Comentario sobre “A Generalized Variable Elasticity of Substitution

Comentario sobre “A Generalized Variable Elasticity of Substitution Production
Function with an Application to the Neoclassical Growth Model” de Luis A, Alcalá
Universidad Nacional de San Luis.
por Osvaldo E. Baccino
Cuando la Asociación Argentina de Economía Política me propuso comentar el trabajo de
Alcalá, me sorprendió un poco, debido a que mis estudios de posgrado los realicé en
Cambridge entre 1969 y 1973. Tuve la suerte de conocer profesores como Joan
Robinson, Kaldor, Sraffa, Pasinetti y muchos otros más, participantes, algunos de ellos en
la Controversia sobre Teoría del Capital. La posición de estos economistas incorpora una
fuerte crítica hacia las funciones de producción agregadas.
Sin embargo, debido a falta de tiempo y otras circunstancias propias de la Reunión Anual,
no voy a comentar el trabajo desde ese punto de vista sino que lo haré desde un enfoque
formal con algunas consideraciones de tipo analítico y econométrico, tanto con relación al
instrumento analítico desarrollado por Alcalá como a su aplicación al Modelo de SolowSwan.
En otras palabras, me remitiré a la lógica interna de este tipo de función sin discutir sus
fundamentos y relación con la teoría económica, a efectos de no entrar en el tema de la
gran controversia en Teoría del Capital que tuvo lugar entre parte de los años cincuenta y
mediados de los años sesenta entre economistas de la Universidad de Cambridge (Reino
Unido) y el M.I.T (USA).
La lectura del artículo de Alcalá me sugiere hacer las siguientes consideraciones:
En primer lugar es necesario separar el concepto de generalización de Revankar del
utilizado por Alcalá ya que presentan una importante diferencia. Aunque Alcalá parte del
estudio de Revankar y desarrolla una función de producción con elasticidad de sustitución
variable relacionada con la relación capital trabajo de manera no lineal, frente a la de
Revankar que sí presenta una relación lineal, es evidente que el sentido de generalización
se ha modificado.
Para Revankar la función de producción generalizada es una función generatriz que
estableciendo restricciones sobre determinados parámetros reproduce funciones de
producción específicas generalmente utilizadas en el análisis económico. El objetivo es
evitar el posible error de especificación al construir un modelo de estimación econométrica
basándose en una aplicación a priori de cierto tipo de función. La función busca alcanzar
el resultado mediante una selección emergente del testeo de los parámetros de la función
generalizada como resultado de la información utilizada.
De esta manera tal testeo de coeficientes debería permitir lograr una especificación
determinada por los datos, y no presupuesta por el econometrista. Esto resulta muy claro
en Revankar (1971).
Por su parte, Alcalá después de citar algunos párrafos donde Revankar explica el
propósito de su función generalizada, pasa a presentar dicha función como punto de
partida de su análisis.
Esta función es presentada por Alcalá de la siguiente manera:
AKα [L + (α 0 < α≠

La relación lineal entre elasticidad de substitución y K/ es.
V = 1 + [(αK/L
(a .1)
(a. 2)
Sin embargo, La función de producción VES de Revankar (1971) resulta diferente ya que
lógicamente exhibe más parámetros
V =  Kα(1 - ) [ L + ( - 1) K]α
(b.1)
 = 1 + [( K/Lb
Revankar asume que  > 1 lo que implica que
L/K > [(1 -  lo que determina el tramo empíricamente relevante de K/L:
Evidentemente, las funciones c.1 y c.2 no coinciden con a1 y a.2. En consecuencia la
función 1.a y 1.b que Alcalá presenta como la VES de Revankar es una interpretación
simplificada de algunos aspectos de interés para Alcalá. Esto da evidencia que el objeto
de generalización de Alcalá difiere del de Revankar. Presumiblemente Alcalá esté más
interesado en hallar una especificación particular pero que contenga la función Cobb
Douglas especialmente. Sin embargo si esto fuera así deberá ser fundamentado.
Si buscáramos encontrar la relación entre las ecuaciones b1 y b.2 con los parámetros de
a1 y a2 veremos que se dejan cosas en el camino.
Primero, téngase presentes las siguientes equivalencias hipotéticas:
A ;  = 1 -  ;  = (1 - )/
Aα [ L + ((1 - )/ - 1) K α ( 1 - )
entonces podríamos tener:
(c. 1)
 = 1 +(1 - )/ - 1) / )K/L) c
Pero, aún así la interpretación de Alcalá en términos semejantes a su propia
generalización priva de parte del contenido a la función de Revankar, a la vez que pone
de manifiesto que su generalización tiene un significado diferente del que originó la VES
de Revankar.
La generalización de la función de producción tiene sentido en que suele facilitar algunos
aspectos que se intentan resolver con su aplicación. Pero también es cierto que cuanto
más se avanza en la generalización aparecen limitaciones en el rango de variación
admisible en las variables. Por lo tanto, el resultado final depende de para qué se hace tal
generalización y hasta qué punto se realiza..
Prosigamos con la VES de Alcalá.
AKα [Lp + (pα)/p
con (A)
1<y

con dos sub-casos
(1) 0<p<1 y (2) −∞< p <0 cada una de las restricciones sobre .
La generalización de Alcalá parece más enfocada a determinada interpretación
matemática de su VES y esto lo lleva a manejarse con menos parámetros. Su objetivo
final consistiría en detectar el comportamiento de tal función en el modelo de Solow-Swan.
En consecuencia, con un detallado proceso matemático va describiendo la función de
producción de elasticidad de sustitución variable en su versión de VES, estableciendo las
restricciones en sus parámetros que aseguran productividades no negativas y otras
propiedades usuales de las funciones de producción neoclásicas. Así se examinan
aspectos y características de la función, tales como el carácter de monotónica de la
relación no lineal de la elasticidad de sustitución, condiciones de concavidad, convexidad,
rangos de variación de la relación capital trabajo, etc.
Estas complejidades se muestran con muchas condiciones respecto del valor de los
parámetros incorporados inicialmente en esta versión de VES, pero todo esto se deduce
matemáticamente de la función definida. No hay ninguna justificación económica de tal
especificación y sus restricciones.
El procedimiento parece un ejercicio de matemáticas puro sin aclaración sobre el
fenómeno productivo que se intenta describir con la función. Un caso claro de lo dicho es
cuando arriba a una tecnología Cobb-Douglas limitada por una función a la Leontief. Estos
resultados surgen principalmente de las restricciones impuestas a la VES de Alcalá en
lugar de obedecer a formalizaciones matemáticas de relaciones económicas concretas. Si
esto es así, este caso no presenta interés teórico alguno, salvo el de proveer un ejercicio
de cálculo diferencial.
La aplicación de la VES al modelo de Solow, también llama la atención. El modelo de
Solow está destinado a resolver el famoso “filo de la navaja” del equilibrio de crecimiento
del enfoque Harrod-Domar. El enfoque de Solow es neoclásico pero su modelo no
pretende incluir las características centrales de la teoría neoclásica sino que lo simplifica
para concentrarse en la eliminación de la inestabilidad del crecimiento de Harrod
mediante la sustitución de factores dentro de supuesto restrictivos.
A menudo se comete el error de tomar este ejemplo como representativo del enfoque
neoclásico y obviamente algo de esto parece suceder en el artículo de Alcalá. La
sustitución de factores juega un papel en el análisis dinámico permitiendo alcanzar la
estabilidad del equilibrio a largo plazo.
Sin embargo, el tema más importante, si se piensa en funciones CES o VES, sería como
afectan las variaciones en la distribución del ingreso en el proceso dinámico. Este tema
excede el modelo de Solow que no lo considera y supone una tasa de ahorro constante
de pleno empleo (véase Hahn y Matthews, 1964).
Este es el tema más importante y justamente es el que no considera Alcalá, porque con el
propósito de incluir su VES en el modelo de Solow-Swan, ha limitado su horizonte de
aplicación y por tanto se ha concentrado en tema puntuales de la especificación de VES
impuesta. Pienso que le reportaría más beneficios un modelo (nuevo o modificado) que le
permita incluir la distribución del ingreso en la determinación de la tasa media de ahorro.
Me llamó la atención que en la página 8 del artículo, Alcalá, al iniciar su aplicación al
modelo Solow-Swan, presente la identidad entre inversión bruta en capital y ahorros,
cuando Solow lo hace en términos netos. La función de producción en ese caso refiere al
producto neto. El producto neto emerge con la depreciación deducida. Esta simplificación
permite facilitar la relación con la distribución del ingreso vía productividades marginales.
Más adelante el autor describe ciertos senderos de crecimiento equilibrado a partir de los
coeficientes incorporados en su VES. Algunos está definidos por el rango de variación de
los coeficientes y uno de ellos es considerado equivalente al caso de crecimiento
endógeno.
Hasta ahora, pensábamos que la función de producción refería a un estado de las artes
en un momento determinado y no se consideraba el cambio tecnológico. Sin embargo,
ahora aparecen algunos coeficientes que servían para la generalización que tienen
efectos de cambio tecnológico como es el caso del cambio incorporado en los modelos de
crecimiento endógeno. Este cambio implícito de significado implica un serio error de
lógica económica.
Por eso que llama la atención cuando expresa como caso especial que en esta economía
simple el motor del crecimiento sea la acumulación del capital. ¿No le parece que esto
sucede siempre excepto en la ficción del estado estacionario donde la inversión neta es
nula?
Posiblemente, esa incómoda solución que encuentra en el modelo surja del uso
indiscriminado de parámetros que no son interpretados desde el punto de vista
económico, y por tanto en ciertas condiciones implican un significado ajeno al tema que
se está tratando. Esto es el resultado de incorporar parámetros sin explicitar su sentido
económico. La matemática puede ser correcta pero el esquema puede salirse del
contexto metodológico establecido.
En esta situación, se hace presente una disociación de dos elementos de la acumulación
de capital: widening and deepening. La adopción de procesos con diferentes relación
capital trabajo corresponde al deepening pero también es acumulación.
A mi juicio, Alcalá habla de estabilidad e inestabilidad sin el consecuente análisis dinámico
que exige la complejidad de introducir la VES. Que es expresar como al salir del equilibrio
se generan fuerzas para retornar a él o no. El modelo de Solow lo puede hacer
describiendo directamente una ecuación diferencial debido a que su modelo está
adecuadamente simplificado para ello.
Todo su trabajo matemático gira alrededor de la determinación de equilibrio, o dicho en
otras palabras, de su existencia. Por ello que siempre se termina fijando rangos de
variación de variables y parámetros. Esto no resuelve el tema.
Como se ve estos problema surgen de no tener en cuenta las diferencias respecto a lo
que significa generalizar la función de producción. Alcalá arranca buscando extender el
trabajo de Revankar pero tomó por otra ruta y esto no se hace explícito, por lo tanto
genera un creciente conjunto de oscuridades y temas confusos.
Por último, para tratamientos futuros, le sugiero echar un vistazo a la controversia en
Teoría del Capital y su relación con la función de producción agregada. Esto permitirá
analizar serios problemas de lógica muy útiles para quienes se interesan en el análisis de
la producción y el crecimiento. Además, también recomiendo que vea algunos papers de
Franklin Fisher del M.I.T. que estudió las dificultades de la agregación de funciones de
producción y cual es el significado que algunas especificaciones tengan buenos ajustes
estadísticos. Estos trabajos que cito más abajo, ponen en duda la utilidad de las funciones
de producción agregadas desde la teoría económica y también desde la econometría.
Referencias:
Véase, “Paradoxes of Capital Theory: A summing up”, Quarterly Journal of Economics,
Noviembre de 1966.
Hahn, F.H. y Matthews, R.C.O. (1964), “The Theory of Economic Growth: A Survey”.
Economic Journal, Volumen 74.
Fisher, Franklin M., (1969); “The Existence of Aggregate Production Functions”,
Econometrica, Volumen 37, Número 4,
Fisher, Franklin M., (1971), “ Aggregate Production Functions and the Explanation
of Wages: A Simulation Experiment”, The Review of Economics and Statistics”, Volume
53, No. 4.
Revankar, Nagesh S., (1971), “A Class of Variable Elasticity of Substitution Production
Functions”, Econometrica, Volumen 39, No.1.