Capitulo diez: Entiende la probabilidad

Entiende la
probabilidad
Matemáticas en
la vida diaria
¡A cara y escudo! Una probabilidad es un número entre 0 y 1
que indica la posibilidad de que ocurra un evento. Entre más cerca
esté la probabilidad de 0, menos posibilidad hay de que suceda el
evento.
¿Cuál es la posibilidad de que ocurran algunos
eventos cotidianos?
• Si lanzas una moneda para responder para una prueba de
10 preguntas de verdadero y falso, la probabilidad de que
1
todas tus respuestas estén correctas es 1,024 ó unas 0.001.
• Si lanzas una moneda para hallar la respuesta para
una prueba de 10 preguntas de verdadero y falso,
la probabilidad de que todas tus respuestas estén
1
correctas es 27,000 ó más o menos 0.00004.
Piensa al respecto Para comprender mejor la
improbabilidad de estos eventos, compara
estas probabilidades con la probabilidad de que llueva mañana en tu
ciudad.
Carta a la familia
Estimados alumno(a) y familiares:
Terminamos este emocionante año de matemáticas estudiando la
probabilidad. La probabilidad indica que las posibilidades de ganar el premio
gordo de la lotería estatal son casi nulas. Supongamos que jugar la lotería
consiste en escoger 6 números diferentes de un total de 54 y que, para ganar
el premio gordo, los seis números escogidos deben ser idénticos a los
seleccionados al azar durante el sorteo. Las probabilidades de ganar bajo
estas condiciones son sólo 1 en 25,827,165 ó 0.00000004.
La probabilidad de que ocurra un evento se puede describir con un número
entre 0 y 1.
• Una probabilidad de 0 significa que un evento no tiene posibilidad de ocurrir.
(De modo que la probabilidad de ganar la lotería es muy cercana a 0.)
• Una probabilidad de 1 significa que el evento ocurrirá con seguridad.
• Una probabilidad de 12 ó 50% significa que la posibilidad de que el evento
ocurra es igual a la posibilidad de que el evento no ocurra.
Para ilustrar, si el pronóstico del tiempo indica que la probabilidad de lluvia
para el día de mañana es de 90%, entonces sería muy recomendable salir con
el paraguas el día siguiente, aunque no llueva. Pero si la probabilidad de
lluvia es de 10%, entonces es muy poco probable que llueva.
En este capítulo, usarán razonamientos matemáticos para calcular
probabilidades en situaciones simples, como lanzar una moneda o sacar un
nombre dado de un sombrero. También harán algunos experimentos en que
lanzarán monedas o sacarán papeles con nombres de un sombrero para
comparar los resultados con las probabilidades calculadas.
Vocabulario A través de este capítulo, aprenderán este nuevo vocabulario:
equiprobable
probabilidad teórica
probabilidad
simulacro
probabilidad teórica
¿Qué pueden hacer en el hogar?
Busquen situaciones cotidianas en las que se aplique la probabilidad,
como por ejemplo, la probabilidad de que llueva o las posibilidades en los
deportes. Pueden explorar la probabilidad con su hijo(a) participando en
juegos de azar. Pídanle a su hijo(a) que les enseñe los juegos que jugamos
en clase y que les describa cómo se aplica la probabilidad en cada juego.
impactmath.com/family_letter
603
El lenguaje de las
posibilidades
Con frecuencia se oyen comentarios como:
• “Es posible que no llueva mañana.”
• “Supongo que tendré mucha tarea esta semana.”
• “Nuestro equipo tiene buenas posibilidades de ganar el juego.”
• “Es improbable que ella se coma ese pastel entero.”
• “Las posibilidades son 50/50 de que iremos al cine esta noche.”
• “Hay 40% de probabilidad de que llueva mañana.”
Las palabras probablemente, esperar, azar, posibilidades y probable se usan
cuando alguien hace una predicción.
Datos
de
&
Piensa comenta
interés
A algunos gorilas se les
ha enseñado a comunicarse con los humanos
usando el lenguaje de
señas. Uno de estos
gorilas, Koko, tiene un
vocabulario de más de
1,000 palabras.
¿Cuáles son otras palabras o frases que la gente usa cuando predice las
posibilidades de que algo suceda?
A continuación se enumeran seis eventos. ¿Qué probabilidad de ocurrir
crees que tenga cada evento? Habla de ellos con tu clase y lleguen a un
acuerdo acerca de si cada evento
•
•
•
•
•
no tiene la posibilidad de suceder
podría suceder pero es improbable
es equiprobable
es probable que suceda
es seguro que suceda
Evento 1: Nuestra clase tendrá tarea para mañana.
Evento 2: Mañana nevará.
Evento 3: Si lanzo un centavo al aire, saldrá cara.
Evento 4: Un gorila almorzará con nosotros hoy.
Evento 5: Seleccionas un nombre de un sombrero que contiene los nombres de todos los alumnos de tu clase y te sale el nombre de una niña.
Evento 6: Sacas un número de un sombrero que contiene los números
del 1 al 5 y te sale el 8.
604 C A P Í T U L O 1 0
Entiende la probabilidad
Investigación 1
V O C A B U L A R I O
probabilidad
Probabilidad en la vida diaria
La probabilidad o posibilidad de que ocurra un evento se puede describir con
un número entre 0 y 1:
• Una probabilidad de 0 ó 0%, significa que el evento no tiene
posibilidad de suceder.
• Una probabilidad de 12 ó 50%, significa que el evento tiene tanto la
posibilidad de suceder como de no suceder.
• Una probabilidad de 1 ó 100%, significa que es seguro que el evento
suceda.
Por ejemplo, la probabilidad de que una moneda caiga en cara es 12 ó 50%.
Esto significa que supones que caerá en cara 12 ó 50% de las veces.
Recuerda
La probabilidad P de un
evento E es la razón
que compara el número
de resultados favorables f al número de
resultados posibles n.
f
P(E) = n
Mientras mayor sea la posibilidad de que suceda un evento, la probabilidad
es mayor. Si el pronóstico del tiempo dice que la probabilidad de lluvia es
del 90%, sería una buena idea que lleves tu paraguas cuando salgas. Por
supuesto, después de todo podría no llover. Por otra parte, si el pronóstico
del tiempo dice que la probabilidad de lluvia es del 10%, podrías dejar tu
paraguas en casa. Aunque, ¡te podrías mojar!
Puedes representar la probabilidad de un evento marcándolo en una recta
numérica como ésta:
Imposible
0 0%
Posibilidad 50–50
0.5 12 50%
Seguro
1 100%
Por ejemplo, la siguiente recta numérica muestra las probabilidades de lanzar
una moneda y sacar cara, de que un pececillo de color camine a través de un
cuarto y de que caiga nieve en Alaska este invierno.
Pez dorado
que camine
Caer
cara
Nieve en
Alaska
0%
50%
100%
Serie de problemas
1.
A
Describe un evento que pienses tiene la posibilidad dada de suceder.
a.
El evento no tiene posibilidad de suceder.
b.
El evento podría suceder, pero es improbable.
c.
El evento tiene tanta posibilidad de suceder como de no suceder.
d.
El evento es probable que suceda.
e.
El evento es seguro que suceda.
LECCIÓN 10.1
El lenguaje de las posibilidades 605
2.
Copia esta recta numérica. Rotula la recta numérica con tus eventos del
Problema 1. Puedes usar las letras de los eventos para los rótulos.
0%
Datos
de
100%
En la Serie de problemas A, usaste tu experiencia para calcular las posibilidades de que ocurrieran ciertos eventos. Por ejemplo, sabes por experiencia
que cuando lanzas una moneda, sale escudo casi la mitad de las veces. En
algunas situaciones, puedes usar datos para ayudarte a calcular probabilidades.
interés
La Liga Infantil de
béisbol empezó en
1939 en Williamsport,
Pennsylvania, con tres
equipos y 45 jugadores.
Hoy en día, más de
2.5 millones de niños
en todo el mundo,
juegan en la Liga
Infantil de béisbol.
V O C A B U L A R I O
probabilidad
experimental
50%
Serie de problemas
B
El sábado, el equipo de béisbol de Caroline, los Rockets, juega contra el
equipo de Jahmal, los Lions. Caroline decide revisar los resultados de las
últimas seis veces que jugaron sus equipos uno contra el otro.
Lions
Rockets
3
5
8
2
6
4
4
5
4
7
5
6
1.
¿Cuántas veces ganaron los Rockets?
2.
¿Qué equipo crees que tiene más posibilidades de ganar el siguiente
juego?
3.
Caroline puede calcular la probabilidad de que gane su equipo, dividiendo el número de veces que los Rockets ganaron entre el número de veces
que jugaron. ¿Qué probabilidad podrías calcular basándote en los resultados de los seis juegos? Da tu respuesta como fracción y porcentaje.
4.
Supón que Caroline sabe los resultados de sólo los primeros tres juegos.
¿Cuál sería su cálculo de probabilidad? Si ella sabe los resultados de
sólo los tres últimos juegos, ¿cuál sería su cálculo de probabilidad?
5.
Estos dos equipos han jugado seis veces uno en contra del otro. Supón
que han jugado ocho veces y cada equipo ha ganado más de un juego.
¿Qué cálculo de probabilidad darías para que los Rockets ganen el
siguiente juego?
Las probabilidades que encontraste en la Serie de problemas B son ejemplos
de probabilidades experimentales. Las probabilidades experimentales siempre son cálculos y pueden variar dependiendo del conjunto de datos particulares que uses.
Supón que quieres calcular una probabilidad experimental cuando no tienes
datos disponibles. En esos casos, podrías realizar experimentos para crear
los datos.
606 C A P Í T U L O 1 0
Entiende la probabilidad
M AT E R I A L E S
vaso desechable
C
Serie de problemas
Muy parecido a un experimento científico, un experimento de probabilidad
consiste en tratar de ver qué sucede con algo. Puedes tener alguna idea de lo
que puede ocurrir, pero los verdaderos resultados pueden sorprenderte.
1.
Lanza un vaso desechable para que gire en el aire. Anota cómo cae:
boca arriba, boca abajo o de lado. Ésta es una prueba del experimento.
Boca arriba
Boca abajo
De lado
Lanza el vaso 29 veces más, es decir, haz un total de 30 lanzamientos.
Anota la posición en que cae cada vez. Usa marcas para contar cómo se
muestra abajo.
Datos
de
interés
Muchas estadísticas
deportivas se pueden
pensar como probabilidades experimentales.
Por ejemplo, el porcentaje de tiros libres
de un jugador de básquetbol es la probabilidad de que anote en su
siguiente tiro libre.
Boca arriba
Boca abajo
De lado
||
|
||||
2.
¿Cuántas pruebas realizaste en tu experimento?
3.
¿Cuántas veces cayó el vaso boca arriba? ¿Boca abajo? ¿De lado?
4.
Calcula la porción de pruebas para las cuales el vaso cayó boca arriba,
da tu respuesta como fracción o porcentaje. Tu respuesta es una probabilidad experimental de que el vaso cae boca arriba cuando lo lanzas.
5.
Ahora, calcula una probabilidad experimental de que el vaso caiga boca
abajo y una probabilidad experimental de que caiga de lado.
6.
Comparte tus resultados con la clase y considera los resultados encontrados por tus compañeros. Sugiere al menos una manera de usarlos
para calcular una probabilidad experimental de toda la clase para el vaso
que cae boca arriba.
&
Comparte
resume
1. ¿Qué
significa decir que la probabilidad de un evento es 1?
2. Conor
está en la liga de básquetbol. Cierta tarde, practicó tiros libres
y encestó 32 de 50 tiros. Calcula la probabilidad que haga un tiro
libre, expresándola como fracción y porcentaje.
3. Supón
que haces y pruebas de un experimento y un evento en particular sucedió x veces. Calcula la probabilidad experimental de que
ocurra ese evento.
LECCIÓN 10.1
El lenguaje de las posibilidades 607
Investigación 2
V O C A B U L A R I O
probabilidad
teórica
equiprobable
Probabilidad teórica
En algunas situaciones, todas las posibilidades para una situación, llamadas
resultados, tienen la misma probabilidad de ocurrir. Por ejemplo, lanzar una
moneda tiene dos resultados posibles: cara o escudo. Si la moneda es limpia,
casi en la mitad de los lanzamientos caerá en cara y en la otra mitad escudo.
En situaciones como ésta, los resultados son equiprobables.
Cuando los resultados son equiprobables, puedes calcular las posibilidades al
razonar la situación. Como estas probabilidades teóricas no dependen de
experimentos, siempre son las mismas para un evento en particular.
Datos
de
interés
En 2001, los nombres
de niñas más
populares en EE.UU.
eran Emily, Hannah,
Madison, Samantha,
Ashley, Sarah,
Elizabeth, Kayla,
Alexis y Abigail.
E J E M P L O
En una competencia de clase, cinco alumnos: Althea, Conor, Hannah,
Luke y Rosita están empatados en primer lugar. Para desempatar,
escribirán sus nombres en tiras de papel y las pondrán en un tazón. Un
juez escogerá una tira sin ver y el alumno cuyo nombre esté en esa tira
recibirá el primer premio. ¿Cuál es la probabilidad de que el nombre que
escoja tenga tres sílabas?
Althea
Conor
Hannah
Luke
Rosita
Hay cinco nombres. El juez seleccionó un nombre al azar, es decir, una
manera en que los cinco nombres tienen la misma oportunidad de ser
seleccionados. Althea y Rosita son los únicos nombres con tres sílabas.
Como hay cinco resultados equiprobables y dos de ellos son nombres de
tres sílabas, esperarías que un nombre de tres sílabas fuera seleccionado
2 de las veces. Así, la probabilidad de seleccionar un nombre con tres
5
sílabas es 25 ó 40%.
Serie de problemas
D
Piensa en la situación descrita en el Ejemplo. Determina la probabilidad de
cada uno de los siguientes eventos y su probabilidad teórica. Explica tus
respuestas.
608 C A P Í T U L O 1 0
1.
El nombre seleccionado no empieza con R.
2.
El nombre seleccionado empieza con J.
3.
El nombre seleccionado tiene cuatro letras o más.
4.
El nombre seleccionado tiene exactamente cuatro letras.
Entiende la probabilidad
5.
El nombre seleccionado termina con A.
6.
El nombre seleccionado no termina en A.
7.
Suma las probabilidades que encontraste en los Problemas 5 y 6. ¿Por
qué esta suma tiene sentido?
Cuando la gente habla sobre probabilidades implicadas en juegos, al lanzar
dados o monedas, por lo general, se refiere a probabilidades teóricas más que
experimentales. En el resto de esta investigación, considerarás la relación
entre estos dos tipos de probabilidad.
&
Piensa comenta
Si lanzas una moneda,
la mitad de las veces
te debe salir cara
y la otra mitad debe
salir escudo.
Jing
Jing lanzó una
moneda y le salió
cara. En su próximo
lanzamiento debe
sacar escudo.
No, ella tiene la
misma
posibilidad
de que le salga
cara o escudo.
Conor
Rosita
Debes lanzar la moneda muchas veces
para estar seguro de
que los lanzamientos
sean aproximadamente mitad caras
y mitad escudos,
.
Miguel
Comenta sobre lo que los alumnos están diciendo. ¿Con cuáles estás de
acuerdo?
Datos
de
interés
En 2001, los nombres más
populares para los niños
nacidos en EE.UU. fueron
Jacob, Michael, Joshua,
Matthew, Andrew, Joseph,
Nicholas, Tyler y Daniel.
LECCIÓN 10.1
El lenguaje de las posibilidades 609
Serie de problemas
M AT E R I A L E S
E
moneda
Datos
de
1.
Si lanzas una moneda 12 veces, ¿cuántas veces crees que salga cara?
Explica.
2.
Haz un experimento para calcular la probabilidad experimental de que
salga cara. Lanza la moneda 12 veces y anota los resultados. Escribe H
para cada cara y T para cada escudo.
3.
interés
Desde 1793 hasta
1857, Estados Unidos
acuñó monedas de
medio centavo.
Datos
de
interés
Lincoln es el único presidente cuya cara aparece en una moneda
viendo hacia la derecha.
a.
¿Cuántas caras sacaste?
b.
Usa tus resultados para calcular la probabilidad experimental de que
salga cara cuando lanzas una moneda.
Compara los resultados teóricos con tus resultados experimentales.
a.
¿Es el resultado en la Parte A del Problema 2 la misma respuesta que
calculaste en el Problema 1?
b.
¿Es tu probabilidad experimental igual a la probabilidad teórica?
4.
Combina ahora tus resultados
experimentales con los de los
otros alumnos. Haz una tabla
como ésta, que muestre cuántas veces de 12 salió cara en
la moneda de cada uno de los
alumnos.
5.
Calcula el número total de
lanzamientos que hizo tu
clase. ¿Cuántas caras
esperarías para ese número de lanzamientos?
6.
Ahora suma las entradas en la columna de “Número de caras”.
¿Coinciden los resultados con tus expectativas?
7.
¿Cuál fue el porcentaje de caras del número total de lanzamientos? En
otras palabras, ¿cuál es la probabilidad experimental de sacar cara
basándote en los datos de toda la clase?
8.
¿Cuál probabilidad experimental está más cerca de la probabilidad teórica: la que calculaste para la Parte b del Problema 2 ó la que calculaste
para el Problema 7?
Alumno
James
Ali
Número de caras
7
5
Es normal que las probabilidades experimentales sean diferentes a las
probabilidades teóricas. De hecho, cuando repites un experimento pocas
veces, es posible que las probabilidades teóricas y experimentales no
coincidan del todo.
610 C A P Í T U L O 1 0
Entiende la probabilidad
Sin embargo, cuando repites un experimento muchas veces, por ejemplo, al
combinar todos los lanzamientos de moneda de cada persona en tu clase o al
realizar más lanzamientos, la probabilidad experimental por lo general se
acercará a la probabilidad teórica.
La probabilidad teórica indica lo que es probable que suceda a la larga, es
decir, si intentas algo muchas veces. No revela exactamente que sucederá
cada vez.
M AT E R I A L E S
dado
Serie de problemas
F
Un dado típico tiene 6 caras, cada una indica
un número diferente del 1 al 6. Cuando lanzas
un dado, el resultado es el número superior que
muestra el dado.
1.
Lanza un dado 12 veces y anota cada
número que salga. ¿Cuántos 3 sacaste?
2.
Usa los resultados para calcular una probabilidad experimental de que
salga 3.
3.
Reúne resultados de otros compañeros de tu clase y haz una tabla con
estas columnas:
Alumno
Número de 3
4.
Calcula el número total de lanzamientos y el número total de 3 para
todos los alumnos de tu clase. Después calcula una probabilidad
experimental al lanzar 3.
5.
Ahora piensa en la probabilidad teórica de que salga 3.
6.
a.
¿Cuántos resultados posibles hay para un sólo lanzamiento? ¿Son
todos equiprobables?
b.
En cada lanzamiento del dado, ¿cuál es la probabilidad de que salga 3?
c.
Si lanzas un dado 12 veces, ¿cuántas veces esperarías que saliera 3?
Compara los resultados teóricos del Problema 5 con tus propios
resultados experimentales del Problema 2 y con los resultados
experimentales del Problema 4 de tu clase. ¿Cuál resultado
experimental está más cerca del resultado teórico?
LECCIÓN 10.1
El lenguaje de las posibilidades 611
&
Comparte
resume
1. En
la fiesta de cumpleaños de Jenna, su madre asignó a cada uno de
los asistentes, incluyendo a Jenna y sus dos hermanas, un número del 1
al 10. Para ver quién jugaría Ponle la cola al burro primero, el padre
de Jenna sacó de una caja una de las diez pelotas, las cuales estaban
numeradas del 1 al 10. La persona cuyo número fuera seleccionado,
jugaría primero.
1
2
6
4
3
7
5
10
9
8
a.
¿Cuál es la probabilidad de que el número seleccionado fuera el de
Jenna o el de una de sus hermanas?
b.
¿Cuál es la probabilidad de que el número seleccionado no fuera el
de Jenna o una de sus hermanas, es decir, cuál es la probabilidad
de que el número perteneciera a uno de los siete invitados? Explica
cómo encontraste la respuesta.
2. Chris
tiene un girador dividido
en cinco secciones del mismo tamaño,
numeradas del 1 al 5. Giró la flecha
100 veces y anotó el resultado cada vez.
a.
b.
¿Cuántas veces esperarías que la
flecha parara en la Sección 4?
1
2
5
3
4
Si el número real de números 4 anotados es diferente al número que contestaste en la Parte a,
¿significa que tu cálculo estuvo equivocado? Explica.
3. Supón
que realizas un experimento 20 veces y un amigo hace el
mismo experimento 200 veces. Los dos usan los resultados para
calcular una probabilidad experimental. ¿De quién esperarías que
fuera la probabilidad experimental que coincide más con la
probabilidad teórica? Explica.
612 C A P Í T U L O 1 0
Entiende la probabilidad
Investigación
El juego del trompo
de laboratorio
El juego del trompo se juega con un
trompo de cuatro esquinas que contiene
cuatro símbolos. Existen muchas variaciones de este juego.
En esta investigación, estudiarás las
probabilidades para una de las versiones
más populares del juego del trompo.
Juega
M AT E R I A L E S
Jugarás en un grupo de cuatro. Éstas
son las reglas:
• trompo de cuatro
esquinas con lados
marcados DN, TA,
TH y P1
• fichas
• Cada jugador empieza con diez
fichas.
• Cada jugador pone una ficha en el
centro de la mesa.
• Los jugadores se turnan para hacer bailar el
trompo. Una de estos cuatro símbolos caerá boca arriba:
DN TA TH P1
La letra que cae boca arriba le indica al jugador qué hacer:
DN
TA
TH
P1
No hagas nada.
Toma todas las fichas del centro.
Toma la mitad de las fichas del centro. (Redondea hacia
abajo. Por ejemplo, si el número de fichas es cinco, toma
dos.)
Paga uno colocando una ficha en el centro.
• Antes de cada turno, cada jugador pone otra ficha en el centro. Un
jugador sin fichas está fuera del juego.
• El juego continúa hasta que sólo uno de los jugadores tenga fichas o
tu maestro(a) diga que se acabó el tiempo. Gana el jugador que tenga
más fichas.
1.
Juega con tu grupo llevando la cuenta de los símbolos que sacan los
jugadores.
LECCIÓN 10.1
El lenguaje de las posibilidades 613
2.
¿Cuántas veces salió cada símbolo en todo el juego?
DN
||
3.
TA
TH
|
P1
Dibuja una gráfica de barras para mostrar el número de veces que salió
cada símbolo.
Calcula probabilidades
Ahora que tienes un poco de experiencia jugando al trompo, puedes calcular
las probabilidades de ciertos resultados.
4.
Empieza por calcular una probabilidad experimental de cada letra,
basándote en los resultados del juego.
Supón que es equiprobable que salga cada símbolo.
5.
Calcula la probabilidad teórica de que salga cada símbolo.
6.
¿En qué se diferencian las probabilidades teóricas que calculaste en la
Pregunta 5 con tus probabilidades experimentales de la Pregunta 4?
7.
¿Cuál es la probabilidad (teórica) de ganar fichas en un turno? Explica.
8.
¿Cuál es la probabilidad de perder fichas en un turno? Explica.
9.
Jahmal dijo que el primer jugador tiene una mejor posibilidad de
ganar todas las fichas del centro que los otros jugadores. ¿Estás de
acuerdo con Jahmal? Explica tu respuesta.
10.
Supón que el primer jugador gana todas las fichas en su primera ronda.
¿Cuál es la probabilidad de que el segundo jugador gane también todas
las fichas? Explica tu respuesta.
¿Qué has aprendido?
614 C A P Í T U L O 1 0
11.
Si es equiprobable que obtengas cada uno de los cuatro lados del
trompo, ¿por qué no es equiprobable ganar fichas que perderlas?
12.
Cambia las reglas del juego del trompo de manera que la probabilidad
de ganar fichas en cada turno sea 14 y la probabilidad de perder fichas
sea 12.
Entiende la probabilidad
Ejercicios por tu cuenta
&
aplica
Practica
1.
Copia esta recta numérica. En las Partes a hasta la d, agrega un rótulo a
tu recta numérica que indique la probabilidad de que ocurra el evento,
según lo creas tú.
0%
2.
50%
100%
a.
Escucharé la radio esta noche.
b.
Iré al cine en algún momento esta semana.
c.
Todos en mi clase de matemáticas sacarán una calificación perfecta
en la próxima prueba.
d.
Me levantaré antes de las 7:00 A.M. mañana.
Calcula la probabilidad de cada evento y explica tu razonamiento.
a.
El almuerzo de la escuela tendrá un buen sabor mañana.
b.
Todos en nuestra clase vendrán a la escuela el próximo lunes.
c.
Una jirafa vendrá a la escuela el próximo lunes.
3. Deportes
Jahmal está practicando sus destrezas de arquería. Dio en el
centro del blanco con 3 de las primeras 12 flechas que tiró. Usa estos
resultados para calcular una probabilidad experimental de que Jahmal dé
en el centro del blanco en su próximo tiro.
4.
Consigue una cuchara (de
preferencia de plástico) y
haz este experimento:
Para cada prueba, deja
caer la cuchara y anota
cómo cae: boca arriba
(que pueda contener
agua) o boca abajo. Haz
30 pruebas para tu experimento. Usa los resultados
para calcular una probabilidad experimental de
que la cuchara caiga boca
arriba.
5.
De libro, papel, lápiz y borrador se selecciona una palabra al azar.
a.
¿Cuál es la probabilidad de que la palabra tenga sólo una sílaba?
b.
¿Cuál es la probabilidad de que la palabra empiece con L?
c.
¿Cuál es la probabilidad de que la palabra termine con L?
impactmath.com/self_check_quiz
LECCIÓN 10.1
El lenguaje de las posibilidades 615
6.
Datos
de
interés
Estados Unidos acuñó
monedas de plata de
tres centavos de 1851 a
1873 y monedas de
níquel de tres centavos
de 1865 a 1889.
Lupe lanzó una moneda 10 veces y sacó 6 caras. Jing lanzó una moneda
1,000 veces y sacó 530 caras.
a.
Basándote en los resultados de Lupe, ¿cuál es una probabilidad
experimental de que salga cara? Expresa tu respuesta como porcentaje.
b.
Usando probabilidades teóricas, ¿cuántas caras esperarías sacar al
lanzar 10 veces una moneda? ¿Estuvo el resultado de Lupe cerca o
lejos de ese número?
c.
Basándote en los resultados de Jing, ¿cuál es una probabilidad experimental de que salga cara? Expresa tu respuesta como porcentaje.
d.
Usando probabilidades teóricas, ¿cuántas caras esperarías sacar al
lanzar 1,000 veces la moneda? ¿Estuvo el resultado de Jing cerca o
lejos de ese número?
e. Reto
La diferencia entre el número real de caras y el número
anticipado de caras es mucho más grande para Jing que para Lupe.
¿Cómo es posible que la probabilidad experimental de Jing esté
más cerca de la probabilidad teórica?
7.
a.
Recuerda
Un número primo es un
número entero mayor
que 1 con sólo dos
factores, él mismo y
el 1.
&
amplía
Conecta
Marika tiene un girador dividido en 10
secciones iguales, numeradas del 1 al 10.
Piensa en un solo giro de la flecha.
¿Cuál es la probabilidad de que la flecha
apunte hacia la sección 1?
1
2
10
3
9
4
5
8
7
6
b.
¿Cuál es la probabilidad de que la flecha
apunte hacia un número impar?
c.
¿Cuál es la probabilidad de que la flecha apunte hacia un número par?
d.
¿Cuál es la probabilidad de que la flecha apunte hacia un número
primo?
8. Ciencia terrestre
Imelda y un grupo de amigos piensan ir a la
playa cierto día. El servicio meteorológico local dijo que había 20%
de posibilidad de lluvia ese día. Cuando llegó el día, llovió y el viaje
se canceló.
Imelda dijo que el servicio meteorológico se había equivocado cuando
dieron un pronóstico de lluvia del 20%. Dijeron que no iba a llover,
pero llovió.
616 C A P Í T U L O 1 0
a.
¿Estás de acuerdo con Imelda? Explica tu respuesta.
b.
Si el pronóstico del servicio meteorológico no significó que no
llovería, ¿qué piensas que quería decir?
Entiende la probabilidad
9.
El reloj despertador de Miguel se apaga a las 6:37 cada mañana. Él se
quejó de que, casi cada mañana, cuando se despierta oye más comerciales que música. Describe un experimento que podría hacer para
calcular la probabilidad de que se despierte con un comercial. Explica
cómo usarías el resultado para calcular una probabilidad experimental.
10.
Describe una situación para la cuál la probabilidad de que algo ocurra
sea 16.
11.
Un número entero se seleccionó al azar de los números del 1 al 10.
En t u s
propias
palabras
Da un ejemplo para
ilustrar la
diferencia entre
una probabilidad
experimental y una
probabilidad
teórica.
12.
a.
¿Cuál es la probabilidad de que el número sea impar?
b.
¿Cuál es la probabilidad de que el número sea primo?
c.
¿Cuál es la probabilidad de que el número sea un cuadrado perfecto?
d.
¿Cuál es la probabilidad de que el número sea un factor de 36?
Un número entero se seleccionó al azar de los números del 10 al 20.
a.
¿Cuál es la probabilidad de que el número sea impar?
b.
¿Cuál es la probabilidad de que el número sea primo?
c.
¿Cuál es la probabilidad que el número sea un cuadrado perfecto?
d.
¿Cuál es la probabilidad de que el número sea un factor de 36?
13. Deportes
Dos alumnos de sexto año y dos de séptimo tienen un
torneo de damas. Decidieron seleccionar al azar quiénes serán los
primeros dos jugadores y quién usará qué color. Considera los posibles
arreglos. Por ejemplo, el primer juego podría ser un alumno de séptimo
año jugando con el negro y el de sexto año con el rojo.
a.
¿Qué otros posibles arreglos hay?
Supón que cada uno de los arreglos es equiprobable de ocurrir.
b.
¿Cuál es la probabilidad de que los alumnos de séptimo año jueguen
en el primer juego?
c.
¿Cuál es la probabilidad de que al menos un alumno de séptimo
grado juegue en el primer juego?
d.
¿Cuál es la probabilidad de que exactamente un alumno de sexto año
juegue en el primer juego?
LECCIÓN 10.1
El lenguaje de las posibilidades 617
14.
La clase de Rubén fue a un
carnaval. Había un juego de
azar que él quería jugar,
pero la maestra le dijo que
sólo un jugador de cada
cuatro ganaba un premio en
ese juego. Rubén se paró en
la cola de todas maneras,
detrás de otras tres personas. Mientras esperaba,
Rubén se percató de que
ninguna de las tres personas
delante de él ganó el premio. Estaba muy emocionado, porque estaba seguro de
que eso significaba que
ganaría. ¿Estaba en lo correcto? Explica.
15. Sinopsis
Corta o rasga
una hoja de papel para
hacer cuatro tiras lo más
idénticas una a la otra que
puedas. Enumera las tiras de
papel del 1 al 4, dóblalas
una vez y ponlas en un
sombrero o una bolsa.
1
2
3
4
Después haz este experimento al menos 40 veces:
• Sin mirar, saca una tira de papel y ve el número que sacaste.
• Pon la tira otra vez en el sombrero o la bolsa, mézclalas y saca otra.
Lleva una cuenta de cuántas veces los números fueron los mismos y
cuántas veces fueron diferentes.
618 C A P Í T U L O 1 0
a.
Basándote en tus resultados, calcula la probabilidad de que dos
números seleccionados sean los mismos.
b.
¿Es la probabilidad que calculaste una probabilidad experimental o
una probabilidad teórica?
Entiende la probabilidad
Repaso
mixto
Calcula una solución para cada ecuación.
16.
6 7m 41
17.
1.9z 14.3 37.1
18.
3 3p 5p 12
19.
x2 5x 14
20.
4(v 2) 20
2(3c 12)
21. 6
8
Calcula la factorización prima de cada número.
22.
23.
3,740
24.
19,551
1,872
Usa el hecho de que 783 25 = 19,575 para calcular cada producto sin usar
calculadora.
25.
7.83 25
26.
78.3 2.5
27.
7,830 250
Usa el hecho de que 7,848 12 654 para calcular cada producto sin usar
la calculadora.
Los Estados Unidos
colindantes son todos
aquellos estados que
limitan con otro, esto
quiere decir que todos
los Estados Unidos
son colindantes, con
excepción de Alaska y
Hawai.
7,848 0.12
29.
7.848 12
30.
31. Ciencia biológica
La tabla muestra
el número de parejas de águilas calvas
en Estados Unidos colindantes, en
años pares entre 1982 y 1998.
a.
Grafica los datos en una cuadrícula
como la siguiente.
b.
Describe el cambio completo en
la población de parejas de águilas
calvas.
c.
Usa tu gráfica para predecir el
número de parejas de águilas calvas
en 1995 y en 2006.
Año
1982
1984
1986
1988
1990
1992
1994
1996
1998
78.48 1.2
Parejas de
águilas calvas
1,480
1,757
1,875
2,475
3,035
3,749
4,449
5,094
5,748
Fuente: U.S. Fish and Wildlife Service
interés
28.
Parejas de águilas calvas
6,000
Parejas de águilas calvas
Datos
de
5,000
4,000
3,000
2,000
1,000
0
1982 1984 1986 1988 1990 1992 1994 1996 1998
Año
LECCIÓN 10.1
El lenguaje de las posibilidades 619
Analiza juegos
En la Lección 10.1, consideraste eventos como sacar un número específico al
lanzar un dado o salir cara cuando lanzas una moneda. Algunas veces más de
un resultado puede causar que ocurra un evento.
Por ejemplo, cuando lanzas un dado, hay tres resultados para los cuales puede
salir un número primo: 2, 3 y 5. Para calcular la probabilidad de un evento,
tienes que saber el número de resultados posibles y cuáles resultados causan
que suceda el evento.
Datos
de
interés
El medio dólar
conmemorativo
Booker T. Washington
fue la primera moneda
de EE.UU. en la
que apareció un
afroamericano.
Para lanzar un dado, puedes ver fácilmente que hay seis resultados posibles.
Para algunas situaciones, es más difícil identificar el número de posibilidades.
Explora
Al lanzar dos monedas, un resultado posible es CC. Enumera todos los
resultados posibles. ¿Cuántos son?
Cuando lanzas dos dados, un resultado posible es 1-1. Enumera todos
los resultados posibles. ¿Cuántos son?
En el caso de los dados, ¿cómo te puedes asegurar de que has encontrado todos los resultados posibles?
Para algunos experimentos, calcular todos
los resultados posibles puede ser un verdadero problema de organización. Podrías
olvidar una posibilidad o contar la misma
dos veces. Hacer una tabla te puede ayudar
sistemáticamente a contar todos los resultados.
Esta tabla muestra los resultados posibles
cuando lanzas dos monedas:
Moneda A
C
E
Moneda B
620 C A P Í T U L O 1 0
C
E
Entiende la probabilidad
CC
CE
EC
EE
Investigación 1
¿Quie’n es mayor?
Probablemente has participado en juegos de azar con dados estándar. En esta
investigación, jugarás con diferentes tipos de dados.
A
M AT E R I A L E S
Serie de problemas
• dado con lados
rotulados 5, 5, 5,
5, 0, 0
• dado con lados
rotulados 1, 2, 3, 4,
4, 4
¿Quién es mayor? es un juego para dos jugadores.
Para jugar, necesitas dos dados. El dado A deberá
tener el 5 en cuatro de sus lados y 0 en los otros
dos. El dado B debe tener l, 2 y 3 en tres de sus
lados y 4 en los lados restantes.
5
0 0
4
1 2
Cada jugador usa uno de los dados. Un jugador usa el mismo dado en todo el
juego. En un turno, cada jugador lanza su dado y el que obtenga el número
mayor anota 1 punto. El ganador es la primera persona en anotar 10 puntos.
Datos
de
interés
En tumbas egipcias
que datan del año
2000 a.C., se han
encontrado dados en
forma de cubo, con
marcas semejantes a
los dados modernos.
1.
Juega ¿Quién es mayor? con tu compañero(a). Anota el dado que cada
jugador usó y la puntuación final del juego.
2.
¿Cuál dado usó el ganador?
3.
Usa tus resultados para calcular una probabilidad experimental de que,
en un solo turno, el jugador que use el dado A anote un punto.
4.
¿Cuál dado preferirías para jugar? Da razones para tu selección.
LECCIÓN 10.2
Analiza juegos 621
B
M AT E R I A L E S
Serie de problemas
• dado con lados
rotulados 5, 5, 5,
5, 0, 0
• dado con lados
rotulados 1, 2, 3, 4,
4, 4
Puedes usar esta tabla para analizar los resultados de ¿Quién es mayor? Los
números en los lados del dado A se enumeran horizontalmente; los del dado
B se enumeran verticalmente. La entrada “A” significa que cuando el dado A
muestre 5 y el dado B muestre 1, el que lanzó el dado A anota un punto.
Dado A
5
1
5
5
0
0
A
2
Dado B
5
B
3
4
4
4
Datos
de
interés
El antiguo juego egipcio
senet es uno de los
primeros juegos de
dados que se
conocieron. Los dados
que primero se usaron
para jugar senet se
hacían de palos o
nudillos de animales.
1.
¿Qué combinación representa la celda con la “B”?
2.
Copia y completa la tabla para mostrar el dado ganador de cada tiro.
3.
Calcula la probabilidad teórica de que el dado A anote un punto en un
turno. Haz esto contando el número de resultados en los cuales anotó el
dado A y dividiéndolo por el número total de resultados.
4.
Basándote en las probabilidades teóricas, ¿con cuál dado preferirías
jugar ¿Quién es mayor? Explica.
5.
¿Siempre ganará el juego el jugador que use el dado en tu respuesta al
Problema 4? Explica.
6.
Juega un poco más con tu compañero(a). Intercambien dados de manera
que cada uno tenga la oportunidad de jugar con el dado A y con el dado
B.
a.
Para cada juego, anota cuál dado usó el ganador. Combina tus resultados con las otras parejas en tu clase.
b.
¿En qué se diferencian tus resultados con los que anticipaste que
sucederían?
&
&
resume
Comparte
Diseña un par de dados de manera que la probabilidad de que el jugador
que usa el dado A anote un punto sea 56. Usa la tabla para mostrar que tus
dados dan la probabilidad que deseas.
622 C A P Í T U L O 1 0
Entiende la probabilidad
Investigación 2
Adiciones con dados
Tres y siete se juega entre dos personas, con un par de dados estándar, con
lados numerados del 1 al 6. Cada jugador lanza un dado y los dos números se
suman.
• Si la suma es 3, el jugador 1 anota un punto.
• Si la suma es 7, el jugador 2 anota un punto.
• Si la suma es cualquier otro número, ninguno de los jugadores anota.
Datos
de
interés
Hay dados izquierdos y
dados derechos. La
distribución de los puntos en los dos tipos
son reflejos exactos
uno del otro. En ambos,
los lados opuestos
suman 7.
Gana el jugador con más puntos después de 40 turnos.
Serie de problemas
C
1.
¿Cuál es la suma menor que puedes obtener
en este juego? ¿Cuál número debería estar
en cada dado para obtener esta suma?
2.
¿Cuál es la suma mayor que puedes obtener?
¿Cuál número debería estar en cada dado para obtener esta suma?
3.
¿Qué otras sumas son posibles?
4.
¿Piensas que un jugador tiene una mayor posibilidad de ganar el juego o
las posibilidades de los jugadores son las mismas? Explica.
Si juegas, puedes reunir pruebas para probar tu respuesta al Problema 4.
M AT E R I A L E S
2 dados estándar
Serie de problemas
1.
D
Juega Tres y siete con un compañero(a). Si no pueden decidir quién será
el jugador 1 y quién el jugador 2, lancen una moneda para decidir. Lleva
un registro de todas las sumas que obtengas. Anota tus resultados en una
tabla como ésta:
Turno Dado A Dado B
1
Suma
2
2.
¿Hay alguna suma que aparezca con más frecuencia que cualquier otra?
3.
Usa tus resultados para calcular una probabilidad experimental de cada
una de las posibles sumas.
4.
Compara tus resultados con otros alumnos. ¿Cuántos juegos ganó el
jugador 1? ¿Cuántos juegos ganó el jugador 2?
5.
¿Cuál jugador parece tener la mejor posibilidad de ganar?
LECCIÓN 10.2
Analiza juegos 623
&
Piensa comenta
Para calcular todos los posibles tiros
de dos dados que den una suma de 3
o una suma de 7, es útil usar una tabla.
Describe o crea una tabla que te pueda ayudar.
Serie de problemas
E
Contesta estas preguntas acerca del juego Tres y siete.
1.
En un solo turno, ¿cuál es la probabilidad de que la suma sea 3?
2.
En un solo turno, ¿cuál es la probabilidad de que la suma sea 7?
3.
¿Cuál jugador tiene una mayor posibilidad de ganar? Explica.
&
&resume
Comparte
Hannah piensa que hay 11 resultados equiprobables en el juego Tres y siete
porque hay 11 sumas posibles. ¿Cómo podrías ayudarla a entender que está
equivocada?
Investigación 3
¿Cuál es la diferencia?
¿Cuál es la diferencia? es un juego de dados que se juega entre dos personas.
Para jugar, necesitas un par de dados estándar y un tablero como el siguiente.
Cada jugador necesita también 20 fichas de un solo color. Tus fichas deben
ser de un color diferente al de tu oponente.
0
624 C A P Í T U L O 1 0
Entiende la probabilidad
1
2
3
4
5
Éstas son las reglas para ¿Cuál es la diferencia?:
• Cada jugador distribuye 20 fichas en las seis secciones del tablero de
la manera que él o ella elija. (Está bien dejar algunas secciones vacías
o hasta poner todas las fichas en la misma sección.)
• En el turno de un jugador, tira los dados y calcula la diferencia de los
números que salieron. Si el jugador tiene una o más fichas en la sección rotulada con la diferencia, quita una.
• Gana el primer jugador que quite todas sus fichas del tablero.
M AT E R I A L E S
• tablero para el
juego ¿Cuál es la
diferencia?
• 2 dados
• 40 fichas (20 de
cada color)
Datos
de
interés
El dominó se inventó en
China en el siglo XII.
Cada ficha de dominó
se creó para representar uno de los resultados posibles de lanzar
dos dados.
Serie de problemas
F
1.
Juega ¿Cuál es la diferencia? una o dos veces, lleva un registro de las
diferencias que salen. ¿Cuál diferencia salió con menos frecuencia?
2.
¿Cuál crees que sea una buena estrategia para distribuir las fichas en el
tablero? ¿Por qué?
Serie de problemas
G
En este problema, analizarás la probabilidad de sacar cada diferencia con dos
dados.
1.
Haz una tabla que te ayude a calcular el número de maneras de sacar
cada diferencia posible en un tiro de dos dados.
2.
Copia y completa la
tabla para mostrar la
probabilidad de sacar
cada diferencia.
3.
Usa tu tabla, determina
cuál piensas que es la
mejor manera de distribuir las fichas.
Diferencia
Maneras de
sacar la
Diferencia
Probabilidad
0
1
2
3
4
5
&
Comparte
resume
En el juego ¿Cuál es la diferencia?, ¿piensas que poner todas las fichas en la
diferencia más probable es una buena estrategia? Explica.
LECCIÓN 10.2
Analiza juegos 625
Investigación 4 Probabilidad geométrica
Para calcular las probabilidades teóricas de las situaciones con las que has
trabajado hasta ahora, dividiste el número de resultados que significaron que
un evento ocurrió entre el número total de resultados. En esta investigación,
verás una situación para la cual necesitas usar una estrategia diferente.
M AT E R I A L E S
• tablero para el
juego Gotea arroz
• grano de arroz
crudo
Serie de problemas
H
Gotea arroz es un juego de azar.
Para jugar, se debe poner una versión
más grande del tablero de la derecha en
una superficie plana, como una mesa o
un escritorio. El tablero es el área dentro
del borde exterior, no toda la página.
Éstas son las reglas del juego:
• En el turno de un jugador, él o ella
sostiene un grano de arroz aproximadamente 1 pie sobre el tablero,
cerca del centro.
• El jugador suelta el grano de arroz y observa dónde cae. Si rebota
fuera del borde exterior, la caída no cuenta, el jugador debe intentarlo
otra vez.
• Si el grano de arroz cae en una de las cuatro figuras (cuadro, círculo,
triángulo o paralelogramo), el jugador anota 1 punto. Un grano que
cae en la orilla de la figura, se debe contar como si estuviera dentro de
la figura si la mitad o más del grano está adentro.
• Cada jugador obtiene 10 oportunidades de anotar. (Recuerda que si el
grano de arroz rebota fuera del tablero, el tiro no cuenta.) Gana el
jugador con el puntaje más alto.
Datos
de
interés
El arroz es el alimento
básico (proporciona
más de un tercio del
consumo calórico de
una persona) para
cerca del 60% de la
población mundial.
626 C A P Í T U L O 1 0
Entiende la probabilidad
1.
Juega con tu grupo. En tu turno, anota los resultados de tus tiros haciendo rayitas para contar en un cuadro como éste:
Círculo
2.
Cuadro
Triángulo
Paralelogramo
irregular
Ninguna
figura
Usa los resultados de tus 10 tiros para calcular las posibilidades de que
el grano de arroz caiga en
a.
el círculo
b.
el cuadro
c.
el triángulo
d.
el paralelogramo irregular
e.
ninguna figura
f.
cualquier figura
3.
Ahora combina los resultados de tu grupo y haz nuevos cálculos para
las probabilidades del Problema 2.
4.
¿Cuál conjunto de probabilidades piensas que es más confiable: aquéllos
del Problema 2 ó el Problema 3? Explica.
&
Piensa comenta
¿Piensas que sea tan probable que un grano de arroz caiga en el círculo
como en la parte exterior de cualquiera de las figuras?
Datos
de
¿Puedes pensar en una manera en la que podrías calcular la probabilidad
teórica de anotar un punto con un solo tiro?
interés
Se piensa que existen
cientos de miles de
variedades de arroz.
LECCIÓN 10.2
Analiza juegos 627
Para el resto de esta investigación, supón que el arroz cae en un punto completamente al azar en el tablero. Es decir, supón que sea tan probable que el
arroz caiga en un lugar del tablero como en otro.
Serie de problemas
Datos
de
1.
Supón que usas un tablero dividido
en cuatro rectángulos iguales, como
éste. ¿Cuál es la probabilidad de
que el arroz caiga en el rectángulo
sombreado?
2.
El tablero de la derecha también
está dividido en cuatro secciones
iguales. ¿Cuál es la probabilidad de
que el arroz caiga en el rectángulo
sombreado?
3.
Para crear este tablero, se eliminó un
cuadrado del rectángulo sombreado del
tablero en el Problema 2. ¿Es la
probabilidad de que el arroz caiga en la
figura sombreada menor que, mayor que
o igual a tu respuesta del Problema 2?
Explica tu razonamiento.
4.
El cuadrado que se eliminó del
rectángulo en el Problema 2, se ha
vuelto a colocar pero en un lugar
diferente. ¿Es la probabilidad de que
el arroz caiga en la figura sombreada
en este tablero menor que, mayor que
o igual a tu respuesta del Problema 2?
Explica tu razonamiento.
interés
Un camboyano
promedio come más
de 350 libras de arroz
cada año. El americano
promedio come cerca
de 20 libras al año.
628 C A P Í T U L O 1 0
I
Entiende la probabilidad
J
M AT E R I A L E S
Serie de problemas
• tablero del juego
Gotea arroz
• regla en pulgadas
Rosita pensó que podría calcular las probabilidades teóricas para el juego
original Gotea arroz usando las áreas de las figuras y el área del tablero.
Datos
de
interés
¡Se requieren de 300 a
600 galones de agua
para producir 1 libra de
arroz!
1.
Calcula el área del tablero y el área del cuadro.
2.
Usa tu respuesta del Problema 1 para calcular la probabilidad de que el
arroz caiga en el cuadro. Expresa tu respuesta como porcentaje.
3.
Calcula la probabilidad de que el arroz caiga en las figuras restantes.
Expresa tus respuestas como porcentaje.
4.
¿Cuál es la probabilidad de que un jugador anote un punto en un solo
tiro? Explica cómo encontraste la respuesta.
5. Reto
Las probabilidades teóricas que encontraste en este problema
supone que el arroz cae al azar. Compara las probabilidades teóricas que
encontraste en este problema con las probabilidades experimentales que
encontraste en la Serie de problemas H.
a.
¿Piensas que el arroz cae completamente al azar o hay algunos
lugares más probables que otros? Explica por qué piensas esto.
b.
¿Qué podrías hacer para probar si tu respuesta para la Parte a es
correcta?
LECCIÓN 10.2
Analiza juegos 629
&
Comparte
resume
1. Supón
que este fue el tablero
de un juego de Gotea arroz. Las
medidas se dan en pulgadas.
Dado que el arroz cae en un lugar
completamente al azar, ¿cuál es la
probabilidad de anotar un punto en
un solo tiro?
7
2
6
8.5
3.5
4.25
2. Miguel
y Althea estuvieron jugando
Gotea arroz con un tablero de damas. Ellos
decidieron que un tiro anotaba un punto si el
arroz caía en un cuadro verde. Un tiro que no
cae en el tablero no cuenta.
Dado que el arroz cae en un lugar completamente al azar, ¿cuál es la
probabilidad de que un tiro anote un punto? Explica cómo encontraste la respuesta.
3. A
Luke le gusta jugar a los dardos.
Lanza un dardo al tablero que se
muestra aquí. Se muestran los puntos
que se obtienen por cada anillo.
a.
b.
630 C A P Í T U L O 1 0
Asumiendo que el dardo de Luke
cae en el tablero en un lugar al
azar, ¿cuál es la probabilidad de
que Luke anote al menos 3
puntos? (El radio del círculo
interior es igual al ancho de
cada anillo.)
5
3
2
1
¿Piensas que la suposición en la Parte a es lógica? Explica.
Entiende la probabilidad
Ejercicios por tu cuenta
&
aplica
Practica
1.
Supón que se lanzan 2 dados
estándar. ¿Cuál es la probabilidad
de que en uno de los dados salga
5 y en el otro 1, 2, 3 ó 6?
2.
Althea y Rosita están jugando.
Cada niña lanza un dado estándar
y la niña con el número mayor
anota un punto. Si los números
son iguales, ninguna de las niñas anota.
a.
¿Cuántas combinaciones posibles hay al lanzar los dados?
b.
En un solo turno, ¿cuál es la probabilidad de que a las niñas les salga
el mismo número?
c.
¿Cuál es la probabilidad de que a las niñas les salgan números
diferentes?
d.
¿Cuál es la probabilidad de que Althea anote un punto?
3. Tecnología
Algunas calculadoras tienen un generador de números al
azar. María usa su calculadora para seleccionar un número entero del 3
al 7. Rashid usa la suya para seleccionar un número entero del 1 al 9.
En ambos casos, cada resultado posible es equiprobable. ¿Cuál de los
dos amigos tiene mayor posibilidad de sacar un número mayor?
Explica. Tal vez quieras crear un cuadro para ayudarte.
4.
4
5
5.
3
2
1
6
7
8
Ramón dice que la probabilidad de obtener una suma de 12 cuando
lanza dos 2 dados es igual a la probabilidad de obtener una suma de 6.
Para explicar su razonamiento, señaló que cada número tiene la misma
probabilidad de caer en cada dado.
a.
Explica por qué Ramón está equivocado.
b.
¿Cuál es la probabilidad de que salga una suma de 6? ¿Una suma de
12? ¿Una suma de 1?
Supón que tienes dos conjuntos de 8 cartas. Las cartas en cada conjunto
están numeradas del 1 al 8. Elige una carta al azar de cada conjunto y
calcula la suma de los números.
a.
¿Cuál es la probabilidad de que la suma sea 1?
b.
¿Cuál es la probabilidad de que la suma sea 3?
c.
Supón que en un juego el jugador A anota un punto cuando la suma
de las dos cartas es 3 y el jugador B anota un punto cuando la suma
es 9. ¿Cuál jugador preferirías ser? Explica.
impactmath.com/self_check_quiz
LECCIÓN 10.2
Analiza juegos 631
Datos
de
6.
Supón que alguien lanza dos dados estándar.
a. Calcula la probabilidad de que la diferencia que salga sea par. Explica.
b. Calcula la probabilidad de que la diferencia que salga sea impar.
Explica.
c. Calcula la probabilidad de que la diferencia que salga sea menor
que 3. Explica.
d. Calcula la probabilidad de que la diferencia que salga sea 3 ó más.
Explica.
e. Calcula la probabilidad de que la diferencia que salga sea 6 ó más.
Explica.
7.
Supón que alguien lanza dos dados, cada uno
2
4
con lados numerados 2, 4, 6, 8, 10 y 12 ¿Cuántas
8 12
6 10
diferencias posibles hay? ¿Cuáles son?
a. ¿Cuántas diferencias posibles hay? ¿Cuáles son?
b. ¿Existen las mismas probabilidades para todas las diferencias posibles?
Explica.
c. Supón que juegas a ¿Cuál es la diferencia? con estos dados en lugar
de los dados estándar. Los espacios en el tablero se rotularían con las
diferencias posibles, en lugar del 0 al 5. ¿Cómo distribuirías las fichas
en los espacios? Explica.
8.
Imagina un juego llamado ¿Cuál es la suma? parecido a ¿Cuál es la diferencia?, pero en el cual sumas números para determinar qué ficha quitar.
a. ¿Cuántas secciones debería haber en el tablero?
b. ¿Cuál es el número mayor que debería aparecer en el tablero?
c. ¿Cuál es el número menor que debería aparecer en el tablero?
d. Describe una estrategia que usarías para distribuir las fichas en el
tablero.
9.
3
Darnell y Camila estuvieron jugando
1.5
Gotea arroz usando este mismo tablero.
4
Las dimensiones están en pulgadas.
6
Supón que el arroz caerá en un lugar
8
completamente al azar.
2
a. Calcula la probabilidad de que el
2
arroz caiga en un triángulo.
2
5
b. Calcula la probabilidad de que el
10
arroz caiga en un cuadrilátero.
c. Calcula la probabilidad de que el arroz caiga en una figura sombreada.
d. Calcula la probabilidad de que el arroz no caiga en una figura
sombreada.
interés
El arroz de aguas
profundas es el único
grano de cereal nativo
de Estados Unidos.
632 C A P Í T U L O 1 0
Entiende la probabilidad
10.
A una pequeña área formada
por edificaciones construidas,
una cerca de la otra, se le llama
patio. Supón que un grupo de
6 amigos están en un patio como
el que se muestra aquí, cuando
empieza a llover.
30 m
30 m
¿Cuál es la probabilidad de que
la primera gota caiga sobre uno
de los amigos? (Supón que cada
persona ocupa un círculo de
50 cm. de diámetro.)
&
amplía
Conecta
11.
Marcus y Miguel jugaron ¿Quién es
mayor? con dos dados diferentes.
El dado de Marcus tenía 100 en un
lado y 0 en cada uno de los otros
cinco lados. El de Miguel estaba
numerado del 1 al 6.
0
4
100 0
5 1
Antes de jugar, Marcus dijo: “Probablemente ganaré porque el número
mayor en mi dado es 100, el cual es mucho más grande que cualquiera
de los números en tu dado”.
Miguel dijo: “Tengo más posibilidades de ganar porque mi dado tiene
más lados con números que son mayores que los números de tu dado”.
¿Quién está en lo correcto? Explica tu respuesta.
2
5
12
7
1
2
4
10
11
3
5
A un dado de 4 lados
se le llama tetraedro.
Un dado de 8 lados es
un octaedro. Un dado
de 12 lados es un
dodecaedro. Un dado
de 20 lados es un
icosaedro.
8
9 7 1
6
10 11
interés
3 4
8
Datos
de
Charo e Irene tienen dados con
4 lados (numerados del 1 al 4),
8 lados (numerados del 1 al 8),
12 lados (numerados del 1 al
12) y 20 lados (numerados del
1 al 20). Con cada uno de los
dados, todos los resultados
posibles son equiprobables.
1
12.
Los amigos quieren jugar
¿Quién es mayor? con estos dados. Para jugar, cada quien selecciona un
dado y lo lanza. El que obtenga el número mayor anota un punto. Si los
números son iguales, ninguno se anota puntos.
Irene eligió un dado de 12 lados. ¿Cuál dado debería seleccionar Charo?
Explica.
13.
Diseña dos dados diferentes de seis lados que tengan una probabilidad
igual de vencerse el uno al otro en ¿Quién es mayor?
LECCIÓN 10.2
Analiza juegos 633
14. Economía
Omry y Shaked son hermanos gemelos. Para su
cumpleaños, cada uno recibió vales de regalo para la dulcería local, con
valor de 25¢, 50¢, $1, $5 y $10.
15.
16.
a.
Supón que a los dos niños les queda sólo un vale de regalo, pero
ninguno se acuerda cuál. Ellos quieren comprar y compartir un
chocolate que cuesta $2.25. Suponiendo que es equiprobable que
quede cualquiera de los vales de regalo, ¿cuál es la probabilidad de
que tengan suficiente para comprar el chocolate? Explica tu respuesta.
b.
¿Cuál es la probabilidad de que a cada niño le quede el vale de regalo
de $5?
Supón que lanzaste tres dados estándar y sumaste los resultados. Hay
216 resultados equiprobables.
a.
¿Cuál es la suma menos posible? ¿Cuál es la probabilidad de obtener
esta suma?
b.
¿Cuál es la suma con mayor posibilidad? ¿Cuál es la probabilidad de
obtener esta suma?
c.
Calcula todas las maneras de obtener una suma de 4 y calcula la
probabilidad de lograrla.
La maleta del Sr. Shu tiene un candado que consiste en dos ruedas con los
números 0, 2, 4, 5, 6 y 8 en cada una. Para abrir el candado, las ruedas se
deben girar de manera que el producto de los dos números sea 32.
Cerrado
634 C A P Í T U L O 1 0
Abierto
a.
Supón que un extraño encuentra la maleta e intenta abrirla probando
diferentes combinaciones. ¿Cuál es la probabilidad de que abra la
maleta en el primer intento?
b.
El Sr. Shu puede configurar el candado para abrirlo con un producto
diferente. ¿Cuál resultado haría un candado más seguro que 32?
Explica.
c.
¿Qué producto le sugerirías al Sr. Shu que no usara? ¿Por qué?
d.
La maleta de la Sra. Shu tiene dos ruedas numeradas idénticas a las
de la maleta del Sr. Shu. Su maleta abre cuando los números forman
un par en particular, como 0-5 ó 6-2, en lugar de un producto en
particular. Suponiendo que el Sr. Shu configura su candado como
le sugeriste en la Parte b, ¿cuál maleta será más segura, la del Sr. Shu
o la de la Sra. Shu? Explica.
Entiende la probabilidad
17.
En t u s
propias
Avril tiene un dado numerado del 1 al 6. Chelsea tiene un girador dividido
en 10 secciones idénticas del 1 al 10. Avril lanza su dado y Chelsea gira
su girador.
palabras
10 1
9
Da un ejemplo
que ilustre cómo
el análisis de
probabilidades
ayuda a planificar
estrategias para
jugar. Puedes
seleccionar un
juego de esta
lección o inventar
uno.
2
8
3
7
4
6
18.
5
a.
Un resultado posible es 1-10, significa que Avril lanzó 1 en el dado y
Chelsea sacó 10 en su girador. ¿Cuántos resultados posibles hay?
b.
¿Cuál es la probabilidad de que la diferencia de los dos números sea
10? Explica tu respuesta.
c.
¿Cuál es la probabilidad de que la diferencia sea 7? Explica tu
respuesta.
d.
¿Cuál es la probabilidad de que la diferencia sea mayor que 7?
Explica tu respuesta.
Avril tiene un dado numerado del 1 al 6. Chelsea tiene un girador dividido
en 10 secciones idénticas, numeradas del 1 al 10. Ellas decidieron jugar
así: En cada turno, ellas giran la aguja y lanzan el dado. Avril anota un
punto si la diferencia es 5 y Chelsea anota un punto si la diferencia es 7.
a.
¿Quién tiene más posibilidades de anotar un punto? Explica.
b.
¿Cómo podrían las niñas cambiar las reglas para anotar, de manera
que tengan la misma oportunidad de ganar?
c.
Supón que estuvieras jugando el juego original y pudieras escoger
cualquier número con el que con la diferencia pudieras ganar un
punto. ¿Cuál número seleccionarías? ¿Por qué?
LECCIÓN 10.2
Analiza juegos 635
19. Tecnología
Marcus grabó los seis episodios de su programa favorito
de televisión, el cual dura una hora. Su amiga no vio un episodio y
Marcus le dijo que le prestaría su videocinta. La recta numérica ilustra
dónde en la cinta se había grabado el programa.
0
Datos
de
interés
El roble blanco de
América es el árbol
estatal de Illinois. Los
robles blancos viven
hasta 400 años.
1
2
3
Horas
4
5
6
Con frecuencia, Marcus no rebobina la cinta y ve diferentes partes de
episodios anteriores. Él no recuerda el lugar en la cinta en donde dejó
de ver el programa la última vez. Antes de entregar la cinta a su amiga,
Marcus la puso en su VCR y pulsó el botón de reproducir. ¿Cuál es la
probabilidad de que la cinta empiece en algún momento dentro del programa que su amiga quiere ver?
20.
Cuando visitaba a un amigo, Carla se
estacionó bajo un gran roble blanco.
Ella dejó el techo corredizo abierto. (El
techo corredizo es una pequeña ventana
en el techo del carro.)
Árbol
El árbol tira bellotas en un área circular
alrededor de su tronco, como se muestra
13 pies
en el diagrama. Supón que las bellotas
5.5 pies
caen al azar dentro de un círculo, que
tiene un radio de 20 pies. Las bellotas
no caen donde está el tronco. El tronco tiene un radio de 5 pies.
a.
Calcula el área de la región en la que podría caer una bellota.
b.
Mientras Carla estaba en la casa de su amigo, una bellota cayó del
árbol. Calcula la probabilidad de que la bellota golpee el coche de
Carla (incluyendo el techo corredizo).
c.
Las dimensiones del techo corredizo
son 32 por 16 pulgadas. Calcula la
probabilidad de que la bellota caiga
por el techo corredizo.
d. Reto
Supón que una bellota
golpea el carro de Carla. Calcula la
probabilidad de que caiga por el
techo corredizo. (Ayuda: ¿Sería esta
probabilidad mayor que o igual a la
probabilidad que contestaste en la
Parte c?)
636 C A P Í T U L O 1 0
Entiende la probabilidad
Repaso
mixto
Estadística Calcula la media, la mediana y la moda de cada conjunto de
calificaciones de pruebas. Después indica qué medida crees que representa
mejor los datos.
21.
85, 99, 73, 64, 99, 80, 69, 72, 70
22.
0, 90, 93, 6, 85, 97, 84
23.
52, 94, 73, 81, 65, 88
Geometría Calcula el valor de cada ángulo rotulado sin medirlo.
24.
25.
233
c
b
a
x
24°
26.
y
125°
125°
45°
27. Economía
El Sr. Morales contrató a Althea para distribuir menús a
domicilio para su nuevo restaurante en casas del área. Le dijo a Althea
que le pagaría $14.50, más 4¢ por cada menú que entregara.
a.
Escribe una regla que puedas usar para calcular la cantidad que
ganará Althea, A, si conoces el número de menús que entrega, m.
b.
Althea quiere ganar $23 para comprar un par de aretes para su madre.
Escribe una ecuación que podrías resolver para calcular el número de
menús que necesitaría entregar para ganar suficiente dinero.
c.
Resuelve tu ecuación. ¿Cuántos menús tiene que entregar Althea?
28. Geometría
Haz bosquejos para mostrar cómo acomodarías siete
tarjetas cuadradas idénticas para formar tres figuras con diferentes
perímetros. Debes usar todas las tarjetas en cada una tus figuras. Da
el perímetro de cada figura.
LECCIÓN 10.2
Analiza juegos 637
Establece
relaciones
En los juegos de probabilidad que has considerado hasta ahora, el resultado de
una ronda o prueba no afecta los resultados de otra. Por ejemplo, si lanzas una
moneda y sale cara, tus posibilidades de sacar cara cuando lanzas una moneda
otra vez son todavía del 50%. Éstos se llaman eventos independientes.
En esta lección, trabajarás con situaciones en las que lo que suceda en un
caso afectará lo que suceda en el siguiente o eventos dependientes.
&
Piensa comenta
Supón que lanzas un dado varias veces.
• ¿Cuál es la probabilidad de sacar 6 al lanzar la primera vez? ¿Cuál es
la probabilidad de sacar 4?
• Supón que la primera vez que lanzas el dado, obtienes 6. Lanzas la
segunda vez. ¿Cuál es la probabilidad de sacar 6 al lanzar la segunda
vez? ¿Cuál es la probabilidad sacar 4?
Ahora imagina que tú y algunos amigos están haciendo un cartel para
una fiesta de la escuela. Tu maestro(a) te da seis marcadores, en seis
diferentes colores y cada uno de ustedes selecciona uno sin ver. Dos de
los colores son rojo y verde.
AR
lloM
ari
am
CA
D
OR
• Si seleccionas primero, ¿cuál es
la probabilidad de que saques un
marcador rojo? ¿Cuál es la
probabilidad de que saques un
marcador verde?
verd
e
M A RCADO R
azul
CAD
o
jad M
ran
ana
ro
jo
MA
RCAD
OR
AR
• Supón que seleccionaste primero
y sacaste un marcado rojo. ¿Cuál
es la probabilidad de que la
segunda persona saque un marcador rojo? ¿Cuál es la probabilidad de que la segunda persona
saque un marcador verde?
CA
D
OR
M AR
OR
púrp
u
• ¿Por qué son las probabilidades para la situación de los dados
diferentes de aquellas para la situación del marcador?
638 C A P Í T U L O 1 0
Entiende la probabilidad
ra
M A RCADO
R
Investigación 1
V O C A B U L A R I O
simulacro
M AT E R I A L E S
• fichas o cubos
(2 de cada uno de
los 2 colores) o
tiras de papel
• cubeta o bolsa
Datos
de
Un simulacro es un experimento en el que usas
diferentes elementos para representar una situación
real. Por ejemplo, para simular que escoges marcadores y ves sus colores, puedes escribir el color
de cada marcador en una tira de papel y poner todas
las tiras en una bolsa. Puedes simular escoger
marcadores con sólo sacar tiras de papel de la bolsa.
Matemáticamente, las situaciones son idénticas.
Usar simulacros puede ayudar con algunos problemas en esta investigación.
Serie de problemas
A
Ken se despertó temprano y se encontró con que una tormenta había cortado
la electricidad en su vecindario. Se tiene que vestir en la oscuridad. Ken tiene
cuatro calcetines en su cajón, dos negros y dos cafés. El color es la única
diferencia entre ellos. Siempre y cuando los dos calcetines sean del mismo
color, a Ken no le importa cuál usar. Saca dos calcetines del cajón.
1.
interés
El 9 de noviembre de
1965, una falla masiva
en la electricidad causó
el apagón más grande
en la historia de EE.UU.
El apagón afectó a
más de 30 millones
de personas en nueve
estados a lo largo de
la costa este.
Relaciona colores
Simula esta situación, usa fichas, cubos o tiras de papel con los nombres
de los colores. Si usas fichas o cubos, puedes dejar que otros colores
representen los colores de los calcetines. Por ejemplo, un cubo rojo
podría representar un calcetín café y un cubo azul podría representar un
calcetín negro. Usa una cubeta o una bolsa para representar el cajón de
los calcetines de Ken.
a.
Sin ver, selecciona dos “calcetines”, uno cada vez, del “cajón”. Anota
si los calcetines hacen juego. Después regresa los calcetines a la
bolsa, mézclalos e intenta otra vez. Repite este proceso 16 veces y
anota los resultados.
b.
Usa los resultados para calcular una probabilidad experimental de
que Ken seleccione calcetines que hagan juego.
2.
Si el primer calcetín que Ken elige es café, ¿cuál es la probabilidad
teórica de que el segundo calcetín también sea café? Explica.
3.
Si el primer calcetín es negro, ¿cuál es la probabilidad teórica de que el
segundo calcetín también sea negro?
4.
Ken dice que como tiene dos colores de calcetines, tiene un 50% de
posibilidades de sacar un par que haga juego. ¿Piensas que está en lo
correcto? Si no, ¿cuál crees que es la verdadera probabilidad? Explica.
LECCIÓN 10.3
Establece relaciones 639
En la Lección 10.2, viste cómo podías usar una tabla para llevar un registro
de los resultados posibles de lanzar dos monedas. También puedes dibujar un
diagrama de árbol para mostrar todas las posibilidades. Los resultados posibles para la primera moneda se pueden mostrar así:
Primera
moneda
C
Inicio
E
Las posibilidades de la segunda moneda se pueden mostrar como ramas desde
cada una de las primeras dos ramas:
Primera Segunda
moneda moneda
C
Inicio
E
640 C A P Í T U L O 1 0
Entiende la probabilidad
C
E
C
E
Puedes interpretar los resultados posibles al seguir las ramas, empezando en
Inicio. Por ejemplo, seguir el conjunto de ramas de arriba da el resultado CC.
Primera Segunda
moneda moneda Resultado
C
Inicio
E
Serie de problemas
CC
E
CE
C
EC
E
EE
B
azul
R
DO
RCA
MA
llo
o
jad
ran
ana
M
AR
CA
DO
R
Supón que eliges uno de seis marcadores de una bolsa: rojo, anaranjado,
amarillo, azul o morado. Dibuja un diagrama de árbol que muestre los
colores posibles para el marcador.
M
AR
CA
DO
R
1.
C
ari
am
ro
jo
MAR
CADOR
púrp
ura
2.
Datos
de
interés
William Lee de
Inglaterra inventó la
máquina de tejer en
1589. La reina
Elizabeth I se negó a
darle a Lee la patente
por su máquina, porque
a ella le parecía que los
calcetines que producía
eran muy burdos.
(También era posible
que ella no hubiera
querido que la gente
que tejía a mano se
quedara sin trabajo.)
DOR
MARCA
verd
e
MARCADOR
Considera a continuación lo que sucede cuando eliges un segundo
marcador.
a.
Supón que el primer marcador que elegiste fue rojo. ¿Cuáles son las
opciones posibles para el segundo marcador?
b.
Agrega un nuevo conjunto de ramas a la rama “rojo” de tu diagrama
de árbol para el Problema 1, que muestre las posibilidades de tu
segunda opción.
c.
Completa tu diagrama de árbol agregando ramas que muestren las
posibilidades cuando cada uno de los otros colores se elijan primero.
d.
¿Cuál es la probabilidad de que, si eliges los dos colores al azar, te
salgan rojo y verde (escogidos en cualquier orden)?
3.
Dibuja un diagrama de árbol para mostrar las opciones posibles de
colores de calcetines para Ken si escoge dos de un cajón que contiene
dos calcetines cafés y dos negros. Como hay dos de cada color, rotula
los calcetines como café 1, café 2, negro 1 y negro 2.
4.
¿Cuántos pares posibles de calcetines hay? ¿Cuántos de ellos hacen
juego?
5.
¿Cuál es la probabilidad de que Ken elija un par que haga juego?
LECCIÓN 10.3
Establece relaciones 641
Serie de problemas
C
Después de escoger calcetines, Ken tiene que elegir pantalones y una camisa.
Su escuela requiere que use uniforme azul, café claro o verde. Él tiene dos
pantalones, uno azul y el otro café claro. Tiene dos camisas, también una azul
y otra café claro. Ahora toma una camisa y unos pantalones.
1.
Supón que la camisa es azul. ¿Cuál es la probabilidad de que los
pantalones también sean azules? Explica cómo obtuviste la respuesta.
2.
Dibuja un diagrama de árbol que muestre las opciones posibles para las
camisas y los pantalones.
3.
Ken dice que la probabilidad de que escoja una camisa y un pantalón
que hagan juego es del 50%. ¿Está en lo correcto? ¿Cómo lo sabes?
4.
Supón que Ken tiene una tercera camisa y un tercer par de pantalones,
ambos verdes. ¿Cuál es la probabilidad de que escoja camisa y pantalones del mismo color? Explica.
5.
Supón que Ken tiene una camisa café claro y dos camisas azules y unos
pantalones café claro y dos pantalones azules. Calcula la probabilidad
de que la camisa y los pantalones hagan juego y muestra cómo obtuviste
la respuesta.
&
Comparte
resume
1. Cuando
Ken escoge calcetines en la oscuridad, ¿el color del primer
calcetín afecta la posibilidad de seleccionar un color en particular la
siguiente vez? Explica tu respuesta.
2. Cuando
Ken escoge las camisas y los pantalones en la oscuridad, ¿el
color de la camisa seleccionada afecta la posibilidad de elegir
pantalones de un color en particular? Explica tu respuesta.
642 C A P Í T U L O 1 0
Entiende la probabilidad
Investigación 2
Juegos de naipes
En una baraja común de naipes, hay cuatro palos:
Datos
de
Tréboles
Espadas
Corazones
interés
Los naipes que se
describen aquí son
naipes ingleses. En
otros países, se usan
palos diferentes. Los
naipes alemanes
tradicionales usan los
palos de corazones,
hojas, campanas y
bellotas. Los naipes
españoles usan palos
de oros, copas,
espadas y tréboles.
Diamantes
Hay 13 naipes en cada palo, uno para cada uno de los números del 1 al 10 y
tres figuras: la jota, la reina y el rey. Los tréboles y las espadas son negros
mientras que los diamantes y los corazones son rojos.
Muchos tipos de juegos, que implican varias combinaciones de azar y
destreza, se juegan con barajas de naipes. En esta investigación, trabajarás con
algunos juegos sencillos que incluyen elegir naipes de una baraja.
Serie de problemas
D
En este primer juego, los naipes se barajan y se colocan boca abajo sobre una
mesa. Para una ronda del juego, los jugadores hacen lo siguiente:
• El jugador 1 selecciona un naipe de la baraja sin ver y escribe su palo
(espadas, corazones, diamantes o tréboles).
• El jugador 1 regresa el naipe y baraja.
• El jugador 2 escoge una carta sin ver. Si tiene el mismo palo que el
primer naipe, el jugador 1 anota un punto. De otra manera, el jugador
2 anota un punto.
• El jugador 2 regresa el naipe y baraja.
El ganador es el jugador con más puntos al final de 20 rondas.
1.
¿Cuál es la probabilidad de que el jugador 1 escoja un corazón?
2.
Si el jugador elige un corazón, ¿cuál es la probabilidad de que el
jugador 2 también elija un corazón? Explica.
3.
¿Cuál es la probabilidad de que el jugador 2 escoja un naipe del mismo
palo que el del naipe del jugador 1, sin importar cuál palo fue? ¿Cómo
lo sabes?
4.
¿Qué marcador esperarías después de 20 rondas?
5.
Piensa en una manera de cambiar las reglas de anotación para dar a los
dos jugadores la misma oportunidad de ganar.
LECCIÓN 10.3
Establece relaciones 643
Serie de problemas
Datos
de
interés
En Italia, Alemania,
España, Suiza y otros
países, las barajas
tradicionales de cartas
no tienen reinas.
E
El segundo juego de naipes es similar al primero. La única diferencia es que
el jugador 1 no regresa el naipe antes de que el jugador 2 seleccione. Después
de que los dos jugadores han escogido, los naipes se regresan a la baraja. El
jugador 1 anota un punto si las dos cartas tienen el mismo palo y el jugador 2
anota un punto si tienen diferentes palos.
1.
¿Cuál es la probabilidad de que el jugador 1 elija un corazón?
2.
Supón que el jugador 1 selecciona un corazón.
a.
¿Cuál es la probabilidad de que el jugador 2 también seleccione un
corazón?
b.
¿Es tu respuesta a la Parte a diferente de tu respuesta al Problema 2
de la Serie de problemas D? ¿Por qué o por qué no?
3.
¿Cuál es la probabilidad de que el jugador 2 escoja un naipe del mismo
palo que el jugador 1, sin importar el palo que seleccione el jugador 1?
4.
¿Es este juego más justo, menos justo o tan justo como el juego en la
Serie de problemas D? Explica.
5. Reto
Calcula la manera de asignar puntos de manera que el juego sea
justo. Explica cómo ideaste tu sistema de puntos.
Serie de problemas
F
Supón que quieres dibujar un diagrama de árbol para mostrar las opciones
posibles para el primer juego de naipes, en el que el jugador 1 reemplaza el
naipe antes de que el jugador 2 escoja.
1.
¿Cuántas ramas necesitarías para mostrar las posibilidades del primer
naipe?
2.
¿Cuántas ramas tendrías que agregar para mostrar las posibilidades del
segundo naipe?
3.
¿Cuántas ramas en total tendría tu diagrama de árbol?
Como probablemente te habrás dado cuenta, este diagrama de árbol sería muy
largo. Como el juego tiene que ver sólo con los palos de los naipes y como
los cuatro palos son equiprobables para cada vez que saca una carta, puedes
dibujar un árbol simplificado que muestre los cuatros palos posibles para cada
vez que saca.
644 C A P Í T U L O 1 0
Entiende la probabilidad
Por ejemplo, supón que el primer naipe seleccionado es un corazón. Aquí está
la parte del diagrama de árbol que muestra los palos posibles para el segundo
naipe:
Primer naipe
Segundo naipe
Corazón
Diamante
Corazón
Espada
Trébol
4.
Dibuja un diagrama de árbol que muestre todas las combinaciones
posibles de palos para el primer juego.
5.
Los corazones y los diamantes son rojos, mientras que los tréboles y
las espadas son negros. ¿Cuál es la probabilidad de que los dos naipes
tengan el mismo color?
6.
¿Puedes usar un diagrama de árbol simplificado para el segundo juego,
en el que el jugador 1 se queda con el naipe en lugar de regresarlo a la
baraja antes de que el jugador 2 escoja? Explica.
&
Comparte
resume
En algunas situaciones de probabilidad, un evento puede afectar la probabilidad de otro.
1. Para
cada par de eventos, decide si el primer evento afecta la probabilidad del segundo. Si tu respuesta es “sí”, explica por qué.
Segundo evento
Primer evento
a.
sacar caras al lanzar
una moneda
sacar caras al lazar la monedar
por segunda vez
b.
sacar un rey al
seleccionar un naipe
en una baraja
sacar un rey al seleccionar
un segundo naipe sin
regresar el primero
c.
sacar cierto nombre de los
nombres escritos en tiras de
papel y seleccionado al
azar de un sombrero
sacar un segundo nombre si la
tira de papel se regresó al
sombrero antes de la segunda
selección
2. Haz
tu propia sucesión de dos eventos para el cual el primero afecte la
probabilidad del segundo.
3. Ahora
haz tu propia sucesión de dos eventos en los que el primer
evento no afecte la probabilidad del segundo.
LECCIÓN 10.3
Establece relaciones 645
Ejercicios por tu cuenta
&
aplica
Practica
1.
2.
3.
646 C A P Í T U L O 1 0
Supón que hay dos naipes, numerados 1 y 2.
Los naipes se mezclan y se ponen hacia abajo.
a.
Acomodas los naipes en fila y los vuelves boca arriba.
¿Cuál es la probabilidad de que el primer naipe sea 2?
b.
¿Cuál es la probabilidad de que los naipes formen el
número 21? Explica.
Supón que tienes tres naipes, numerados 1, 2 y 3.
Los naipes se barajan y se colocan boca abajo en
una fila.
2
1
3
2
1
a.
Enumera todos los números de tres dígitos que
se pueden crean a partir de estos tres naipes.
b.
¿Cuál es la probabilidad de que los naipes formen
el número 213 cuando se vuelvan boca arriba?
c.
¿Cuál es la probabilidad de que los naipes formen un número entre
200 y 300?
d.
¿Cuál es la probabilidad de que los naipes formen un número par?
e.
¿Cuál es la probabilidad de que los naipes formen un número menor
que 300?
Manuel y Leila comparten una caja de dulces. La caja contiene tres
dulces rojos, dos verdes y uno anaranjado. Cada adolescente selecciona
un dulce al azar.
a.
Si Leila selecciona primero y obtiene un dulce rojo, ¿cuál es la probabilidad de que el dulce de Manuel sea rojo también?
b.
Dibuja un diagrama de árbol que muestre todas las combinaciones
posibles cuando cada adolescente escoge un dulce. Rotula los
dulces rojos R1, R2 y
R3; los dulces verdes
V1 y V2; y el dulce
anaranjado A.
c.
¿Cuál es la probabilidad de que los dos
dulces sean del
mismo color?
Entiende la probabilidad
impactmath.com/self_check_quiz
4.
5.
Jahmal y Hannah están jugando naipes con una baraja estándar. Para
cada turno, Hannah escoge un naipe y lo regresa a la baraja. Ella baraja
y después Jahmal selecciona un naipe.
a.
Si Hanna elige el 5 de tréboles, ¿cuál es la probabilidad de que
Jahmal escoja el 5 de tréboles?
b.
Si Hanna elige un naipe negro (ya sea una espada o un trébol), ¿cuál
es la probabilidad de que Jahmal escoja un naipe rojo (ya sea un
corazón o un diamante)? ¿Cómo lo sabes?
c.
Si Hannah elige el 6 de espadas, ¿cuál es la probabilidad de que
Jahmal escoja un rey?
d.
Si Hanna elige una reina roja, ¿cuál es la probabilidad de que Jahmal
escoja una reina roja?
Jahmal y Hannah están jugando con una baraja de naipes estándar. En
cada turno, barajan y extienden los naipes boca abajo. Al mismo tiempo,
Hannah y Jahmal selecciona un naipe cada uno.
a.
Si Hanna escoge el 5 de tréboles, ¿cuál es la probabilidad de que
Jahmal también escoja el 5 de tréboles?
b.
Si Hanna elige un naipe negro (ya sea una espada o un trébol), ¿cuál
es la probabilidad de que Jahmal escoja un naipe rojo (ya sea un
corazón o un diamante)? ¿Cómo lo sabes?
c.
Si Hanna elige el 6 de espadas, ¿cuál es la probabilidad de que
Jahmal escoja un rey?
d.
Si Hanna elige una reina roja, ¿cuál es la probabilidad de que Jahmal
escoja una reina roja?
LECCIÓN 10.3
Establece relaciones 647
&
amplía
Conecta
6.
Marcus ha creado un juego que usa seis naipes:
Círculo
Rectángulo
Óvalo
Los tres naipes de las figuras se colocan boca arriba. Los naipes de las
tres palabras se barajan y un naipe de palabra se coloca boca abajo, al
lado del naipe de la figura. Un jugador anota un punto por cada naipe de
palabra que coordine con el naipe de la figura.
7.
a.
Escribe todos los arreglos posibles de los tres naipes de palabras. Usa
C para el naipe del círculo, R para el naipe del rectángulo y O para el
naipe del óvalo. ¿Cuántas posibilidades hay?
b.
¿Cuál es la probabilidad de que un jugador coordine los tres naipes
de palabras correctamente?
c.
¿Cuál es la probabilidad de que un jugador coordine al menos un
naipe de palabra correctamente?
Shaunda ha escrito cartas a sus cuatro amigos: Caroline, Raúl, Jing y
Ernest. Tiene cuatro sobres, cada uno con el nombre y la dirección de
los amigos. El hermano pequeño de Shaunda quiere ayudar, así que
pone una carta en cada sobre. Como todavía no sabe leer, él pone las
cartas al azar en los sobres.
Jing
Caroli
ne
Raul
648 C A P Í T U L O 1 0
Ernest
a.
¿De cuántas maneras se pueden arreglar en pares las cartas y los
sobres?
b.
¿Cuál es la probabilidad de que cada quien reciba la carta correcta?
Entiende la probabilidad
8. Ciencia biológica
Los genes de un individuo determinan muchas
cosas acerca de esa persona, incluyendo su apariencia. Por ejemplo, una
persona tiene dos genes que determinan el color de los ojos. El gen de
los ojos azules es recesivo y el gen de los ojos cafés es dominante. Esto
significa que si una persona tiene un gen de ojos azules y un gen de ojos
cafés, él o ella tiene ojos cafés. Una persona con dos genes de ojos
cafés, también tiene ojos cafés. Para tener ojos azules, ambos genes
deben ser azules.
Un niño obtiene un gen del color de los ojos de cada padre. Da por
sentado que las posibilidades de pasar cualquiera de los genes a un hijo
son iguales. Por ejemplo, un padre con un gen de ojos azules y un gen
de ojos cafés tiene una posibilidad del 50% de pasar el gen de los ojos
azules a su hijo.
a.
Supón que dos personas tienen un hijo. Uno tiene un gen de ojos
azules y otro gen de ojos azules y, la otra persona, tiene dos genes de
ojos cafés. ¿Cuál es la probabilidad de que el niño tenga ojos azules?
(Ayuda: Puedes calcular las combinaciones posibles de genes para
cada hijo con una tabla o un diagrama de árbol.)
b.
Supón que los dos padres tienen un gen de ojos azules y un gen de
ojos cafés. ¿Cuál es la probabilidad de que el hijo tenga ojos azules?
c.
Ahora supón que uno de los padres tiene dos genes de ojos azules y
el otro tiene un gen de ojos azules y uno de ojos cafés. ¿Cuál es la
probabilidad de que el hijo tenga ojos azules?
LECCIÓN 10.3
Establece relaciones 649
9.
En t u s
propias
palabras
Describe una
situación en que
un evento afecta
la probabilidad de
otro.
a.
Supón que María selecciona un rey. ¿Cuál es la probabilidad de que
ella anote un punto?
b.Supón
que María selecciona el 6 de diamantes. ¿Cuál es la
probabilidad de que no anote un punto?
10.
11.
650 C A P Í T U L O 1 0
María y David están jugando con una baraja estándar. En cada turno, se
baraja y el mazo se pone boca abajo. María selecciona un naipe y lo
anota. Ella regresa el naipe, baraja y después David escoge un naipe. El
jugador con el naipe más alto anota un punto. (Los ases son los naipes
más bajos y los reyes los más altos.) Si los naipes tienen el mismo valor,
ninguno anota.
María y David están jugando con una baraja estándar. En cada turno, se
baraja y el mazo se pone boca abajo. David selecciona un naipe y se
queda con él. Después María escoge un naipe. El jugador con el naipe
más alto anota un punto. (Los ases son los naipes más bajos y los reyes
los más altos.) Si los naipes tienen el mismo valor, ninguno anota.
a.
Supón que David elige un rey. ¿Cuál es la probabilidad de que él
anote un punto?
b.
Supón que David selecciona el 6 de diamantes. ¿Cuál es la
probabilidad de que no anote un punto?
Althea baraja los naipes de una baraja estándar y voltea boca arriba los
dos primeros naipes.
a.
¿Cuál es la probabilidad de que el primer naipe sea un as?
b.
Supón que el primer naipe sea un as. ¿Cuál es la probabilidad de que
el segundo naipe sea un 2 con el mismo palo que el as?
c.
¿Cuántas posibles combinaciones de dos cartas hay en una baraja
estándar?
d.
¿Cuántas de esas combinaciones incluyen un as y después un 2
(en ese orden) del mismo palo?
e.
¿Cuál es la probabilidad sacar un as y después un 2 del mismo palo?
f.
¿Cuál es la probabilidad sacar un as y un 2, en cualquier orden, pero
del mismo palo?
Entiende la probabilidad
Repaso
mixto
Calcula el valor de cada expresión.
5
12. 6
49
1379
45
14. 5
6
25
16.
111291 617
17.
358 134
19.
913 59
11
20. 1
4
14
15. 1
5
18.
19
13. 2
6
3325
514 2152
1134
21. Geometría
Un rectángulo tiene un área de 48 pies cuadrados y un
perímetro de 32 pies. ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo?
22.
¿Cuál tiene un área mayor: un círculo con diámetro de 11 metros o un
cuadrado cuyos lados miden 10 metros?
23. Economía
El Book Bin tiene una venta de liquidación.
a.
Todos los diccionarios están rebajados con un 3313% de descuento.
Marcus compró un diccionario de francés con un precio de oferta de
$18. ¿Cuál era el precio original del diccionario?
b.
Las novelas tienen un 20% de descuento. Althea compró una novela
que originalmente costaba $11.95. ¿Cuál es el precio de oferta?
c.
Todos los libros de viaje están rebajados con un cierto porcentaje.
Miguel compró un libro acerca de safaris africanos. El libro costaba
originalmente $27.50, pero Miguel pagó sólo $16.50. ¿Qué porcentaje ahorró Miguel?
LECCIÓN 10.3
Establece relaciones 651
Capítulo 10
Repaso&autoevaluación
V O C A B U L A R I O
Resumen del capítulo
equiprobable
probabilidad
experimental
probabilidad
simulacro
probabilidad
teórica
La probabilidad es útil en muchas áreas de la vida, desde jugar hasta hacer
planes basados en los pronósticos meteorológicos. En este capítulo, aprendiste
cómo calcular probabilidades experimentales y teóricas para eventos en los
que los resultados son equiprobables.
Examinaste probabilidades en varios tipos de situaciones, incluyendo algunas
en las que los resultados posibles no eran fáciles de determinar. Para ciertos
juegos de azar, se te ocurrieron estrategias para jugar basándote en tu
conocimiento de las probabilidades. También usaste simulacros y diagramas
de árbol para examinar situaciones en las cuales el número de resultados posibles se veía afectado por lo que había sucedido antes.
Estrategias y aplicaciones
Las preguntas en esta sección te ayudarán a repasar y aplicar las ideas importantes y estrategias desarrolladas en este capítulo.
Entiende la probabilidad
Althea tomó el rey de corazones y el rey de tréboles de una baraja estándar,
dejó sólo 50 naipes. Le dijo a Leah que la probabilidad de seleccionar una
reina era ahora del 8%, pero no le dijo cuántos o qué naipes había eliminado.
652 C A P Í T U L O 1 0
1.
¿Qué significa que la probabilidad era del 8%?
2.
Leah seleccionó un naipe de la baraja de Althea, la miró y después la
regresó. Althea barajó los naipes. Repitieron este proceso hasta que
Leah había escogido un naipe 100 veces.
a.
¿Cuántas veces esperaría Leah haber escogido una reina?
b.
Leah escogió una reina 7 veces. Ella dijo que esto significaba que
Althea estaba equivocada y que la probabilidad real es 7%. Althea y
Leah calcularon las probabilidades que dieron. ¿Está alguna equivocada en su cálculo? Explica.
c.
¿Cuál es la probabilidad más acertada, la de Leah o la de Althea?
Entiende la probabilidad
impactmath.com/chapter_test
d.
Leah siguió seleccionando naipes hasta que completó 1,000 pruebas.
Ella escogió una reina 88 veces. Althea dijo: “La diferencia entre las
88 reinas que seleccionaste y las 80 que habías esperado fue de 8,
pero la diferencia fue sólo de 1 cuando sacaste 100 naipes. Tu
probabilidad experimental será menos exacta para las 1,000 intentos
que lo que fue para los 100”.
¿Está Althea en lo correcto? Explica.
Identifica resultados
3.
Menciona dos estrategias para identificar resultados en una situación de
probabilidad. Ilustra cada estrategia usándola para calcular el número de
resultados de girar este girador dos veces:
verde
azul
blanco
Calcula probabilidades de eventos
4.
Explica la diferencia entre una probabilidad teórica y una probabilidad
experimental. Ilustra tu respuesta con un ejemplo.
5.
Josh dijo: “Supón que tiras un dado estándar. Para calcular la probabilidad de sacar un número primo, tienes que dividir 3 entre 6, que da 0.5”.
a.
¿Por qué Josh escogió 6 como divisor?
b.
¿Por qué escogió Josh 3 como dividendo?
c.
Considera este tablero de Gotea arroz. Explica por qué el procedimiento para calcular la probabilidad de que el arroz caiga en un
cuadro sombreado es el mismo que el que usó Josh para sacar un
número primo al lanzar el dado.
Repaso y autoevaluación 653
Usa probabilidades para analizar juegos
6.
Una bolsa contiene cinco tiras de papel numeradas del 1 al 5. En el
juego Halla la diferencia, cada jugador selecciona uno de los naipes de
abajo. Los jugadores se turnan para sacar dos números de la bolsa. Si la
diferencia de los números está en el naipe del jugador, el jugador cubre
esa diferencia. Los números se regresan a la bolsa después de cada
turno. El primer jugador que cubra todos sus números es el ganador.
Naipe A
Naipe B
Naipe C
1
2
1
2
3
4
3
4
2
1
4
3
¿Cuál naipe da a un jugador la mejor oportunidad de ganar? Explica.
Trabaja con situaciones en las que las probabilidades
dependen de los resultados anteriores
7.
Craig y Kenna estaban jugando un juego de tablero en que lanzaban dos
dados. El tirar dobles (es decir, tirar el mismo número en los dos dados)
te permite un tiro extra. Kenna tiró dos 3 y después dos 5. Conforme se
preparaba para tomar un turno extra, Craig dijo: “La posibilidad de que
obtengas dobles otra vez es casi nula”. ¿Está Craig en lo correcto?
Explica tu respuesta.
8.
Describe un experimento de probabilidad en el que el resultado de
una prueba cambie las probabilidades de los resultados de la siguiente
prueba. Tal vez quieras usar dados, naipes, giradores o sacar tiras de
papel de una bolsa para tu experimento.
Demuestra tus destrezas
9.
En un carnaval de recaudación de fondos, Marcus operó un juego en el
que cada jugador giraba una rueda. La sección en la que la rueda se
paraba indicaba qué premio, si lo había, ganaba el jugador.
La tabla muestra cuántos espacios del mismo tamaño enumeraron cada
tipo de premio así como la gente que ganó cada premio al final del día.
Llavero
Número de espacios
5
muñeca
troll
4
Número de ganadores
14
16
654 C A P Í T U L O 1 0
Gorra de Animales
pelota
béisbol de peluche de playa
3
2
1
13
6
3
Sin
premio
45
148
a.
Calcula una probabilidad experimental de ganar cada premio.
b.
Calcula la probabilidad teórica de ganar cada premio.
Entiende la probabilidad
Usa esta información para las Preguntas 10 y 11:
Al inicio de un juego de computadora llamado El insecto geométrico, los
jugadores se turnan para seleccionar círculos, cuadrados y triángulos en la pantalla. Después de que todas las formas se han escogido, un pequeño “insecto”
aparece y vuela sobre las figuras. El insecto baja en un lugar al azar en la pantalla. Si baja en una de las figuras de los jugadores, ese jugador anota un
punto. El ganador es el jugador con más puntos después de 50 aterrizajes.
Rosa y Cari estaban jugando con esta
pantalla. Las figuras de Rosa son verdes
y las de Cari blancas. La pantalla mide 8
pulgadas de ancho y 5 pulgadas de alto.
Los círculos tienen un radio de 12 pulgada.
Los lados de cuadros miden 1 pulgada.
Los triángulos son triángulos rectángulos
con catetos de 1 pulgada de largo.
10.
Considera las probabilidades para un solo aterrizaje del insecto. Escribe
tus respuestas como decimales al milésimo más próximo.
a. ¿Cuál es la probabilidad de que el insecto baje en el cuadro de Cari?
b. ¿Cuál es la probabilidad de que el insecto baje en los círculos de Rosa?
c. Calcula la probabilidad de cada jugador de anotar en un solo aterrizaje del insecto.
11.
Las niñas deciden jugar con una regla opcional. Cuando el insecto
aterriza en una figura, la figura se elimina del tablero. Por ejemplo, si el
insecto aterriza en el cuadro de Cari, Cari anota un punto pero el cuadro
desaparece.
a. Calcula la probabilidad de que el insecto aterrice en uno de los triángulos de Cari.
b. Supón que en la primera figura en la que el insecto aterrizó fue el
triángulo de Cari abajo a la derecha. ¿Cuál es la probabilidad que el
insecto aterrice en cualquiera de las figuras de Cari?
12.
Un grupo de seis amigos quería jugar un juego
que requería tres equipos. Para decidir quienes
jugarán en cada equipo, Luke puso seis cubos en
una bolsa. Dos de los cubos eran blancos, dos
eran negros y dos rojos. Cada persona tomó un
cubo sin mirar y los dos con el mismo color formaron un equipo.
a. Dibuja un diagrama de árbol para mostrar los dos primeros cubos que
se sacaron. Para hacer el rotulado más fácil, usa B1 y B2 para los
cubos blanco, N 1 y N2 para los negros y R1 y R2 para los rojos.
b. Jing sacó un cubo primero y después Jahmal. Usa el diagrama de
árbol para calcular la probabilidad de que Jing y Jahmal estén en el
mismo equipo.
Repaso y autoevaluación 655