Ejercicios propuestos y resueltos

1. Ley de Fourier ¿Qué flujo de calor es necesario hacer pasar a través de una
barra circular de madera de 5 cm de diámetro y 10 cm de longitud, cuya
temperatura en los extremos es de 50 °C y 10 °C en sus extremos? La
conductividad térmica de la madera es
, La barra está aislada
por sus caras laterales.
Solución
En primer lugar debemos representar físicamente el sistema. El flujo de calor
por definición va desde la zona de mayor a la de menor temperatura. Por lo
que podemos definir
y
.
T1
Con frecuencia es importante el valor de la resistencia térmica multiplicado
por el área de flujo de calor
, en este caso sera
T2
Q
3. Resistencia térmica. Se desea saber qué diferencia de temperatura se
generará cuando se hacen pasar a través de una pared como la del ejercicio
anterior, pero de 3 mx3 m, un flujo de calor de 100 W.
x
3.1
L
Por lo que la Ley de Fourier establece que
1.1
Donde
: Flujo de calor [Watts]
El flujo de calor en unidades del sistema ingles puede escribirse como
Despejando
: Área de transferencia de calor [m2]. El área a través de la cual se transfiere
el calor, es el área transversal de la barra que es geométricamente un círculo,
por lo que el área será
(
) (
)
(
Como es una pared plana, la resistencia térmica de la pared con las nuevas
dimensiones puede estimarse como
)
: Temperatura a lo largo de la barra [°C]
y
Por lo que
: Dirección a través de la cual se transfiere el calor [m]. Para la estimación
de supongamos que existe un perfil lineal de temperatura. Con lo que lo
podemos estimar como
1.2
de la ecuación anterior
No nos debe extrañar que en la igualdad anterior hiciéramos
ya que este valor hace referencia a una diferencia de temperatura (
a valores individuales (
).
4. Paredes compuestas. Resistencias en serie
Una casa tiene una pared compuesta de interior a
exterior por 3 cm de aislante (k=0,045 W/mK), 10
cm de fibra de vidrio (k= 0,082 W/mK) y 2 cm de
yeso (k= 0,17 W/mK). En los días fríos, la
temperatura del interior excede a la del exterior
en 15 °C ¿Cuánto calor se pierde a lo largo de una
pared de 5 m de ancho por 4 metros de alto?
Determine la caída de temperatura en cada pared.
Q
,
) y no
Yeso
Fibra de vidrio
Aislante
Solución
Estimando el calor que pasa a través de la pared compuesta basado en el
concepto de resistencias térmicas en serie, tenemos que
4.1
: Conductividad térmica del material [W/mK].
(
) (
)(
La resistencias individuales se calculan como
)
|
El factor de conversión del sistema internacional al inglés para la
conductividad térmica queda como
|
|
Sustituyendo todo en la expresión para estimar el flujo de calor
(
(
)
)
Este es el flujo de calor que es necesario que circule a través de la barra para
generar el diferencial de temperatura especificado.
2. Definición de resistencia térmica. Estime la resistencia a la conducción de
una pared plana de cemento de 20 cm de espesor y de 0,5 m2 de área.
La conductividad térmica del cemento es
Retomando la ecuación 4.1
Para estimar la caída de temperatura generada por cada tramo de la pared
compuesta, podemos escribir
Por lo que
2.1
Fenómenos de transporte. Prof Pedro Vargas
5. Sistemas radiales. (10.2 Mc Cabe). Una tubería estándar de acero de 1
pulg, Catálogo 40, conduce vapor de agua saturado. La tubería está aislada
con una capa de 2 pulg de magnesita al 85%, y sobre la magnesia lleva una
capa de corcho de 3 pulg de espesor. La temperatura de la pared interior es
de 249 °F y la de la exterior de corcho está 90 °F. Las conductividades
térmicas son en [BTU/h pies °F] para el acero 26; para la magnesia, 0,034, y
para el Corcho 0,03. Calcúlense:
a) Las pérdidas de calor en 100 pies de tubería, en Btu por hora.
b) Las temperaturas de los límites comprendidos entre el metal y la magnesia
y entre la magnesia y el corcho.
Temperatura en el interior de la tubería
Temperatura en el exterior de la tubería
Acero
Magnesita
Corcho
Realizando un balance de calor entre el interior y el exterior de la tubería
Solución
Realizando la representación física del problema
5.1
Todas las resistencias térmicas involucradas son paredes cilíndricas, por lo
que
(
)
r0
r1
(
)
(
)
L
Por lo que si retomamos el balance general, tendremos
r2
(
r3
)
Por lo que
Actividad adicional
Estime la caída de temperatura generada por cada material.
De la tabla de diámetros nominales para tuberías de acero comercial
Por lo que
Geometría
Perfil de Temperatura
Placa
plana
Pared
cilíndrica
( )
(
(
)
(
(
)
)
(
(
Resistencia
térmica
Flujo de calor
)
)
L
)
(
(
r1
T1
(
)
)
)
Q
r1
T2
Pared
esférica
( )
(
)(
)
(
(
(
)
)
)
x
Fenómenos de transporte. Prof Pedro Vargas
r2
L
r2
Ejercicio Convección. Por el interior de una tubería de acero de 6 pulgadas de diámetro
3
nominal (cat 40), circulan 0,012 m /s de agua a 95 °C. La tubería está recubierta de
adentro hacia afuera por 0,5 pulg de espesor de silicato de calcio y 0,5 pulg de espesor
de manto de fibra mineral. Si el aire externo se encuentra a una temperatura de 30 °C y
se mueve paralelamente a la tubería a una velocidad de 0,1 m/s.
Determine las pérdidas de energía por unidad de longitud de tubería [W/m]
Escriba todas las suposiciones de su modelo.
Propiedades de los fluidos involucrados
Agua a 95 °C
Nota: Para estimar los coeficientes de transferencia de calor por convección utilice
siempre la temperatura de bulto del fluido (T).
KAcero=80,2 W/mK
KSilicato=0,055 W/mK
KFibra=0,038 W/mK
De donde
Resolución
Consideraciones iniciales. En el inicio del planteamiento del ejercicio, es
necesario establecer las consideraciones o suposiciones que van a hacer que
nuestro modelo sea válido. En primer lugar, suponemos que la transferencia
de calor se da solo en la dirección radial y en estado estacionario. Segundo,
se desprecian las resistencias térmicas de contacto y suponemos que las
propiedades térmicas de los sólidos involucrados no varían
considerablemente con la temperatura.
Antes de iniciar la resolución del problema, proponemos el circuito de
resistencias térmicas asociado, el cual debe incluir las resistencias que hay
entre las dos temperaturas límites que nos suministra el problema, las cuales
son la temperatura del agua que fluye internamente en la tubería (
), y la temperatura del aire que fluye externamente (
).
Ti
Aire a 30 °C
Determinando el número de Reynolds del; fluido por el interior de la tubería,
el cual se basara en las propiedades del agua a 95 °C
To
Convección
interna
Conducción
en pared
cilíndrica de
acero
Conducción
en pared
cilíndrica de
silicato
Para la parte externa de la tubería basado en las propiedades del aire a
Conducción
en pared
cilíndrica de
fibra
Convección
externa
De esta forma se identifican 5 resistencias y consiguientes etapas de
transferencia de calor desde el fluido en el interior hasta el exterior. Por lo
que el balance de energía puede ser escrito como:

Coeficientes de transferencia de calor por convección.
Para el aire a 30 °C por el exterior de la tubería en flujo paralelo

(
)
(
)
Incorporando la ecuación para cada resistencia térmica, el diagrama nos
queda como:
Ti
To
Estimando el coeficiente de transferencia de calor por convección para el
agua por el interior de la tubería a 95 °C
(
) (
)
Y la ecuación para el flujo de calor quedara expresada como

(
)
(

)
(
)
Ahora podemos determinar las resistencias individuales de cada etapa
Sacando L como factor común

(
)
(

)
(
)
(
)
De la ecuación anterior, solo los coeficientes de transferencia de calor por
convección resaltados en rojo, no se obtienen directamente por lo que hay
que estimarlos a través de alguna correlación.
(
)
Características geométricas del sistema
De los catálogos para tubería de acero se obtiene
(
)
(
)
(
(
)
)
De donde el área de flujo interno de la tubería por la que pasa el agua será
Sustituyendo estos valores en el balance general
Para el resto de los radios tendremos
Por lo que la velocidad promedio del agua por el interior de la tubería será
Por lo tanto, el calor disipado por unidad de longitud de tubería será;
Fenómenos de transporte. Prof Pedro Vargas
Ejercicio 3.7 Incropera. Lo helado de la Brisa que se experimenta en un día
frio y con viento, se relaciona con el incremento de la transferencia de calor
de la piel humana expuesta a la atmosfera circundante. Considere una capa
de tejido adiposo de 3 mm de espesor cuya superficie interior se mantiene a
36 ˚C. En un día calmado el coeficiente de transferencia de calor por
convección a la superficie externa es de 25 W/m2K pero con vientos de 65
km/h alcanza los 65 W/m2K. En ambos casos, la temperatura del aire del
ambiente es de -15 ˚C.
a. ¿Cuál es la perdida de calor por unidad de área de la piel que se produce
en un día calmado a un día con viento?
b. ¿Cuál es la temperatura de la superficie externa de la piel en un día
calmado? ¿Cuál en un día con viento?
c. ¿Qué temperatura debería tener el aire en el día calmado para producir
la misma perdida de calor que ocurre con una temperatura del aire de 15 ˚C en el día con viento?
Respuesta
Ejercicio 7.19 Incropera. Sobre la superficie exterior de una placa plana que
se calienta a una temperatura uniforme de 100 ˚C hay aire en flujo paralelo a
una presión de 1 atm y una temperatura de 50 ˚C. La placa tiene una longitud
de 0,20 m (en la dirección del flujo) y un ancho de 0,10 m. El numero de
Reynolds basado en la longitud de la placa es 40000, ¿Cuál es la transferencia
de calor de la placa al aire? Si la velocidad del flujo de aire se duplica y la
presión aumenta a 10 atm, ¿Cuál es la transferencia de calor?
Respuesta
La transferencia de calor quedara expresada de la siguiente forma
Donde
Correlación para placa plana en flujo paralelo
Propiedades del aire
Parte a
Con un coeficiente de 25 W/m2K
Con un coeficiente de 65 W/m2K
(
)
(
)
Propiedades evaluadas
Estimando el numero de Reynolds a través de la correlación propuesta
(
Parte b
Despejando h
Con un coeficiente de 25 W/m2K
Retomando el balance de energía
Con un coeficiente de 65 W/m2K
Parte c
(
(
)
)
Fenómenos de transporte. Prof Pedro Vargas
)
(
)
Pared Cilíndrica. Ejercicio 3.32 Incropera. Una tubería de vapor de 0,12 m de
diámetro exterior se aísla con una capa de silicato de calcio.
a) Si el aislante tiene 20 mm de espesor y las superficies interna y externa
se mantienen a Ts,1= 800 K y Ts,2=490 K, respectivamente, ¿Cuál es la
perdida de calor por unidad de longitud de la tubería?
Respuesta
Silicato de calcio, Tabla A.3
K= 0,089 W/mK
3.36 Incropera. Uretano (k=0,026 W/mK) se usa para aislar la pared lateral y
las partes superior e inferior de un tanque cilíndrico de agua caliente. El
aislante tiene 40 mm de espesor y se intercala entre láminas de metal de
pared delgada. La altura y el diámetro interior del tanque son 2 m y 0,80 m
respectivamente, y el tanque está expuesto al aire del ambiente para el que
y
. Si el agua caliente mantiene la superficie
interna a 55 ˚C y el costo de energía asciende a xx Bsf/kWh, ¿Cuál es el costo
diario para mantener el agua almacenada?
Consideraciones
- El sistema se encuentra en estado estacionario
- La transferencia de calor se da solo en la dirección radial.
- No existe resistencia térmica de contacto.
Haciendo un balance entre la temperatura interna y externa de la tubería
compuesta, podemos escribir
Fenómenos de transporte. Prof Pedro Vargas