permite la obtención de las sendas
8
1. Una introducción a la macroeconomía dinámica computacional
temporales de las variables, que no se pueden apreciar de forma
directa en los diagramas de fases. Así, basta con realizar un grá…co
del valor de cada variable en función del tiempo para apreciar su
comportamiento a lo largo del mismo. En segundo lugar, permite
realizar ejercicios de sensibilidad, estudiando el comportamiento
del sistema en función, tanto del valor de las variables exógenas
como del valor de los distintos parámetros. Así, una vez resuelto
el modelo y computado númericamente, basta, por ejemplo, con
cambiar el valor de un determinado parámetro para ver cómo la
economía se ve alterada, tanto en términos de su equilibrio como
de su dinámica. Esto signi…ca que podemos simular las distintas
trayectorias de las variables endógenas dados unos parámetros y una
determinada perturbación en las variables exógenas. Estos elementos
no son posibles de apreciar resolviendo el sistema de forma teórica y
representándolo a través del correspondiente diagrama de fases.
La estructura de este tema es como sigue. En el segundo apartado
presentamos una breve descripción de las ecuaciones diferenciales
así como la notación del sistema dinámico que vamos a resolver
en tiempo continuo. La sección tercera muestra la resolución
numérica de dicho sistema dinámico realizada en una hoja de Excel,
describiéndose todos los elementos que deben introducirse en la
hoja de cálculo para obtener la solución numérica del mismo. La
sección cuarta utiliza la hoja de cálculo construida anteriormente
para analizar los efectos de una determinada perturbación, es decir,
un cambio en las variables exógenas. La sección quinta realiza un
análisis similar pero en términos de un cambio en el valor de los
parámetros. A esto es a lo que se denomina análisis de sensibilidad.
El tema …naliza con algunas conclusiones.
1.2 Ecuaciones en diferencias
La computación númerica de un determinado sistema de ecuaciones
requiere que dicho sistema esté de…nido en términos de unidades de
tiempo discretas. Sin embargo, tal y como hemos podido comprobar
en los desarrollos teóricos realizados, el tiempo lo hemos de…nido en
forma continua. El resultado es el mismo, pudiéndose resolver los
modelos teóricos tanto en tiempo continuo como en tiempo discreto.
Podemos decir que esta elección es una cuestión de gustos. A algunos
les gusta más plantear y resolver los problemas suponiendo que el
1.2 Ecuaciones en diferencias
9
tiempo es una variable continua mientras que a otros les resulta
más atractivo plantear y resolver los problemas suponiendo que el
tiempo es una variable discreta. No obstante, hemos de decir que
las herramientas de resolución varían en cada caso siendo también
diferente la forma de presentar los resultados.
En tiempo continuo, el cambio en una variable lo hemos de…nido
como su derivada respecto al tiempo:
@xt
@t
x_ t =
(1.1)
En tiempo discreto, el cambio de una variable viene dado por:
xt = xt+1
xt
(1.2)
Esto signi…ca que el valor de una variable en el momento t vendría
dado por:
xt+1 = xt +
xt
(1.3)
El sistema de ecuaciones dinámica que aparece como ejemplo en el
capítulo 1 de AMA, en el cual tenemos dos variables endógenas (x1;t ,
x2;t ) y dos variables exógenas (z1;t , z2;t ), podemos representarlo en
tiempo discreto como:
x1;t
+
x2;t
x1;t
=
x2;t
1 0
0
z1;t
z2;t
(1.4)
Por tanto, las ecuaciones que de…nen el comportamiento a lo largo
del tiempo de las dos variables endógenas son las siguientes:
x1;t =
x1;t
x2;t = x1;t
x2;t
z1;t
(1.5)
x2;t + z2;t
(1.6)
Esta forma de representar el sistema de ecuaciones en
tiempo discreto implica que cuanto se produce una determinada
perturbación en el momento t, no afecta a las variables endógenas
hasta el momento t+1. Una vez que tenemos nuestro sistema de…nido
en tiempo discreto, ya podemos proceder a su computación numérica.
10
1. Una introducción a la macroeconomía dinámica computacional
Figura 1.1. Hoja de Cálculo en Excel correspondiente al Ejercicio 1.1
1.3 Resolución numérica
Vamos a proceder a resolver númericamente el sistema de ecuaciones
en diferencias anterior usando el programa Excel.
Para ello
necesitamos dar valores tanto a los parámetros del sistema como a
las variables exógenas. En este caso no tenemos ninguna restricción
sobre los valores de los parámetros, excepto la que resulta de que los
valores propios de la matriz de coe…cientes asociada a las variables
endógenas sean números reales (en un momento volvemos sobre este
punto). El …chero que vamos a utilizar se denomina EC11.xls y
aparece re‡ejado en la …gura 1.1. Vamos a describir a continuación
como construimos dicha hoja de cálculo.
Para la resolución numérica del modelo necesitamos dos bloques
de información numérica: el valor de los parámetros y el valor de
las variables exógenas. Lo primero que tenemos que hacer es dar
1.3 Resolución numérica
11
valores a los parámetros del modelo (indicadas por letras griegas en
minúsculas). La tabla 1.1 muestra los valores seleccionados para los
parámetros. Obviamente, la propia dinámica del sistema dependerá
de estos valores, por lo que en una sección posterior procederemos
a analizar los efectos de cambios en los mismos, que es a lo que
denominamos análisis de sensibilidad. A la hora de elegir los valores
de los parámetros hemos de tener en cuenta tanto su signi…cado
económico (no lo tienen en este ejemplo), como las restricciones
sobre los mismos que pueden derivarse de la estabilidad del sistema.
En este ejemplo, hemos visto ya que el sistema presenta estabilidad
global ya que las raíces (valores propios) de la matriz de coe…cientes
asociadas a las variables endógenas son negativas, por lo que no
existen (a priori) restricciones sobre el valor de los parámetros.
La tabla 1.1 muestra los valores seleccionados para los distintos
parámetros.
Tabla 1.1: Valores de los parámetros
Símbolo
De…nición
Valor
Elasticidad de x1;t repecto a x1;t 0,50
Elasticidad de x1;t repecto a x2;t 0,02
Elasticidad de x2;t repecto a x1;t 1,50
Elasticidad de x2;t repecto a x2;t 0,10
Elasticidad de x2;t repecto a z2;t 1,00
Una vez determinados estos valores podemos proceder a calcular
el valor numérico de las variables endógenas en estado estacionario.
No obstante, antes de continuar con la resolución númerica es
conveniente comprobar que se cumple la restricción reseñada
anteriormente. En efecto, si calculamos los valores propios del
anterior sistema obtenemos que:
p
( + )
( + )2 4( + )
(1.7)
1; 2 =
2
por lo que para que se cumpla la anterior restricción (raíces reales),
el resultado de la expresión dentro de la raiz cuadrada tiene que ser
positivo, por lo que tiene que cumplirse que:
( + )2
4(
+
)>0
(1.8)
Si sustituimos los valores de los parámetros que aparecen en la
tabla 1.1 obtenemos que:
12
1. Una introducción a la macroeconomía dinámica computacional
(0; 50 + 0; 10)2
4(0; 50
0; 10 + 1; 50
0; 02) = 0; 04 > 0
(1.9)
En la …gura 1.1 hemos representando la hoja de cálculo que hemos
construido en la cual aparecen diferentes bloques de información
necesarios. Como podemos comprobar el valor del parámetro ,
que lo hemos llamado "Alpha" aparece en la celda "B12". El valor
del parámetro , que hemos denominado "Beta" aparece en la celda
"B13". El valor asignado a , que hemos denominado "Gamma",
viene dado en la celda "B14". El valor del parámetro , que hemos
denominado "Delta" aparece en la celda "B15". Finalmente, el valor
del parámetro , que hemos denominado "Ita" aparece en la celda
"B16".
Un elemento de gran utilidad consiste en rede…nir el nombre de
las celdas, con el objeto de que el valor que asignamos a cada
parámetro esté de…nido en términos de su propio nombre. Así,
por ejemplo, si situamos el cursor en la celda "B12", observamos
que dicha celda toma como nombre de referencia "Alpha". Para
introducir un determinado nombre simplemente tenemos que situar
el cursor en la ventana arriba a la izquierda donde sale el indicador de
celda, e introducir en el mismo el nombre que deseemos. Con esto
conseguimos varias cosas: las fómulas que tenemos que introducir
van a quedar más claras y más fáciles de interpretar, evitamos el uso
continuo del símbolo "$" para …jar el valor de una determinada celda
y, lo más importante, evitamos cometer errores.
A continuación de…nimos el valor de las variables exógenas. En
este caso, de…nimos el valor inicial y el valor que toman en el caso en
que se produzca una perturbación, con objeto de analizar los efectos
de las mismas con posterioridad. Dichos valores aparecen en las
columnas "B" y "C", en las …las 21 y 22. En el caso de que no se
produzca ninguna perturbación, los valores de la columna "B" serán
los mismos que los de la columna "C". Como podemos comprobar
el valor dado a la variable exógena z1 , es de -1, que aparece en la
celda "B21". Por su parte el valor dado a la variable exógena z2 es
también de -1 y aparece re‡ejado en la celda "B22". Inicialmente,
estos mismos valores también aparecen en las celdas "C21" y "C22".
La condición de raíces reales aparece en la celda "B33", cuyo valor
tiene que ser positivo para que las raíces sean reales, tal y como
hemos visto anteriormente. Por su parte, las celdas "B37" y "B38"
1.3 Resolución numérica
13
muestran los valores de las raíces del sistema, que en este caso toman
valores negativos, (-0,2 y -0,4).
A continuación, de…nimos el bloque que nos permite obtener
la solución numérica del modelo para las variables endógenas en
cada momento del tiempo. En la columna "F" hemos representado
el tiempo, comenzando por -1, que sería la situación de estado
estacionario inicial. El índice temporal 0 es el que vamos a utilizar
como referente del momento en el que se produce una determinada
perturbación. Para construir esta columna simplemente tenemos que
introducir un número y sumarle 1 al valor de la celda correspondiente
a la …la anterior. Así, por ejemplo, si situamos el cursor en la celda
"F5" observamos que aparece la siguiente fórmula, =F4+1, que indica
el valor de la …la anterior más una unidad.
A continuación, las columnas "G" y "H", presentan el valor de las
variables en cada momento del tiempo, mientras que las columnas
"I" y "J" muestran su variación en el tiempo. Los primeros valores de
las variables, los hemos obtenido calculando el valor de las variables
en estado estacionario, dados los valores de las variables exógenas
y del valor de los parámetros. El valor de las variables en estado
estacionario viene dado por:
x1;t =
x2;t =
+
+
z1;t
z1;t +
+
+
z2;t
(1.10)
z2;t
(1.11)
Estos valores aparecen calculados en las celdas "B26" y "B27",
respectivamente. En efecto si situamos el cursor en la celda "B26",
observamos que en la ventana superior aparece la siguiente expresión:
=(-Delta/(Alpha*Delta+Gamma*Beta))*z1_0
-(Beta*Ita)/(Alpha*Delta+Gamma*Beta)*z2_0
que se corresponde con la expresión (1.10). Por su parte, si
situamos el cursor sobre la celda "B27", observamos que la fómula
que contiene dicha celda es:
=-(Gamma/(Alpha*Delta+Gamma*Beta))*z1_0
+((Alpha*Ita)/(Alpha*Delta+Gamma*Beta))*z2_0
14
1. Una introducción a la macroeconomía dinámica computacional
que se corresponde con la expresión (1.11). Las celdas "G3" y
"H3", son precisamente dichos valores, que se corresponden con el
equilibrio del sistema. Como podemos comprobar, dados los valores
que hemos utilizado para los parámetros y las variables exógenas, los
valores de las variables endógenas en estado estacionario son:
0; 1
( 1)
0; 5 0; 1 + 1; 5 0; 02
0; 02 1
( 1) = 1; 5
0; 5 0; 1 + 1; 5 0; 02
x1;t =
x2;t =
+
0; 5
1; 5
( 1)
0; 5 0; 1 + 1; 5 0; 02
1; 5 1
( 1) = 12; 5
0; 1 + 1; 5 0; 02
(1.12)
(1.13)
Las siguientes celdas de las columnas "G" y "H" se obtenen
simplemente sumando al valor de la variable en el periodo anterior
su variación correspondiente, dado que:
xt+1 = xt +
xt
Así, la celda "G4", contiene la expresión =G3+I3. Esta fórmula se
aplica a toda la columna "G". Así, por ejemplo, despues de copiar
la expresión anterior, la celda "G5" tiene que contener la expresión
=G4+I4. La misma estructura tiene la columna "H" correspondiente
a la segunda variable endógena. En este caso, la celda "H4" contiene
la expresión =H3+J3 y así sucesivamente en las siguientes …las.
Por último, las …las "I" y "J" indican las variaciones de las
variables endógenas en cada momento del tiempo, que vienen dadas
por las ecuaciones en diferencias que de…nen el sistema dinámico
planteado. La …la "I" calcula las variaciones de la variable endógena
1. Si situamos el cursor sobre la celda "I3" observamos que contiene
la expresión:
=-Alpha*G3-Beta*H3-z1_0
donde G3 hace referencia al valor de la primera variable endógena,
H3 hace referencia al valor de la segunda variable endógena y z1_0
1.3 Resolución numérica
15
es el valor de la variable exógena 1 en el momento inicial, lo que
es equivalente a la ecuación en diferencias para la primera variable
exógena:
x1;t =
x1;t
x2;t
z1;t
(1.14)
Por su parte, la celda "I4", contiene la siguiente expresión:
=-Alpha*G4-Beta*H4-z1_1
en la cual la variable exógena 1, z1_1, es la correspondiente al
momento en el cual se produce la perturbación. Esta expresión es la
que copiaríamos en las siguientes celdas de esta columna.
De forma equivalente la columna "J" calcula las variaciones de la
variable endógena 2, teniendo la misma estructura. La ecuación en
diferencia correspondiente a este variable es:
x2;t = x1;t
x2;t + z2;t
(1.15)
Si situamos el cursor en la celda "J3", observamos que la expresión
que aparece es:
=Gamma*G3-Delta*H3+Ita*z2_0
que es exactamente la ecuación anterior. Por su parte, si situamos
el cursor en la celda "J4", la expresión que aparece es:
=Gamma*G4-Delta*H4+Ita*z2_1
en la cual la variable exógena 2 es la correspondiente a la nueva
situación una vez que se ha producido la perturbación. Esta
expresión es la que copiaríamos en las siguientes celdas de la columna
"J".
Finlamente, construimos en la hoja de cálculo grá…cos que
representen el valor de cada una de las variables endógenas en función
del tiempo, dado que tenemos valores numéricos para las mismas
en dada momento del tiempo. Como podemos comprobar en las
…guras 1.2 y 1.3, obtenemos un valor constante para las dos variables
16
1. Una introducción a la macroeconomía dinámica computacional
Variable x1
2.00
1.50
1.00
0.50
0.00
-1 2 5 8 11 14 17 20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50
Tiempo
Figura 1.2. Senda temporal de la variable endógena 1. Situación inicial
endógenas, dado que el sistema está en estado estacionario. Esta
representación grá…ca la podemos usar para comprobar que todos
los cálculos que hemos realizado en la hoja de Excel son correctos,
ya que en cada momento del tiempo cada variable endógena toma
el mismo valor indicando que el sistema dinámico se encuentra en
reposo.
1.4 Efectos de una perturbación
Una vez resuelto numéricamente el sistema, a continuación vamos
a analizar los efectos de una perturbación. En este contexto
computacional este análisis es muy fácil de realizar, ya que
únicamente tenemos que cambiar el valor de la variable exógena
seleccionada en la dirección que se quiera y automáticamente la hoja
de cálculo se actualizará con los nuevos valores para las variables, su
nuevo estado estacionario y la representación grá…ca de la dinámica.
De hecho esta es la principal ventaja de resolver númericamente
en una hoja de cálculo. Una vez la tenemos construida basta con
realizar el cambio deseado y automáticamente el programa recalcula
la nueva solución.
1.4 Efectos de una perturbación
17
Variable x2
14.00
12.00
10.00
8.00
6.00
4.00
2.00
0.00
-1 2 5 8 11 14 17 20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50
Tiempo
Figura 1.3. Senda temporal de la variable endógena 2. Situación inicial
En concreto, vamos a suponer que la variable exógena 1 disminuye
y pasa a tomar un valor de -2. Para realizar este análisis únicamente
tenemos que cambiar el valor de la celda "C21". Si en lugar de
poner un valor de -1, ponemos un valor de -2, vemos que la hoja
cambia de forma automática, representando los efectos de dicha
perturbación. Si lo que queremos es estudiar los efectos de un cambio
en la variable exógena 2, entonces cambiaríamos el valor de la celda
"C22". También podemos analizar los efectos de dos perturbaciones
simultáneas, cambiando los valores tanto de la variable exógena 1
como de la exógena 2, es decir, cambiando de forma simultánea los
valores de las celdas "C21" y "C22".
La …gura 1.4 muestra como quedaría la hoja de cálculo una vez
consideramos esta perturbación sobre la variable exógena 1. En
primer lugar, podemos observar que ahora el estado estacionario es
diferente. Antes de la perturbación el valor de estado estacionario
era 1,5 y 12,5 para las variables endógenas 1 y 2, respectivamente.
Ahora podemos comprobar que el valor de las variables endógenas
en el nuevo estado estacionario es de 2,75 y 31,25, respectivamente.
También podemos observar como ahora las columnas "I" y "J" no
son cero a partir del momento 0, re‡ejando que el sistema está en
movimiento como consecuencia de la perturbación introducida. No
18
1. Una introducción a la macroeconomía dinámica computacional
Figura 1.4. Hoja de cálculo en el caso de una disminución en z1
1.4 Efectos de una perturbación
19
Variable x1
3.50
3.00
2.50
2.00
1.50
1.00
0.50
0.00
-1 2 5 8 11 14 17 20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50
Tiempo
Figura 1.5. Efecto de una disminución en z1
es hasta el periodo 30 aproximadamente (depende de la exactitud que
queramos dar a nuestros cálculos), cuando las derivadas respecto al
tiempo de las variables endógenas vuelven a ser cero, indicando que
el sistema ha alcanzado el nuevo estado estacionario.
Las …guras 1.5 y 1.6 muestran la dinámica de las variables
endógenas ante dicha perturbación. Tal y como podemos observar
en la …gura 1.5, la variable 1 comienza aumentar, incluso por encima
del nuevo valor de estado estacionario, para posteriormente disminuir
hasta alcanzar su nuevo estado estacionario. Este comportamiento
re‡eja que la trayectoria de esta variable es levemente asintótica,
pasando de una situación de aumento a una situación de disminución,
antes de alcanzar su nuevo nivel de equilibrio. Los que nos está
diciendo este grá…co es que la trayectoria de la variable 1 no es directa
desde el estado estacionario inicial hacia el estado estacionario …nal,
mostrando un comportamiento en forma de U invertida. Así,
muestra que en los primeros periodos posteriores a la perturbación la
variable 1 sufre un rápido aumento hasta alcanzar un valor máximo,
para disminuir lentamente a partir de este momento hasta ajustarse
a su nuevo valor de equilibrio, alcanzándolo aproximadamente en el
periodo 20.
20
1. Una introducción a la macroeconomía dinámica computacional
Variable x2
35.00
30.00
25.00
20.00
15.00
10.00
5.00
0.00
-1 2 5 8 11 14 17 20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50
Tiempo
Figura 1.6. Efecto de una disminución en z1
Por su parte, la …gura 1.6 muestra el comportamiento de la
variable endógena 2. En este caso la variable 2 comienza a
aumentar hasta alcanzar el nuevo estado estacionario teniendo el
mismo comportamiento durante todo el tiempo. En este caso la
trayectoria es directa, mostrando una dinámica más simple que en el
caso anterior, aunque observamos que la velocidad del ajuste no es
constante, siendo más rápida al principio. No obstante la velocidad
de ajuste es muy similar a la registrada por la variable 1, alcanzando
su nuevo estado estacionario aproximadamente en el periodo 25-30.
Las representaciones grá…cas realizadas anteriormente ilustran las
denominadas funciones impulso-respuesta. Uno de los aspectos más
importantes que nos interesan del funcionamiento de una economía,
consiste en calcular cómo las diferentes variables macroeconómicas
reaccionan ante una determinada perturbación. Esto nos permite
conocer cómo es el efecto de impacto, es decir, el efecto sobre cada
variable macroeconómica de la perturbación de forma inmediata,
junto con su evolución en momentos del tiempo posteriores, que
va a depender de cuales sean los efectos de dicha perturbación
ha producido sobre el resto de variables macroeconómicas. El
conocimiento de estas funciones de impulso-respuesta resulta vital
para el diseño de las políticas económicas y para anticipar cuales
1.5 Cambio en el valor de los parámetros
21
van a ser los efectos a lo largo del tiempo de una determinada
perturbación que afecte a la economía.
1.5 Cambio en el valor de los parámetros
Otro ejercicio de gran interés que podemos realizar consiste en
estudiar cuales son los efectos de los valores de los parámetros sobre
la dinámica del sistema. A este ejercicio es a lo que se denomina
análisis de sensibilidad, ya que nos indica cómo reacciona el sistema
en función del valor de los parámetros del mismo. En el sistema
nos encontramos con dos grupos de parámetros: los asociados a las
variables exógenas y los asociados a las variables endógenas. El
valor de los parámetros asociados a las variables exógenas van a
determinar el efecto de impacto de la perturbación, es decir, cómo
se ven afectadas las variables endógenas inicialmente ante un cambio
en alguna de las variables exógenas. Por el contrario, la dinámica
del sistema, es decir, como cambian las variables endógenas a lo
largo del tiempo una vez se ha producido el efecto de impacto,
viene determinado por el valor de los parámetros asociados a estas
variables.
Para llevar a cabo este análisis vamos a suponer que se produce
la perturbación anterior, pero ahora vamos a cambiar el valor del
parámetro . En lugar de suponer que su valor es 0,1, como hemos
hecho anteriormente, vamos a suponer que su valor es de 0,02. Este
cambio afecta tanto al valor de las variables en estado estacionario
como a la dinámica que van a seguir las variables endógenas ante
una determinada perturbación.
La …gura 1.7 muestra como quedaría en este caso la hoja de
cálculo. Tal y como podemos observar, el valor de las variables
en el estado estacionario cambia respecto a la situación anterior.
En efecto, el valor de las variables en estado estacionario depende
del valor de los parámetros (y del valor de las variables exógenas),
por lo que si alteramos el valor de los mismos obtenemos un valor
de estado estacionario diferente para las variables endógenas. Así,
ahora el estado estacionario inicial toma un valor de 1 para la variable
endógena 1 y de 25 para la variable endógena 2. Suponiendo que se
produce la misma perturbación que hemos estudiado anteriormente
(la variable exógena 1 pasa de un valor de -1 a un valor de -2) el
22
1. Una introducción a la macroeconomía dinámica computacional
Figura 1.7. Hoja de cálculo con cambio en los parámetros
1.5 Cambio en el valor de los parámetros
23
Variable x1
3.00
2.50
2.00
1.50
1.00
0.50
0.00
-1 2 5 8 11 14 17 20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50
Tiempo
Figura 1.8. Efecto de una disminución en z1 con
= 0; 02
estado estacionario pasaría a ser 1,5 para la variable endógena 1 y
62,5 para la variable endógena 2.
Las …guras 1.8 y 1.9 muestran la dinámica de las variables
endógenas ante la misma perturbación que hemos analizado en la
sección anterior. Como podemos observar, la dinámica del sistema es
ahora diferente. El aumento de la variable 1 en los periodos iniciales
respecto a su valor de equilibrio es ahora más importante, indicando
que esta variable se hace más sensible ante la perturbación. Esto
signi…ca que el desequilibrio que se produce en términos de la variable
endógena 1 es más importante conforme disminuya el parámetro .
Por otra parte, vemos que el ajuste de la variable 2 respecto a su
nuevo estado estacionario es ahora más lento.
En términos generales observamos que ahora la dinámica de ajuste
es más lenta respecto a la situación anterior. Las variables no
alcanzan el nuevo estado estacionario hasta aproximadamente el
periodo 50. En cualquier caso este ejercicio nos sirve para ilustrar
que los valores de los parámetros juegan un papel fundamental a la
hora de determinar la dinámica del sistema.
24
1. Una introducción a la macroeconomía dinámica computacional
Variable x2
70.00
60.00
50.00
40.00
30.00
20.00
10.00
0.00
-1 2 5 8 11 14 17 20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50
Tiempo
Figura 1.9. Efecto de una disminución en z1 con
= 0; 02
1.6 Conclusiones
En este tema hemos resuelto de forma numérica un sistema de dos
ecuaciones en diferencias sin signi…cado económico. Para ello hemos
utilizado como herramienta una hoja de cálculo, esto es, un programa
informático de uso simple y ampliamente conocido y utilizado por su
‡exibilidad y capacidad de realizar diferentes operaciones numéricas.
Las hojas de cálculo constituyen una herramienta muy útil para
realizar estos simples ejercicios, ya que son fáciles de usar, al menos
de forma básica. Para calcular númericamente el sistema propuesto
únicamente necesitamos dar valores tanto a los parámetros como a
las variables exógenas. En realidad lo que hemos hecho es resolver
el ejemplo que aparece en el tema 1 de AMA, pero de una forma
alternativa: con números.
No obstante todo lo anterior, hemos de tener en cuenta que para
obtener una computación del sistema de ecuaciones, primero tenemos
que resolverlo de forma analítica, es decir, hay que resolverlo a mano,
usando unos instrumentos menos so…sticados tecnológicamente,
como son papel y lápiz, pero igualmente potentes. Esto va a
ser una regla sin excepciones en la macroeconomía computacional.
Antes de computar númericamente un modelo necesitamos resolverlo
1.6 Conclusiones
25
antes analíticamente, si bien en la actualidad están desarrollándose
unos programas informáticos altamente so…sticados que permiten la
computación de modelos macroeconómicos, incluso muy complejos,
sin necesidad de resolverlos analíticamente. Es el propio programa
informático el que los resuelve lo que sin duda permitirá construir
modelos altamente complejos y realizar simulaciones en un ordenador
sin tener que resolver de forma analítica.
El ejercicio realizado nos sirve también para mostrar las ventajas
de la computación frente a la resolución análitica de un determinado
problema. Vemos que la computación permite obtener una gran
cantidad de información, que puede resultar difícil de obtener en
la resolución teórica. Así, es posible obtener de forma directa el
valor de las variables en cada momento del tiempo y, por tanto,
obtener una representación grá…ca de su trayectoria temporal. Esto
es especialmente útil para el análisis de distintas perturbaciones. Por
otra parte, también permite realizar de una forma muy fácil análisis
de sensibilidad respecto al valor de los distintos parámetros.
26
1. Una introducción a la macroeconomía dinámica computacional
2
Computación de modelos dinámicos
básicos
2.1 Introducción
En este tema vamos a calcular númericamente algunos de los
modelos dinámicos simples que hemos resuelto analíticamente en
el capítulo 2 de AMA. El esquema que vamos a emplear es el
mismo que el desarrollado en el tema anterior, pero ahora aplicado
a sistemas dinámicos que tienen contenido económico. Para resolver
computacionalmente estos modelos vamos a seguir utilizando la hoja
de cálculo Excel. Nuestro objetivo es obtener la senda temporal de
las diferentes variables de la economía, en contraposición al diagrama
de fases que obtenemos cuando resolvemos dichos modelos de forma
analítica. Así, hemos visto que su representación grá…ca a través del
diagrama de fases es muy ilustrativa de la dinámica del sistema, si
bien también presenta algunos inconvenientes a la hora de interpretar
la evolución dinámica de las variables.
En primer lugar, vamos a realizar diferentes simulaciones
numéricas del modelo más simple, con objeto de ilustrar el hecho
de que estos modelos son muy fáciles de computar. A continuación,
vamos a computar el modelo del desbordamiento del tipo de cambio,
ya que al presentar una solución del tipo punto de silla, hemos de
considerar algunos elementos particulares al mismo. Los ejercicios
28
2. Computación de modelos dinámicos básicos
los vamos a realizar utilizando Excel y los …cheros correspondientes
los hemos denominado EC21.xls y EC22.xls.
La estructura del tema es la siguiente. En la sección segunda
vamos a resolver numéricamente el primer ejercicio que hemos ya
resuelto analíticamente. Esto nos permitirá obtener soluciones
numéricas y realizar distintas simulaciones que añaden información a
la solución previamente obtenida en términos del diagrama de fases.
A continuación, la sección tercera lleva a cabo el mismo análisis pero
con un modelo que presenta una solución de punto de silla, en la
que hay que considerar elementos adicionales para su computación.
El tema …naliza con algunas conclusiones relevantes que podemos
extraer de los ejercicios realizados.
2.2 Resolución numérica del modelo más simple
jamás visto
Vamos a suponer que la estructura de nuestra economía viene dada
por el siguiente sistema de ecuaciones:
mt
ytd =
pt = y t
0
it
(2.1)
pet )
(2.2)
1 (it
pt = (yt
yt)
(2.3)
yt = (ytd
yt )
(2.4)
donde m es el logaritmo de la cantidad de dinero, p el logaritmo del
nivel de precios, y d , el logaritmo del nivel de demanda, y el logaritmo
del nivel de producción, y el logaritmo del nivel de producción
potencial, i el tipo de interés nominal. Todos los parámetros se
de…nen en términos positivos. El símbolo de…ne la variación de la
variable correspondiente, siendo:
pt = pt
pt
1
(2.5)
yt = yt
yt
1
(2.6)
2.2 Resolución numérica del modelo más simple jamás visto
29
Como podemos comprobar, este modelo lo hemos de…nido en
tiempo discreto, dado que vamos a resolverlo numéricamente. No
obstante, podemos comprobar que su estructura es exactamente
equivalente a la de su versión en tiempo continuo.
Una característica diferenciadora de la computación respecto a la
resolución analítica, es que en la computación no existe diferencia
entre las variables endógenas de referencia y el resto de variables
endógenas tal y como lo hemos hecho cuando lo resolvemos en
términos teóricos. Esto es así porque ahora podemos cacular el valor
de todas las variables endógenas demás de que la resolución no está
sujeta a únicamente dos variables endógenas para poder realizar su
representación grá…ca a través del diagrama de fases.
Resolviendo (véase la sección 2.2 de AMA), obtenemos el siguiente
sistema de ecuaciones:
pt = (yt
yt =
0
+(
1
1)yt +
1
yt)
1
(2.7)
(mt
1yt
pt )
(2.8)
En notación matricial tendríamos:
pt
yt
0
=
(
1
+
0
1
1
0
1
1
2
1)
0
pt
yt
3
4 mt 5
yt
(2.9)
(2.10)
Para la realización de nuestro ejercicio vamos a suponer los
valores para los parámetros que aparecen re‡ejados en la tabla 2.1.
Estos valores se obtienen o bien de la realización de estimaciones
econométricas o bien de la calibración de los mismos en función
de los datos. Por ejemplo, para estimar la semi-elasticidad del
tipo de interés y la elasticidad de la demanda de dinero podemos
estimar econométricamente la ecuación de demanda de dinero. El
valor de los coe…cientes estimados de dicha ecuación para una
determinada economía serían los valores correspondientes a y .
Otra forma de calcular los parámetros del modelo consiste en la
30
2. Computación de modelos dinámicos básicos
Figura 2.1. Hoja de cálculo del modelo
calibración de los mismos tal que la estructura teórica se adapte a
los datos. Así, se trataría de utilizar las variables macroeconómicas
para determinar algunos ratios importantes que permitan inferir el
valor de los parámetros. En la actualidad el enfoque más utilizado
es la calibración de los parámetros o bien utilizar los dos métodos de
forma simultánea.
La …gura 2.1 muestra la hoja en Excel del modelo resuelto
numéricamente, donde aparecen los diferentes conjuntos de
información que necesitamos:
de…nición de las variables,
determinación del valor de los parámetros, determinación del valor
de las variables exógenas y cálculo del estado estacionario. A
contiuación aparecen los valores de cada una de las variables
endógenas en cada periodo así como un grá…co de las mismas para
observar su senda temporal.
2.2 Resolución numérica del modelo más simple jamás visto
31
Los valores de los parámetros pueden ser muy diferentes de una
economía a otra, re‡ejando las características de las mismas en
términos de la velocidad de ajuste de los parámetros.
Símbolo
1
Tabla 2.1: Valores de los parámetros
De…nición
Semi-elasticidad del tipo de interés
Elasticidad de mt pt respecto a la producción
Elasticidad de la ytd al tipo de interés
Velocidad de ajuste de los precios
Velocidad de ajuste del nivel de producción
Valor
0,5
0,05
50
0,01
0,2
A la hora de …jar el valor de los anteriores parámetros tenemos que
asegurarnos que cumplen determinadas condiciones. Una primera
condición que les vamos a exigir es que las raíces de la matriz de
coe…cientes asociados a las variables endógenas sean número reales
en el caso en que tengamos una solución del tipo punto de silla, que
para computar el modelo vamos a necesitar el valor de las raíces. En
segundo lugar, tenemos que ver si el análisis de estabilidad impone
alguna condición adicional sobre los mismos. En primer lugar, al
calcular las raíces de la matriz de coe…cientes asociados a las variables
endógenas obtenemos la siguiente expresión:
rh
i
(
1)
1
1
(
1)
1
1
2
4
1
2
La primer condición implica que tiene que cumplirse que:
2
(
1
1
4
1)
1
>0
En este caso concreto la condición anterior no es necesaria ya que
obtenemos que ambas raíces son negativas y, por tanto, la solución
es de estabilidad global. En cualquier caso, sustituyendo los valores
de la tabla 2.1 resulta que:
0; 2
(50
0; 01
50
0; 05
0; 5
2
1)
4
0; 2
50
0; 5
0; 01
= 0; 41 > 0
Por otra parte hemos de tener en cuenta que si el término
1
1 es positivo, entonces las dos raíces son también positivas
1
32
2. Computación de modelos dinámicos básicos
( 1 > 0; 2 > 0): En este caso todas las trayectorias son explosivas
por lo que este términos no puede ser negativo. Si por el contrario
1
1 es negativo entonces las dos raíces son negativas
1
( 1 < 0; 2 < 0), siendo todas las trayectorias convergentes hacia el
estado estacionario. Por tanto este término tiene que ser negativo.
Sustituyendo los valores dados en la tabla 2.1 tenemos que:
1
1
1 = 50
0; 01
50
0; 05
0; 5
1=
5; 5
por lo que los parámetros seleccionados cumplen esta condición.
A continuación, debemos determinar el valor inicial de las variables
del modelo (endógenas y exógenas). En primer lugar, determinamos
el valor de las variables exógenas en el momento inicial, que aparecen
re‡ejadas en la tabla 2.2. Estos valores son totalmente arbitrarios,
pero hemos de tener de alguna manera en cuenta el signi…cado
económico de cada variable.
Tabla 2.2: Valores de las variables exógenas
Símbolo
De…nición
Valor
m0
Cantidad de dinero
100
d
2.100
Componente
autónomo
de
la
y
0
t
Nivel de producción potencial
2.000
y0
Estos valores aparecen en las celdas "B23", "B24" y "B25", que
hemos denominado "money0", "Beta0" y "Ybar0", respectivamente.
Una vez determinados los valores de los parámetros y de las variables
exógenas, a continuación procedemos a determinar el valor de las
variables endógenas en el momento inicial, que lo consideramos de
equilibrio, por lo que el valor de las variables endógenas coincidirá
con su valor de estado estacionario. Por tanto, para calcular dicho
valor, recurrimos a la de…nición de estado estacionario que hemos
obtenido de la resolución del modelo.
Dados los valores de los parámetros y de las varaibles exógenas, en
términos numéricos tendríamos que las dos ecuaciones diferenciales
para los precios y el nivel de producción serían:
pt = 0; 01
(yt
2:000)
2.2 Resolución numérica del modelo más simple jamás visto
yt = 0; 2
[2:100
5; 5
yt + 50
(100
pt )
50
33
2:000]
En términos matriciales el sistema resultante sería:
pt
=
yt
pt
+
yt
0
0; 01
20
1
0
0
0; 2 20
0; 01
0; 1
2
0
3
4 mt 5
yt
2.2.1 Valor de las variables en estado estacionario
Para calcular el valor inicial (estado estacionario) de las variables
endógenas, en primer lugar, procedemos a calcular el valor de estado
estacionario de las dos variables endógenas de referencia, que en este
caso son el nivel de precios y el nivel de producción.
Recordemos que esto se calcula como:
pt
=
yt
1
A
Bzt
Resoliendo obtenemos las siguientes expresiones:
0
pt =
+ mt
( +
1
)y t
1
yt = yt
Por tanto, en nuestro caso resulta:
pt
=
yt
0
20
0; 05
0; 2
1
0
0
0; 2 20
0; 05
0; 1
Calculando la anterior expresión obtenemos que:
pt
=
yt
2
3
2:100
4 100 5
2:000
1
2:000
es decir, el nivel de precios de equilibrio inicial es p0 = 1 y el nivel
de producción de equilibrio inicial es y0 = 2:000: Una vez obtenidos
estos valores, podemos utilizar las distintas ecuaciones para calcular
34
2. Computación de modelos dinámicos básicos
el resto. Así, por ejemplo, podemos utilizar la ecuación (2.1) para
calcular el valor incial del tipo de interés nominal. Despejando el
tipo de interés nominal obtenemos que:
i0 =
1
(m0
p0
y0 )
Sustituyendo los valores correspondientes resulta:
i0 =
1
(100
0; 5
1
0; 05
2:000) = 2
por lo que el valor inicial de equilibrio del tipo de interés nominal es
2 (nótese que este valor es el mismo que el correspondiente al nivel de
precios y no es una casualidad). A continuación, ya podemos calcular
el valor de equilibrio inicial para la demanda agregada, sustituyendo
los valores conocidos en la ecuación (2.2), de lo que resulta que:
y0d =
0
y0d = 2:100
1 (i0
50
pe0 )
2 = 2:000
dado que si suponemos la existencia de equilibrio el nivel de precios
sería constante ( pe0 = 0), es decir y0d = 2:000, exactamente la
misma cantidad que el nivel de producción inicial. Para comprobar
…nalmente que dichos valores son los correspondientes al estado
estacionario podemos calcular las variaciones del nivel de precios
y del nivel de producción que deberían ser cero. En efecto, si
sustituimos los valores conocidos en la ecuación (2.3) obtendríamos:
p0 = 0; 01
(2:000
2:000) = 0
Y …nalmente, si hacemos lo mismo en la ecuación (2.4) el resultado
sería:
y0 = 0; 2
(2:000
2:000) = 0
La …gura 2.1 muestra la hoja de cálculo correspondiente a este
ejercicio, siendo su estructura similar a la vista en el tema anterior.
Tal y como podemos observar, las columnas "F", "G", "H" e "I"
muestran el valor de cada una de las variables endógenas (precios,
producción, demanda y tipo de interés nominal) en cada momento
del tiempo.
2.2 Resolución numérica del modelo más simple jamás visto
35
Si situamos el cursor en la celda "F3" aparece la expresión:
=(Theta*Beta0)/Beta1+money0-(Psi+Theta/Beta1)*Ybar0
que es simplemente la expresión correspondiente al valor de estado
estacionario inicial del nivel de precios. Las restantes …las de esta
columna simplemente contienen el valor del nivel de precios en el
momento anterior más el cambio producido en dicho nivel de precios.
Así, la celda "F4", contiene la expresión =F3+J3, donde "F3" hace
referencia al nivel de precios del periodo anterior y "J3" al cambio
en el nivel de precios. Esta expresión se copia en las restantes …las
de dicha columna.
Por su parte, si situamos el cursor en la celda "G3" ésta contiene
la expresión:
=Ybar0
esto es, el valor de estado estacionario inicial del nivel de
producción que se corrsponde con el nivel de producción potencial.
En la celda "G4", aparece la expresión =G3+K3 en la que de…nimos el
nivel de producción de cada periodo como el anterior más el cambio
experimentado en el mismo. La columna "H" contiene los valores de
la demanda agregada. Si nos situamos en la celda "H3", observamos
que aparece la expresión
=Beta0-Beta1*(I3-J3)
que se corresponde con la ecuación de demanda agregada del
modelo, en el cual la demanda agregada depende negativamente del
tipo de interés real, que hemos de…nido como la diferencia entre el
tipo de interés nominal y la in‡ación. Esta misma expresión aparece
en las siguientes celdas de esta columna. La columna "I" contiene
los valores del tipo de interés nominal. Así, la celda "I3" contiene la
siguiente expresión:
=-1/Theta*(money0-F3-Psi*G3)
36
2. Computación de modelos dinámicos básicos
que es la ecuación resultante de despejar el tipo de interés de la
ecuación de demanda de dinero. Si nos siguamos en la celda "I4", la
expresión que aparece es:
=-1/Theta*(money1-F4-Psi*G4)
que hace referencia a la nueva cantidad de dinero a partir del
momento 0. Esta expresión es la misma que aparece en las siguientes
…las de esta columna.
Finalmente, las columnas "J" y "K" muestran las variaciones de
los precios y del nivel de producción, es decir, de…nen el valor de
la in‡ación y el crecimiento de la producción en cada periodo. En
este caso debemos introducir las correspondientes ecuaciones que
determinan el comportamiento de ambas variables. Si nos situamos
en la celda "J3" vemos que contiene la expresión:
=Mi*(G3-Ybar0)
mientras que la celda "J4" contiene la expresión:
=Mi*(G4-Ybar1)
siendo esta misma expresión la que aparece en las siguientes
celdas, dado que es posible que queramos analizar los efectos de una
alternación en el nivel de producción potencial de la economía. Por
su parte, si nos situamos en la celda "K3", observamos que contiene
la expresión:
=Ni*(H3-G3)
que se corresponde con la ecuación dinámica del nivel de
producción. Como podemos comprobar en la hoja de cálculo
podemos introducir la expresión inicial dada por el modelo, ya que
también vamos a calcular en cada momento del tiempo el valor
correspondiente de la demanda agregada. Si todos los cálculos son
correctos, las columnas "J" e "K", donde aparece el cambio de cada
variable, deben ser ceros.
2.2 Resolución numérica del modelo más simple jamás visto
37
Figura 2.2. Efectos de un aumento en la cantidad de dinero
2.2.2 Efectos de un aumento en la cantidad de dinero
Vamos ahora a analizar cuáles serían los efectos de una perturbación
y a realizar dicho ejercicio usando la hoja de cálculo. Esto nos
permitirá calcular el valor de las variables endógenas en cada
momento del tiempo y, por tanto, obtener la dinámica temporal de
cada una de ellas. Al realizar este ejercicio en una hoja de cálculo
el resultado que vamos a obtener es la respuesta temporal de cada
variable ante una perturbación. Esto es lo que se denomina el análisis
impulso-respuesta.
En concreto, vamos a suponer que en el momento de tiempo 0 se
produce un aumento en la cantidad de dinero, pasando de un valor
de 100 a un valor de 101. Para realizar este ejercicio únicamente
hemos de cambiar el valor de la celda "C23" y automáticamente
obtendremos los resultados.
38
2. Computación de modelos dinámicos básicos
La …gura 2.2. muestra como queda la hoja de cálculo en este
caso, donde toda la dinámica de las variables se calcula de forma
automática. Esto es así porque hemos referenciado las expresiones a
partir del momento 0 respecto a los nuevos valores de las exógenas,
con el objetivo de realizar análisis de perturbación. Así, en este
caso concreto podemos analizar los efectos de cambios (aumentos o
disminuciones) en la cantidad de dinero, cambios en el gasto público
y cambios en el nivel de producción potencial. También es posible
simular perturbaciones que sean combinaciones de cambios en dos o
más variables exógenas de forma simultánea.
Como podemos observar, en el periodo 0 se produce una
disminución instantánea del tipo de interés nominal. Así, el tipo
de interés nominal pasa de 2 a ser 0. Como consecuencia e esta
disminución en el tipo de interés la demanda agregada aumenta.
Así pasa de un valor de 2.000 a un valor de 2.100. Este aumento
de la demanda agregada va a provocar que el nivel de producción
aumente en el siguiente periodo lo que a su vez provoca un aumento
en el tipo de interés nominal. Por otra parte, el aumento del nivel de
producción en el periodo 1 va a dar lugar a que los precios aumenten
en el periodo 2. La forma más fácil de observar estos efectos es
construyendo un grá…co que represente la senda temporal de cada
variable.
La dinámica de las variables se puede observar muy fácilmente
a través de un grá…co de cada variable en función del tiempo.
Las …guras 2.3-2.6 muestran la senda temporal de las cuatro
variables endógenas. Como podemos observar el nivel de precios
va aumentando paulatinamente en el tiempo hasta alcanzar el nuevo
estado estacionario. En este caso no se producen ‡uctuaciones en
el nivel de precios y sigue la misma tendencia, es decir, aumenta
indicando que siempre estamos en una situación de sobreproducción.
Por el contrario el nivel de producción experimenta un aumento
inicial para posteriormente ir disminuyendo hasta alcanzar el nuevo
estado estacionario. En este caso, el nivel de producción aumenta
inicialmente indicando la existencia de un exceso de demanda, pero
posteriormente disminuye indicando lo contrario, esto es, un exceso
de oferta. Por otra parte vemos que el ajuste inicial en el nivel de
producción es signi…cativo, lo que signi…ca que hemos supuesto un
valor de su velocidad de ajuste que puede ser excesivamente elevado.
2.2 Resolución numérica del modelo más simple jamás visto
39
Nivel de precios
3.00
2.50
2.00
1.50
1.00
0.50
0.00
-1
3
7 11 15 19 23 27 31 35 39 43 47 51
Tiempo
Figura 2.3. Senda temporal del nivel de precios ante un aumento en la
cantidad de dinero
Por su parte, el comportamiento de la demanda agregada y del
tipo de interés muestran que ambas variables tienen un elevado nivel
de ‡exibilidad. El tipo de interés nominal es una variable ‡exible,
que disminuye de forma instantánea ante el aumento en la cantidad
de dinero. Esta disminución en el tipo de interés nominal también
supone una disminución instantánea en el tipo de interés real lo que
provoca a su vez un aumento en la demanda agregada. No obstante,
el aumento siguiente en el nivel de producción hace que el tipo de
interés nominal vuelva a aumentar, provocando el movimiento en
sentido contrario en la demanda agregada.
2.2.3 Efectos de cambios en los parámetros
A continuación vamos a realizar un análisis de sensibilidad alterando
alguno de los parámetros del modelo para estudiar como la dinámica
que siguen las diferentes variables se ve alterada. En concreto vamos
a disminuir la velocidad de ajuste del nivel de producción. Así, el
parámetro pasa de un valor de 0,2 a un valor de 0,02 (diez veces
más pequeño). Las …guras 2.7-2.10 muestran la dinámica temporal
de cada variable en este caso.
40
2. Computación de modelos dinámicos básicos
Nivel de producción
2025.00
2020.00
2015.00
2010.00
2005.00
2000.00
1995.00
1990.00
-1 3
7 11 15 19 23 27 31 35 39 43 47 51
Tiempo
Figura 2.4. Senda temporal del nivel de producción ante un aumento en la
cantidad de dinero
Nivel de demanda
2150.00
2100.00
2050.00
2000.00
1950.00
1900.00
-1 3
7 11 15 19 23 27 31 35 39 43 47 51
Tiempo
Figura 2.5. Senda temporal de la demanda agregada ante un aumento en
la cantidad de dinero
2.2 Resolución numérica del modelo más simple jamás visto
41
Tipo de interés nominal
2.50
2.00
1.50
1.00
0.50
0.00
-1
3
7 11 15 19 23 27 31 35 39 43 47 51
Tiempo
Figura 2.6. Senda temporal del tipo de interés ante un aumento en la
cantidad de dinero
Ahora la dinámica es más compleja que anteriormente, generando
movimientos oscilatorios (‡uctuaciones cíclicas) en las variables,
indicando que la trayectoria hacia el nuevo estado estacionario es
asintótica, esto es, en términos del diagrama de fases estaríamos
dando vueltas en torno al estado estacionario. Por tanto, ahora
estaríamos pasando de un tipo de desequilibrio a otro. Nótese
que si los precios aumentan esto signi…ca que estamos en una
situación de sobreproducción, mientras que si disminuyen estamos
en una situación de infraproducción. Esto es debido a que ahora
el parámetro que determina la velocidad de ajuste en el nivel de
producción es más pequeño. Es decir, estamos suponiendo que el
nivel de producción es mucho más rígido y, en efecto, si observamos
la …gura 2.8 podemos apreciar que ahora el nivel de producción no
cambia de forma instantánea, sino que lo hace de forma mucho más
gradual.
Tanto el nivel de demanda agregada como el tipo de interés
nominal siguen re‡ejando un cambio de forma instantánea a la
perturbación, debido a que estas variables tienen un alto grado de
‡exibilidad.
42
2. Computación de modelos dinámicos básicos
Nivel de precios
3.00
2.50
2.00
1.50
1.00
0.50
0.00
-1
3
7 11 15 19 23 27 31 35 39 43 47 51
Tiempo
Figura 2.7. Senda temporal del nivel de precios con
= 0; 02
Nivel de producción
2015.00
2010.00
2005.00
2000.00
1995.00
1990.00
-1 3
7 11 15 19 23 27 31 35 39 43 47 51
Tiempo
Figura 2.8. Senda temporal del nivel de producción con
= 0; 02
2.2 Resolución numérica del modelo más simple jamás visto
Nivel de demanda
2150.00
2100.00
2050.00
2000.00
1950.00
1900.00
1850.00
-1 3
7 11 15 19 23 27 31 35 39 43 47 51
Tiempo
Figura 2.9. Senda temporal de la demanda agregada con
= 0; 02
Tipo de interés nominal
3.00
2.50
2.00
1.50
1.00
0.50
0.00
-1
3
7 11 15 19 23 27 31 35 39 43 47 51
Tiempo
Figura 2.10. Senda temporal del tipo de interés con
= 0; 02
43
44
2. Computación de modelos dinámicos básicos
2.3 Resolución numérica del Ejercicio 2.4: El
desbordamiento del tiempo de cambio
El modelo que hemos computado anteriormente presentaba una
característica importante: todas las trayectorias eran convergentes al
estado estacionario. Es decir, el modelo presenta estabilidad global.
Sin embargo, en la mayoría de situaciones nos vamos a encontrar
con soluciones del tipo punto de silla, es decir, con trayectorias
tanto convergentes al estado estacionario como divergentes respecto
al mismo. En este caso, la resolución del modelo es ligeramente
diferente, dado que tenemos que tener en cuenta la existencia
de una senda estable y de los efectos a corto plazo asociados a
una determinada perturbación. A continuación vamos a resolver
numéricamente un modelo con estas características
La estructura de la economía viene dada por las siguientes cuatro
ecuaciones:
mt
ytd =
0
pt = y t
+
1 (st
it
(2.11)
pt + pt )
pt = (ytd
2 it
(2.12)
yt)
set = it
(2.13)
it
(2.14)
donde s el logaritmo del tipo de cambio, p , el logaritmo del nivel de
precios del exterior e i el tipo de interés nominal del exterior.
Resolviendo analíticamente este modelo, obtenemos que las
ecuaciones que determinan el comportamiento de los precios y del
tipo de cambio nominal vienen dadas por las siguientes expresiones:
p_t =
0
+
1 st
+
1 pt
(
1
+
2
)pt +
2
mt
(
2
+ 1)y t
(2.15)
s_ t =
1
(mt
pt
yt)
it
(2.16)
El valor de las variables en estado estacionario vendría dado por:
2.3 Resolución numérica del Ejercicio 2.4: El desbordamiento del tiempo de cambio
p t = mt
st = mt
0
y t + it
1
1
1
1
yt +
(2.17)
1
+
2
it
(2.18)
1
Con objeto de computar númericamente el modelo anterior, en
primer lugar, asignamos valores numéricos tanto a las constantes
como a las variables exógenas. La tabla 2.3 muestra los valores
seleccionados para los parámetros del modelo.
En este caso
no tenemos ninguna restricción de signos a imponer sobre los
parámetros. Sin embargo, hemos de asegurarnos en este caso que las
raíces sean reales, ya que hemos de calcularlas para poder resolver
numéricamente el modelo.
Tabla 2.3: Valores de los parámetros
Símbolo
De…nición
Semi-elasticidad del tipo de interés
Elasticidad de la demanda de dinero
Elasticidad de ytd ante el tipo de cambio real
1
Elasticidad de ytd ante el tipo de interés
2
Velocidad de ajuste de los precios
Valor
0,5
0,05
20
0,1
0,005
Por su parte, la tabla 2.4 presenta los valores de las variables
exógenas en el momento inicial, donde ahora podemos observar que
tenemos 5 variables endógenas, teniendo que asignar valores a las
varibles del exterior.
Tabla 2.4: Valores de las variables exógenas
Símbolo
De…nición
m0
Cantidad de dinero
Componente autónomo de la demanda agregada
0
y0
Nivel de producción potencial
p0
Nivel de precios del exterior
i0
Tipo de interés nominal del exterior
Las raíces serían las siguientes:
Valor
100
500
2.000
0
3
45
46
2. Computación de modelos dinámicos básicos
(
1
+
2
)
rh
(
1
+
2
i2
) +
4
1
(2.19)
2
Como podemos observar en este caso, independientemente de los
valores seleccionados de los parámetros el término que queda dentro
de la raíz cuadrada es siempre positivo. Sustituyendo los valores de
la tabla 2.3 obtenemos que:
rh
i
(
1
+
2
)
(
1
+
2
)
2
+
4
1
2
La diferencia respecto al modelo anterior es que ahora tenemos
una solución de punto de silla. Ya sabemos que esto signi…ca
que determinadas trayectorias son convergentes hacia el equilibrio
mientras que otras trayectorias son divergentes. Esto supone la
existencia de una senda estable que determina la trayectoria de las
variables endógenas hacia el estado estacionario.
La …gura 2.11 muestra como quedaría la hoja de cálculo del
modelo. La construcción de la misma es similar a la realizada
en el caso del ejercicio anterior, excepto por varios elementos
diferenciadores. En este caso tenemos una solución de punto de
silla, dado que una de las raíces es negativa mientras que la otra
es positiva. En este caso cuando se produce una perturbación
debemos tener en cuenta la reacción a la misma del tipo de
cambio nominal que es una variable totalmente ‡exible y que está
determinada fundamentalmente por las expectativas de su evolución
futura. Así, cuando hemos resuelto el modelo analíticamente hemos
visto que justo en el momento en que se produce, por ejemplo, un
aumento en la cantidad de dinero, el tipo de cambio aumenta de
forma instantánea hasta alcanzar la senda estable. Este aumento
instantáneo en el tipo de cambio está provocado por un reajuste al
alza de las expectativas sobre su valor futuro. Adicionalmente, la
dinámica que va a seguir el tipo de cambio a lo largo del tiempo
también viene condicionada por sus expectativas, que grá…camente
la representamos en términos de la senda estable.
Las columnas "F" a "I" muestran el valor de las variables
endógenas precios, tipo de cambio nominal, demanda agregada y tipo
de interés nominal, respectivamente. Las columnas para el nivel de
precios, demanda agregada y tipo de interés nominal se construyen
2.3 Resolución numérica del Ejercicio 2.4: El desbordamiento del tiempo de cambio
Figura 2.11. Hoja de cálculo del modelo
47
48
2. Computación de modelos dinámicos básicos
como anteriormente. Así, en las celdas de la …la 3 para el nivel de
precios y tipo de cambio nominal aparecen las expresiones de sus
valores en estado estacionario.
El primer elemento diferenciador que tenemos que introducir es
el correspondiente al valor del tipo de cambio en el momento en
el que se produce la perturbación, es decir, en la celda "G4". Tal
y como hemos descrito anteriormente, en el momento en el que se
produce la perturbación, el tipo de cambio experimenta un cambio
instantáneo como consecuencia del reajuste de las expectativas. El
salto que se produce en el tipo de cambio en el corto plazo, y el
causante del fenómeno de la sobrerreacción, podemos calcularlo en
términos cuantitativos. Para ello partimos de la ecuación dinámica
del tipo de cambio:
s_ t =
1
(mt
pt
yt)
it
Paralelamente, podemos de…nir las trayectorias estables respecto
al tipo de cambio, que están asociadas a la raíz negativa ( 1 ):
s_ t =
1 (st
st )
Como podemos comprobar, ambas ecuaciones dan como resultado
la derivada respecto al tiempo del tipo de cambio nominal, por lo
que podemos igualar ambas ecuaciones:
1 (st
st ) =
1
(mt
pt
yt)
it
Despejando el valor del tipo de cambio resulta:
st =
(mt
pt
yt)
1
it
+ st
(2.20)
1
La expresión anterior sería el valor que introduciríamos en la celda
"G4", tal que dicha celda contendría la expresión:
=-(money1-F4-Psi*Ybar1)/(Theta*Lambda1)-iext1/Lambda1+$B$35
La celda "G5" contendría la expresión:
2.3 Resolución numérica del Ejercicio 2.4: El desbordamiento del tiempo de cambio
=G4+K4
indicando que el valor en del tipo de cambio en un periodo sería
el del periodo anterior más su variación. Esta expresión es la que
aparece en las siguientes …las de la columna.
El otro cambio que hemos de tener en cuenta es la dinámica del
tipo de cambio nominal. Así, la columna "J" contine la ecuación de
ajuste para el nivel de precios. Sin embargo, la columna "K" contiene
la trayectoria del tipo de cambio en términos de sus desviaciones
respecto al estado estacionario. Es decir, representa el movimiento
del tipo de cambio a lo largo de su senda estable. Si nos situamos
en la celda "K3", observamos que la expresión que aparece es:
=I3-iext0
esto es, la direrencia entre el tipo de interés nacional y el tipo de
interés del exterior, que en estado estacionario tiene que ser cero. La
expresión que aparece en la celda "K4" y siguientes es:
=Lambda1*(G4-$B$35)
que representa los movimientos del tipo de cambio a lo largo de la
senda estable, siendo una proporción de la diferencia entre el valor
del tipo de cambio y su valor de estado estacionario.
2.3.1 Efectos de un aumento en la cantidad de dinero
Vamos a continuación a utilizar el modelo resuelto anteriormente
para calcular los efectos de un aumento en la cantidad de dinero e
ilustrar el fenómeno de la sobrerreacción del tipo de cambio ante
dicha perturbación.
De la expresión (2.20) obtenida anteriormente, obtenemos que la
derivada del tipo de cambio respecto a la cantidad de dinero (esto
permite conocer el ajuste en las expectativas y el efecto en el corto
plazo) viene dada por:
dst
=
dmt
1
1
+
dst
=1
dmt
1
>1
1
(2.21)
49
50
2. Computación de modelos dinámicos básicos
Como podemos comprobar, la derivada es positiva y superior a la
unidad, dado que 1 < 0, lo que indica que una deteminada variación
en la cantidad de dinero provoca un aumento más que proporcional
del tipo de cambio nominal. Este cambio instantáneo es precisamente
a lo que denominamos sobrerreacción (o desbordamiento) del tipo de
cambio nominal.
Para computar numéricamente los efectos de la anterior
perturbación, vamos a suponer que la cantidad de dinero aumenta
de 100 a 101 en el periodo 0. La …gura 2.11 muestra como quedarían
los cálculo despues de producirse esta perturbación. Como podemos
comprobar el tipo de cambio aumenta de forma instantánea, al igual
que disminuye el tipo de interés y aumenta la demanda agregada.
En este ejemplo concreto, el tipo de cambi para de valer 76,52 a
aumentar hasta 81,51, para posteriormente ir disminuyendo hasta
situarse en un valor de 77,62, un punto superior al valor incial dado
que la cantidad de dinero también ha aumentado un punto y se
cumple la paridad del poder adquisitivo en el largo plazo.
Las …guras 2.12-2.15 muestran la dinámica de las variables
endógenas ante esta perturbación. En primer lugar, los precios
comenzan a aumentar de forma gradual, hasta alcanzar su nuevo
nivel de equilibrio, superior en un punto al inicial (exactamente en
la misma medida en la que aumenta la cantidad de dinero). El tipo
de cambio experimenta un aumento inicial, alcanzando un valor muy
por encima de su valor de estado estacionario. Esto es consecuencia
del reajuste de expectativas sobre la tasa de depreciación del tipo
de cambio. El aumento en la cantidad de dinero va a provocar un
aumento a largo plazo en el tipo de cambio, lo que se traduce en
un aumento de las expectativas de depreciación y, por tanto, un
aumento instantáneo en el mismo. Una vez se produce este efecto
de impacto, a continuación el tipo de cambio toma la dirección
contraria, disminuyendode forma progresiva hasta alcanzar el nuevo
estado estacionario.
La demanda agregada también experimenta un aumento inicial
para posteriormente disminuir hasta su valor inicial de estado
estacionario. Esto es debido a que la perturbación que estamos
estudiando es de carácter nominal, por lo que no tiene efectos reales
en el largo plazo. Así, el nivel de demanda agregada será el mismo
que existía antes de la perturbación. Sin embargo, el aumento
en el tipo de cambio provoca un aumento de la competitividad
2.3 Resolución numérica del Ejercicio 2.4: El desbordamiento del tiempo de cambio
Figura 2.12. Efectos de un aumento en la cantidad de dinero
51
52
2. Computación de modelos dinámicos básicos
Nivel de precios
3.00
2.50
2.00
1.50
1.00
0.50
0.00
-1 3
7 11 15 19 23 27 31 35 39 43 47 51 55
Tiempo
Figura 2.13. Senda temporal del nivel de precios ante un aumento en la
cantidad de dinero
exterior vía precios, aumentando la demand agregada, efecto que va
eliminándose conforme aumenten los precios. Dado que a largo plazo
los precios van a aumentar en la misma medida en la que aumenta
el tipo de cambio nominal, esto signi…ca que a largo plazo el nivel de
competitividad exterior vía precios de la economía vuelve a su valor
inicial, por lo que el estado estacionario de la demanda agregada no
cambia.
El tipo de interés nominal disminuye inicialmente de forma
proporcional al aumento en la cantidad de dinero, para ir
aumentando posteriormente de forma gradual. Este movimiento
en el medio plazo del tipo de interés nominal es similar al que
experimenta el nivel de precios. Así, a medida que los precios
van aumentando, el equilibrio en el mercado de dinero provoca un
aumento en el tipo de interés nominal, reajustándose a la baja las
expectativas de depreciación del tipo de cambio nominal.
2.3.2 Efectos de cambios en los parámetros
Finalmente podemos realizar un análisis de sensibilidad para estudiar
como el fenómeno del desbordamiento del tipo de cambio se ve
2.3 Resolución numérica del Ejercicio 2.4: El desbordamiento del tiempo de cambio
Tipo de cambio nominal
82.00
81.00
80.00
79.00
78.00
77.00
76.00
75.00
74.00
-1 3
7 11 15 19 23 27 31 35 39 43 47 51 55
Tiempo
Figura 2.14. Senda temporal del tipo de cambio nominal ante un aumento
en la cantidad de dinero
Nivel de demanda
2120.00
2100.00
2080.00
2060.00
2040.00
2020.00
2000.00
1980.00
1960.00
1940.00
-1 3
7 11 15 19 23 27 31 35 39 43 47 51 55
Tiempo
Figura 2.15. Senda temporal del nivel de demanda ante un aumento enl a
cantidad de dinero
53
54
2. Computación de modelos dinámicos básicos
Tipo de interés nominal
3.50
3.00
2.50
2.00
1.50
1.00
0.50
0.00
-1 3
7 11 15 19 23 27 31 35 39 43 47 51 55
Tiempo
Figura 2.16. Senda temporal del tipo de interés ante un aumento en la
cantidad de dinero
afectado por el valor de los parámetros. Así, podemos cambiar
los diferenteres parámetros del modelo, tanto los de sensibilidad
como los de velocidad de ajuste, y estudiar como cambios en estos
parámetros afectan al comportamiento del tipo de cambio en el corto
plazo.
2.4 Conclusiones
En este tema hemos resuelto de forma numérica dos de los ejercicios
que previamente han sido resueltos de forma análitica y que consisten
en modelos dinámicos simples del funcionamiento de una economía.
Estos ejercicios nos permiten analizar los efectos de diferentes
perturbaciones de una forma sencilla y rápida.
El primer ejercicio resuelto presentaba una solución de estabilidad
global, con todas las trayectorias convergentes hacia el estado
estacionario. Su computación únicamente requiere escribir en la hoja
de cálculo las expresiones que conforman el modelo, así como los
cálculos realizados en términos de los valores de estado estacionario.
2.4 Conclusiones
55
El segundo ejercicio ha consistido en calcular numéricamente un
modelo que presenta una solución del tipo punto de silla. En este
caso tenemos una variable ‡exible que se mueve en función de
expectativas. Para calcular la dinámica en este caso necesitamos
previamente conocer el efecto de corto plazo que una perturbación
produce en dicha variable. Este efecto instantáneo es equivalente al
reajuste en las expectativas. En cuanto al medio plazo, hemos visto
que su comportamiento viene determinado por la senda estable.
Parte II
Introducción al equilibrio
general
56
3
La elección intertemporal del
consumidor
3.1 Introducción
En este tema vamos a centrarnos en el problema al que se enfrenta el
consumidor. Para ello vamos a resolver numéricamente un problema
simple, en el cual el objetivo del consumidor es el de maximizar su
nivel de felicidad a lo largo de toda su vida, representada por una
función de utilidad que depende únicamente de su nivel de consumo.
El problema básico de la elección intertemporal del consumir es
un problema lo su…cientemente sencillo como para poder ser resuelto
usando una hoja de cálculo. Si bien se trata de un problema de
optimización dinámica, las hojas de cálculo son lo su…cientemente
potentes como para resolver este tipo de problemas, siempre que
venga de…nido en tiempo discreto, la vida del individuo sea …nita,
el número de periodos no muy elevado y la forma funcional de la
utilidad no muy compleja.
Para resolver computacionalmente el problema del consumidor
vamos a utilizar la herramienta Solver de Excel. Esta herramienta
es muy fácil de usar, incorporando el algoritmo de Newton que nos
permite resolver problemas de optimización con una única variable.
Una vez resuelto el problema del consumidor en una hoja de
cálculo, a continuación utilizaremos una herramienta más compleja,
58
3. La elección intertemporal del consumidor
utilizando el lenguaje MatLab. Los fundamentos del algoritmo
utilizado para resolver el problema de optimización los estudiaremos
en el tema 6.
3.2 El problema del consumidor en tiempo discreto
y con vida …nita
En esta sección vamos a presentar el problema del consumidor
en tiempo …nito y discreto, exactamente en la versión que
posteriormente vamos a resolver usando Excel.
Suponemos que existe previsión perfecta, por lo que el individuo
conoce en cada momento del tiempo toda la corriente de ingresos
que va a obtener a lo largo de su vida, que la función de utilidad
únicamente depende del consumo que realiza el individuo en cada
periodo y que su ciclo vital es …nito.
El problema del consumidor sería:
max
Ct
sujeto a:
T
X
t
U (Ct ) = max
Ct
t=0
T
X
U (Ct )
(1 + )t
t=0
Ct + Bt = (1 + Rt )Bt
B0
(3.1)
1
+ Yt
(3.2)
0
(3.3)
BT = 0
(3.4)
El consumidor selecciona un plan óptimo de consumo en cada
periodo de su vida.
En t=0, el agente decide los valores:
C00 ; C10 ; C20 ; C30 ; C40 ; :::CT0
(3.5)
El problema del consumidor lo podemos de…nir a través del
siguiente Langragiano:
L = max
(Ct )
t
fU (Ct )
t (Ct
+ Bt
Wt
(1 + Rt )Bt
1 )g
(3.6)
3.3 Ejemplo: función de utilidad logarítmica
59
Resolviendo el anterior problema encontramos que las condiciones
de primer orden son las siguientes:
@L
= U 0 (Ct )
@Ct
@L
=
@Bt
t
t
t+1
+
@L
= Ct + Bt
@ t
t
t+1 (1
Wt
=0
(3.7)
+ Rt+1 ) = 0
(3.8)
(1 + Rt )Bt
1
=0
(3.9)
Despejando de la primera condición de primer orden (3.7) y
sustituyendo en la segunda (3.8) obtenemos:
t
U 0 (Ct ) =
t+1
U 0 (Ct+1 )(1 + Rt+1 )
(3.10)
y operando resulta:
U 0 (Ct ) = U 0 (Ct+1 )(1 + Rt+1 )
(3.11)
expresión que nos indica como es la senda óptima de consumo del
individuo a lo largo del tiempo, resultado de la comperación de
las utilidades marginales obtenidas en dos periodos, dadas unas
preferencias intertemporales y un tipo de interés real que indica el
coste (positivo o negativo) de trasladar renta de un periodo a otro.
3.3 Ejemplo: función de utilidad logarítmica
Para resolver numéricamente el problema del consumidor planteado
anteriormente, necesitamos de…nir que forma funcional tiene la
función de utilidad. En nuestro caso vamos a suponer que la función
de utilidad tiene forma logarítmica, que es una forma funcional muy
utilizada en la práctica. Por tanto, el problema del consumidor
vendría dado por:
max
Ct
T
X
El problema a resolver sería:
t=0
t
ln Ct
(3.12)
60
3. La elección intertemporal del consumidor
L = max
(Ct )
t
fln Ct
t (Ct
+ Bt
Wt
(1 + Rt )Bt
1 )g
(3.13)
Resolviendo el anterior problema encontramos que las condiciones
de primer orden son las siguientes:
@L
1
=
@Ct
Ct
@L
=
@Bt
t
t
+
@L
= Ct + Bt
@ t
t
t+1
Wt
=0
t+1 (1
(3.14)
+ Rt+1 ) = 0
(1 + Rt )Bt
1
=0
(3.15)
(3.16)
Despejando de la primera condición de primer orden (3.13) y
sustituyendo en la segunda (3.14) obtenemos:
t
1
=
Ct
t+1
1
Ct+1
(1 + Rt+1 )
(3.17)
y operando resulta:
Ct+1 = (1 + Rt+1 )Ct
(3.18)
3.4 El problema del consumidor en Excel
Para computar númericamente el anterior problema vamos a utilizar
el "Solver" de Excel que permite resolver de forma fácil un problema
de optimización dinámica cuando sólo tenemos una variable, como
es el consumo en nuestro caso. Para ejecutar esta herramienta de
Excel tenemos que ir a "Herramientas" y seleccionar "Solver" y nos
aparecerá la ventana que se muestra en la …gura 3.1. El primer
elemento es "Celda objetivo:". Esta opción hace referencia al valor de
la función objetivo del problema que queremos resolver. En nuestro
caso hace referencia a la utilidad total del individuo a lo largo de
su vida. En concreto, sería la suma descontada de la utilidad que
obtiene el individuo en cada periodo de su vida.
A continuación aparece la instrucción "Valor de la celda objetivo:"
en la que existen tres opciones: "Máximo", "Mínimo" y "Valores
3.4 El problema del consumidor en Excel
Figura 3.1. Herramienta Solver de Excel
61
62
3. La elección intertemporal del consumidor
de:". Estas opciones hacen referencia al tipo de problema que
queremos resolver. Si queremos maximizar el valor de la celda
objetivo seleccionaríamos "Máximo".
Si lo que queremos es
minimizar un determinado problema entonces seleccionaríamos la
opción "Mínimo". Por el contrario, que lo que queremos es que
alcance un determinado valor, introduciríamos dicho valor en la
opción "Valores de:". En nuestro caso el problema que queremos
resolver consiste en la maximización de la utilidad del consumidor,
por lo que seleccionaríamos la opción "Máximo", que es precisamente
la opción que viene marcada por defecto.
Seguidamente aparece la instrucción "Cambiando las celdas".
Aquí tenemos que introducir las celdas en las que Excel va a calcular
la variable objetivo, esto es, el nivel de consumo periodo a periodo.
En las celdas que indiquemos en este apartado es donde la hoja de
cálculo va a presentar la solución al problema que queramos resolver.
En nuestro caso concreto, vamos a obtener el nivel de consumo en
cada periodo que maximiza la utilidad total del individuo a lo largo
de su vida.
Finalmente aparece la instrucción "Sujetas a las siguientes
restricciones:".
En este apartado debemos de introducir las
restricciones a las que está sujeto el problema que queremos resolver.
La restricción con la que va a contar nuestro problema es que la
cantiad de activos (ahorro) del individuo al …nal de su vida tiene
que ser cero.
A la derecha del cuadro de diálogo de "Solver" aparece una
pestaña denominada "Opciones...". Si pinchamos en dicha pestaña
aparece el cuadro de diálogo re‡ejado en la …gura 3.2. Este cuadro
permite cambiar diferentes parámetros, tales como el tiempo máximo
de cálculo, el número de iteraciones, la precisión, la tolerancia
y la convergencia. También incluye otras opciones adicionales.
En nuestro caso es importante seleccionar la opción "Adoptar no
gegativos". Esto es así, porque dado el problema que vamos a
resolver, el consumo de un individuo no puede ser negativo ningún
periodo. Por último, existen opciones en relación con la estimación,
devidas y el algoritmo de búsqueda de la solución.
El …chero de Excel que vamos a utilizar en este caso es
"EC31.xls". La …gura 3.3 muestra el …chero que hemos denominado
EC31.xls. Como podemos observar, en este caso sólo necesitamos
dos parámetros: la tasa de descuento intertemporal y el tipo de
3.4 El problema del consumidor en Excel
Figura 3.2. Opciones herramienta Solver de Excel
63
64
3. La elección intertemporal del consumidor
Figura 3.3. Hoja de cálculo con el problema del consumidor
interés real, elementos que hemos visto son factores determinantes
de la senda óptima de consumo. En realidad el tipo de interés real es
una variable que puede cambiar a lo largo del tiempo. No obstante,
por ahora vamos a suponer que se trata de una constante. Por otra
parte, también hemos de especi…car la renta salarial del individuo en
cada periodo de su vida. Los valores que hemos …jado son un factor
de descuento intertemporal de 0,97 y un tipo de interés real el 2%.
La columna "E" es tiempo, la columna "F" que presentará los
valores del consumo, es la que tenemos que calcular. La columna
"G" es la renta, que la suponemos dada, la columna "H" es el ahorro
que se obtiene como la diferencia entre el consumo y la renta de
cada periodo y …nalmente la columna "I" muestra la satisfacción del
individuo en función del consumo en términos actualizados.
Para resolver el ejercicio utilizando la herramienta Solver de Exel
operamos como sigue. En primer lugar rellenamos con valores
3.4 El problema del consumidor en Excel
65
…cticios la columna correspondiente al consumo. A continuación
establecemos el nivel de renta del individuo en cada periodo. En
nuestro caso hemos supuesto que el nivel de renta es de 10 en cada
periodo desde el momento 0 al momento 30, siendo la renta salarial
del individuo cero desde el periodo 31 hasta el último periodo de su
vida.
El ahorro se calcula de la siguiente forma. El ahorro del primer
periodo es simplemente la diferencia entre el nivel de consumo y el
nivel de renta en dicho periodo. Así, si situamos el cursor en la celda
"H3", vemos que aparece la expresión:
=G3-F3
es decir, la renta salarial (columna "G") menos el consumo
(columna "F") en el periodo 0. Por el contrario si nos situamos
en la celda "H4" vemos que la expresión que aparece es:
=(1+Interés)*H3+G4-F4
es decir, es la rentabilidad de los ahorro realizados hasta el periodo
anterior más la renta del periodo menos el consumo del periodo. Las
siguientes …las de esta columna contienen esta misma expresión. Es
decir, es la rentabilidad bruta del ahorro realizado hasta el periodo
anterior más el nuevo ahorro del periodo.
Finalmente la columna "I" preseta la valoración de la utilidad
descontada en cada periodo. Si nos situamos en la celda "I3" aparece
la expresión:
=Beta^E3*LOG(F3)
que es la valoración de la utilidad en el periodo 0, es decir,
el logaritmo del consumo multiplicado por el factor de descuento
intertemporal elevado al índice de tiempo correspondiente a dicho
periodo. Por último en la celda "I54" aparece la sumatoria de las
utilidades descontadas, que es el valor que tenemos que maximizar.
Las …guras 3.4-3.7 muestran las sendas temporales de las
diferenteres variables. En primer lugar, hemos supuesto que la
66
3. La elección intertemporal del consumidor
renta es exógena y que toma un valor de 10 para los periodos 0
a 30, pasando a tormar un valor nulo a continuación. Por tanto,
el individuo tiene que repartir la renta obtenida en los primeros
periodos a lo largo de todo su ciclo vital. La senda óptima de
consumo tiene pendiente negativa, indicando que el consumir pre…re
tener un nivel de consumo elevado en los primeros periodos e ir
disminuyendo su consumo a lo largo del tiempo. Si la comparamos
con la evolución temporal de la renta vemos que el individuo
redistribuye la renta que obtiene en unos determinados periodos de
su vida a lo largo de todo su ciclo vital.
El hecho de que la senda temporal de consumo tenga pendiente
negativa obedece al hecho de que el tipo de interés real es superior a
la tasa de preferencias intertemporales. Así, en este ejercicio hemos
supuesto que el tipo de interés es del 2% mientras que la tasa de
preferencia intertemporal, , es de, dado que = 1=(1 + ) = 0; 97.
Esto va a provocar que el coste de endeudarse sea elevado al tiempo
que es rentable ahorrar.
Dada la estructura en la renta que hemos supuesto, la tasa de
ahorro de este individuo es positiva. El individuo sólo obtiene renta
durante los primeros periodos de su vida. Esto signi…ca que el
individuo debe generar un ahorro positivo durante este periodo de
su vida para tener recursos para consumir en los últimos periodos de
su vida, una vez se ha jubilado y no obtiene mayores ingresos. Como
podemos observar la senda de consumo de este individuo tiene forma
de pirámide, aumentando de forma continua en el tiempo durante su
etapa laboral. Una vez el individuo deje de trabajar, a partir de ese
momento el individuo desahorra, consumiendo los ahorros que había
generado previamente. Finalmente, la felicidad del individuo tiene
pendiente negativa, dado que la senda óptima de consumo también
tiene senda negativa.
3.4.1 Cambio en los parámetros
A continuación vamos a analizar los efectos de un cambio en los
parámetros. En nuestro modelo tenemos dos parámetros: el tipo de
interés real y la tasa de preferencia intertemporal de los individuos.
En primer lugar, vamos a suponer que el tipo de interés es disminuye
3.4 El problema del consumidor en Excel
Renta
12.00
10.00
8.00
6.00
4.00
2.00
0.00
0
4
8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48
Tiempo
Figura 3.4. Senda de la renta.
Consumo
10.00
8.00
6.00
4.00
2.00
0.00
0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 39 42 45 48
Tiempo
Figura 3.5. Senda óptima del consumo
67
68
3. La elección intertemporal del consumidor
Ahorro
120.00
100.00
80.00
60.00
40.00
20.00
0.00
0
4
8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48
Tiempo
Figura 3.6. Senda óptima del ahorro.
Felicidad
1.00
0.80
0.60
0.40
0.20
0.00
0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 39 42 45 48
Tiempo
Figura 3.7. Senda óptima de la felicidad.
3.4 El problema del consumidor en Excel
69
Consumo
10.00
8.00
6.00
4.00
2.00
0.00
0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 39 42 45 48
Tiempo
Figura 3.8. Senda óptima de consumo con
= 0; 99:
hasta ser cero. Es decir, vamos a ver las consecuencias sobre la senda
óptima de consumo de un tipo de interés nulo.
En primer lugar, vamos a estudiar los efectos de una alteración en
el factor de descuento temporal. En concreto, vamos a suponer que
se produce una disminución en la tasa de preferencia intertemporal,
pasando el factor de descuento a tomar un valor de 0,99. La …gura
3.8 muestra la nueva senda de consumo del individuo, mientras que
la …gura 3.9 muestra la senda del ahorro. Ahora la senda óptima de
consumo tiene pendiente positiva. Eso signi…ca que el individuo va
a preferir consumir menos en los primeros periodos e ir aumentando
su nivel de consumo a medida que pasa el tiempo. Esta nueva senda
de consumo viene determinada por el nuevo factor de descuento, que
implica una mayor preocupación por el futuro por parte del agente.
Es decir, el agente descuenta poco la utilidad futura. Esta variación
va a provocar que la tasa de preferencia intertemporal sea inferior al
tipo de interés real, lo que da como resultado una senda óptima de
consumo con pendiente creciente.
La nueva senda óptima de consumo obtenida re‡eja el hecho de
que ahora estamos analizando el comportamiento de un individuo
que descuenta muy poco el futuro, es decir, que se preocupa mucho
70
3. La elección intertemporal del consumidor
Ahorro
160.00
140.00
120.00
100.00
80.00
60.00
40.00
20.00
0.00
0
4
8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48
Tiempo
Figura 3.9. Senda del ahorro con
= 0; 99:
por el mismo. Esto va a tener importantes consecuencias en términos
de sus decisiones económicas. Así, este individuo va a sacri…car
consumo actual para obtener mayores niveles de consumo futuro.
Como consecuencia de esta decisión su nivel de ahorro va a ser
elevado durante los primeros periodos de su vida.
Seguidamente vamos a estudiar los efectos de un cambio en el tipo
de interés real. En concreto vamos a suponer que el tipo de interés
real es cero, es decir, no hay ningún coste (ni positivo ni negativo)
de mover el dinero intertemporalmente, mientras que el factor de
descuento es el inicial. El coste de endeudarse sería nulo y también
sería nulo la rentabilidad del ahorro. Las …guras 3.10 y 3.11 muestran
las sendas óptimas del consumo y del ahorro, respectivamente.
3.4.2 Cambio en las variables exógenas (cambio en la renta)
En el ejercicio anterior hemos supuesto que la renta del individuo
es constante durante su vida laboral, desde el periodo 0 al periodo
30. Sin embargo, en la realidad la renta salarial de los individuos
va aumentando a medida que aumenta su experiencia laboral. Por
tanto, ahora vamos a repetir el ejercicio anterior pero suponiendo que
el salario tiene una función creciente, lo que va a tener importantes
3.4 El problema del consumidor en Excel
Consumo
15.00
10.00
5.00
0.00
0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 39 42 45 48
Tiempo
Figura 3.10. Senda óptima de consumo con R = 0:
Ahorro
80.00
60.00
40.00
20.00
0.00
-20.00
0
4
8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48
Tiempo
Figura 3.11. Senda del ahorro con R = 0:
71
72
3. La elección intertemporal del consumidor
consecuencias en términos del ahorro. En concreto, vamos a suponer
que la renta del periodo 0 es de 10 y que aumenta en una unidad en
cada periodo.
Para resolver este nuevo ejercicio introducidos los nuevos valores
para la renta y a continuación, ejecutamos de nuevo la herramienta
Solver, que recalcula de forma instantánea la senda óptima de
consumo.
Las …guras 3.12-3.15 muestran las sendas temporales de las
diferentes variables. En primer lugar, la renta presenta ahora
una senda creciente a lo largo de la vida laboral del individuo.
Esto signi…ca que el individuo comienza a trabajar con un salario
bajo, pero a medida que acumula experiencia laboral su salario va
aumentando, hasta pasar a un valor cero a partir del momento de la
jubilación.
Como podemos observar, la senda óptima de consumo vuelve a ser
negativa, similar a la obtenida en el ejercicio con renta constante.
Esto es así porque la estructura de la renta no afecta a la decisión
de consumo del individuo. La decisión de consumo del individuo se
toma en función de tres elementos: el tipo de interés real, la tasa
de preferencia intertemporal y el grado de curvatura de la función
de utilidad. Por tanto la senda óptima de consumo es totalmente
independiente de la estructura de renta del individuo, tal y como
pone en evidencia este ejercicio numérico.
La variable que si cambia en este caso es el ahorro, que se acomoda
a la nueva estructura de la renta, tal que la senda de consumo
sea la óptima. En este caso vemos como el ahorro del individuo
durante los primeros años de su vida laboral es negativo, es decir,
el individuo se endeuda consumiendo una cantidad superior a su
renta. Esto es así porque el individuo sable que sus ingresos van a
ser superiores en el futuro, por lo que el individuo se trae renta del
futuro al presente. Obviamente, este ahorro negativo tiene que ser
compensado posteriormente con un ahorro positivo durante su vida
laboral. De nuevo el ahorro …naliza en el momento de la jubilación,
y a partir de ese momento el individuo consume todos los activos
acumulados hasta dicho momento.
3.4.3 Cambio en la función de utilidad
A continuación vamos a repetir el ejercicio anterior pero usando
una función de utilidad alternativa. En concreto vamos a utilizar
3.4 El problema del consumidor en Excel
Renta
50.00
40.00
30.00
20.00
10.00
0.00
0
4
8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48
Tiempo
Figura 3.12. Senda de la renta.
Consumo
25.00
20.00
15.00
10.00
5.00
0.00
0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 39 42 45 48
Tiempo
Figura 3.13. Senda óptima del consumo.
73
74
3. La elección intertemporal del consumidor
Ahorro
250.00
200.00
150.00
100.00
50.00
0.00
-50.00 0
4
8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48
-100.00
Tiempo
Figura 3.14. Senda óptima del ahorro
Felicidad
1.40
1.20
1.00
0.80
0.60
0.40
0.20
0.00
0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 39 42 45 48
Tiempo
Figura 3.15. Senda de la felicidad en términos descontados
3.4 El problema del consumidor en Excel
75
la función de utilidad del tipo CRRA con un parámetro constante
de aversión al riesgo relativo. Nuestro objetivo en este caso va a ser
estudiar cuáles son los efectos sobre la decisión de consumo de la
aversión al riesgo.
En este caso el ejercicio a resolver es el siguiente:
max
Ct
T
X
1
t Ct
1
(3.19)
1
t=0
Resolviendo el anterior problema encontramos que las condiciones
de primer orden son las siguientes:
@L
= Ct
@Ct
@L
=
@Bt
t
t
+
@L
= Ct + Bt
@ t
t
t+1
Wt
=0
t+1 (1
(3.20)
+ Rt+1 ) = 0
(1 + Rt )Bt
1
=0
(3.21)
(3.22)
Despejando de la primera condición de primer orden (3.19) y
sustituyendo en la segunda (3.20) obtenemos:
t
Ct
=
t+1
(1 + Rt+1 )Ct
(3.23)
y operando resulta la siguiente senda óptima de consumo:
Ct+1 = (1 + Rt+1 )Ct
(3.24)
Una vez resuelto el problema analíticamente, a continuación vamos
a resolverlo computacionalmente. En este caso necesitamos un
parámetro adicional, que es la tasa relativa de aversión al riesgo.
Vamos a suponer que el parámetro de aversión al riesgo es elevado.
Por ejemplo, vamos a suponer que
= 10: En este caso estamos
suponiendo un individuo que tiene una función de utilidad muy
cóncava.
El problema aparece resuelto en la hoja de cálculo EC32.xls. Para
resolver este nuevo problema cambiamos la expresión que aparece en
la columna "I". Si situamos el cursor en la celda "I3", vemos que
aparece la expresión:
76
3. La elección intertemporal del consumidor
Consumo
10.00
8.00
6.00
4.00
2.00
0.00
0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 39 42 45 48
Tiempo
Figura 3.16. Senda óptima de consumo con
= 10:
=Beta^E3*(F3^(1-Sigma)-1)/(1-Sigma)
que es la que corresponde a la nueva función de utilidad.
Resolviendo este problema obtenemos que la senda óptima de
consumo se hace ahora muy horizontal.
Las …guras 3.16-3.17 muestran las sendas temporales de las
variables relevantes.
3.5 La decisión de consumo en MatLab
En esta sección vamos a resolver el problema del consumidor en
tiempo …nito, pero usando MatLab, que es una herramienta mucho
más potente que una hoja de cálculo. En concreto vamos a usar
la rutina "fsolve" para resolver este problema. La rutina "fsolve"
encuentra las raíces (los ceros) de un sistema de ecuaciones no
lineales. Para ello tenemos que usar el lenguaje de este programa
y escribir una serie de instrucciones en relación al problema que
queremos resolver.
MatLab puede utilizar diferentes algoritmos para resolver el
problema de optimización dinámica que planteemos. Uno de los
más usados en la práctica es el algoritmo de Newton-Raphson, que
3.5 La decisión de consumo en MatLab
77
Ahorro
120.00
100.00
80.00
60.00
40.00
20.00
0.00
-20.00 0
4
8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48
Tiempo
Figura 3.17. Senda óptima del ahorro con
= 10:
analizaremos con mayor detenimiento en el tema 6. Por el momento,
simplemente vamos a utilizar uno de los programas que ya vienen
incluidos dentro de MatLab, que es el denominado "fsolve".
Los programas que necesitamos para ello son consumo.m y
cpo.m. Para ello suponemos que la función de utilidad del
consumidor es logarítmica. Estos programas son los siguientes:
% Consumo.m
%Problema del consumidor
% Función de utilidad logarítmica: U=ln(C)
clear all
% Parámetros del modelo
T = 50; % Tiempo de vida del individuo
R = 0.02; % Tipo de interes real
beta = 0.97; % Factor de descuento intertemporal
% Senda temporal de la renta del individuo
% El proceso de la renta es exógeno
for t=1:30;
w(t) = 10;
end
for t=31:T;
78
3. La elección intertemporal del consumidor
w(t) = 0;
end
param = [T R beta w];
% Algoritmo de búsqueda de ceros
x0 = 50*ones(size(1:T))’; % Valores iniciales
crit = 1e-06; % Tolerancia
maxit = 1000; % Máximo número de iteraciones
sol = fsolve(’cpo’, x0);
% Solución
for t=1:T
c(t) = sol(t);
end
for t=2:T;
b(1) = w(1)-c(1);
b(t) = (1+R)*b(t-1)+w(t)-c(t);
end
for t=1:T
U(t) = beta^t*log(c(t));
end
% Gráficos
subplot(2,2,1)
plot(c)
title(’Consumo’)
subplot(2,2,2)
plot(b)
title(’Ahorro’)
subplot(2,2,3)
plot(w)
title(’Renta’)
subplot(2,2,4)
plot(U)
title(’Felicidad’)
function f=cpo(x0, param)
% Parámetros del modelo
T = 50;
R = 0.02;
beta = 0.97;
% Senda temporal de la renta del individuo
for t=1:30;
3.5 La decisión de consumo en MatLab
79
w(t) = 10;
end
for t=31:T;
w(t) = 0;
end
% Asignacion de variables
for t=1:T
c(t) = x0(t);
end
% Cálculo del ahorro
for t=2:T;
b(1) = w(1)-c(1);
b(t) = (1+R)*b(t-1)+w(t)-c(t);
end
% Condición terminal
c(T+1) = 0;
% Senda óptima de consumo
f(1) = c(2)-beta*(1+R)*c(1);
for t=2:T-1
f(t) = c(t+1)-beta*(1+R)*c(t);
end
f(T) = c(T)-(1+R)*b(T-1);
f=f’;
La …gura 3.18 muestra la senda temporal de las diferentes variables
que obtenemos una vez que ejecutamos el programa anterior. Las
sendas temporales de las variables son las mismas que las obtenidas
anteriormente cuando usamos la función "Solver" en la hoja de
cálculo Excel.
80
3. La elección intertemporal del consumidor
C onsumo
A horro
9
100
8.5
80
8
7.5
60
7
40
6.5
6
20
5.5
5
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
0
0
5
10
15
20
R enta
2.5
8
2
6
1.5
4
1
2
0.5
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
30
35
40
45
50
Felicidad
10
0
25
30
35
40
45
50
0
0
5
10
15
20
25
Figura 3.18. Sendas óptimas usando MatLab
4
Las empresas y la decisión de
inversión
4.1 Introducción
En este tema vamos a resolver computacionalmente una versión
simple del modelo de la Q de Tobin. El modelo de la Q de
Tobin puede representarse en términos de un sistema de ecuaciones
dinámicas que describen el comportamiento del stock de capital y
de la ratio Q marginal. Sin embargo, estas ecuaciones tienen una
naturaleza no lineal, por lo que no es posible su computación de
forma directa al no poder escribirlo en notación matricial. En este
caso, para poder computar numéricamente el modelo, hemos de
proceder en primer lugar a linealizar las ecuaciones diferenciales,
reescribiendo el modelo en término de las desviaciones de cada
variable respecto a su valor de estado estacionario. El procedimiento
va a ser muy similar a los ejercicios realizados en los temas 1 y 2.
En este caso concreto, vamos a obtener una solución del tipo punto
de silla, por lo que hemos de tener en cuenta las especi…cidades
asociadas a este tipo de solución, en términos del efecto impacto
sobre las variables ‡exibles que tiene cualquier perturbación.
82
4. Las empresas y la decisión de inversión
4.2 Computación en Excel del modelo de la Q de
Tobin
En este apartado vamos a describir los pasos que hemos de dar para
resolver computacionalmente el modelo de la Q de Tobin en una hoja
de cálculo. Para ello necesitamos realizar tres pasos: parametrizar
las funciones de producción y de costes de ajuste, resolver el modelo
y, por último, linealizar las ecuaciones de ajuste de las variables
endógenas.
4.2.1 Linearización del modelo
En este apartado vamos a rede…r el modelo en términos lineales. Para
ello vamos a suponer que la función de producción es del tipo CobbDouglas y que la función de costes de ajuste es tal que I (I) = 1.
Resolviendo el problema llegamos a las siguientes dos ecuaciones
diferenciales:
q_t = qt (Rt + )
K_ t = qt
Kt
1
PtK
El problema con el que nos encontramos es que ambas ecuaciones
son no lineales, por lo que no podemos escribir el problema en
notación matricial y estudiar las características de la matriz de
coe…cientes asociadas a las variables endógenas. Esto supone que no
podemos computar numéricamente este modelo y para ello hemos de
transformar dichas ecuaciones para que sean lineales.
En primer lugar, calculamos el valor de las variables en estado
estacionario, tal que q_t = 0 y K_ t = 0. De la segunda ecuación
obtenemos que:
qt = 1
lo que supone que el logaritmo de la ratio q en estado estacionario
es cero.
De la primera expresión resulta que:
Kt
y despejando:
1
= q t (Rt + ) = (Rt + )
4.2 Computación en Excel del modelo de la Q de Tobin
Kt =
83
1
Rt +
1
En términos de tasas de crecimiento, el anterior sistema de
ecuaciones diferenciales podemos escribirlo como:
q_t
= (Rt + )
qt
qt
K_ t
=
Kt
Kt
Kt
qt
1
1
Kt
Tomando logaritmos resulta:
d ln qt
= (Rt + )
dt
exp((
1) ln Kt )
ln qt )
d ln Kt
= exp(ln qt ln Kt ) exp( ln Kt )
dt
Para construir una aproximación de las anteriores dos ecuaciones
alrededor de su estado estacionario vamos a usar la expansión de
Taylor. Para ello en primer lugar calculamos las siguientes derivadas
parciales:
d exp((
d exp((
1) ln Kt
d ln qt
1) ln Kt
d ln Kt
ln qt )
ln qt )
=
=(
exp((
1) exp((
d exp(ln qt ln Kt )
= exp(ln qt
d ln qt
d exp(ln qt ln Kt )
=
d ln Kt
d exp( ln Kt )
=
d ln Kt
1) ln Kt
exp(ln qt
ln qt )
1) ln Kt )
ln Kt )
ln Kt )
exp( ln Kt )
Por tanto, aplicando la expansión de Taylor resulta que:
84
4. Las empresas y la decisión de inversión
d ln qt
dt
d exp((
'
(
1) ln Kt ln qt )
(ln qt ln q t )
d ln qt
1) exp((
1) ln K t ln q t )(ln Kt ln K t )
y sustituyendo:
d ln qt
dt
'
1) ln K t
exp((
(
1) exp((
ln q t )(ln qt
1) ln K t
ln q t )
ln q t )(ln Kt
ln K t )
y dado que:
(
1) exp((
1) ln K t ) = (
1)
Rt +
1
1
=(
1)(Rt + )
y que:
exp((
1) ln K t
ln q t ) =
Rt +
1
1
= Rt +
resulta que:
d ln qt
' (Rt + )(ln qt
dt
ln q t )
(
1)(Rt + )(ln Kt
ln K t )
por lo que ya tenemos linearizada la ecuación correspondiente a las
variaciones en la ratio q.
A continuación, repetimos el mismo pocedimiento respecto a la
ecuación del stock de capital. En este caso tenemos que:
d ln Kt
dt
'
d exp(ln qt ln Kt )
(ln qt ln q t ) +
d ln qt
d exp( ln Kt ) d exp(ln qt ln Kt )
+
(ln Kt
d ln Kt
d ln Kt
y sustituyendo resulta:
ln K t )
4.2 Computación en Excel del modelo de la Q de Tobin
d ln Kt
dt
' exp(ln q t
ln K t )(ln qt
exp( ln K t )
85
ln q t ) +
exp(ln q t
ln K t ) (ln Kt
ln K t )
Sabiendo que ln q t = 0, resulta
d ln Kt
dt
' exp( ln K t )(ln qt
1
(ln qt
Kt
ln q t )
1
1
Rt +
=
ln q t ) =
(ln qt
ln q t )
Por tanto en notación matricial el modelo de la Q de Tobin
(log)linearizado respecto al estado estacionario resultaría:
d ln qt
dt
d ln Kt
dt
=
"
(Rt + )
Rt +
(
1
1
1)(Rt + )
0
#
(ln qt
(ln Kt
ln q t )
ln K t )
Una vez linearizado el modelo, a continuación podemos calcular
las raíces asociadas a la matriz de coe…cientes. La ecuación
correspondiente sería:
2
(Rt + ) + (
1)(Rt + )
Rt +
1
1
=0
Por tanto las dos raíces serían:
1; 2
=
(Rt + )
q
(Rt + )2
4(
2
1)(Rt + )
Rt +
1
1
4.2.2 Efectos de una disminución en el tipo de interés
Una vez que hemos linealizado las dos ecuaciones diferenciales,
podemos proceder a computar numéricamente este modelo en una
hoja de cálculo. El …chero que contiene el modelo de la q de Tobin en
Excel, se llama EC41.xls. La hoja de cálculo correspondiente aparece
en la …gura 4.1. Tal y como podemos observar, necesitamos de…nir
el valor de los parámetros y de las variables exógenas. En nuestro
86
4. Las empresas y la decisión de inversión
caso hemos supuesto que tanto el parámetro tecnológico asociado al
capital como la tasa de depreciación física del capital son parámetros,
mientras que hemos supuesto que tanto el precio del capital como el
tipo de interés son variables exógenas.
A partir de las expresiones calculadas anteriormente, y dados
unos valores para las variables exógenas y para los parámetros,
podemos proceder a calcular tanto el valor de las variables en estado
estacionario como el valor de las raíces de la matriz de coe…cientes
de las variables endógenas.
La …gura 4.1 muestra la hoja de cálculo, en la cual hemos simulado
los efectos de una disminución en el tipo de interés. El único elemento
que hemos de tener en cuenta es que la solución es del tipo punto de
silla, por lo que hemos de calcular el efecto de impacto de cualquier
perturbación sobre la ratio q. Para ello únicamente hemos de igualar
una ecuación dinámica a la trayectoria convergente hacia el estado
estacionario, tal que:
d ln Kt
=
dt
Rt +
1
1
(ln qt
ln q t ) =
1 (ln Kt
1 (ln Kt
ln K t )
ln K t )
Despejando obtenemos que:
ln qt =
Rt +
1
1
lo que nos indicaría el efecto a corto plazo sobre la ratio q. Este
valor es precisamente el que aparece en la celda "G4" de la hoja de
cálculo correspondiente, indicando el cambio que registra el valor de
la ratio q hasta alcanzar la senda estable.
La …gura 4.2 muestra la dinámica del logaritmo de la ratio q ante
una disminución en el tipo de interés. Como podemos observar, su
valor de estado estacionario inicial es cero, que corresponde a una
valor de dicha ratio de 1. La disminución en el tipo de interés provoca
un aumento instantáneo de dicha ratio, hasta alcanzar su senda
estable. Esto es debido a que ahora el coste del capital es menor,
por lo que disminuye el coste de reposición del capital instalado y,
por tanto, es rentable para la empresa invertir en capital ya que el
coste del mismo es inferior al aumento en el valor de mercado de
la empresa. A continuación, una vez se produzca el aumento en el
capital, la ratio q irá disminuyendo progresivamente, hasta alcanzar
4.2 Computación en Excel del modelo de la Q de Tobin
Figura 4.1. El modelo de la q de Tobin en Excel
87
88
4. Las empresas y la decisión de inversión
Figura 4.2. Senda temporal de la ratio q ante una disminución en el tipo
de interés
su nuevo valor de equilibrio de estado estacionario, que el el mismo
que existía con anterioridad a la perturbación.
Finalmente, la …gura 4.3 muestra la dinámica del logaritmo del
stock de capital. Como podemos observar el aumento de la ratio q
provoca un aumento progresivo del stock de capital. De hecho el
stock de capital está aumentando hasta que la ratio q vuelva a su
valor de estado estacionario. Este proceso va a llevar a que en el largo
plazo, el stock de capital aumente respecto a la situación inicial.
4.3 Conclusiones
En este tema hemos resuelto numéricamente el modelo de la Q de
Tobin. Como hemos visto, antes de proceder a su computación
numérica hemos de proceder a su linearización, ya que dicho modelo
resulta en un sistema de dos ecuaciones diferenciales no lineales.
Esto sucede con una variedad de modelos, en los cuales la dinámica
de las variables endógenas resulta no lineal. En estos casos hemos
de aplicar algún procedimiento para su linearización.
4.3 Conclusiones
89
Stock de capital (logaritmo)
2.50
2.00
1.50
1.00
0.50
0.00
-1 3
7 11 15 19 23 27 31 35 39 43 47 51 55
Tiempo
Figura 4.3. Senda temporal del stock de capital ante una disminución en
el tipo de interés
En nuestro caso hemos linearizado, en términos logarítmicos,
respecto al estado estacionario. De este modo podemos reescribir
el sistema de ecuaciones en términos de las desviaciones de cada
variables respecto a su valor de estado estacionario.
Una vez resuelto de esta forma el modelo podemos computarlo
numéricamente en una hoja de cálculo. Este ejercicio nos va a
permitir estudiar diferentes perturbaciones, así como los efectos de
alteraciones en los parámetros del modelo.
90
4. Las empresas y la decisión de inversión
5
El gobierno y la política …scal
5.1 Introducción
En este tema vamos a realizar diferentes ejercicios computacionales
en relación al papel del gobierno en la economía. En concreto, vamos
a realizar dos ejercicios. En primer lugar, vamos a resolver de nuevo
el problema del consumidor, pero introduciendo los impuestos. El
objetivo de este ejercicio es estudiar los efectos de la política …scal a
través de cambios en los impuestos sobre la decisión del consumidor
en términos del consumo y del ahorro. En segundo lugar, realizamos
un ejercicio sobre los efectos de cambios en las cotizaciones a la
seguridad social sobre el comportmiento de los consumidores. El
objetivo de ambos ejercicios es estudiar los efectos que provocan
los cambios en la política …scal sobre las decisiones de los agentes,
en este caso de los consumidores. Ambos ejercicios los vamos a
resolver númericamente utilizando la herramienta "Solver" de la hoja
de cálculo Excel.
5.2 Los impuestos
En primer lugar, vamos a resolver el problema del consumidor
con vida in…nita pero introduciendo un impuesto sobre la renta.
92
5. El gobierno y la política …scal
Suponemos que la función de utilidad del individuo es logarítmica.
Por tanto el problema a maximizar viene dado por:
max
Ct
T
X
t
ln Ct
(5.1)
t=0
sujeto a la restricción presupuestaria:
Ct + Bt = (1
t )Wt
+ (1 + Rt )Bt
1
donde es el tipo impositivo sobre la renta. Así, cuanto mayor sea
menor es la renta disponible del individuo. Es decir, suponemos
que el gobierno no devuelve lo recaudado y simplemente es una
pérdida de recursos para la economía. Lo recaudado por el gobierno
simplemente se pierde.
El problema a resolver sería:
L = max
(Ct )
t
fln Ct
t (Ct
+ Bt
(1
t )Wt
(1 + Rt )Bt
1 )g
(5.2)
Resolviendo el anterior problema encontramos que las condiciones
de primer orden son las siguientes:
@L
1
=
@Ct
Ct
@L
=
@Bt
t
t
@L
= Ct + Bt
@ t
+
t
t+1
(1
=0
t+1 (1
t )Wt
(5.3)
+ Rt+1 ) = 0
(1 + Rt )Bt
1
(5.4)
=0
(5.5)
Despejando de la primera condición de primer orden (5.3) y
sustituyendo en la segunda (5.4) obtenemos:
t
1
=
Ct
t+1
1
Ct+1
(1 + Rt+1 )
(5.6)
y operando resulta:
Ct+1 = (1 + Rt+1 )Ct
(5.7)
Como podemos comprobar, la senda óptima de consumo del
individuo es independiente del impuesto sobre la renta, lo que
5.2 Los impuestos
93
Figura 5.1. El problema del consumidor con impuestos
signi…ca que la política …scal es inefectiva. Esto es debido a que
hemos supuesto que el salario es exógeno. No obstante, cambios en
el tipo impositivo van a alterar el volumen de consumo del individuo.
La …gura 5.1 muestra la hoja de cálculo EC51.xls. Para la
resolución del anterior problema utilizamos la herramienta "Solver"
de Excel. Los parámetros que necesitamos de…nir son la tasa de
descuento, el tipo de interés real y el tipo impositivo. Suponemos
que la tasa de descuento es de 0.97 y que el tipo de interés real es
del 5%. Por otra parte, vamos a suponer que el individuo tiene que
pagar un 35% de su renta en forma de impuestos.
En la columna "F" de…nimos el nivel de consumo periodo a
periodo, que es la varaible que queremos calcular. La columna "G"
muestra la renta del individuo que viene dada, es decir, suponemos
que es una variable exógena. En este ejemplo concreto hemos
supuesto que la renta inicial es de 10 y que aumenta en una unidad
94
5. El gobierno y la política …scal
cada periodo hasta que el individuo se jubila. La columna "H"
muestra la recaudación impositiva, que es simplemente un 35% de
la columna "G". La columna "I" muestra el nivel de ahorro del
individuo. Este nivel de ahorro se calcula de la siguiente forma. En
el primer periodo (periodo 0) es simplemente la diferencia entre la
renta neta de impuestos y el consumo que realiza el individuo. En
el segundo periodo y siguientes sería la diferencia entre la renta neta
de impuestos y el consumo en el periodo más el ahorro del periodo
anterior más la rentabilidad asociada a dicho ahorro. Finalmente, la
columna "J" muestra el nivel de utilidad descontada del individuo
en cada periodo de su vida.
Las …guras 5.2-5 muestran la senda temporal de las variables
relevantes. En primer lugar, la senda de consumo es creciente, por
lo que el individuo decide un mayor consumo conforme avance el
tiempo. La pendiente de esta senda de consumo depende de la tasa
de descuento y del tipo de interés real, junto con la forma de la
función de utilidad del inviduo, que en este caso es logarítmica. La
renta la suponemos exógena, teniendo el individuo un nivel de renta
(antes de impuestos) de 10 en el periodo 0 y aumentando dicha renta
una unidad hasta el periodo 26, momento en el que el individuo se
jubila y su renta pasa a cero. El impuesto sobre la renta tiene la
misma forma, ya que hemos supuesto que es proporcional a la renta.
Por último, el ahorro del individuo va a tener la forma estándar. En
este caso el individuo va ahorrar durante los primerios periodos de
su vida hasta el momento de su jubilación, a partir del cual el ahorro
es negativo, consumiendo el individuo los activos …nancieros que ha
ido acumulando a lo largo de su vida laboral.
5.2.1 Cambio en el tipo impositivo
Supongamos ahora que el gobierno disminuye el impuesto sobre
la renta hasta el 15%. Dado el planteamiento del problema, esto
signi…ca que el individuo tiene una mayor renta disponible, dado
que hemos supuesto que el gobierno no devuelve a la economía el
importe de lo recaudado vía impuestos. Esto signi…ca que su nivel
de consumo periodo a periodo va a ser mayor, pero como podemos
comprobar no altera la decisión del individuo en términos de su senda
óptima de consumo. En efecto, tal y como podemos observar en las
…guras 5.6 y 5.7, la senda óptima del consumo del individuo sigue
siendo la misma, si bien ahora los niveles de consumo son superiores
5.2 Los impuestos
95
Consumo
25.00
20.00
15.00
10.00
5.00
0.00
0
4
8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48
Tiempo
Figura 5.2. Senda óptima de consumo con impuesto sobre la renta
Renta
40.00
35.00
30.00
25.00
20.00
15.00
10.00
5.00
0.00
0
8
16
24
Tiempo
Figura 5.3. Renta
32
40
48
= 0; 35
96
5. El gobierno y la política …scal
Impuesto sobre la renta
14.00
12.00
10.00
8.00
6.00
4.00
2.00
0.00
0
4
8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48
Tiempo
Figura 5.4. Impuesto sobre la renta
Ahorro
250.00
200.00
150.00
100.00
50.00
0.00
-50.00
0
4
8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48
Tiempo
Figura 5.5. Ahorro con impuesto sobre la renta
= 0; 35
5.3 La seguridad social
97
Consumo
30.00
25.00
20.00
15.00
10.00
5.00
0.00
0
4
8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48
Tiempo
Figura 5.6. Senda óptima de consumo con impuesto sobre la renta
= 0; 15
a los obtenidos anteriormente. Esto es debido a que ahora la renta
del individuo es superior como consecuencia de la disminución en el
impuesto, pero su distribución a lo largo de todos los periodos sigue
siendo la misma, ya que es independiente del tipo impositivo.
Por su parte, la senda del ahorro es también similar a la obtenida
anteriormente, re‡ejando un mismo patrón de comportamiento, si
bien los niveles de ahorro periodo a periodo son diferentes como
consecuencia de la alteración en el nivel de renta disponible.
Utilizando este sencillo ejemplo como referencia podemos realizar
multitud de experimentos sobre los efectos de la política …scal.
Así, podemos suponer la existencia de un impuesto sobre la renta
progresivo, que aumente por tramos de renta. También podemos
analizar los efectos que tiene el hecho de que el gobierno devuelva
al individuo el dinero recaudado pero en diferentes momentos del
tiempo, etc.
5.3 La seguridad social
En esta sección vamos a resolver el problema del consumidor, pero
considerando la existencia de un sistema de seguridad social, que
98
5. El gobierno y la política …scal
Ahorro
300.00
250.00
200.00
150.00
100.00
50.00
0.00
-50.00 0
4
8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48
Tiempo
Figura 5.7. Ahorro con impuesto sobre la renta
= 0; 15
supone que el individuo va a percibir una pensión una vez se jubile.
Consideramos la existencia de un impuesto a la renta en forma de
cotizaciones a la seguridad social. Existen dos sistemas de seguridad
social: de reparto y de capitalización. En este ejercicio vamos a
suponer que el régimen de la seguridad social es de capitalización.
Esto signi…ca que el importe recaudado a través de las cotizaciones
a la seguridad social va a un fondo de pensiones, el cual genera una
rentabilidad dada por el tipo de interés real.
En este caso el problema del consumidor sería:
max
Ct
T
X
t
ln Ct
(5.8)
t=0
sujeto a la siguiente restricción presupuestaria del individuo:
Ct + Bt = (1
ss
t )Wt
+ (1 + Rt )Bt
1
+ Dt
donde ss es el tipo impositivo de las cotizaciones a la seguridad
social y donde Dt es la pensión de jubilación que recibe el individuo.
Esta pensión sólo sería positiva cuando el salario del individuo fuese
5.3 La seguridad social
99
cero, es decir, cuando el individuo ha abandonado la vida laboral y
se encuentra jubilado.
El problema a resolver sería por tanto:
L = max
(Ct )
t
fln Ct
t (Ct
+ Bt
(1
t )Wt
(1 + Rt )Bt
1
Dt )g
(5.9)
Resolviendo el anterior problema encontramos que las condiciones
de primer orden son las siguientes:
@L
1
=
@Ct
Ct
@L
=
@Bt
@L
= Ct + Bt
@ t
t
(1
t
+
t
t+1
ss
t )Wt
=0
t+1 (1
(5.10)
+ Rt+1 ) = 0
(1 + Rt )Bt
1
Dt = 0
(5.11)
(5.12)
Despejando de la primera condición de primer orden (5.10) y
sustituyendo en la segunda (5.11) obtenemos:
t
1
=
Ct
t+1
1
Ct+1
(1 + Rt+1 )
(5.13)
y operando resulta:
Ct+1 = (1 + Rt+1 )Ct
(5.14)
Tal y como podemos observar la senda óptima de consumo
del individuo es totalmente independiente tanto del impuesto de
cotización a la seguridad social como del importe de su pensión una
vez esté jubilado.
La …gura 5.8 muestra la hoja de cálculo EC52.xls, en la que hemos
resuelto el problema anterior. Para ello, hemos de dar valores a
tres parámetros: Tasa de descuento, tipo de interés real y tipo de
las cotizaciones a la seguridad social. El tipo impositivo para la
seguridad social es del 36%, que es aproximadamente el que existe
en la actualidad en España.
Por otra parte, hemos de decidir de que forma recibe el individuo
su pensión. Una vez se jubile el individuo, éste tiene acceso al fondo
de pensiones. Podemos realizar dos supuestos. Que el individuo
100
5. El gobierno y la política …scal
cobra integranebte la cantidad del fondo de pensiones justo en el
momento que se jubila, o bien que dicho fondo de pensiones se reparte
de alguna forma a lo largo de la vida restante del individuo.
En nuestro caso vamos a realizar la segunda opción. Así,
observamos que cuando se jubila el individuo, con los datos
utilizados, el fondo de pensiones tiene un total de 359,37 unidades
de consumo. Podemos suponer que este fondo se distribuye entre los
años que le quedan de vida al individuo, pero que periodo a periodo,
el fondo de pensiones sigue generando una rentabilidad. Así, en
el ejemplo hemos supuesto que la pensión que dobra el individuo
periodo a periodo es de 23 unidades, excepto en el último año de
su vida, en el cual la pensión es exactamente igual al restante del
fondo de pensiones para garantizar que este fondo es cero cuando
el individuo deja de existir. Así, la celda "H54" es simplemente la
celda "J53".
Las …guras 5.9-11 muestran la senda temporal de las variables
relevantes. En primer lugar, observamos que la senda de consumo
sigue teniendo pendiente positiva. Esto es así, porque como hemos
visto anteriormente, la senda óptima de consumo del individuo no se
ve afectada ni por las cotizaciones a la seguridad social y por la forma
en la que se reciben las pensiones. Esto signi…ca que un sistema
de seguridad social de capitalización no tiene ningún efecto sobre
las decisiones del individuo respecto al consumo periodo a periodo.
Esto es debido a que las cotizaciones a la seguridad social implican la
existencia de un ahorro forzoso, que es perfectamente sustitutivo del
ahorro voluntario. Por tanto, cambios en el sistema de seguridad
social únicamente provocan cambios en el ahorro voluntario del
individuo, sin que afecten a su nivel de consumo.
El fondo de pensiones muestra las aportaciones que periodo a
periodo realiza el individuo al mismo durante su etapa labora,
junto con la rentabilidad que va generando. Dicho fondo va
incrementándose hasta el momento en el que se produce la jubilación.
A partir de dicho momento, y dado el supuesto que hemos realizado
de distribución de este fondo en los distintos periodos de vida
restantes para el individuo, el fondo comienza a disminuir, hasta
ser nulo en el momento en el que el individuo deja de existir.
La senda óptima de ahorro es ahora diferente como consecuencia
del régimen de seguridad social. Como podemos comprobar el ahorro
ahora es negativo, y de cuantía muy elevada, la mayor parte del
5.3 La seguridad social
101
Figura 5.8. El problema del consumidor con un régimen de seguridad social
de capitalización
102
5. El gobierno y la política …scal
Consumo
30.00
25.00
20.00
15.00
10.00
5.00
0.00
0
4
8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48
Tiempo
Figura 5.9. Senda óptima de consumo con
ss
= 0; 36
periodo laboral del individuo. Esto es debido a que el individuo está
sustituyendo ahorro voluntario por el ahorro obligatorio derivado
de las cotizaciones a la seguridad social. Dada la senda óptima
de consumo que quiere seguir el individuo, las cotizaciones a la
seguridad social le suponen un volumen de ahorro muy grande, que lo
va a compensar a través del endeudamiento. Tan sólo en los últimos
años de la vida laboral este individuo genera un ahorro positivo.
Por otra parte, el volumen de ahorro durante su jubilación es
positivo, ya que el igual que el salario, la pensión también le viene
dada al individuo y la distribuye en el tiempo de acuerdo a sus
preferencia. En este caso, una vez que el individuo está jubilado y
comienza a cobrar su pensión, va a ahorrar parte de esta inicialmente,
con el objeto de mantener la senda creciente en su nivel de consumo.
En resumen, en este sistema de seguridad social vemos que el
ahorro obligatorio del sistema es sustitutivo perfecto del ahorro
privado, indicando que dado un determinado ahorro obligatorio el
individuo va a ajustar su ahorro privado tal que la senda del consumo
sea la que maximiza su nivel de bienestar.
5.3 La seguridad social
Fondo de pensiones
400.00
350.00
300.00
250.00
200.00
150.00
100.00
50.00
0.00
0
4
8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48
Tiempo
Figura 5.10. Fondo de pensiones con
ss
= 0; 36
Ahorro
40.00
20.00
0.00
-20.00
0
4
8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48
-40.00
-60.00
Tiempo
Figura 5.11. Senda del ahorro con
ss
= 0; 36
103
104
5. El gobierno y la política …scal
5.3.1 Cambio en las cotizaciones a la seguridad social
Supongamos ahora que el gobierno reduce las cotizaciones a la
seguridad social. Por ejemplo, vamos a suponer que las cotizaciones
disminuyen hasta el 20%. Qué implicaciones tiene este cambio sobre
las deciciones del individuo. Los resultados aparecen re‡ejados en
las …guras 5.12-14. En este caso la pensión del individuo sería de 12
unidades de consumo en cada periodo, excepto el último periodo en
el cual obtendría 18,96 unidades de consumo.
Tal y como podemos comprobar, la senda óptima de consumo del
individuo sigue siendo la misma, dado que no se ve afectada por este
impuesto en términos de las cotizaciones a la seguridad social. No
obstante, ahora el nivel de consumo del individuo es superior en cada
momento del tiempo, dado que el ahorro obligatorio es menor y el
individuo no se ve obligado a endeudarse en grandes cantidades para
poder maximizar su nivel de bienestar.
El comportamiento del fondo de pensiones es similar al obtenido
anteriormente, dado que se trata de un impuesto proporcional. La
única diferencia es que ahora las aportaciones periodo a periodo
al fondo de pensiones son menores, como consecuencia de la
disminución en el tipo de cotización a la seguridad social. Esto hace
que la cantidad del fondo cuando el individuo se jubila sea menor
que la obtenida anteriormente.
Por último, la senda del ahorro es diferente a la obtenida
anteriormente. Así, ahora el endeudamiento del individuo es muy
escaso, prácticamente nulo, durante su vida laboral. Esto es debido
a que ahora el ahorro obligario es mucho menor, por lo que el
individuo lo sustituye por ahorro voluntario para alcanzar el nivel
óptimo de consumo en cada periodo. El individuo ahora ahorra
hasta el momento en que se jubila, a partir del cual el ahorro se
vuelve negativo.
5.3 La seguridad social
Consumo
35.00
30.00
25.00
20.00
15.00
10.00
5.00
0.00
0
4
8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48
Tiempo
Figura 5.12. Senda óptima de consumo con
ss
= 0; 20
Fondo de pensiones
250.00
200.00
150.00
100.00
50.00
0.00
0
4
8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48
Tiempo
Figura 5.13. Fondo de pensiones con
ss
= 0; 20
105
106
5. El gobierno y la política …scal
Ahorro
200.00
150.00
100.00
50.00
0.00
-50.00
0
4
8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48
Tiempo
Figura 5.14. Senda del ahorro con
ss
= 0; 20
6
El modelo básico de equilibrio general
6.1 Introducción
En este tema vamos a calcular numéricamente el modelo básico de
equilibrio general dinámico. Para resolver el comportamiento del
consumidor hemos utilizado la herramienta "Solver" de la hoja de
cálculo Excel, que nos permite resolver un problema de optimización
con una única variable. Sin embargo, este no va a ser el caso ahora,
ya que en el problema de optimización vamos a tener un sistema
de ecuaciones con más de una variable. No obstante, vamos a
simpli…car el modelo básico de equilibrio general tal que podamos
seguir utilizando la herramienta "Solver" de Excel. Para ello, vamos
a construir en primer lugar una versión en la cual la función de
utilidad únicamente depende del consumo eliminando, por tanto, la
decisión del individuo en relación al empleo. En este caso tenemos
un modelo similar al del consumidor salvo por el hecho de que ahora
la renta se determina de forma endógena. Este ejercicio lo vamos a
utilizar para la ilustrar la dinámica del stock de capital en su proceso
de ajuste hacia el estado estacionario.
En segundo lugar, vamos a resolver el modelo básico con factor
de trabajo constante utilizando MatLab. Se trata en este caso
de repetir el ejercicio anterior para comparar ambos programas y
108
6. El modelo básico de equilibrio general
las soluciones que obtendríamos. Posteriormente vamos a utilizar
MatLab para calcular el estado estacionario de la economía a través
de la determinación de dos variables: el nivel de empleo y el nivel de
capital.
6.2 Computación del modelo simpli…cado en Excel
En esta sección vamos a resolver el modelo básico sin empleo
utilizando una hoja de excel, suponiendo que el tiempo es …nito. En
este caso suponemos que la función de utilidad no depende el ocio,
es decir, únicamente tenemos como factor productivo al capital. En
este caso, podemos utilizar de nuevo la herramienta "Solver" para
computar númericamente este modelo considerando que el tiempo
es …nito. Esto signi…ca que hemos de determinar cual es el stock de
capital inicial y el stock de capital …nal. El stock de capital …nal lo
vamos a determinar en términos de su valor de estado estacionario.
La dinámica de la economía va a depender de cómo sea el stock de
capital inicial en relación al …nal.
6.2.1 El modelo
Vamos en primer lugar a resolver el modelo de equilibrio general
pero introduciendo un supuesto simpli…cador: la función de utilidad
de los individuos únicamente depende del consumo. De esta forma
eliminamos la decisión respecto a la cantidad de horas que van a
dedicar a trabajar los individuos. Esto supone que la dotación de
horas dedicadas a trabajar es una constante, tal que Lt = 1.
Suponemos que el consumidor representativo resuelve el siguiente
problema de maximización:
max
T
X
t
U (Ct )
(6.1)
t=0
donde 2 (0; 1): Suponemos que la función de utilidad es logarítmica
por lo que:
U (Ct ) = ln Ct
La ecuación de acumulación de capital es:
(6.2)
6.2 Computación del modelo simpli…cado en Excel
Kt+1 = (1
)Kt + It
109
(6.3)
Suponemos que la función de producción de la economía es:
Yt = AKt L1t
(6.4)
donde A es el parámetro de productividad agregada (Productividad
Total de los Factores, PTF), que suponemos constante y exógeno.
Dado K0 y dado fRt ; Wt gTt=0 , el consumidor representativo resuelve:
1
X
max
t
ln Ct
(6.5)
t=0
sujeto a:
Ct + It = Rt Kt + Wt Lt
(6.6)
Como L = 1, la restricción presupuestaria la podemos escribir
como:
Ct + Kt+1
Kt = (Rt
)Kt + Wt
(6.7)
Equilibrio competitivio: Un equilibrio para nuestra economía es
una secuencia fCt ; Lt ; Kt ; Rt ; Wt g1
t=0 , tal que tanto los consumidores
como las empresas maximizan su función objetivo respectiva y se
cumple la restricción de factibilidad de la economía:
Dados fRt ; Wt g1
t=0 , la empresa representativa resuelve:
max AKt L1t
Rt Kt
Wt Lt
(6.8)
La condición de factibilidad de la economía sería:
Ct + Kt+1
)Kt = Yt = AKt Lt1
(1
= Rt Kt + Wt Lt
(6.9)
Problema de maximización del consumidor vendría dado por:
L=
max1
fCt ;Kt gt=0
1
X
t
(ln Ct
t (Ct
+ Kt+1
(Rt + 1
t=0
Las condiciones de primer orden vienen dadas por:
)Kt
Wt ))
110
6. El modelo básico de equilibrio general
@L
1
=
@C
Ct
@L
=
@K
t
t (Rt
=0
t
+1
(6.10)
t 1
)
t 1
=0
(6.11)
@L
= Ct + Kt+1 Kt (Rt
)Kt Wt = 0
(6.12)
@
Por otra parte, del problema de maximización de las empresas
obtenemos:
1 1
Lt
Rt = AKt
Wt = (1
1
(6.13)
)AKt
(6.14)
= AKt
)AKt Lt
= (1
Operando con las condiciones de primer orden del consumidor
obtenemos:
t
1
(Rt
Ct
t 1
1+ )
1
(Rt + 1
Ct
1
Ct
1
Ct
)
=0
(6.15)
1
=0
(6.16)
1
Sustituyendo el valor obtenido del problema de maximización de
la empresa para R y W , en la expresión anterior y en la condición
de transversalidad obtenemos:
1
( AKt
Ct
Ct + Kt+1
Kt
1
+1
1
( AKt
)
)Kt
1
Ct
=0
(6.17)
)AKt = 0
(6.18)
1
(1
Por tanto obtendríamos un sistena de dos ecuaciones en diferencias
(una para el consumo y otra para el capital) tal qu:
1
( AKt
Ct
Ct + Kt+1
1
+1
(1
)
)Kt
1
=0
(6.19)
AKt = 0
(6.20)
Ct
1
6.2 Computación del modelo simpli…cado en Excel
111
Por tanto, el modelo quedaría reducido a un sistema de dos
ecuaciones en diferencias del tipo:
(Ct ; Ct
1)
=0
(6.21)
(Kt ; Kt+1 ) = 0
(6.22)
Por tanto, para resolver el modelo podemos buscar los ceros
para las dos ecuaciones anteriores. Otra posibilidad consiste en
transformar las dos ecuaciones en diferencias anteriores de primer
orden, en una nueva ecuación en diferencias de segundo orden. Para
ello sustituimos el C de la ecuación diferencial del capital en la
ecuación diferencial del consumo, obteniendo:
( Kt + (1
)Kt
1
+ AKt
( Kt+1 + (1
1)
( AKt
)Kt + AKt )
1
+1
=0
)
(6.23)
Ahora tenemos una ecuación en diferencias de segundo orden del
tipo:
(Kt
1 ; Kt ; Kt+1 )
=0
(6.24)
Para estudiar el comportamiento de la economía según el modelo
anterior, vamos a partir de un stock de capital inicial, que
denominamos K0 . De este modo podemos estudiar la dinámica del
modelo hacia el estado estacionario. Calcular el estado estacionario
es fácil. Para ello eliminamos los subíndices de tiempo de nuestra
ecuación y nos queda:
( AK
1
+1
)
1=0
(6.25)
Despejando obtenemos que:
K=
1 1
(
A
1
1
1+
(6.26)
En el caso en que pre…ramos trabajar con el sistema de dos
ecuaciones sería como sigue. Eliminando los subíndices de tiempo
de la senda óptima de consumo obtenemos que:
112
6. El modelo básico de equilibrio general
1 = (R + 1
)
(6.27)
Despejando el tipo de interés real de equilibrio resulta:
R=
1
1
1+ =
+
(6.28)
Por otra parte de la condición de primer orden de la empresa
respecto al stock de capital tenemos que:
AK
1
=R=
1
+
(6.29)
Despejando el stock de capital de estado estacionario resulta:
K=
1
1
+
A
1
(6.30)
Por otra parte, una vez obtenido el valor del stock de capital en
estado estacionario, podemos obtener el valor de estado estacionario
del resto de variables del modelo. En este caso serían:
1
Y = AK = A
I= K=
C=Y
1
I = AK = A
+
A
1
(6.31)
1
+
A
1
1
(6.32)
+
A
1
(6.33)
Una vez resuelto el modelo de forma analítica, a continuación
vamos a resolverlo computancionalmente en Excel. La …gura 6.1
muestra la hoja de Excel donde hemos resuelto este problema. Como
podemos observar necesitamos en primer lugar de…nir el valor de
los parámetros del modelo. Estos son el factor de descuento, la
tasa de depreciación del capital y el stock de capital inicial. En
este caso concreto hemos supuesto que el factor de descuento, ,
es igual a 0,97, que el parámetro tecnológico
es 0,35, que la
ratio de depreciación física del capital es de 0,06 y que la constante
tecnológica A es igual a 10. Con estos datos podemos calcular el valor
del stock de capital en estado estacionario. Para ello sustituimos los
valores anterioes en la expresión (6.30) obteniendo como resultado
6.2 Computación del modelo simpli…cado en Excel
113
Figura 6.1. El modelo de equilibrio general sin ocio
que el stock de capital de estado estacionario es 274,81, que es
precisamente el valor que aparece en la celda "B9".
Las variables del modelo vienen de…nidas en las columnas F,G,H,I,
y J. La columna F corresponde al consumo, que es la variable que
hemos decalcular. La columna G es el ahorro, que simplemente es la
diferencia entre lo que se produce y lo que se consume. la columna
H es la producción, que depende del stock de capital. La columna I
es el stock de capital. En la celda "I3", aparece el stock de capital
inicial. En nuestro ejemplo hemos supuesto que es el 80% del stock
de capital de estado estacionario. Por su parte, en la celda "I4"
aparece la expresión:
=(1-Delta)*I3+G3
114
6. El modelo básico de equilibrio general
donde el stock de capital en cada periodo de tiempo es el stock
de capital del periodo anterior, descontado la depreciación, más el
nuevo capital que se incorpora, que viene determinado por el ahorro.
Por último, la columna I presenta el valor de la utilidad en términos
descontados.
Las …guras 6.2-6.5 muestran los resultados obtenidos en términos
de la dinámica que van a seguir las distintas variables hasta alcanzar
el estado estacionario. Tal y como podemos observar, el nivel de
consumo va aumentando progresivamente, hasta alcanzar su valor
de estado estacionario. Por el contrario el ahorro tiene una senda
decreciente. Así, inicialmente el ahorro es elevado, dado que estamos
muy alejados del estado estacionario. A medida que aumenta el stock
de capital, el ahorro se va haciendo menor, hasta alcanzar su valor
de estado estacionario que viene dado por el valor K. Dado que
= 0; 06 y que K = 274; 81, el valor de estado estacionario para
el ahorro sería 16,49. Sin embargo en la …gura correspondiente no
observamos dicho valor, debido a que la herramienta "Solver" no está
encontrando la verdadera solución al modelo sino una aproximación
a la misma. De hecho podemos observar que el ahorro aumenta
ligeramente al …nal del periodo, cuando en la realidad tiene una
senda decreciente continua hacia su valor de estado estacionario.
Por su parte, la …gura 6.4 muestra la senda del stock de capital.
Tal y como podemos observar, el stock de capital va aumentando
gradualmente en el tiemp hasta alcanzar su valor de estado
estacionario. Sin embargo, dicho ajuste no se produce de forma
instantánea, debido a que los consumidores están maximizando su
nivel de felicidad a través de la elección de una senda óptima de
consumo. Es decir, no sería óptimo ahorrar mucho en el primer
periodo tal que el stock de capital se fuese directamente a su valor
de estado estacionario, aunque esto implicase un mayor nivel de
consumo desde dicho momento.
Finalmente, la …gura 6.5 muestra la senda del nivel de producción
de la economía que es similar a la del stock de capital. Así, conforme
aumenta el stock de capital también aumenta el nivel de producción
hasta alcanzar su valor de estado estacionario.
Utilizando el ejercicio anterior podemos realizar diferentes análisis.
Así, podemos alterar los valores de los parámetros para estudiar
su in‡uencia sobre la velocidad de ajuste de la economía hacia el
estado estacionario. Por otra parte, también podemos cambiar la
6.2 Computación del modelo simpli…cado en Excel
Consumo
56.00
54.00
52.00
50.00
48.00
46.00
44.00
0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 39 42 45 48
Tiempo
Figura 6.2. Senda del consumo
Ahorro
18.00
17.50
17.00
16.50
16.00
15.50
0
4
8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48
Tiempo
Figura 6.3. Senda del ahorro
115
116
6. El modelo básico de equilibrio general
Stock de capital
280.00
270.00
260.00
250.00
240.00
230.00
220.00
210.00
200.00
0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 39 42 45 48
Tiempo
Figura 6.4. Senda del stock de capital
Producción
72.00
70.00
68.00
66.00
64.00
62.00
0
4
8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48
Tiempo
Figura 6.5. Senda de la producción
6.3 Computación del modelo en MatLab
117
condición inicial para el stock de capital y estudiar como se comporta
la economía en función de la diferencia entre el stock de capital y
inicial y su valor de estado estacionario.
6.3 Computación del modelo en MatLab
A continuación vamos a resolver el modelo básico de equilibrio
general en MatLab. Vamos a resolver exactamente la versión
anterior con el objeto de realizar comparaciones. De hecho vamos a
comprobar que la solución obtenida es ligeramente diferente, debido
a que Excel no ha sido capaz de encontrar la verdadera solución, sino
una aproximación a la misma.
Antes de proceder a describir los programas que vamos a utilizar
en MatLab, vamos a continuación a describir los fundamentos básicos
del algoritmo de Newton-Raphson.
6.3.1 El algoritmo de Newton-Raphson
Vamos a aplicar ahora el método de Newton-Raphson usando para
ello la función de MatLab "fsolve". Para ello construimos un vector
(nuestra semilla) de dimensión T + 1, que contenga los valores:
K 0 = K0 ; K; K; :::; K
(6.34)
Partiendo de la semilla anterior resolvemos el siguiente sistema:
(K0 ; K1 ; K2 ) = 0
(K1 ; K2 ; K3 ) = 0
(K2 ; K3 ; K4 ) = 0
:
(KT
1 ; KT ; KT +1 )
= 0
(6.35)
Tanto K0 como KT +1 son conocidos. De hecho el último valor
del stock de capital suponemos que es igual al estado estacionario.
(KT +1 = K). Es decir, seleccionamos un periodo temporal tal que
estemos seguros que la economía alcanza su estado estacionario.
Para encontrar los ceros de un sistema de ecuaciones no lineales
existe una gran variedad de métodos. Uno de los más usados en
118
6. El modelo básico de equilibrio general
la práctica es el algoritmo de Newton-Raphson. El objetivo que se
persigue es encontrar una solución, x, tal que F (x) sea igual a cero.
Para ello partimos de desarrollar la serie de Taylor de la función para
un determinado valor inicial xn :
F (x) = F (xn )+F 0 (xn )(x xn )+
F 00 (xn )
F 000 (xn )
(x xn )2 +
(x xn )3 +:::
2!
3!
El procedimiento es iterativo y consiste en ir calculando la anterior
expresión para las distintas aproximaciones resultadntes. Esta
expresión la evaluaríamos para diferentes valores tal que:
F (xn+1 ) = F (xn ) + F 0 (xn )(xn+1
xn ) +
F 00 (xn )
(xn+1
2!
xn )2 + :::
La solución vendría dada por el valor que hace que la expansión
de Taylor sea igual a cero:
F (xn ) + F 0 (xn )(xn+1
xn ) +
F 00 (xn+1 )
(xn+1
2!
xn )2 + ::: = 0
Si truncamos la expansión de Taylor a partir de términos de grado
2, obtenemos que:
F (xn ) + F 0 (xn )(xn+1
xn ) ' 0
La aproximación anterior es más exacta cuanto más cerca estemos
de la solución. Despejando la solución obtenida resulta:
xn+1 = xn
F (xn )
F 0 (xn )
que es a lo que se denomina la fórmula de Newton-Rapshon. El
algoritmo sería el siguiente. Comenzamos por un valor incicial de
x0 . La solución que obtendríamos de aplicar el algoritmo de NewtonRapshon sería.
x1 = x0
F (x0 )
F 0 (x0 )
Si F (x1 ) es diferente de cero entonces procedemos a una segunda
iteración calculando:
6.3 Computación del modelo en MatLab
x2 = x1
119
F (x1 )
F 0 (x1 )
De nuevo, si F (x2 ) es diferente de cero entonces procedemos a una
tercera iteración calculando:
x3 = x2
F (x2 )
F 0 (x2 )
y así, hasta que encontremos una solución tal que el valor de la
función sea cero.
Otro elemento que hemos de …jar es lo que se denomina el criterio
de tolerancia. Este criterio determina en cuanto se puede desviar la
solución del cero absoluto. En cada iteración podemos calcular una
aproximación al error relativo absoluto, que lo de…nimos como:
j"a j =
xn+1 xn
xn
100
Si j"a j es mayor que un valor …jado a priori, " (la tolerancia),
entonces el algoritmo procede a realizar una nueva iteración. En
el caso en el que el error relativo absoluto sea inferior al criterio de
tolerancia, el algoritmo …naliza, dando la última iteración la solución
al mismo.
En el caso en que la ecuación que queramos resolver sea lineal,
el algoritmo de Newton-Raphson encuentra la solución de forma
directa, ya que el error que comete es cero. Supongamos que
queremos encontrar el cero para la siguiente función lineal:
F (x) = x
2
Oviamente la solución a la anterior función es x = 2. Imaginemos
que no lo sabemos y creemos que su valor debe ser 5, (x0 = 5).
Si aplicamos el algoritmo de Newton-Raphson entonces tendríamos
que:
x1 = 5
3=2
Evaluando la función para dicha solución resulta:
F (x0 ) = x0
2=2
2=0
120
6. El modelo básico de equilibrio general
Vamos a ver un sencillo ejemplo de como el algoritmo de NewtonRaphson puede ser usado para resolver la raiz cuadrada de un número
p
y. Dado que x = y, también podemos escribirlo como x2 = y. Esto
signi…ca que podemos resolver y encontrar los ceros para la siguiente
función:
F (x) = x2
y
Aplicando el algoritmo de Newton-Raphson otenemos que:
xi+1 = xi
x2i y
2x2 x2i + y
1
= i
=
2xi
2xi
2
xi +
y
xi
En términos generales, podemos aplicar el anterior algoritmo a
un sistema de ecuaciones no lineales. En este caso tendríamos n
ecuaciones con n incógnitas. El problema consistiría en encontrar un
vector x
^ = (^
x1 ; :::; x
^n ) de Rn tal que su imagen por F : Rn ! Rn
sea F (^
x) = 0: En este caso la aproximación de la función a través de
la primera expensión de Taylor a la función F vendría dada por:
F (x)
F (x) + J(x)(x
x)
(6.36)
donde J(x) es la matriz jacobiana de F evaluada en x:
2
3
F11 (x) F12 (x) ::: F1n (x)
6 F21 (x) F22 (x) ::: F2n (x) 7
7
J(x) = 6
4 :::
5
:::
:::
:::
Fn1 (x) Fn1 (x) ::: Fnn (x)
(6.37)
: Haciando uso del Teorema de Taylor,
donde Fij (x) = @F@xi (x)
j
conforme x se acerca al valor x, los términos de orden mayor tienden
a cero. Dado que estamos buscanco un cero de la ecuación F (x), la
expresión (6.36) podemos evaluarla en x
^ y escribirla como:
x
^
x
F (x)
J(x)
(6.38)
El algoritmo de Newton-Raphson funciona de la siguiente forma:
1. A partir de un valor inicial, x0 , evaluamos la función F (x0 ) y
J 1 (x0 ), para calcular:
6.3 Computación del modelo en MatLab
x1 = x0
F (x0 )
J(x0 )
121
(6.39)
2. Dado el nivel de tolerancia …jado, ", calculamos la distancia
entre x0 y x1 : Si la distancia es inferior a ", entonces nos
quedamos con x0 como la solución. En caso contrario, volvemos
a repetir el paso 1 pero con el valor x1 , evaluando F (x1 ) y
J(x1 ), para calcular:
x2 = x1
F (x0 )
J(x0 )
(6.40)
3. Retir el paso 2. Si la distancia es inferior al nivel de tolerancia
repetir el paso 1, con el valor x2 , evaluando F (x2 ) y J(x2 ),
para calcular:
x3 = x2
F (x0 )
J(x0 )
(6.41)
El algoritmo de Newton-Raphson tiene algunos problemas:
1. Si la semilla no es buena puede que no exista convergencia o que
obtengamos otra solución, en el caso en que existan soluciones
múltiples.
2. Necesidad de disponer de expresiones analíticas de todas las
derivadas parciales de F .
El modelo en MatLab
A continuación vamos a resolver la misma versión del modelo
resulta en Excel pero utilizando MatLab. De nuevo tenemos dos
opciones: o bien trabajar con un sistema de dos ecuaciones en
diferencias de primer grado o bien con una única ecuación en
diferencias de segundo grado. Vamos a describir los programas de
MATLAB que vamos a utilizar. Estos programas se denominan
model1.m, model1cpo.m, model2.m y model2cpo.m. El
programa model1.m resuelve el modelo utilizando el sistema de
dos ecuaciones en diferencias de primer grado, una para el consumo
y otra para el capital. El programa model2.m resuelve el modelo
122
6. El modelo básico de equilibrio general
utilizando una única ecuación en diferencias de segundo grado para
el stock de capital. La estructura de estos programas es la siguiente.
Programa model1.m
% Modelo basico de equilibrio general sin empleo
% Función de utilidad logarítmica: U=ln(C)
clear all
% Definición de parámetros
A = 10.0;
alpha = 0.35;
delta = 0.06;
beta = 0.97;
% Tiempo
T = 100;
% Semilla: valor inicial K0 y valor final KSS
KSS = ((1-beta+delta*beta)/(A*alpha*beta))^(1/(alpha-1));
K0 = 0.8*KSS;
param =[A alpha delta beta K0 KSS T];
save param param;
x0 = [K0 KSS*ones(size(1:T-1)) 0.25*K0*ones(size(1:T))]’;
sol = fsolve(’model1cpo’,x0);
% Solución
for i=1:T;
K(i) = sol(i);
C(i) = sol(i+T);
end
K = [K0;K’];
Y = A*K.^alpha;
I = K(2:T+1)-(1-delta)*K(1:T);
% Gráficos
subplot(2,2,1)
plot(C)
title(’Consumo’)
subplot(2,2,2)
plot(I)
title(’Ahorro’)
subplot(2,2,3)
plot(K(1:T))
title(’Capital’)
subplot(2,2,4)
6.3 Computación del modelo en MatLab
123
plot(Y(1:T))
title(’Producción’)
Programa model1cpo.m
% Modelo basico de equilibrio general sin empleo
% Condiciones de primer orden
function f=model1cpo(z,param)
% Carga de parámetros
load param
A = param(1);
alpha = param(2);
delta = param(3);
beta = param(4);
K0 = param(5);
KSS = param(6);
T = param(7);
% Asignación de variables
for i=1:T
K(i) = z(i);
C(i) = z(i+T);
end
C(T+1) = C(T);
% Ecuación a resolver
f(1) = C(2)-beta*(alpha*A*K(1)^(alpha-1)+(1-delta))*C(1);
f(2) = C(1)+K(1)-(1-delta)*K0-A*K0^alpha;
for i=2:T
f(2*i-1) = C(i+1)-beta*(alpha*A*K(i)^(alpha-1)+(1-delta))*C(i);
f(2*i) = C(i)+K(i)-(1-delta)*K(i-1)-A*K(i-1)^alpha;
end
f=f’;
Programa model2.m
% Modelo basico de equilibrio general sin empleo
% Función de utilidad logarítmica: U=ln(C)
clear all
% Definición de parámetros
A = 10.0;
alpha = 0.35;
delta = 0.06;
beta = 0.97;
124
6. El modelo básico de equilibrio general
% Tiempo
T = 100;
% Semilla. Valor incial K0 y valor final KSS
KSS = ((1-beta+delta*beta)/(A*alpha*beta))^(1/(alpha-1));
K0 = 0.8*KSS;
param =[A alpha delta beta K0 KSS T];
save param param;
x0 = [K0 KSS*ones(size(1:T-1))]’;
sol = fsolve(’model2cpo’,x0);
% Solución
K = [K0;sol;KSS];
Y = A*K.^alpha;
I = K(2:T+1)-(1-delta)*K(1:T);
C = Y(1:T)-I;
% Gráficos
subplot(2,2,1)
plot(C)
title(’Consumo’)
subplot(2,2,2)
plot(I)
title(’Ahorro’)
subplot(2,2,3)
plot(K(1:T))
title(’Capital’)
subplot(2,2,4)
plot(Y(1:T))
title(’Producción’)
Programa model2cpo.m
% Modelo basico de equilibrio general sin empleo
% Condiciones de primer orden
function f=model2cpo(z,param)
% Carga de parámetros
load param
A = param(1);
alpha = param(2);
delta = param(3);
beta = param(4);
K0 = param(5);
KSS = param(6);
6.4 Computación del modelo de equilibrio general dinámico básico en MatLab
125
T = param(7);
% Asignación de variables
for i=1:T
K(i) = z(i);
end
K(T+1) = KSS;
% Ecuación a resolver
f(1)=beta*(alpha*A*K(1)^(alpha-1)+(1-delta))*
((1-delta)*K0+A*K0^alpha-K(1))-(A*K(1)^alpha+(1-delta)*K(1)-K(2));
for i=2:T
f(i)=beta*(alpha*A*K(i)^(alpha-1)+(1-delta))*
((1-delta)*K(i-1)+A*K(i-1)^alpha-K(i))-(A*K(i)^alpha+(1-delta)*K(i)-K(i+1));
end
f=f’;
La …gura 6.6 muestra la dinámica de las cuatro principales
variables del modelo.
Como podemos observar, el stock de
capital aumenta hasta alcanzar su valor de estado estacionario,
aproximadamente a partir del periodo 50, aunque el modelo lo
hemos resuelto para 100 periodos. Una senda similar muestran
la producción, al tiempo que también aumenta el consumo hasta
alcanzar su valor de estado estacionario.
Por su parte el
ahorro disminuye continuamente hasta alcanzar su valor de estado
estacionario. Como podemos comprobar, en términos generales, la
solución es similar a la obtenida resolviendo este mismo modelo en
Excel. No obstante, apreciamos algunas importantes diferencias,
principalmente en relación a las sendas del ahorro y del consumo.
6.4 Computación del modelo de equilibrio general
dinámico básico en MatLab
A continuación vamos a resolver el modelo de equilibrio general
dinámico básico, pero introduciendo el ocio y, por tanto, la decisión
en términos de la oferta de trabajo. En primer lugar vamos a
considerar la existencia de un entorno competitivo o descentralizado,
donde cada agente toma sus propias decisiones para maximizar sus
respectivas funciones objetivo. El problema descentralizado vendría
dado por la maximización del siguiente problema:
126
6. El modelo básico de equilibrio general
Consumo
Ahorro
56
18
54
17.5
52
17
50
16.5
48
0
50
100
16
0
Capital
50
100
Producción
280
72
260
70
240
68
220
200
0
50
100
66
0
50
100
Figura 6.6. Dinámica del modelo hacia el estado estacionario
max L =
(Ct ;It ;Ot )
1
X
t
[ log Ct + (1
) log(1
Lt )] ;
(6.42)
t=0
sujeto a la restricción presupuestaria:
Ct + It = Wt Lt + Rt Kt ;
(6.43)
donde la inversión viene de…nida por:
It = Kt+1
(1
)Kt
En este caso los consumidores eligen, dado el precio de los factores
productivos, cuanto van a consumir (y al mismo tiempo cuanto van
a ahorrar que va a determinar el proceso de acumulación del capital)
así como cuanto tiempo van a dedicar a trabajar. Es decir, existe
un vector de precios que van a constituir la información fundamental
que van a utilizar los individuos para tomar sus decisiones.
Para resolver dicho problema construimos el Lagrangiano:
6.4 Computación del modelo de equilibrio general dinámico básico en MatLab
max
(Ct ;Kt ;Ot )
L=
1
X
[ log Ct + (1
) log(1 Lt )]
Wt Lt (Rt + 1
)Kt ]
t [Ct + Kt+1
t
t=0
(6.44)
Condiciones de primer orden:
1
@L
=
@Ct
Ct
@L
=
@Lt
@L
=
@Kt
t
1
1
t (Rt
@L
= Ct + Kt+1
@ t
Lt
+1
Kt
=0
t
+
t Wt
=0
t 1
)
(Rt
(6.45)
)Kt
t 1
(6.46)
=0
Wt Lt = 0
(6.47)
(6.48)
Sustituyendo la condición de primer orden (6.45) en la condición
de primer orden (6.46), obtenemos la condición que iguala el ratio de
sustitución marginal entre consumo y ocio al coste de oportunidad
de una unidad adicional de ocio:
1
1
Ct
= Wt
Lt
(6.49)
Sustituyendo la condición de primer orden (6.45) en la condición
de primer orden (6.47), obtenemos la condición que iguala el ratio
margional del consumo con el de la inversión:
Ct
=
Ct 1
[Rt + 1
]
(6.50)
Por otra parte, del problema de maximización de la empresa
sabemos que R y W son iguales a sus productos marginales:
Rt = A t Kt
Wt = (1
Sustituyendo obtenemos:
1 1
Lt
)At Kt Lt
(6.51)
(6.52)
127
128
6. El modelo básico de equilibrio general
1
1
Ct
= (1
Lt
Ct
=
Ct 1
A t Kt
)At Kt Lt
1 1
Lt
(6.53)
+1
(6.54)
Por otra parte, sustituyendo el precio relativo de los factores
productivos en la restricción presupuestaria del individuo obtenemos:
@L
= Ct + Kt+1
@ t
Ct + Kt+1
Ct + Kt+1
Kt
Kt
Kt
(Rt
1 1
Lt
( At Kt
At Kt L1t
Ct + Kt+1
)Kt
+ Kt
(1
)Kt
)Kt
Wt Lt = 0
(1
At Kt Lt1
(6.55)
)At Kt Lt Lt = 0
(6.56)
+ At Kt L1t
At Kt Lt1
=0
=0
(6.57)
(6.58)
El equilibrio competitivo consiste en encontrar secuencias de
las variables fCt ; It ; Kt ; Lt ; Rt ; Wt ; Yt g1
t=0 tal que los consumidores
maximicen su nivel de felicidad, las empresas maximicen bene…cios
y es cumpla la restricción de factibilidad de la economía. El modelo
está compuesto por las siguientes siete ecuaciones:
(1
)
1
Ct+1
=
Ct
Rt =
Wt =
(1
Ct
= Wt
Lt
[(Rt+1
(6.59)
) + 1]
(6.60)
Yt
Kt
(6.61)
At Kt L1t
Kt
=
)At Kt L1t
Lt
= (1
Yt = At Kt Lt1
)
Yt
Lt
(6.62)
(6.63)
6.4 Computación del modelo de equilibrio general dinámico básico en MatLab
Kt+1 = (1
)Kt + It
(6.64)
Ct + It = Yt
(6.65)
6.4.1 Cálculo del estado estacionario
A continuación vamos a presentar un sencillo programa de MatLab
para calcular el valor de estado estacionario de las variables del
modelo. El programa se llama EE1.m, que a su vez hace una
llamada a EE.m. Dados unos valores para los parámetros, el
programa calcula el valor de estado estacionario de las variables del
modelo, donde la dotación total de tiempo se ha normalizado a la
unidad. Para ello calculamos en primer lugar los valores de estado
estacionario par el empleo y para el stock de capital, cuyas semillas
son 0,3 y 5, respectivamente. Una vez obtenidos los valores de estado
estacionario del stock de capital y del empleo podemos calcular el
valor de estado estacionario del resto de variables.
Tabla 6.1: Valor de los parámetros
Variable De…nición
Elasticidad producción-capital
Factor de descuento
Ponderación consumo
Tasa de depreciación
A
Productividad Total de los Factores
Valor
0,35
0,96
0,40
0,06
1,00
Como podemos comprobar en la tabla 6.2, dado el valor
seleccionado para los parámetros del modelo, el equilibrio de la
economía se alcanzaría para un nivel de empleo equivalente al 35%
de las horas disponibles, muy similar al que tiene una economía como
la española. Por otra parte, el tipo de interés real (la rentabilidad
del capital) sería de un 10%. Respecto a las ratios fundamentales
que describen la economía, tenemos que la ratio capital/producción
es de 3,44, es decir, existen 3,4 unidades de capital por cada unidad
de producción. La ratio de consumo/producción es del 80% mientras
que la tasa de ahorro es del 20%.
129
130
6. El modelo básico de equilibrio general
Tabla 6.2: Valor de las variables en
Variable De…nición
Y
Producción
C
Consumo
I
Inversión
K
Capital
L
Trabajo
W
Salario
R
Tipo de interés
estado estacionario
Valor
0,6873
0,5453
0,1420
2,3661
0,3532
1,2648
0,1017
Programa EE1.m
% Calibracion Modelo Equilibrio General
% Estado Estacionario
clear all
% Parámetros y valores iniciales
alpha = 0.35;
delta = 0.06;
beta = 0.96;
gamma = 0.4;
L = 0.3;
K = 5;
A = 1;
% Semilla
x0 = [L;K];
param = [delta beta alpha gamma A];
save param param
% Solución
sol = fsolve(’EE’, x0);
L = sol(1);
K = sol(2);
R = (1/beta)-1+delta;
Y = R*K/alpha;
W = ((1-alpha)/alpha)*R*K/L;
C = (gamma/(1-gamma))*W*(1-L);
I = Y-C;
Programa EE.m
function f = EE(z,param)
% Asignacion de variables
6.4 Computación del modelo de equilibrio general dinámico básico en MatLab
L = z(1);
K = z(2);
% Asignacion de parametros
load param
delta = param(1);
beta = param(2);
alpha = param(3);
gamma = param(4);
A = param(5);
% Ecuaciones
R = 1/beta-1+delta;
Y = R*K/alpha;
C = Y-delta*K;
W = ((1-alpha)/alpha)*(R*K/L);
f(1) = Y-A*K^alpha*L^(1-alpha);
f(2) = C-(gamma/(1-gamma))*W*(1-L);
f=f’;
Los programas anteriores los podemos usar para estudiar como
cambia el estado estacionario de la economía en función de los
parámetros del modelo.
Otro ejercicio que podemos realizar
usando los programas anteriores es, a partir de los datos de
Contabilidad Nacional de una determinada economía, calcular cuáles
son los parámetros de dicha economía dado el modelo que estamos
utilizando.
6.4.2 Dinámica del modelo
Finalmente, vamos a estudiar la dinámica del modelo, incluyendo el
empleo, cuando partimos de un nivel de stock de capital inferior al
correspondiente al estado estacionario. Vamos a seguir suponiendo
que el stock de capital inicial es un 80% del stock de capital en el
estado estacionario. En este caso vamos a poder observar también
la dinámica del empleo, así como del salario.
Los programas de MatLab se denominan model3.m y
model3cpo.m, y se describen a continuación.
Programa model3.m
% Modelo basico de equilibrio general sin empleo
% Función de utilidad logarítmica: U=ln(C)
clear all
131
132
6. El modelo básico de equilibrio general
% Definición de parámetros
A = 1.00;
alpha = 0.35;
delta = 0.06;
beta = 0.96;
gamma = 0.40;
% Tiempo
T = 100;
% Cálculo de los valores de estado estacionario
EE1
% Semilla: valor inicial K0 y valor final KSS
KSS = K;
K0 = 0.8*KSS;
% Definición de parámetros
A = 1.00;
alpha = 0.35;
delta = 0.06;
beta = 0.96;
gamma = 0.40;
% Tiempo
T = 100;
param =[A alpha delta beta gamma K0 T];
save param param;
x0 = [K0 KSS*ones(size(1:T-1)) 0.25*K0*ones(size(1:T)) 0.3*ones(size(1:T))]’;
sol = fsolve(’model3cpo’,x0);
% Solución
for i=1:T;
K(i) = sol(i);
C(i) = sol(i+T);
L(i) = sol(i+2*T);
end
K = [K0;K’];
L = L’;
Y = A*K(1:T).^alpha.*L.^(1-alpha);
I = K(2:T+1)-(1-delta)*K(1:T);
W = (1-alpha)*A*K(1:T).^alpha.*L.^(-alpha);
% Gráficos
subplot(3,2,1)
plot(C)
6.4 Computación del modelo de equilibrio general dinámico básico en MatLab
133
title(’Consumo’)
subplot(3,2,2)
plot(I)
title(’Ahorro’)
subplot(3,2,3)
plot(K(1:T))
title(’Capital’)
subplot(3,2,4)
plot(Y)
title(’Producción’)
subplot(3,2,5)
plot(L)
title(’Empleo’)
subplot(3,2,6)
plot(W)
title(’Salario’)
Programa model3cpo.m
% Modelo basico de equilibrio general
% Condiciones de primer orden
function f=model3cpo(z,param)
% Carga de parámetros
load param
A = param(1);
alpha = param(2);
delta = param(3);
beta = param(4);
gamma = param(5);
K0 = param(6);
T = param(7);
% Asignación de variables
for i=1:T
K(i) = z(i);
C(i) = z(i+T);
L(i) = z(i+2*T);
end
C(T+1) = C(T);
% Ecuación a resolver
f(1) = C(2)-beta*(alpha*A*K(1)^(alpha-1)*L(1)^(1-alpha)+(1-delta))*C(1);
f(2) = C(1)+K(1)-(1-delta)*K0-A*K0^alpha*L(1)^(1-alpha);
134
6. El modelo básico de equilibrio general
f(3) = (((1-gamma)/gamma)*C(1)/(1-L(1)))-(1-alpha)*A*K(1)^alpha*L(1)^(-alpha);
for i=2:T
f(3*i-2) = C(i+1)-beta*(alpha*A*K(i)^(alpha-1)*L(i)^(1-alpha)+(1-delta))*C(i);
f(3*i-1) = C(i)+K(i)-(1-delta)*K(i-1)-A*K(i-1)^alpha*L(i)^(1-alpha);
f(3*i) = (((1-gamma)/gamma)*C(i)/(1-L(i)))-(1-alpha)*A*K(i)^alpha*L(i)^(-alpha);
end
f=f’;
La …gura 6.7 muestra la dinámica de las variables. Tal y como
podmeos observar, el comportamiento del capital, consumo, ahorro
y producción son muy similares a las obtenidas anteriormente. De
forma adicional también podemos observar la dinámica del empleo y
del salario. Así, inicialmente el nivel de empleo es muy elevado,
debido fundamentalmente a la existencia de poco capital. Esto
es así porque para generar un determinado nivel de producción,
que sea óptimo respecto a los deseos de los individuos, hace falta
trabajar muchas horas dada la relativa escasez de capital. Sin
embargo, a medida que aumenta el capital en la economía vemos
que el nivel de empleo va dismininuyendo, hasta alcanzar su valor
de estado estacionario. Finalmente, también podemos calcular la
senda temporal de los salarios, que vemos que aumentan, dada la
disminución que experimenta el nivel de empleo y dado el aumento
en el stock de capital.
6.4 Computación del modelo de equilibrio general dinámico básico en MatLab
Consumo
Ahorro
0.6
0.2
0.55
0.18
0.5
0.16
0.45
0
50
100
0
Capital
2.5
0.75
2
0.7
1.5
0
50
100
0.65
0
Empleo
1.3
0.36
1.2
0
50
100
50
100
Salario
0.38
0.34
50
Producción
100
1.1
0
50
100
Figura 6.7. Dinámica del modelo de equilibrio general
135
Parte III
Crecimiento económico
136
7
Introducción al crecimiento
económico
7.1 Introducción
En este tema vamos a resolver numéricamente el modelo de
crecimiento económico con ahorro exógeno. Se trata de un modelo
muy simple, con una sóla variable endógena, el stock de capital
per cápita, que se determina a través de un proceso de ahorro
predeterminado, sin que exista ningún criterio optimizador. Por
tanto, se trata de un problema que computacionalmente es sencillo
y lo podemos resolver usando una hoja de cálculo.
En concreto vamos a utilizar la ecuación exacta de acumulación
de capital en tiempo discreto, si bien los resultados serían los
mismos que utilizando la ecuación de acumulación de capital en
tiempo continuo. A través de este ejercicio podemos analizar el
comportamiento dinámico de la economía ante una gran variedad
de perturbaciones. En concreto, vamos a estudiar los efectos
de un aumento de la tasa de ahorro. En primer lugar, vamos
a resolver el modelo en tiempo discreto, para comprobar que la
ecuación resultante para la dinámica del capital, que será una
ecuación en diferencias, di…ere ligeramente respecto a la ecuación
que hemos utilizado en tiempo continuo. No obstante, en términos
138
7. Introducción al crecimiento económico
computacionales los resultados que obtendríamos serían exactamente
los mismos.
7.2 Modelo con ahorro exógeno en tiempo discreto
En primer lugar, vamos a resolver analíticamente el modelo que
posteriormente vamos a calcular numéricamente. Partimos de de…nir
la función de producción agregada de la economía que vamos a
utilizar, siendo:
Yt = AKt Lt1
(7.1)
Para tener en cuenta el crecimiento de la población, reescribimos
la función de producción en términos per cápita (o por trabajador).
Para ello lo que hacemos es multiplicar y dividir la función de
producción por el número de trabajadores:
Yt = AKt L1t
Lt
Lt
(7.2)
Operando obtenemos que:
Yt
AKt L1t
=
Lt
Lt
AKt L1t Lt
Lt
Kt
=A
Lt
Kt
Lt
(7.3)
Vamos a de…nir las variables en términos per cápita con una letra
minúscula, tal que el nivel de producción per cápita de la economía
viene dado por
=
= AKt Lt
yt =
Yt
Lt
=A
(7.4)
Por su parte, el stock de capital per cápita (por trabajador)
vendría dado por:
kt =
Kt
Lt
(7.5)
Sustituyendo estas de…niciones en la expresión anterior, obtenemos
la siguiente función de producción en términos per cápita:
yt = Akt
(7.6)
7.2 Modelo con ahorro exógeno en tiempo discreto
139
A esta función de producción se le denomina función de producción
intensiva, ya que el nivel de producción per cápita únicamente viene
dado en función de un único factor productivo, el stock de capital
per cápita.
Cuando hablamos de crecimiento económico lo que nos interesa
fundamentalmente no es el nivel de producción per cápita, sino como
este varía a lo largo del tiempo. Es decir, nos interesa la tasa de
variación del nivel de producción, que es a lo que realmente llamamos
crecimiento económico. De la expresión anterior se deduce que la tasa
de variación del nivel de producción per cápita va a depender de como
varíe el stock de capital per cápita. A su vez el stock de capital per
cápita depende de como varíe el stock de capital agragado, así como
de la variación en la cantidad de trabajo, o equivamentemente, de la
población.
Consideramos el hecho de que la población no es constante, sino
que aumenta con el tiempo:
Lt = L0 (1 + n)t
(7.7)
donde n es la tasa de crecimiento de la población. Así, la población
en un determinado momento del tiempo viene dada por:
Ct + It = Yt
Kt+1 = (1
)Kt + It
Sustituyendo la inversión obtenemos que:
Ct + Kt+1
(1
)Kt = Yt
Multiplicando y dividiendo por la población resulta:
Ct + Kt+1
(1
)Kt
Yt
=
Lt
Lt
Transformando la expresión anterior resulta:
Ct Kt+1 Lt+1
+
Lt
Lt Lt+1
(1
)Kt
Lt
=
Yt
Lt
o equivalentemente:
ct + kt+1 (1 + n)
(1
)kt = yt
140
7. Introducción al crecimiento económico
Depejando el stock de capital per cápita para t + 1 resulta:
kt+1 =
(1
)kt + yt
(1 + n)
ct
Sustituyendo la de…nición de consumo:
kt+1 =
(1
)kt + syt
(1 + n)
Si calculamos la diferencia entre el stock de capital en ambos
periodos resulta:
kt+1
kt
syt
=
(1 + n)
(1 + n)
kt
(1 + n)
y operando resulta que:
kt+1
kt = syt
kt
nkt+1
o equivalentemente:
syt + (1
)kt
(7.8)
1+n
Esto signi…ca que ahora vamos a poder calcular el stock de
capital del siguiente periodo directamente, sin necesidad de calcular
previamente su tasa de variación. En cualquier caso el resultado que
vamos a obtener es exactamente el mismo.
Tal y como podemos apreciar, la ecuación (7.8) es ligeramente
diferente a la correspondiente a tiempo continuo, que viene dada
por:
kt+1 =
k_ t = syt
( + n)kt
(7.9)
Despejando, obtenemos que la condición de equilibrio viene dada
por:
sy t = ( + n)k t
(7.10)
donde syt es el ahorro o inversión bruta por trabajador y donde
( + n) es la tasa de depreciación efectiva del stock de capital por
unidad de capital por trabajador. Es decir, el stock de capital per
cápita será constante cuando el volumen de ahorro por unidad de
capital pér cápita sea igual a las pérdidas de capital per cápita por
depreciación efectiva.
7.3 Resolución en Excel
141
Ejemplo: Si suponemos la función de producción es del tipo CobbDouglas, resulta que el estado estacionario vendría dado por:
sAk t = ( + n)k t
(7.11)
Despejando el stock de capital per cápita obtenemos que:
+n
As
siendo el stock de capital per cápita de estado estacionario:
kt
1
=
+n
As
kt =
ct = (1
(7.12)
1
1
(7.13)
s)yt
(7.14)
Si lo hacemos en tiempo discreto, bastaría con eliminar los
subíndices de tiempo de la ecuación en diferencias para el capital
tal que:
0 = sAk t
k
nk
Despejando obtenemos que:
n+
As
que es exactamente igual que en el caso de tiempo continuo.
kt
1
=
7.3 Resolución en Excel
A continuación vamos a presentar la hoja de cálculo en la
que resolvemos computacionalmente el modelo anterior, que se
corresponde con el …chero EC71.xls. Como podemos apreciar
necesitamos de…nir, en primer lugar, el valor de los parámetros,
que aparecen en la columna "B". Estos son la productividad
total de los factores, el parámetro tecnológico, la tasa de ahorro,
la tasa de crecimiento de la población y la tasa de depreciación
física del capital. A patir de estos valores podemos calcular el
valor del stock de capital per cápita en estado estacionario. Este
valor aparece en la celda "B10", celda que contiene la expresión
(7.13), y que da como resultado 5,83. Para poder realizar diferentes
142
7. Introducción al crecimiento económico
tipos de análsis en función del valor de los parámetros hemos
introducido una nueva columna, "C" donde podemos cambiar su
valor y automáticamente calcular númericamente sus efectos sobre
las variables de la economía. A los valores de la columna "B"
los hemos denominado como situación incial, con un subíndice 0,
mientras que a los valores de la columna "C" los denominamos
situación …nal, con un subíndice 1.
La columna "F" contiene el índice de tiempo, mientras que en
las columnas "G-K", calculamos el valor de las variables relevantes:
stock de capital per cápita, nivel de producción per cápita, ahorro
per cápita, consumo per cápita y tasa de crecimiento del nivel
de producción per cápita. La delda "G3" es el valor de estado
estacionario inicial, que es el calculado anteriormente. Por su parte,
en la delda "G4" encontramos la siguiente expresión:
=(I3+(1-Delta1)*G3)/(1+n_1)
La expresión anterior se corresponde con la ecuación (7.8).donde el
stock de capital per cápita de un periodo viene de…nido en términos
del stock de capital del periodo anterior, del ahorro del periodo
anterior (columna "I") y de los parámetros tasa de crecimiento de
la población y tasa de depreciación física del capital. De este modo
estamos computando numéricamente exactamente la versión discreta
del modelo. Esta misma expresión aparece en las restantes celdas de
la columna "G". La columna "H" es el nivel de producción per
cápita. Si situamos el cursor en la celda "H3" la expresión que
aparece es:
=A0*G3^Alpha0
que es la expresión correpsondiente a la funciónd de producción
intensiva en capital obtenida anteriormente. En la celda "H4" la
expresión es:
=A_1*G4^Alpha1
7.3 Resolución en Excel
143
Figura 7.1. Hola de cálculo del modelo de crecimiento con ahorro exógeno
para permitir la posibilidad de realizar análisis sobre cambios en
cualquiera e los parámetros del modelo. La columna "I" contiene
el ahorro de la economía, que simplemente se obtiene multiplicando
la tasa de ahorro por el nivel de producción. La columna "J" es
el consumo per cápita, que se obtiene como la diferencia de las dos
columnas anteriores, es decir, la diferencia entre lo que se produce y
lo que se ahorra. Filnalmente la columna "K" contiene la expresión
para la tasa de crecimiento de la producción per cápita.
Como podemos comprobar, inicialmente los valores de las
columnas "B" y "C" son iguales, por lo que todas las variables son
constantes en cada periodo de tiempo, mostrando su valor de estado
estacionario, siendo la tasa de crecimiento de la economía cero.
144
7. Introducción al crecimiento económico
7.3.1 Efectos de un aumento en la tasa de ahorro
A continuación, vamos a utilizar la hoja de cálculo anterior para
analizar los efectos de perturbaciones. En concreto, vamos a estudiar
el caso de un aumento en la tasa de ahorro. Inicialmente la tasa de
ahorro es del 30% de la producción, y vamos a suponer que aumenta
hasta el 40%. Como podemos comprobar, ahora el stock de capital
de estado estacionario es superior al que existía anteriormente. En
efecto ahora obtenemos que el valor del stock de capital per cápita
de estado esacionario es de 8,55 cuando anteriormente era de 5,83.
La …gura 7.2 muestra la dinámica del stock de capital per cápita
ante esta perturbación. Como podemos observar el stock de capital
per cápita va aumentando progresivamente, mostrando una forma
cóncava, hasta alcanzar el nuevo estado estadionario superior al
primero. Por su parte, la …gura 7.3 muestra la dinámica de la
producción per cápita, que simplemente es una función del stock
de capital per cápita.
La …gura 7.4 muestra la dinámica del ahorro per cápita. En
este caso, el aumento de la tasa de ahorro provoca un aumento
instantáneo en el ahorro per cápita, ya que aumenta el ahorro por
unidad de producción. A continuación el ahorro continua creciendo
aunque de forma moderada. Este crecimiento viene derivado del
aumento que se produce en el nivel de producción per cápita. Por
tanto, hay un efecto impacto provocado por el aumento en la tasa de
ahorro y posteriormente hay un efecto adicional derivado del mayor
nivel de producción.
La …gura 7.5 muestra la dinámica del consumo per cápita. En este
caso el efecto impacto es negativo, produciéndose una disminución en
el consumo per cápita. Esto es debido a que el aumento en la tasa de
ahorro provoca que una mayor parte de la producción se ahorre, por
lo que la parte de la producción que se destina al consumo disminuye.
A partir de este momento el consumo comienza a recuperarse, debido
a que se acumula mayor capital como consecuencia del mayor ahorro
y, por tanto, aumenta el nivel de producción, por lo que de nuevo
puede consumirse una mayor cantidad.
Un resultado interesante que obtenemos es que si comparamos
el consumo per cápita …nal resulta que es inferior al consumo per
cápita que existía al inicio. Es decir, el aumento en la tasa de
ahorro de la economía provoca una disminución del consumo per
cápita en estado estacionario. Esto signi…ca que el nivel de bienestar
7.3 Resolución en Excel
145
de la economía disminuye como consecuencia de esta perturbación.
Los que está re‡ejando esta situación es que el nivel de ahorro es
demasiado elevado, respecto al que maximizarí el nivel de consumo
per cápita. En concreto, en este caso estaríamos situados a la derecha
de la regla de oro, donde la tasa de ahorro es excesivamente elevada.
El hecho de que la tasa de ahorro sea ahora del 40% implica que el
stock de capital per cápita de estado estacionario es muy elevado y,
por tanto, también la producción per cápita. Sin embargo, también
hay que destinar una gran cantidad de recursos a mantener dicho
stock de capital, por lo que la parte de la producción que queda para
ser consumida es muy pequeña, e inferior a la que existiría si la tasa
de ahorro fuese inferior.
Por último, la …gura 7.6 muestra la evolución de la tasa de
crecimiento de la economía en términos per cápita. Como podemos
comprobar la tasa de crecimiento de la economía aumentaría de
forma instantánea, como consecuencia del mayor nivel de ahorro, que
provocaría una mayor dotación de capital. Esta tasa de crecimiento
se mantendría en valores positivos durante toda la trayectoria
temporal hacia el estado estacionario, si bien cada vez sería menor.
Es decir, la tasa de crecimiento iría reduciéndose conforme nos
acerquemos al nuevo estado estacionario, hasta ser de nuevo cero
en dicho punto.
A partir de la hoja de cálculo anterior, simplemente variando
los valores de los parámetros podemos realizar una gran cantidad
de ejercicios sobre los efectos de distintas perturbaciones: cambios
en la tasa de depreciación física del capital, cambios en la tasa de
crecimiento de la población, cambios en el parámetro tecnológico y
cambios en el nivel tecnológico.
146
7. Introducción al crecimiento económico
Stock de capital per cápita
10.00
8.00
6.00
4.00
2.00
0.00
-1 2 5 8 11 14 17 20 23 26 29 32 35 38 41 44 47
Tiempo
Figura 7.2. Dinámica del stock de capital per cápita ante un aumento de
la tasa de ahorro
Producción per cápita
1.75
1.70
1.65
1.60
1.55
1.50
1.45
-1 2 5 8 11 14 17 20 23 26 29 32 35 38 41 44 47
Tiempo
Figura 7.3. Dinámica del nivel de producción per cápita ante un aumento
en la tasa de ahorro
7.3 Resolución en Excel
147
Ahorro per cápita
0.80
0.60
0.40
0.20
0.00
-1 2 5 8 11 14 17 20 23 26 29 32 35 38 41 44 47
Tiempo
Figura 7.4. Dinámica del ahorro per cápita ante un aumento de la tasa de
ahorro
Consumo per cápita
1.10
1.05
1.00
0.95
0.90
0.85
-1 2 5 8 11 14 17 20 23 26 29 32 35 38 41 44 47
Tiempo
Figura 7.5. Dinámica del consumo per cápita ante un aumento de la tasa
de ahorro
148
7. Introducción al crecimiento económico
Tasa de crecimiento
0.70
0.60
0.50
0.40
0.30
0.20
0.10
0.00
-1 2 5 8 11 14 17 20 23 26 29 32 35 38 41 44 47
Tiempo
Figura 7.6. Tasa de crecimiento de la producción per cápita ante un
aumento de la tasa de ahorro
8
El modelo de Ramsey
8.1 Introducción
En el tema 6 hemos resuelto una versión del modelo de Ramsey
en Excel utilizando la herramienta "Solver". Esta herramienta
nos permitía determinar los valores óptimos de consumo en cada
periodo, tal que el individuo maximizase la suma descontada de sus
utilidades. Por tanto, ya sabemos como resolver este tipo de modelos
computacionalmente calculando la senda ópima de consumo, simpre
y cuando el problema sea lo su…cientemente simple para poder ser
resuelto en una hoja de cálculo. En este tema vamos a continuar
este análisis utiliando el modelo de Ramey, pero introduciendo
nuevas consideracioens. En concreto vamos a realizar dos ejercicios
diferentes.
En primer lugar, vamos a utilizar de nuevo la herramienta "Solver"
con una versión muy simpli…cada del modelo de Ramsey, con el
objetivo de ilustrar una propiedad de este tipo de modelos a la que
se denomina el teorema de la autopista. Si suponemos que el ciclo
vital de la economía es …nito y que el capital …nal tiene que ser igual
al capital inicial, resulta que éste no se mantiene constante, sino que
primero aumenta para posteriormente disminuir.
150
8. El modelo de Ramsey
A continuación vamos a resolver este modelo pero utilizando un
análisis diferente. En concreto, vamos a computar numéricamente
las ecuaciones dinámicas para el consumo per cápita y para el stock
de capital per cápita, en términos de un sistema de ecuaciones
diferenciales, es decir, a través del diagrama de fases del modelo. Sin
embargo, hemos de tener en cuenta que la ecuación dinámica para el
capital es no lineal, por lo que antes de proceder a su computación
en una hoja de cálculo y computar las sendas temporales de las
distintas variables endógenas hemos de proceder a su linearización.
El procedimiento que vamos a utilizar es similar al empleado
anteriormente en el modelo de la Q de Tobin.
8.2 El modelo de Ramsey en tiempo discreto y con
vida …nita
En este apartado vamos a plantear un modelo de Ramsey muy
simpli…cado para ilustrar el teorema de la autopista. La pregunta
que vamos a hacernos es cuál es la decisión óptima para alcanzar
el estado estacionario. Para ello vamos a suponer que la condición
inicial y …nal para el stock de capital es inferior a su valor de estado
estacionario.
El problema del consumidor es maximizar:
max
T
X
t
U (ct )
(8.1)
t=0
2 (0; 1): Suponemos que la función de utilidad de los agentes es
logarítmica, tal que:
U (ct ) = ln ct
(8.2)
La función de producción de la economía es:
yt = kt
(8.3)
La restricción presupuestaria viene dada por:
ct + st = yt
(8.4)
Finalmente, la ecuación de acumulación de capital viene dada por:
8.2 El modelo de Ramsey en tiempo discreto y con vida …nita
kt+1 = (1
151
)kt + yt
ct
(8.5)
)kt + kt
ct
(8.6)
o equivalentemente:
kt+1 = (1
Al margen de esta restricción, el problema a resolver también está
sujeto a dos restricciones adicionales: Una condición inicial, k0 ; y
una condición …nal, kT k.
El langrangiano del problema del consumidor sería:
L=
T
X
t
ln ct
t (ct
+ kt+1
(1
)kt
kt )
(8.7)
t=0
Las condiciones de primer orden son:
@L
=
@C
t
1
ct
t
=0
(8.8)
@L
= t ((1
) + kt 1 )
(8.9)
t 1 =0
@k
De la primera condición de primer orden obtenemos que el valor
del parámetro de Lagrange en el momento t es:
t
=
t
1
ct
(8.10)
Sustituyendo el parámetro de Lagrange en la segunda condición
de primer orden, resulta:
t
1
((1
ct
) + kt
1
1
t 1
)
ct
(8.11)
1
Resolviendo obtenemos la ecuación dinámica que nos determina
la decisión de consumo-ahorro de la economía:
((1
) + kt
1
)=
ct
ct
(8.12)
1
A partir de la expresión anterior, obtenemos el stock de capital en
estado estacionario, tal que:
((1
)+ k
1
)=1
(8.13)
152
8. El modelo de Ramsey
Figura 8.1. El teorema de la autopista
y despejando resulta que:
k=
1
(1
)
1
1
(8.14)
La …gura 8.1 muestra la hora de Excel correspondiente al problema
anterior. En este caso hemos impuesto una condición inicial y …nal
para el stock de capital que resulta inferior a su valor de estado
estacionario. Además la condición inicial para el stock de capital es
igual que la condición …nal. Resolviendo numéricamente el problema
anterior podemos obtener cuales son las trayectorias óptimas del
consumo, stock de capital y de la producción.
La …gura 8.2 muestra la senda óptima de consumo, que tiene
pendiente positiva debido a los valores de los distintos parámetros.
No obstante, esta senda óptima no es la misma que existiría en estado
estacionario, dado que en este caso los individuos van alterando su
8.3 Resolución numérica del modelo de Ramsey linearizado
153
decisión consumo-ocio en función del número de periodos del ciclo
vital, con el objetivo de alcanzar un stock de capital en cada periodo
tal que el bienestar sea el máximo.
La …gura 8.3 muestra la evolución del stock de capital. Tal
y como podemos observar la senda es primero a aumentar, para
posteriormente ir disminuyendo hasta cumplir la condición …nal. En
este caso el periodo de tiempo es muy reducido pero si lo aumentamos
el stock de capital aumentaría hasta prácticamente alcanzar su valor
de estado estacionario durante la mayor parte de la trayectoria,
disminuyendo para cumplir la condición …nal únicamente en los
últimos periodos. Este es el teorema de la autopista. El mejor
camino para ir desde el punto inicial hasta el punto …nal es lo más
cerca posible del estado estacionario el mayor tiempo posible. Este
teorema nos dice, que incluso en un horizonte temporal …nito, lo
óptimo es que la economía esté lo más cerca posible del estado
estacionario.
Finalmente la …gura 8.4 muestra la evolución del nivel de
producción, cuya dinámica es similar a la que sigue el stock de
capital. Al aumentar el stock de capital, también aumenta el nivel
de producción, disminuyendo posteriormente hasta volver a su valor
inicial.
8.3 Resolución numérica del modelo de Ramsey
linearizado
En este apartado vamos a resolver el modelo de Ramsey en una
hoja de cálculo en términos de las sendas temporales que siguen las
distintas variables endógenas.
8.3.1 Linearización del modelo
En este apartado vamos a rede…r el modelo en términos lineales.
Vamos a suponer que la función de producción es del tipo CobbDouglas y que la función de utilidad es logarítmica. Para ello
partimos de las dos ecuaciones diferenciales obtenidas anteriormente.
Estas son:
c_t = ( kt
1
)ct
154
8. El modelo de Ramsey
Figura 8.2. Senda óptima del consumo
Figura 8.3. Senda óptima del stock de capital
8.3 Resolución numérica del modelo de Ramsey linearizado
155
Figura 8.4. Senda óptima de la producción
k_ t = kt
ct
(n + )kt
En primer lugar, calculamos el valor de las variables en estado
estacionario, tal que c_t = 0 y k_ t = 0. De la primera expresión resulta
que:
kt
1
= +
(8.15)
y despejando:
+
kt =
1
1
(8.16)
De la segunda ecuación obtenemos que:
ct = k t
(n + )k t
y sustituyendo el valor de estado estacionario obtenido anteriormente
llegamos a:
ct =
+
1
(n + )
+
1
1
156
8. El modelo de Ramsey
En términos de tasas de crecimiento, el anterior sistema de
ecuaciones diferenciales podemos escribirlo como:
c_t
= kt
ct
k_ t
= kt
kt
1
1
( + )
ct kt
1
(8.17)
(n + )
Tomando logaritmos resulta:
d ln ct
=
dt
exp((
1) ln kt )
( + )
(8.18)
d ln kt
= exp(
1) ln kt exp(ln ct ln kt ) (n + )
dt
Para construir una aproximación de las anteriores dos ecuaciones
alrededor de su estado estacionario vamos a usar la expansión de
Taylor. Para ello en primer lugar calculamos:
d exp((
1) ln kt )
=(
d ln kt
1) exp((
1) ln kt )
(8.19)
ln kt )
(8.20)
d exp(ln ct ln kt )
= exp(ln ct
d ln ct
d exp(ln ct ln kt )
=
d ln kt
exp(ln ct
ln kt )
(8.21)
Por tanto, aplicando la expansión de Taylor resulta que:
d ln ct
'
dt
d exp((
1) ln kt )
(ln kt
d ln kt
ln k t )
y sustituyendo:
d ln ct
' (
dt
y dado que:
(
1) exp((
resulta que:
1) exp((
1) ln k t ) = (
1) ln k t )(ln kt
1)
+
ln k t )
1
1
=(
1)( + )
8.3 Resolución numérica del modelo de Ramsey linearizado
157
d ln ct
'(
1)( + )(ln kt ln k t )
(8.22)
dt
por lo que ya tenemos linearizada la primera ecuación dinámica que
nos indica los movimientos del consumo a lo largo del tiempo (nótese
que esta ecuación únicamente era lineal cuando su valor era igual a
cero, pero era no lineal en cualquier otro caso).
Por otra parte, tenemos que:
d ln kt
dt
d exp((
1) ln kt ) d exp(ln ct ln kt )
+
(ln kt
d ln kt
d ln kt
d exp(ln ct ln kt )
(ln ct ln ct )
d ln ct
'
ln k t )
y sustituyendo resulta:
d ln kt
dt
'
(
1) exp((
exp(ln ct
ln k t )(ln ct
Sabiendo que para que
exp(ln ct
1) ln k t ) + exp(ln ct
d ln kt
dt
ln k t ) (ln kt
ln ct )
= 0:
ln k t ) = exp(
1) ln k t
(n + )
y que a su vez
exp(ln ct
1
1
+
ln k t ) =
(n + )
resulta que:
exp(ln ct
ln k t ) =
+
(n + ) =
(1
) +
n
Sustituyendo tenemos:
d ln kt
dt
'
(
(1
1)( + )
) +
+
(1
n
(ln ct
) +
ln ct )
n
(ln kt
ln k t )
ln k t )
158
8. El modelo de Ramsey
y operando resulta que:
d ln kt
'(
dt
(1
ln k t )
n) (ln kt
) +
n
ln ct )
(ln ct
por lo que ya tenemos linearizada la ecuación dinámica del capital.
Por tanto, en notación matricial resultaría:
d ln ct
dt
d ln kt
dt
=
0
(1
(
) +
n
1)( + )
n
(ln ct
(ln kt
ln ct )
ln k t )
Tal y como podemos observar, hemos transformado un sistema
de ecuaciones dinámicas no lineales en un sistema dinámico lineal,
en términos de las desviaciones (en términos logarítmicos, es decir,
en porcentaje) de cada variable respecto al estado estacionario. Una
vez linearizado el modelo, a continuación podemos calcular las raíces
asociadas a la matriz de coe…cientes. A partir del sistema anterior
obtenemos la siguiente ecuación de segundo grado:
2
(
n) +
(1
) +
n
(
1)( + ) = 0
Resolviendo obtenemos las siguientes raíces:
1;
2
=
(
n)
q
(
n)2
4 (1
) +
n
(
1)( + )
2
siendo una raíz positiva y la otra negativa, dando lugar una solución
del tipo punto de silla.
Para computar el modelo necesitamos calcular el efecto de corto
plazo, esto es, la variación en el consumo (que es la variable ‡exible)
justo en el momento en que se produce una perturbación. Tal y como
hemos visto en términos teóricos, ante una perturbación, el consumo
se ajusta de forma inmediata hasta alcanzar la senda estable.
Para calcular este efecto de corto plazo operamos como
anteriormente, es decir, igualamos una de las condiciones dinámicas
a la trayectoria estable. Por ejemplo, operando con la condición de
equilibrio del consumo resulta:
d ln ct
=(
dt
1)( + )(ln kt
ln k t ) =
1 (ln ct
ln ct )
8.3 Resolución numérica del modelo de Ramsey linearizado
159
Despejando el logaritmo del consumo obtenemos:
ln ct =
(
1)( + )(ln kt
ln k t ) +
1 ln ct
1
La …gura 8.5 muestra la hoja de cálculo correspondiente
(EC82.xls), en la cual hemos computado el modelo anterior, así como
un aumento en el parámetro :
Las …guras 8.6 y 8.7 muestran las sendas del consumo y del capital
per cápita ante un aumento en la tasa de preferencia subjetiva
intertemporal. El aumento en el parámetro
supone que los
individuos valoran en menor medida el futuro respecto al presente,
es decir, se preocupan menos por el futuro. Esta alteración en
las preferencias provoca un aumento instantáneo en el consumo,
aumentando respecto a su valor de estado estacionario. Sin embargo,
este aumento en el consumo supone una disminución en el ahorro,
160
8. El modelo de Ramsey
Figura 8.5. Senda óptima del consumo per cápita
que lleva a una caída en el stock de capital y, por tanto, en el nivel
de producción.
A partir de este momento el stock de capital de la economía
comienza a disminuir, disminuyendo también el consumo per cápita
por el menor nivel de producción. A largo plazo obtenemos que tanto
el consumo como el stock de capital son inferiores a los existentes
inicialmente.
8.3 Resolución numérica del modelo de Ramsey linearizado
Figura 8.6. Senda óptima del stock de capital per cápita
161