Reglas de prioridad o precedencia Restas y divisiones no cumplen

Matemáticas - 1o ESO
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Reglas de prioridad o precedencia
Al encontrarnos con un cálculo compuesto de varias operaciones distintas se nos puede plantear la
duda de cual realizar primero.
Ejemplo: 13 − 5 · 2 + 32
Un estudiante sin experiencia cometerı́a el error de comenzar haciendo operaciones de izquierda a
derecha. Comenzarı́a haciendo la resta a la izquierda, 13 − 5 cuyo resultado multiplicarı́a por 2,
etc. Pero existen una serie de reglas en matemáticas que nos indican que hacer primero en función
de las operaciones implicadas, antes aun que de la ubicación de las mismas. Estas reglas, conocidas
como reglas de prioridad o precedencia en las operaciones, son las siguientes:
Primero se realizan las potencias y las raı́ces. En nuestro ejemplo primero resolverı́amos el cuadrado, (32 = 3 · 3 = 9), quedando 13 − 5 · 2 + 9.
Tras esto se resuelven productos y divisiones, (de izquierda a derecha). En nuestro caso hay que
resolver el producto, (5 · 2 = 10), quedando 13 − 10 + 9.
Por último se resuelven sumas y restas, (de izquierda a derecha). Primero en nuestro caso la resta, (por estar a la izquierda), 13−10 = 3, quedando 3+9. Por último sumamos quedando 3+9 = 12.
9
10
3
z}|{
z}|{
z }| {
2
13 − 5 · 2 + 3 = 13 − 5 · 2 +9 = 13 − 10 +9 = 3 + 9 = 12
A menudo podemos hacer 2 o más operaciones al mismo tiempo, siempre que el cálculo de una no
este afectado con el cálculo de la otra. En nuestro ejemplo podemos resolver en un solo paso la
potencia y el producto:
10
9
z}|{ z}|{
13 − 5 · 2 + 32 = 13 − 10 + 9 = 3 + 9 = 12
Restas y divisiones no cumplen la propiedad asociativa
Hay que poner atención en resolver las operaciones con la misma prioridad de izquierda a derecha.
En sumas y productos, que cumplen las propiedades conmutativa y asociativa, el resultado será el
mismo si no lo hacemos ası́. Pero en la resta y la división, que no cumplen la propiedad conmutativa
ni asociativa, los resultados serán incorrectos. Veamos un ejemplo:
Ejemplo: 20 − 5 − 10
15
z }| {
Lo hacemos correctamente empezando por la izquierda: (20 − 5) −10 = 15 − 10 = 5
?
z }| {
Si intentamos hacer el calculo empezando por la derecha 20 − (5 − 10). 5 − 10 no pertenece al
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conjunto de los números naturales. No puede calcularse.1
Segundo ejemplo:
40 ÷ 10 ÷ 2
4
z }| {
Lo hacemos correctamente empezando por la izquierda: (40 ÷ 10) ÷2 = 4 ÷ 2 = 2
Si intentamos hacer el calculo empezando por la derecha obtenemos un resultado incorrecto.
5
z }| {
40 ÷ (10 ÷ 2) = 40 ÷ 5 = 8.
Cambiando el orden con paréntesis
En las situaciones en que nos interese, se puede modificar el orden de la prioridad de las operaciones
mediante paréntesis. En las reglas de prioridad los paréntesis se calculan antes que todas las otras
operaciones.
Por ejemplo, podemos modificar nuestro ejemplo mediante paréntesis para que en se realice primero
la resta antes que las otras operaciones de la siguiente forma: (13 − 5) · 2 + 32 .
Podemos además usar paréntesis unos dentro de otros. Esto se conoce como paréntesis anidados.
Cuando tenemos paréntesis anidados se realizan primero los cálculos de los paréntesis más interiores.
Ejemplo: (13 − 5) · 2 + 3
2
Comenzamos por el paréntesis más interior. Aunque el producto tiene mayor prioridad que la resta,
los paréntesis indican que la resta debe efectuarse primero.
8
z }| {
2
(13 − 5) ·2 + 3 = (8 · 2 + 3)2
Ahora realizamos las operaciones dentro del segundo paréntesis siguiendo las reglas de prioridad.
Primero el producto y después la suma. Por último, se resuelve el cuadrado.
16
z}|{
( 8 · 2 +3)2 = (16 + 3)2 = 192 = 361
Las raı́ces tienen el mismo efecto que los paréntesis
Una raı́z actúa sobre un único número. Ejemplo:
√
4. El único número afectado por la raı́z es el 4.
Pero a menudo el integrando de una raı́z es un conjunto de operaciones. Ejemplo:
En estos casos la raı́z se comporta como si tuviese un paréntesis,
√
92 − 4 · 3 · 6 =
1
√
92 − 4 · 3 · 6
p
(92 − 4 · 3 · 6).
Si tiene solución en el conjunto de los enteros, Z, donde 5 − 10 = −5, pero el conjunto de los naturales, N no
admite valores negativos.
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Por tanto, hay que efectuar primero las operaciones dentro del radicando y aplicar la raı́z al resultado.
En nuestro caso primero efectuamos potencia y productos, (no se afectan por lo que pueden hacerse
los dos al mismo tiempo). Tras esto efectuamos la resta y por último la raı́z.
s
81
72
z}|{ z }|
{ √
√
2
9 − 4 · 3 · 6 = 81 − 72 = 9 = 3.
Resumen de reglas de prioridad
Las cuatro reglas, ordenadas de mayor a menor prioridad, que hemos visto para los números naturales2 son las siguientes:
1. Paréntesis, (comenzando por los más interiores).
2. Potencias y raı́ces.
3. Productos y divisiones, (comenzando por la izquierda).
4. Sumas y restas, (comenzando por la izquierda).
2
Estas mismas reglas se aplican a enteros, racionales y otros conjuntos como veremos más adelante.
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