Conceptos b^sicos de inferencia estad`stica (II): Contrastes de

Conceptos básicos de inferencia estadística (II):
Contrastes de hipótesis (repaso)
Tema 1 (II)
Estadística 2
Curso 08/09
Tema 1 (II) (Estadística 2)
Contrastes de hipótesis
Curso 08/09
1 / 21
Contrastes de hipótesis
Objetivo
Contrastes de hipótesis
Objetivo: Decidir, a partir de la información que proporciona una
muestra, entre dos hipótesis sobre alguna característica de la v.a. de
interés X : hipótesis nula (H0 ) y hipótesis alternativa (H1 ).
(controlando el riesgo de equivocarse al no disponer de toda la información)
Hipótesis estadística: enunciado/a…rmación sobre una o varias
características de interés de un modelo de probabilidad:
Paramétrica: sobre los valores de algún parámetro (desconocido)
Simple: especi…ca un único valor (p.e.: µ = 10, µX = µY ,...)
Compuesta: especi…ca un conjunto de valores (p.e.: µ 10,
µX
µY ,...)
No Paramétrica: a…rmación sobre otra característica de la población
(p.e.: la distribución es normal, las observaciones son independientes,
...)
Tema 1 (II) (Estadística 2)
Contrastes de hipótesis
Curso 08/09
2 / 21
Contrastes de hipótesis
Idea
Idea: Aceptar la hipótesis nula H0 salvo que exista una "clara
evidencia" en contra (en lo observado).
Población
Muestra
Rechazamos H0
Analizamos
una muestra
SI
Suponiendo H0 cierta,
¿es poco probable
obtener lo observado?
NO
•H0 falsa
•Ocurrió algo poco probable
(asumimos el riesgo)
No hay evidencias para
rechazar H0
Aceptamos H0
P ("suceso raro" j H0 cierta) = P (rechazar H0 j H0 cierta) = α
(nivel de signi…cación
riesgo asumible al rechazar H0 siendo cierta).
Tema 1 (II) (Estadística 2)
Contrastes de hipótesis
Curso 08/09
3 / 21
Contrastes de hipótesis
Pasos
Pasos
1
Formular claramente la hipótesis nula y la alternativa. Ejemplo:
H0 : θ 2 Ω 0
H1 : θ 2 Ω1 (= RnΩ0 normalmente)
2
(y …jar el nivel de signi…cación).
Elección del estadístico del contraste: medida de discrepancia
entre la muestra observada y la hipótesis H0 . Ejemplo:
D (X1 , . . . , Xn ; H0 ) =
3
Θ̂n θ 0
σ Θ̂n
(estadístico con distribución conocida bajo H0 ).
Determinación la región de de rechazo (o región crítica):
R.R.=valores que tiende a tomar el estadístico cuando H1 es cierta
(normalmente valores ’grandes’de D). Ejemplo:
(
)
Θ̂n θ 0
R.R.
d (α)
σ Θ̂n
Tema 1 (II) (Estadística 2)
Contrastes de hipótesis
Curso 08/09
4 / 21
Contrastes de hipótesis
Pasos
Esta región se establece de modo que:
P (D 2 R.R. j H0 cierta) = α
(P (D 2 R.A. j H0 cierta) = 1
(hipotesis nula compuesta):
α). Aunque en ciertos casos
P (D 2 R.R. j H0 cierta)
α
4. Realización del contraste: Se rechaza H0 si el valor observado del
estadístico d̂ = D (x1 , . . . , xn ; H0 ) 2 R.R.
(si ocurre un suceso poco probable bajo H0 ,
i.e. gran discrepancia entre lo observado y H0 ),
en caso contrario se acepta.
Si se rechaza H0 (se acepta H1 ) se dice que el contraste es
estadísticamente signi…cativo (no signi…cativo en caso contrario).
Tema 1 (II) (Estadística 2)
Contrastes de hipótesis
Curso 08/09
5 / 21
Contrastes de hipótesis
Regiones de aceptación y rechazo
Regiones de aceptación y rechazo
Las regiones de aceptación y rechazo dependen de H1 .
Contraste bilateral:
H0 : θ = θ 0
H1 : θ 6 = θ 0
Tema 1 (II) (Estadística 2)
Contrastes de hipótesis
Curso 08/09
6 / 21
Contrastes de hipótesis
Regiones de aceptación y rechazo
Contraste unilateral:
H0 : θ θ 0
)
H1 : θ < θ 0
NOTA: P (R.R. j H0 cierta)
Tema 1 (II) (Estadística 2)
H0 : θ = θ 0
H1 : θ < θ 0
α
Contrastes de hipótesis
Curso 08/09
7 / 21
Contrastes de hipótesis
Regiones de aceptación y rechazo
Contraste unilateral:
H0 : θ θ 0
)
H1 : θ > θ 0
NOTA: P (R.R. j H0 cierta)
Tema 1 (II) (Estadística 2)
H0 : θ = θ 0
H1 : θ > θ 0
α
Contrastes de hipótesis
Curso 08/09
8 / 21
Contrastes de hipótesis
Relación entre Contrastes de Hipótesis e Intervalos de Con…anza
Contrastes de Hipótesis e Intervalos de Con…anza
Puede verse que:
θ 0 2 IC(1
α)
(θ ) () Aceptamos H0 : θ = θ 0 con nivel de signi…cación α
Ejemplo:
µ0 2
x
tn
b
s
n
1,1 α/2 p
() tn
1,1 α/2
<
x
µ0
< tn
b
s
p
n
1,1 α/2
NOTA: No realizaremos contrastes de hipótesis a partir de intervalos de
con…anza (salvo en los casos que se indique).
Con la metodología de contrastes de hipótesis podemos obtener
información adicional con el p-valor o nivel crítico.
Tema 1 (II) (Estadística 2)
Contrastes de hipótesis
Curso 08/09
9 / 21
Contrastes de hipótesis
p-valor o nivel crítico
p-valor o nivel crítico
Si d̂ = D (x1 , . . . , xn ; H0 ) es el valor observado del estadístico del
contraste, se denomina valor crítico o p-valor a:
Menor valor del nivel de signi…cación para el que se rechaza H0 .
Probabilidad de obtener una discrepancia mayor o igual que db cuando
H0 es cierta.
Probabilidad de obtener un resultado tan extraño o más que el
observado bajo H0
Regla de decisión:
p
α ) Aceptamos H1 (con mayor seguridad cuanto más pequeño)
p > α ) Aceptamos H0 (con mayor seguridad cuanto más grande)
Tema 1 (II) (Estadística 2)
Contrastes de hipótesis
Curso 08/09
10 / 21
Contrastes de hipótesis
p-valor o nivel crítico
Cálculo del p-valor
El p-valor depende de H1 (de modo análogo a la R.R.):
H1
H1 : θ 6 = θ 0
H1 : θ < θ 0
H1 : θ > θ 0
R.R.
( ∞, dα/2 ) [ (d1
( ∞, dα )
(d1 α , ∞)
α/2 , ∞ )
p-valor
2P D
d̂ j H0
P D d̂ j H0
P D d̂ j H0
NOTA: Suponiendo distribución simétrica en el caso bilateral H1 : θ 6= θ 0 ,
si fuese asimétrica:
p = 2 min P D
Tema 1 (II) (Estadística 2)
d̂ j H0 , P D
Contrastes de hipótesis
d̂ j H0
Curso 08/09
11 / 21
Contrastes de hipótesis
Tipos de error
Tipos de error
Decisión
Aceptar H0
Rechazar H0
Situación
H0 cierta
H0 falsa
Correcto
Error Tipo II
Error Tipo I
Correcto
Nivel de signi…cación del contraste:
α = P (Error Tipo I) = P (rechazar H0 j H0 cierta)
P (aceptar H0 j H0 cierta) = 1
Tamaño:
α.
β (θ ) = P (Error Tipo II) = P (aceptar H0 j H0 falsa)
Potencia del contraste:
1
Tema 1 (II) (Estadística 2)
β (θ ) = P (rechazar H0 j H0 falsa)
Contrastes de hipótesis
Curso 08/09
12 / 21
Contrastes de hipótesis
Decisión
Aceptar
H0
Rechazar
H0
Tipos de error
Situación
H0 cierta
H0 falsa
Correcto
Error Tipo II
1 α
β (θ )
Error Tipo I
Correcto
α
1 β (θ )
Lo ideal sería que α y β fuesen lo menores posibles; sin embargo,
…jado un tamaño muestral n, si disminuimos la probabilidad de un
error aumenta la probabilidad del otro.
Aproximación de Neyman-Pearson: Únicamente se controla la
probabilidad de error Tipo I; …jado α, se escoge el método que
proporcione mayor potencia (aunque no se controla el error tipo II).
Aceptar H1 es una decisión …able (controlamos la probabilidad de
error): hipótesis de interés.
Al aceptar H0 no controlamos la probabilidad de error: hipótesis
neutra.
Tema 1 (II) (Estadística 2)
Contrastes de hipótesis
Curso 08/09
13 / 21
Contrastes de hipótesis
Potencia de un contraste
Potencia de un contraste
Se denomina potencia de un contraste a la función que asigna a cada
posible valor del parámetro θ la probabilidad de rechazar H0 cuando θ es el
verdadero:
Potencia :
Ω
θ
!
[0, 1]
Pot (θ ) = P (rechazar H0 j θ )
Se utiliza para medir la bondad de un test de hipótesis.
Se veri…ca que:
Pot (θ ) = 1
Pot (θ )
β ( θ ) , 8 θ 2 H1
α, 8θ 2 H0
Tema 1 (II) (Estadística 2)
Contrastes de hipótesis
Curso 08/09
14 / 21
Contrastes de hipótesis
Potencia de un contraste
Ejemplos
H1 : µ 6 = 0
H1 : µ > 0
Curva de Potencia
Curva de Potencia
1
0.8
Potencia
Potencia
1
alpha = 0.05, sigma = 1.0
0.6
0.4
0.2
0
-0.4
alpha = 0.05, sigma = 1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
-0.2
0
0.2
0.4
-0.2
0
0.2
0.4
Media Verdadera
Media Verdadera
Tema 1 (II) (Estadística 2)
0
-0.4
Contrastes de hipótesis
Curso 08/09
15 / 21
Contrastes de hipótesis
Algunos contrastes paramétricos de interés
Algunos contrastes paramétricos de interés
Contrastes para la media de una población normal (varianza desconocida)
Suponemos que X
N µ, σ2 con σ2 desconocida
Se pretende realizar alguno de los contrastes:
H0 : µ = µ 0
H1 : µ 6 = µ 0
H0 : µ µ 0
H1 : µ > µ 0
H0 : µ µ 0
H1 : µ < µ 0
a partir de una m.a.s. de tamaño n.
El estadístico del contraste es:
T =
Tema 1 (II) (Estadística 2)
X
µ0
b
S
p
n
Sup. µ=µ0
Contrastes de hipótesis
tn
1
Curso 08/09
16 / 21
Contrastes de hipótesis
Algunos contrastes paramétricos de interés
Se rechaza H0 si el valor observado del estadístico:
t̂ =
x
µ0
b
s
p
n
2 R.R
Equivalentemente si el p-valor es pequeño p
Donde:
H1
H1 : µ 6 = µ 0
H1 : µ < µ 0
H1 : µ > µ 0
( ∞,
Tema 1 (II) (Estadística 2)
R.R.
tn 1,1 α/2 ) [ (tn 1,1
( ∞, tn 1,1 α )
( tn 1,1 α , ∞)
Contrastes de hipótesis
α.
α/2 , ∞ )
p-valor
2P (tn 1 jt̂ j)
P (tn 1 t̂ )
P (tn 1 t̂ )
Curso 08/09
17 / 21
Contrastes de hipótesis
Diferencia de medias de dos poblaciones normales independientes
Contrastes para la diferencia de medias de dos poblaciones
normales independientes (con varianzas iguales)
Suponemos X
N µX , σ2X e Y
N µY , σ2Y
σ2X = σ2Y = σ2
Se pretende realizar alguno de los contrastes:
H0 : µ X = µ Y
H1 : µ X 6 = µ Y
H0 : µ X
µY
H1 : µ X < µ Y
independientes con
H0 : µ X
µY
H1 : µ X > µ Y
a partir de dos m.a.s. independientes de tamaños n y m.
El estadístico del contraste es:
T =
b 2 = (n
donde S
b
S
X
r
Y
1
1
+
n m
Sup. µX =µY
b 2 + (m 1) S
b2
1) S
X
Y
n+m 2
Tema 1 (II) (Estadística 2)
Contrastes de hipótesis
tn + m
2
Curso 08/09
18 / 21
Contrastes de hipótesis
Diferencia de medias de dos poblaciones normales independientes
Se rechaza H0 si el valor observado del estadístico:
x y
t̂ = r
2 R.R
1
1
b
s
+
n m
Equivalentemente si el p-valor es pequeño p
Donde:
H1
H1 : µ X 6 = µ Y
H1 : µ X < µ Y
H1 : µ X > µ Y
Tema 1 (II) (Estadística 2)
R.R.
tn + m
( ∞,
[(tn +m 2,1
( ∞, tn +m
( tn +m 2,1
α.
p-valor
2,1 α/2 )
α/2 , ∞ )
2,1 α )
α , ∞)
Contrastes de hipótesis
2P (tn +m
2
jt̂ j)
P ( tn + m
P ( tn + m
2
t̂ )
t̂ )
2
Curso 08/09
19 / 21
Contrastes de hipótesis
Diferencia de medias de dos poblaciones normales apareadas
Contrastes para la diferencia de medias de dos poblaciones
normales con datos apareados
Suponemos X
N µX , σ2X e Y
N µY , σ2Y apareadas (dos
características de un mismo individuo, supuestamente dependientes)
Se pretende realizar alguno de los contrastes:
H0 : µ X = µ Y
H1 : µ X 6 = µ Y
H0 : µ X
µY
H1 : µ X > µ Y
H0 : µ X
µY
H1 : µ X < µ Y
a partir de dos m.a.s. (dependientes) apareadas de tamaño n:
(X1 , Y1 ), . . . , (Xn , Yn )
Como la variable diferencia es normal:
Z =Y
NOTA: σ2Z = σ2X + σ2Y
Tema 1 (II) (Estadística 2)
X
N µX
µY , σ2Z
2σXY
Contrastes de hipótesis
Curso 08/09
20 / 21
Contrastes de hipótesis
Diferencia de medias de dos poblaciones normales apareadas
Los contrastes se pueden expresar en función de:
µZ = µX
µY
y se pueden resolver a partir de la muestra de las diferencias:
(Z1 , Z2 , . . . , Zn ) , con Zi = Xi
Yi
considerando el estadístico del contraste:
T =
Obteniéndose:
H1
H1 : µ X 6 = µ Y
H1 : µ X < µ Y
H1 : µ X > µ Y
( ∞, tn
Tema 1 (II) (Estadística 2)
Z
b
S
pZ
n
Sup. µZ =0
tn
R.R.
1,1 α/2 ) [ (tn 1,1
( ∞, tn 1,1 α )
( tn 1,1 α , ∞)
Contrastes de hipótesis
1
α/2 , ∞ )
p-valor
2P (tn 1 jt̂ j)
P (tn 1 t̂ )
P (tn 1 t̂ )
Curso 08/09
21 / 21