sin[(x + t 2) + t 2]+ sin [(x + t 2) − t 2] = 1. sin (x + t 2) cos t 2+cos(x + t

Alakítsuk át az egyenletet az alábbi módon:
sin
t
t
t
t
+
+ sin x +
−
= 1.
x+
2
2
2
2
A szögek összegének, illetve különbségének szinuszára ismert azonosság szerint
tovább alakíthatjuk az egyenletet:
t
t
t
t
t
t
t
t
sin x +
cos +cos x +
sin +sin x +
cos −cos x +
sin = 1.
2
2
2
2
2
2
2
2
Innen
t
t
cos = 1.
2 sin x +
2
2
Nins megoldása az egyenletnek, ha
Ha
t 6= π ,
cos
t
= 0,
2
vagyis ha
t = π.
rendezzük át az egyenletet:
1
t
=
.
sin x +
2
2 · cos 2t
t
t
π
≤1
< , azért a jobb oldal pozitív és sin x +
2
2
2
A feltétel szerint most
0≤
miatt pontosan akkor
van megoldás, ha
2 cos
t
≥ 1.
2
t
1
π
t
≥ , ami a megadott intervallumon akkor teljesül, ha ≤ . Ekkor
2
2
2
3
1
t
1
1
.
=
≤
≤ 1 és ilyen értékekre van olyan x, amelyre sin x +
2
2
2 cos 2t
2 cos 2t
2π
Pontosan akkor nins tehát megoldása az egyenletnek, ha
< t ≤ π.
3
Innen
cos
Bene Gyula
1
(Budapest, Egy. Kat. Gimn., 9. évf.)