1 1. OBSERVACIONES Y RECOMENDACIONES: El

PLAN DE REFUERZO
COLEGIO
BETHLEMITAS
PERIODO: 
Dia
25
Mes 03 Año 2015
Fecha:
META DE COMPRENSIÓN: La estudiante desarrolla comprensión
acerca de las definiciones y propiedades geométricas en los AREA: Matemáticas
diferentes tipos de demostraciones.
DOCENTE: Yeiler Cordoba Asprilla
NOMBRE ESTUDIANTE:
ASIGNATURA: Geometría
Nº
GRADO: 9º
1. OBSERVACIONES Y RECOMENDACIONES: El siguiente plan de refuerzo contiene la
ejercitación básica de los tópicos desarrollados durante el período. Se debe tener en cuenta
para su realización las guías de desarrollo e informativa trabajadas, los apuntes de clase, las
guías de control corregidas y los referentes bibliográficos que encontrará al final del plan. La
metodología bajo la cual se desarrollará este consiste en el desarrollo guiado -por el
docente. La participación en la jornada de retroalimentación y el desarrollo del plan de
refuerzo equivale al 20% del porcentaje total de la nota de recuperación. (El estudiante debe
presentarse a la retroalimentación con su respectivo plan de refuerzo impreso), la asistencia
a dicha retroalimentación será de obligatorio cumplimiento para todos los estudiantes que
hayan reprobado alguna de las asignaturas. Si el estudiante no se presenta a la jornada de
retroalimentación, se asume como juicio valorativo 1.0 y se deja constancia en el anecdotario
en “Atención especializada”. (SIEE Art 2, Nota 2)
2. IDENTIFICACIÓN DE TÓPICOS
Propiedades geométricas
Demostración
Demostración directa
Contraejemplo
Demostración indirecta
3. DESARROLLO CONCEPTUAL
DEMOSTRAR: Es argumentar lógicamente teoremas a partir de postulados, definiciones, axioma y
propiedades para llegar a una conclusión valida.
METODOS DIRECTO: Consiste en afirmar que la hipótesis es cierta y llegar a la validez de la tesis.
La demostración directa se presenta en dos columna, en una va la proposición y en la otra la
justificación.
PASOS PARA UNA DEMOSTRACIÓN DIRECTA:
1. Hacer una gráfica que ilustre la hipótesis.
2. Se identifica la hipótesis y la tesis del teorema.
3. Se efectúa las argumentaciones, justificando cada una de ellas.
NOTA: Para realizar demostraciones se pueden seguir dos caminos, uno es utilizando los criterios de
congruencia de triángulos, las definiciones de los diferentes ángulos y ángulos especiales o
construcciones auxiliares.
DEMOSREACIONES UTILIZANDO LOS CRITERIOS DE CONGRUENCIA:
EJEMPLOS:
1. Los lados de los ángulos diferentes de un triángulo isósceles son congruentes.
HIPÓTESIS: ABC es isósceles
AB  CB
TESIS: A  C
ARGUMENTACIÓN:
PROPOSICIÓN
1. Se traza la bisectriz del B, que intercepta al lado AC en D.
2. 1  2
JUSTIFICACIÓN
1. Construcción auxiliar
2. Por ser BD bisectriz
1
3. AB  CB
4. CD  DC
5. ACD  DCB
5. Por tanto A  C
3. Por hipótesis
4. Propiedad reflexiva
4. Criterio de congruencia L – A – L
5. Por proposición 4
2. Si un cuadrilátero es un paralelogramo, entonces sus lados opuestos son congruentes.
HIPÓTESIS: ABCD es un paralelogramo
TESIS: AB  DC y AD  BC
ARGUMENTACIÓN:
PROPOSICIÓN
1. ABCD es un paralelogramo
2. Construimos la diagonal DB
3. AB // DC
4. 1  2
5. 3  4
6. AD // BC
7. BD  DB
8. ABD  DBC
9. Por tanto AB  DC y AD  BC
JUSTIFICACIÓN
1. Por hipótesis
2. Construcción auxiliar geométrica
3. Propiedad de los paralelogramos
4. Por ser ángulos alternos internos entre paralelas
5. Por ser ángulos alternos internos entre paralelas
6. Propiedad de los paralelogramos
7. Propiedad reflexiva
8. Por criterios de congruencia L – A – L
9. Por proposición 8
3. La diagonal de un rectángulo determina dos triángulos congruentes.
HIPÓTESIS: ABCD es un paralelogramo
BD es una diagonal
TESIS: DAB  DCB
ARGUMENTACIÓN:
PROPOSICIÓN
1. ABCD es un rectángulo
2. BD es una diagonal
3. BD  DB
4. AD  BC
5. DC  AB
6. Por tanto DAB  BCD
JUSTIFICACIÓN
1. Por hipótesis
2. Por hipótesis
3. Propiedad reflexiva
4. Propiedad de los rectángulos
5. Propiedad de los rectángulos
6. Por criterios de congruencia L – L – L
DEMOSREACIONES UTILIZANDO LAS DEFINICIONES DE ÁNGULOS
Ejemplos:
1. En todo triángulo se cumple que la suma de los ángulos interiores es igual a 180º
HIPÓTESIS: ABC
A, B y C
TESIS: A + B + C = 180º
ARGUMENTACIÓN:
PROPOSICIÓN
1. Trazamos por el punto B una // a AC (m //
AC)
2. mx + mB + my = 180º
3. Además mx  mA
4. my  mC
5. A + B + C = 180º
JUSTIFICACIÓN
1. Construcción Auxiliar geométrica
2. Definición de ángulo llano
3. Por ser ángulos alternos internos entre paralelas.
4. Por ser ángulos alternos internos entre paralelas.
5. Sustituimos 3 y 4 en 2
2
2. Si dos ángulos son opuestos por el vértice entonces son congruentes.
HIPÓTESIS:  y  son opuesto por el vértice
TESIS:   
ARGUMENTACIÓN:
PROPOSICIÓN
1.  y  son opuesto por el vértice
2. En la figura m + mx = 180º
3. Además m + mx = 180º
4. m + mx = m + mx
5. m  m
6. Por tanto   


JUSTIFICACIÓN
1. Por hipótesis
2. Por formar ángulo llano
3. Por formar ángulo llano
4. Igualamos 2 y 3
5. Por proposición 4
6. Por proposición 4 y 5
CONTRAEJEMPLOS:
A veces, la validez de una propiedad se refuta dando un ejemplo en el que no se cumple dicha
propiedad: habremos probado entonces que, en general, la propiedad en cuestión es falsa. A dichos
ejemplos que echan abajo la validez de la propiedad se les conoce con el nombre de contraejemplos.
En muchas ocasiones, cuando nos enfrentamos a resolver un problema y vemos que la propiedad
que queremos demostrar no tiene un ataque sencillo, nos podemos plantear la posibilidad de
encontrar un contraejemplo.
MÉTODO INDIRECTO O REDUCCIÓN AL ABSURDO.
Consiste en negar la tesis del teorema y a partir de esta proposición y con ayuda de las reglas de la
lógica y la teoría desarrollada encontrar una contradicción respecto a las premisas, una proposición
verdadera o respecto a la suposición. Aquí se interrumpe el desarrollo práctico de la demostración,
puesto que una proposición y su negación no pueden ser verdaderas a un mismo tiempo. Y de aquí
se concluye que la tesis del teorema es verdadera.
niega la tesis ¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬ no Q, se construye una proposición de la forma P y no P, lo cual implica
una contradicción. Ejemplo:
Demuestre que si m y n son enteros tales que n + n 2 + n 3 = m + m2 , entonces n es par
Solución.
Supongamos que n es impar. A partir de esto debemos conseguir una contradicción. Como n es
impar, entonces n 2 y n 3 son ambos impares, de donde n + n 2 + n 3 es impar (ya que es la suma de
tres impares). Entonces, como m + m2 = n + n 2 + n 3 , se tiene que m + m2 es impar. Sin embargo m
+ m2 es siempre par (ya que m + m2 = m(m + 1) y necesariamente alguno de los números m ´o m+1
es par). Hemos llegado a una contradicción. De allí se tiene que n es par, que es lo que queríamos
demostrar.
MÉTODO INDIRECTO O REDUCCIÓN AL ABSURDO.
Consiste en negar la tesis del teorema y a partir de esta proposición y con ayuda
de las reglas de la lógica y la teoría desarrollada encontrar una contradicción
respecto a las premisas, una proposición verdadera o respecto a la suposición.
Aquí se interrumpe el desarrollo práctico de la demostración, puesto que una
proposición y su negación no pueden ser verdaderas a un mismo tiempo. Y de
aquí se concluye que la tesis del teorema es verdadera.
Si se quiere demostrar que la proposición PQ es verdadera empleando el método
indirecto, se niega la tesis no Q, se construye una proposición de la forma P y no P, lo
cual implica una contradicción. Ejemplo:
Demuestre que si m y n son enteros tales que n + n 2 + n 3 = m + m2 , entonces n es par
Solución.
Supongamos que n es impar. A partir de esto debemos conseguir una contradicción. Como n
es impar, entonces n 2 y n 3 son ambos impares, de donde n + n 2 + n 3 es impar (ya que es
la suma de tres impares). Entonces, como m + m2 = n + n 2 + n 3 , se tiene que m + m2 es
impar. Sin embargo m + m2 es siempre par (ya que m + m2 = m(m + 1) y necesariamente
3
alguno de los números m ´o m+1 es par). Hemos llegado a una contradicción. De allí se tiene
que n es par, que es lo que queríamos demostrar.
4. EJERCITACIÓN:
HIPÓTESIS: B es punto medio de AE y de CD
4.1. Escriba las siguientes proposiciones de la
forma “si p entonces q” e identifica la
hipótesis y la tesis de cada una.
TESIS: ∆ABC  ∆BDE
g) En todo cuadrilátero se cumple que las
diagonales se cortan en un punto medio.
a. Una persona nacida en Quito es
ecuatoriana.
b. Los escritores de literatura tienen buena
ortografía.
c. Los ángulos agudos miden menos de 90º.
d. Algunas frutas son naranjas.
e. Fran no nación en Colombia, luego es
extranjero.
f. Todo triángulo que tiene dos lados
congruentes, tendrá dos ángulos congruentes.
g. Dado una recta y un punto exterior a ella,
existe un único plano que contiene a la recta y
al punto.
h. Cuando dos rectas son perpendiculares,
forman cuatro ángulos rectos.
j. Cuando dos ángulos son opuestos por el
vértice estos son congruentes.
HIPÓTESIS: AC
paralelogramo.
y
BD
son
diagonales
TESIS: O es el punto medio de AC y BD.
h) En la figura, el ABC es equilátero y D, E y
F son los puntos medios de los lados.
Demostrar que el  DEF es equilátero.
4.2. En las siguientes proposiciones identifica
la hipótesis y la tesis de cada una, y determina
si es verdadera o falsa.
a. Un triángulo es isósceles si tiene dos lados
congruentes.
b. Todos los triángulos equiláteros tiene tres
ángulos congruentes.
c. La intersección de dos planos es un punto.
d. Por dos puntos distintos pasan infinitas
rectas.
e. Una recta divide un plano en dos
semiplanos.
4.3. Demostrar por el método directo los
siguientes teoremas:
a) Si AD es la bisectriz del ángulo BAC y AB
 AC, entonces BD  DC.
b) La diagonal de un paralelogramo determina
dos triángulos congruentes.
c) Si en un triángulo isósceles ángulos de la
base son iguales, entonces los lados son
iguales.
d) Si un rectángulo es un paralelogramo,
entonces sus diagonales son iguales.
e) En todo trapecio isósceles se cumple que
sus dos diagonales son iguales
f) Si B es el punto medio de AE y CD;
demostrar que ∆ABC  ∆BDE
i) La suma de las medidas de dos ángulos
suplementarios es igual a 180º.
j) Demostrar que las diagonales de un rombo
son perpendiculares.
k) Si dos rectas son perpendiculares, entonces
forman cuatro ángulos rectos.
4.4. Hallar el contraejemplo de las siguientes
proposiciones:
a. Todo número par es múltiplo de 4
b. Todos los números primos son impares
c. Todo polígono equiángulo es regular
d. Por un punto de una recta pasa una y solo
una recta perpendicular a la recta dada.
e. Todos los triángulos tienen los ángulos
agudos.
f. En Colombia está habitada solo por
colombianos.
g. Todos los países centroamericanos limitan
con dos océanos.
h. Un número es divisible por 5 si termina en
cero.
i. El único cuadrilátero que tiene los lados
congruentes es el cuadrado.
j. El único cuadrilátero que tiene sus ángulos
rectos es el rectángulo.
k. Gabriel García Márquez nació en Antioquia.
l. Los triángulos rectángulos son escalenos.
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5. METODOLOGÍA DE ESTUDIO PROPIA DE LA ASIGNATURA
1. Lea e interprete los enunciados de los ejercicios.
2. Seleccione los datos que le proporciona el enunciado y que sirven para solucionar el ejercicio.
3. Determine los datos que debe hallar y el procedimiento que debe seguir.
4. Realice el algoritmo o procedimiento que debe seguir para la solución del ejercicio.
5. Verifique que el procedimiento realizado este correcto.
6. Escriba claramente la respuesta con su procedimiento.
6. BIBLIOGRAFÍA:
 URIBE CÁLAD, Julio Alberto y ORTIZ DÍEZ, Marco Tulio. Matemática experimental geometría 8º.
Medellín: Uros editores, 2006. Páginas 67 – 73.
 OBONAGA G. Edgar, PEREZ A. Jorge y CARO M. Victor E. Matemáticas 3: álgebra y geometría.
Cali: Pime Ltda. Editores, 1984. páginas 330 – 335.
 SERRANO DE PLAZAS, Nelly. Conexiones Matemáticas 9º. Bogotá: Editorial Norma, 2006.
páginas 114 – 116.
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