b = 5 m - Real Colegio Nuestra Señora de Loreto

F -X C h a n ge
F -X C h a n ge
N
y
bu
to
k
lic
c u -tr a c k
1
Resuelve los siguientes triángulos rectángulos (A = 90º):
a) Datos: b = 5 m; C = 45º 32”
b) Datos: a = 7 m; B = 31º 42' 54”
Solución:
a) cos(C)
c2
b
a
a2 b2
cos(45º32' )
5
a
25,936
5,092 m
c
a
7,137 m
B = 90º - 45º 32” = 44º 28”
b) C = 90º - B = 90º - 31º 42' 54” = 58º 17' 6”
sen(B)
cos(B)
c
a
b
a
sen(31º42' 54" )
cos(31º42' 54" )
b
7
c
7
c
b
3,679 m
5,954 m
2
Resuelve los siguientes triángulos rectángulos (A = 90º)
a) Datos: b = 3 m; c = 7 m
b) Datos: a = 10 m; C = 42º 31' 47”
1
.d o
o
.c
m
C
m
w
o
.d o
w
w
w
w
w
C
lic
k
to
bu
y
N
O
W
!
PD
O
W
!
PD
c u -tr a c k
.c
F -X C h a n ge
F -X C h a n ge
N
y
bu
to
k
lic
c u -tr a c k
9 49
sen(C)
c
a
7
sen(B)
b
a
3
b) sen(C)
c
a
58
58
58
a
.d o
o
.c
Solución:
a) a2 b2 c 2
m
C
m
w
o
.d o
w
w
w
w
w
C
lic
k
to
bu
y
N
O
W
!
PD
O
W
!
PD
c u -tr a c k
58 m
C
66º48'5"
B
23º11'55"
c
10
sen(42º31' 47" )
c
6.759 m
B = 90º - (42º 31' 47”) = 47º 28' 13”
sen(B)
3
b
a
sen(47º28' 13" )
b
10
b
7,369 m
La base de un triángulo isósceles mide 20 m, y el ángulo opuesto 80º. Calcula los lados y el área del
triángulo.
Solución:
Consideremos el triángulo isósceles ABC de la figura adjunta:
AB
AM
cos(50º )
10
cos(50º )
15,56 m
Los lados iguales AB y BC valen 15,56 m.
Para calcular el área, determinaremos su altura BM:
BM
AM tg(50º )
El área vale:
1
S
AC BM
2
4
10 tag(50º )
1
20 11,92
2
11,92 m
119,2 m2
Dos individuos A y B observan un globo que está situado en un plano vertical que pasa por ellos. La
distancia entre los individuos es de 4 km. Los ángulos de elevación del globo desde los observadores son
46º y 52º, respectivamente. Halla la altura del globo y su distancia a cada observador.
2
.c
F -X C h a n ge
F -X C h a n ge
N
y
bu
to
k
lic
c u -tr a c k
h
BD tg(52º )
h
(4 BD) tg(46º )
BD
h
tg(52º )
Operando, se tiene:
4 tg(52º ) tg(46º )
tg(52º ) tg(46º )
h
21,69 km
Las distancias de cada observador al globo son:
21,69
sen(52º )
BC
21,69
sen(46º )
27,52 km y AC
30,15 km
5
Resuelve los siguientes triángulos:
a) Datos: a = 12 m, b = 8 m, A = 150º
b) Datos: A = 60º, B = 75º, c =2 m
Solución:
a) sen(B)
b
sen(A)
a
8
sen(150º )
12
B
19º28'16"
C = 180º - (150º + 19º 28' 16”) = 10º 31' 44”
c
sen(C)
a
sen(A)
sen(10º31' 44" )
12
sen(150º )
4,38 m
b) C = 180º - (60º + 75º) = 45º
a
sen(A)
c
sen(C)
sen(B)
c
sen(C)
sen(60º )
2
sen(45º )
sen(75º )
2
sen(45º )
2,45 m
2,73 m
3
h
tg(46º )
4
.d o
m
o
.c
Solución:
Supongamos que los observadores están al mismo lado de la vertical, se tiene:
b
C
m
w
o
.d o
w
w
w
w
w
C
lic
k
to
bu
y
N
O
W
!
PD
O
W
!
PD
c u -tr a c k
.c
F -X C h a n ge
F -X C h a n ge
N
y
bu
to
k
lic
c u -tr a c k
.d o
o
.c
6
m
C
m
w
o
.d o
w
w
w
w
w
C
lic
k
to
bu
y
N
O
W
!
PD
O
W
!
PD
c u -tr a c k
Resuelve los siguientes triángulos:
a) Datos: a = 72 m, c = 57 m, C = 75º
b) Datos: a = 40 cm, b = 60 cm, A = 42º
Solución:
a) sen(A)
a
sen(C)
c
72
sen(75º )
57
1,22
1
El problema no tiene solución
b) sen(B)
b
sen(A)
a
60
sen(42º )
40
1,003
1
El problema no tiene solución
7
En un triángulo ABC se conoce el lado a = BC = 10 metros, el ángulo ABC que vale 105º y el ángulo ACB
que vale 30º. Halla los lados y el área del triángulo.
Solución:
Consideremos el triángulo de la figura.
Trazando la perpendicular BM al lado AC, se tiene:
MC
BM
10
3 5 3 AC AM MC 5 5 3 m
2
AB 5 2 ; c 5 2 m
AM 5
Entonces el área pedida será:
S
8
1
AC MB
2
1
5
2
5 3 5
25(1
3)
2
m2
Halla los lados de un triángulo, sabiendo que su área es de 18 cm2 y dos de sus ángulos son A = 30º y B =
45º.
4
.c
F -X C h a n ge
F -X C h a n ge
N
y
bu
to
k
lic
c u -tr a c k
a
b
2 Rsen(A)
2 Rsen(B)
c
2 Rsen(C)
.d o
Como la superficie S de un triángulo en función de dos lados a y b y el ángulo comprendido es:
S
1
a b sen(C)
2
Teniendo en cuenta que el tercer ángulo vale: C = 180º - (A + B) = 180º - (30º + 45º) = 105º, se tiene:
S
1
2 R sen(A) 2 R sen(B) sen(C)
2
S
2 R 2 sen(A) sen(B) sen(C)
Substituyendo, se tiene:
18
9
2
2 R sen(30º ) sen(45º ) sen(105º )
R
5,133 cm
a
2 5,133 sen(30º )
5,133 cm
b
2 5,133 sen(45º )
7,259 cm
a
2 5,133 sen(105º )
9,916 cm
Sean A y B dos puntos inaccesibles, pero visibles ambos desde otros dos puntos accesibles C y D,
separados por una longitud de 73,2 m. Suponiendo que los ángulos ACD = 80º 12'; BCD = 43º 31'; BDC =
32º y ADC = 23º 14', determina la distancia AB.
Solución:
El ángulo BDA = BDC - ADC = 32º - 23º 14' = 8º 46'
Aplicando el teorema de los senos al triángulo ADC, se tiene:
AD
sen(80º12' )
73,2
sen(80º12' 23º14' )
74,15 m
Análogamente, sobre el triángulo BDC:
BD
sen(43º31' )
73,2
sen(32º 43º31' )
52,06 m
Aplicando el teorema del coseno al triángulo ABD, se tiene:
AB
AD2 BD 2 2 AD BDcos(8º46' )
24,04 m
5
o
.c
Solución:
Si referimos los lados a, b y c del triángulo al radio R de la circunferencia circunscrita a él, se tiene:
m
C
m
w
o
.d o
w
w
w
w
w
C
lic
k
to
bu
y
N
O
W
!
PD
O
W
!
PD
c u -tr a c k
.c
F -X C h a n ge
F -X C h a n ge
N
y
bu
to
k
lic
c u -tr a c k
.d o
o
.c
m
C
m
w
o
.d o
w
w
w
w
w
C
lic
k
to
bu
y
N
O
W
!
PD
O
W
!
PD
c u -tr a c k
10 Un barco A pide socorro y las señales son recibidas por dos estaciones de radio B y C que distan entre sí
80 km. La recta que une B y C forma con la dirección Norte un ángulo de 48º. B recibe señales con una
dirección de 135º con el Norte, mientras que C las recibe con una dirección de 96º con el Norte. ¿A qué
distancia de cada estación se encuentra el barco?
Solución:
Observa la figura adjunta:
B = 48º + 45º = 93º; C = 96º - 48º = 48º; A = 180º - (93º + 48º) = 39º
Aplicando el teorema de los senos al triángulo ABC, se tiene:
AC
sen(B)
BC
sen(A)
sen(93º )
80
sen(39º )
126,95 km
AB
sen(C)
BC
sen(A)
sen(48º )
80
sen(39º )
94,47 km
Así que el barco se encuentra a 126,95 km de la estación C y a 94,47 km de la estación B.
11 Halla el área del triángulo ABC, sabiendo que a = 1 m, B = 30º y C = 45ª
Solución:
El ángulo A, vale: A = 180º - (B + C) = 180º - (30º + 45º) = 105º
Aplicando el teorema de los senos:
c
sen(C)
a
sen(A)
sen(45º )
1 0,7321 m
sen(105º )
Por tanto, el área del triángulo es:
S
1
ah
2
1
a c sen(30º )
2
1
1
1 0,7321
2
2
0,1830 m2
6
.c