RESUMEN DEL TEMA 3: MODELO WEIBULL 1. Introducción 2

RESUMEN DEL TEMA 3:
MODELO WEIBULL
1.
Introducción
El modelo Weibull generaliza al modelo exponencial. Su razón de fallo es monótona.
Este modelo depende de tres parámetros, que definen la razón de fallo:
El parámetro umbral
El parámetro de forma
El parámetro de escala
El parámetro umbral o parámetro de localización indica el origen de tiempos. El
parámetro de forma se define en términos del exponente de la función potencial que
determina la razón de fallo del modelo. En términos de este parámetro se definirá la
monotonı́a de la razón de fallo. Más concretamente, la razón de fallo es monótona creciente o monótona decreciente dependiendo de que el parámetro de forma sea superior o
inferior a la unidad, respectivamente. El inverso del parámetro de escala define la razón
de fallo del modelo exponencial, cuando el modelo Weibull se particulariza a este caso
(parámetro de forma igual a la unidad). Puesto que está definido en términos de tres
parámetros, proporciona una gran flexibilidad en la representación de comportamientos
de una gran variedad de sistemas de fallo. La implementación de métodos de inferencia
es más compleja que en el modelo exponencial. En el caso en que el parámetro umbral o
de localización coincida con el instante cero se tiene el modelo Weibull biparamétrico.
2.
Modelo
En esta sección se resumen las principales caracterı́sticas o propiedades estadı́sticas
que definen el modelo Weibull biparamétrico.
Densidad de probabilidad y función de distribución:
( µ ¶ )
µ ¶β−1
β
β t
t
fT (t) =
exp −
η η
η
( µ ¶ )
β
t
FT (t) = 1 − exp −
η
siendo t ≥ 0, β > 0 y η > 0, denotando η el parámetro de escala y β el parámetro
de forma.
1
Media:
µ
ET = ηΓ
¶
1
+1 ,
β
denotando por Γ a la función Gamma.
Mediana:
TMED = η ln (2)1/β .
Moda:
µ
TMOD
1
=η 1−
β
¶1/β
.
Desviación Estándar:
à µ
¶
µ
¶2 !1/2
2
1
σT = η Γ
+1 −Γ
+1
.
β
β
Función de Fiabilidad:
( µ ¶ )
β
t
R(t) = exp −
.
η
Fiabilidad Condicional:
½ ³
´β ¾
t+T
exp − η
R(t + T )
½ ³ ´ ¾
=
P [T > t + T |T > T ] =
β
R(T )
exp − Tη
( "µ
¶β µ ¶β #)
t+T
T
= exp −
−
.
η
η
Tiempo Transcurrido para una Fiabilidad o Proporción de Fallos p Especificadas:
TR = Tp = R(TR ) = 1 − p = η (− ln (R(TR )))
Razón de fallo:
β
h(t) =
η
2
1/β
µ ¶β−1
t
.
η
µ µ
¶¶1/β
1
= η ln
.
1−p