Aritmética mental

Aritmética mental
Introducción
Introducción
“Todo el mundo sabe lo que es aritmética mental”: este es
el título de un artículo influyente acerca de la aritmética
mental a finales de 1970.1 De hecho, todos necesitan
aritmética mental en su vida diaria u ocasionalmente en su
trabajo por lo tanto, deben tener una idea de lo que esto
implica. No obstante, es menos obvio que surja en el
primer vistazo. ¿Es la aritmética mental primeramente
calculada en la mente, o puede usarse un lápiz y un papel?
¿O la aritmética mental, como en algunos países, significa
aprender hechos matemáticos de memoria tales como 6 +
7 = 13 or 6 × 7 = 42?
En las últimas décadas, un concepto cada vez más claro de
la aritmética mental se ha establecido en Holanda, debido
en parte a la influencia del artículo antes mencionado.
Este concepto de la aritmética mental tiene sus raíces en
la manera en que se ha mirado esta área del aprendizaje
por los últimos 100 a 150 años, y en parte, debido a la
introducción a gra escala de la calculadora, la aritmética
mental está ganando una importancia mayor en los libros
de texto de aritmética y matemáticas. Este concepto,
escrito en forma breve, es que la aritmética mental es un
cálculo diestro y flexible basado en relaciones numéricas
conocidas y las características de los números. el
concepto ha sido adoptado por un amplio grupo de
practicantes profesionales y expertos y ha ganado la
aceptación internacional.
A continuación se presentan algunos ejemplos de los que
se encuentran en el dominio del concepto de aritmética
mental:
> 56 + 28 =
368 + 57 =
Mental arithmetic
1980 + 370 =
> Peter está comprando un “walkman”. El paga con un
billete de 200 dólares. El precio del artículo es de 189
dólares. ¿Cuánto le ha sobrado?
> 142 – 76 =
702 – 635 =
2980 – 370 =
> Ana está comprando 8 panecillos de pasas. Un
panecillo cuesta 95 centavos.
> 8 × 28 =
6 × 249 =
12 × 15 =
> Sander mira su reloj. Son las 4.51 p.m. El tiene que estar
en su casa después de las cinco y media. ¿Cuántos
minutos le faltan para llegar?
> 84 ÷ 4 =
150 ÷ 6 =
750 ÷ 15 =
La aritmética mental, como medio práctico y flexible del
cálculo es también la base para la descripción de la
trayectoria y enseñanza-aprendizaje. El capítulo
comienza con una breve explicación y algunos ejemplos
buscando ocuparse de la importancia de incrementar la
aritmética mental y del trasfondo histórico para esto.
Luego se delinean las sub-trayectorias para otras seis
áreas:
– aritmética hasta el cien
– conteo y resta hasta mil
121
–
–
–
–
multiplicación con números grandes
división con números pequeños y grandes
multiplicación y división con números enteros
aritmética mental en los grados más altos de la escuela
primaria.
En la última sección, se examina el caracter diferencial de
la trayectoria enseñanza-aprendizaje y se presenta una
selección de los problemas que los niños deben poder
solucionar con estrategias aritméticas mentales para el
final de sus años escolares primarios.
¿Qué es aritmética mental?
La aritmética mental como destreza matemática
elemental, no se relaciona estrictamente con cierta área
numérica o ciertas operaciones. En primer lugar, es una
manera de enfocarse en los números y la información
numérica en la que estos son tratados de una manera
práctica y flexible, caracterizados por:
– trabajar con valores del número y no con los dígitos; en
la aritmética mental los números mantienen su valor.
– usar propiedades de cálculos elementales y relaciones
numéricas tales como la propiedad de intercambio (16
+ 47 = 47 + 16; 28 × 3 = 3 × 28)
propiedad de rompimiento (13 × 6 = (10 × 6) + (3 × 6))
relaciones inversas (62 – 59 = 3, porque 59 + 3 = 62;
420 ÷ 7 = 60, porque 7 × 60 = 420),
y sus combinaciones
– el estar apoyado por un sentido bien desarrollado
acerca de los números y un conocimiento profundo de
los mismos hasta el veinte y hasta el cien.
– posiblemente, usando notas intermedias convenientes
según la situación, pero principalmente calculando
mentalmente.2
La aritmética mental se puede describir como una de
122
rápido movimiento y flexibilidad a través del mundo de
los números. Realmente no importa si ésta implica
adición, sustracción, multiplicación, división o una
combinación de estas operaciones; ni importa de qué área
numérica proviene el número en sí. Sin embargo, una
característica importante es que no todos los niños tienen
que alcanzar una solución de la misma manera al resolver
mentalmente problemas matemáticos. Por el contrario, en
aritmética mental se puede desarrollar una diferenciación
natural porque los niños tienen la libertad, dentro de
ciertos límites, de continuar en su enfoque, de utilizar sus
propias estrategias y números de referencia y adoptar su
propia estrategia de simplificación.
La siguiente ilustración de la sala de clases demuestra
algunas de las maneras en que los niños pueden trabajar
con problemas aritméticos mentales.3
Al final del año escolar, se le da un ejercicio a una clase del
grado 4 que contiene adición y sustracción hasta mil.
Una discusión sobre las maneras que se puede abordar
702 - 635 se utiliza como una actividad de inicio.
Primero se le permite a Nancy proponer su solución.
ella resta 600 a 702 (102) y después resta 5 (97) y
finalmente 30.
su respuesta es “67 ”
Simone responde con: “Voy a contar hacia delante.”
ella explica su método: “Primero añado 60 a 365 es 695.
Entones añado 5 (700) y entonces 2 que quedan 702. en
total he sumado 60 y 5 y 2, eso es 67.”
El maestro resume esto como: “Entonces estas buscando la
diferencia entre 702 y 635.”
Otros tres niños explican su manera de trabajarlo.
El maestro escribe todas las maneras paso a paso en la
pizarra de manera que haya la descripción siguiente:
CALCULATION WITH WHOLE NUMBERS Upper Grades Primary School
702 − 635 =
702 − 600 = 102 Nancy
102 − 35 =
102 − 5 = 97
97 − 60 = 37
702 − 600 = 102 Faranas
102 − 2 = 100
100 − 30 = 70
70 − 3 = 67
635 + 60 = 695 Simone
695 + 5 = 700
700 + 2 = 702
67
702 − 630 = 72
72 −
5 = 67
Damiën
640 700 702
635+5+60+2
Cindy
67
Después de estas discusiones de calentamiento, los niños
han refrescado su conocimiento sobre las diferentes
maneras de abordar estos problemas y que pueden usar su
manera para solucionarlos. El ejercicio aritmético puede
comenzar.
El propósito de la aritmética mental
En la vida diaria, la aritmética mental (junto a la
estimación) es extremadamente importante. si se refiere a
calcular con dinero, tiempo, peso o distancia, las buenas
habilidades aritméticas mentales son esenciales para
mantener un buen agarre en situaciones con números,
poder mirarlas críticamente e interpretarlos de una manera
apropiada. En este sentido la aritmética mental forma un
elemnto crucial de la capacidad para calcular que un niño
debe poder utilizar en confianza.
Pero la aritmética mental es también importante en la
educación secundaria. No solamente forma la base para
las actividades aritméticas de diversos temas,
particularmente en situsciones en las cuales la calculadora
se está convirtiendo en una herramienta común: pero es
también importante porque el buen conocimiento de las
características fundamentales de nuestro sistema
numérico, es parte de la base para las matemáticas aquí
discutidas.
Un buen dominio de las propiedades de rompimiento e
Mental arithmetic
intercambio a un nivel más abstracto que en la educación
primaria es de gran importancia, particularmente, al
explorar el concepto de las variables y de operaciones
algebraicas que serán realizadas a su debido tiempo.
Tres formas básicas de aritmética mental
La aritmética mental en general toma tres formas
elementales que, desde el punto de vista de los procesos
de aprendizaje continúan de forma lógica una tras otra, y
su adquisición está acompañada depor una comprensión
cada vez más amplia de los números y las operaciones.:
– la aritmética mental mediante una estrategia de ordenar
en hileras (filas) en la cual los números se consideran
sobre todo como objetos a contar en la hilera y para los
cuales las operaciones son movimientos a lo largo de la
fila de cuenteo: en la cual los números son
primeramente considerados como objetos en una fila
de conteo y las operaciones son movimientos a través
de la fila de conteo: hacia adelante (+) o para atrás (–),
hacia adelante repetidamente (×) o repetidamente hacia
atrás (÷)
– la aritmética mental por una estrategia de rompimiento
en la cual los números son considerados primeramente
como objetos con una estructura decimal y en los
cuales las operaciones son realizadas mediante
división (rompimiento) y procesando los números en
esta estructura.
– la aritmética mental como una estrategia que varía
basada en las características aritméticas en las cuales
los números se consideran como objetos que pueden
ser estructurados en toda clase de formas y en el cual
los operaciones ocurren escogiendo una estructura
conveniente y utilizando las caractwerísticas
aritméticas apropiadas.
Cada una de estas formas básicas se pueden ejecutar en
diversos niveles: en un nivel bajo usando modelos tales
como la recta numérica o el dinero, en un nivel más alto
observando pasos intermedios en lenguaje matemático o
simplemente mentalmente. En las diversas sub-áreas en
las cuales se desarrolla la aritmética mental, estas formas
básicas pueden ser introducidas como extensiones las
123
unas de las otras y practicadas.
La introducción de una forma más alta no implica que
desaparezcan las formas más bajas, más bien se integran
para desarrollar gradualmente un repertorio cada vez más
amplio de las estrategias matemáticas mentales entre las
cuales los estudiantes pueden elegir, según el tipo de
problema y de su propia preferencia. Así pues, a
mediados del grado 4 se pueden utilizar para un problema
como 325 - 249:
– una estrategia de ordenar en filas en la cual el primer
número se considera en su totalidad y se le resta el
segundo en partes.
– una estrategia de variación donde los números se
estructuran de diversas maneras y en las cuales las
propiedades aritméticas se utilizan para restarlas unas
de otras para determinar la diferencia.a
¿Cómo llegar a ser un experto en aritmética mental?
– una estrategia de rompimieto (descomponer) el la cual
ambos números están divididos basado en en su
estructura decimal y restados el uno del otro en partes
separadas.
124
¿Cómo aprenden los niños a hacer matemática mental?
Para adquirir habilidades de aritméticas mentales es
esencial, en el sentido aquí delineado, que haya un
proceso similar al de la exploración del número dentro de
los diversos dominios, y un desarrollo y expansió de las
estrategias en las que las tres formas básicasa se exploran
y se dominan cada vez más:
– comenzando con una amplia exploración de los
números como tal; y partiendo de esto, las estrategias
ordenar en filas (hileras) se investigan y estas fluyen
naturalmente de la exploración de los números que
pueden construir los niñosen gran parte para sí mismo
CALCULATION WITH WHOLE NUMBERS Upper Grades Primary School
bajo la dirección del maestro.
– cuando están suficientemente confiados y su
comprensión de los números y las relaciones
numéricas han aumentado, el proceso se extiende a
estrategias de rompimiento que algunos niños habrán
descubierto en una etapa más temprana.
– cuando los niños han alcanzado suficiente confianza
con esta estrategia y su comprensión de las operaciones
se haya profundizado, hay una extensión a la estrategia
de variación.
Esto, por supuesto, no significa que los niños no usen
estrtegias de variación mucho más temprano, pero de
primera instancia el énfasis de la enseñanza descansa en el
uso de estrategias de ordenar en filas y en cómo pueden
utilizarse estos más eficientemente en la reducción del
cálculo. Solamente cuando los niños hayan dominado
ésto es que se le ofrece énfasis a las estrategias de
rompimiento. Esto también se aplica en una etapa
posterior a las estrategias de variación. Si este proceso de
aprendizaje no ocurre en el orden correcto y con suficiente
profundidad, existe el peligro de que los estudiantes más
lentos pierdan el rastro y mezclen los diversos tipos de
enfoques.
Al igual que el desarrollo de estrategias de aritmética
mental, en ciertos momentos los niños se sentirán más
confiados al utilizar las estrategias estandarizadas del
cálculo en columna y los algorítmos.
A mediados del grado 4, los niños pueden usar el cálculo
en columna así como las estrategias aritméticas mentales
antes mencionadas para solucionar el problema 325 – 249:
es típico de la manera en que se presenta el cálculo en
columna. Esta forma de cálculo es una extensión obvia de
la aritmética mental para ellos y en particular, esto es cierto
Mental arithmetic
para la estrategia de rompimiento. En este sentido este
procedimiento estándar del cálculo se puede considerar
como una cristalización y abstracción adicional de la
aritmética mental.
El cálculo en columna ocurre con cierta regularidad junto
con aritmética mental en la continuación del futuro
programa.
Es también característico que los niños tengan su propia
contribución de aprender matemática mental. Con la
dirección del maestro se da la oportunidad, dentro de
ciertos límites, de dominar los diferentes tipos de
estrategias del cálculo en la discusión con sus compañeros.
Haciendo esto, pueden construir su propio repertorio de
estrtegias, con su propia escala y flexibilidad, y así
aprenderán a decidir cuándo es conveniente usar
anotaciones que lo ayuden .
Aritmética mental en una perspectiva histórica
Históricamente, la aritmética mental no ha tenido siempre
tanto valor. Hubo épocas en que no desempeñó
virtualmente ningún papel en el programa de la escuela
primaria. Esto era particularmente verdad antes de 1850,
cuando era más importante la capacidad de realizar
algoritmos. En ese período, solo se le prestó atención a la
aritmética mental en el sentido de las tablas de la adición
que memorizaban, la substracción, la multiplicación y la
división de memoria, principalmente por práctica
mecánica.
Hacia finales del siglo19, un cambio inicial fue
introducido bajo la influencia de Versluys, el matemático
y didácta holandés. Él interpretó la aritmética mental
mucho más en el sentido descrito en las secciones
anteriores de este capítulo: no tanto cubriendo los hechos
básicos y su impresión, sino trabajando más con
números, usando todas las clases de relaciones de trabajo
astuto y características de las operaciones. La aritmética
mental, según Versluys, se diferencia del cálculo
algorítmico por la flexibilidad con la cual se realizan las
operaciones. Esta visión condujo inicialmente, en el siglo
20 a series de libro de textos en el cual se le prestó mucha
atención al trabajo con algoritmos.
125
El ejemplo siguiente del grado 2 se tomó de un libro de
texto llamado "Give Me Eight." 5
En algunas de estas series del libro de textos, el curso para
los algoritmos fue diseñado por separado al de la
aritmética mental como forma independiente de trabajo,
pero había también la serie del libro de textos en las cuales
este curso estaba alineado más de cerca con la aritmética
mental.
Aritmética mental
1.
2.
100 = 2 ×..
100 ÷ 2 =
80 + 60 =
100 = 4 ×..
300 ÷ 2 =
70 + 40 =
200 = 4 ×..
500 ÷ 2 =
90 + 80 =
200 = 8 ×..
700 ÷ 2 =
60 + 90 =
400 = 8 ×..
900 ÷ 2 =
80 + 70 =
2/ of 18 =
3
4/ of 30 =
5
5/ of 27 =
9
3/ of 28 =
4
5/ of 24 =
6
2 × 25 =
4 × 25 =
6 × 25 =
8 × 25 =
10 × 25 =
3 × 25 =
5 × 25 =
7 × 25 =
9 × 25 =
11 × 25 =
100 – 15 = 100 – 35 = 100 – 45 = 100 –75 = 100 – 85 =
95 – 40 =
3.
85 – 45 =
73 – 42 =
100 semanas = 100 x7 días
100 nickels = 100 x 5 ct.
100 horas = 100 × 60 minutos
68 – 27 =
49 – 25 =
=...días
=... centavos
= .. minutos
100 docena de
lápices = 100 × 12 lápices
= .. lápices
100 kilo = 100 × 2 libras
= .. libras
Estos dos enfoques pueden también encontrarse en libros
de texto utilizados después de la segunda guerra mundial,
aunque desapareció más adelante.Bajo la influencia de
una tendencia fuerte hacia la individualización, la
educación aritmética se convirtió cada vez más en una
actividad de individuo -papel que se centró en hacer
algoritmos.
Pero otro cambio ocurrió gradualmente en los Países
Bajos, en parte bajo la influencia de algunas series
renovadas de libros de texto y algunos programas
educativos de la televisión holandesa.6 Entre otras cosas,
éstos prestaban atención al conocimiento, una variedad
amplia de ejercicios, y aritmética mental en forma de
juegos y rompecabezas. El énfasis residía principalmente
en estrategias certeras y variadas, (también llamadas
"propiedades de cálculo" o "calculo astuto") y menos en
las formas más básicas de aritmética mental por
encadenamiento y rompimiento.
Solamente cuando la educación realista de las matemáticas
se trabajó en forma detallada en los años 80 y los años 90
fue que la visión de la aritmética mental se amplió en la
dirección descrita anteriormente. Esta tendencia dio una
seria importancia a la aritmética mental. Con la
introducción a gran escala de la calculadora, se le dio
menos importancia al uso de algoritmos- un desarrollo que
no ha llegado a su fin.
.
La opinión sobre el lugar y la naturaleza de la aritmética
mental parece haber sido muy bien aceptada. En un
estudio reciente7 reciente en el cual estaban implicados
más de doscientos expertos aritméticos, una gran mayoría
parecía apoyar esta visión. Al mismo tiempo, tres cuartas
partes de éstos abogaron por un plan de estudios en el cual
la aritmética mental forma el tronco del programa
aritmético en la educación de las matemáticas siempre y
cuando funcione sistemáticamente en una red de la
trayectoria de enseñanza-aprendizaje. El cálculo en
columnas y los algoritmos son una rama importante de
este tronco.
Calcular hasta el cien
Con los números hasta el cien, los niños se familiarizan
con la aritmética mental en su forma más elemental—
primero con la adición y la substracción, y más adelante
con la multiplicación y la división. Según lo descrito en
los capítulos para los grados más bajos de la escuela
126
primaria la base para esto es formada en gran parte por los
niños que adquieren una buena comprensión de los
números como tal: de los patrones de diez en la fila de
contar, de los diversos significados verdaderos de los
números, de su posición global respecto a la recta
CALCULATION WITH WHOLE NUMBERS Upper Grades Primary School
numérica, y de la cuenta variada mediante saltos. Las
operaciones aritméticas que se realizan aquí incorporan
los cuatro procesos principales.Se trabaja entonces con la
adición y la substracción como base de esta exploración
del número. Los capítulos para los grados más bajos
describen detalladamente cómo los niños ganan
gradualmente confianza al usar la primera estrategia de
solución básica, la estrategia de encadenación . En esto el
primer número sigue siendo quedando intacto y el
segundo número se agrega o se resta por partes. La recta
numérica vacía funciona como modelo central
proporcionando aun a los niños con la ayuda necesaria, y
también en un nivel mental ("piensa en la línea numérica
otra vez...")
. Cuando los niños están lo suficientemente seguros de
usar la estrategia de encadenación y cuando también han
ampliados su conocimiento en la estructura decimal de
números, se explora la estrategia de rompimiento en la
cual ambos números han sido "rotos" y añadidos o
restados en partes. Esta estrategia se enseña en el último
período del grado 2 o en la primera mitad del grado 3,
usando el dinero u otro material estructurado para apoyar
las operaciones. Esto se hace especialmente con la visión
de desenmascarar los errores conocidos del rompimiento
de los números de forma incorrecta según se muestra a
continuación.
83 – 47 =
80 – 40 = 40
7–3=4
40 + 4 = 44
En una discusión con toda la clase la situación es
ejemplificada usando el dinero (uno tiene 83 euros y uno
quisiera comprar algo por 47 euros) y la falta de
corrección de este enfoque sido criticada públicamente.
Se discuten las razones por las cuales esta manera es
incorrecta. Entonces, varios niños proponen los
siguientes comentarios:
“Usted no tiene 7 monedas de un euro. Sólo consiguió 3 y
usted tiene que quitar 7."
Mental arithmetic
“ Sí, exactamente. Entonces usted puede primero quitar 3
y entonces usted necesita quitar 4 billetes de diez euros.”
Después de que el grupo haya reflexionado sobre tales
comentarios, se proponen algunas maneras de un
rompimiento adecuado:
80 – 40 = 40
40 + 3 = 43
43 – 7 = 36
or
80 – 40 = 40
3 – 7 = –4 (4 short)
40 – 4 = 36
Durante el transcurso del grado 3, una tercera categoría de
estrategias, la estrategia de variación, se presenta, aunque
algunos niños habrán entendido esto anteriormente. Esto
se aplica, por ejemplo, a la estrategia de añadir en la
sustracción.. Se utilizan situaciones que envuelven hacer
pagos (uno tiene 80 euros y compra algo por 67 euros)
para revelar y explicar esta estrategia.
. La recta numérica vacía y las notaciones en lenguaje
aritmético sirven para describirlo en diversos niveles.
En una manera similar, otras estrategias de variación tales
como compensar, usar relaciones inversas, y el
transformar se utilizan con cierta regularidad.
El resultado de todo esto es que los niños se hacen cada
vez más expertos en el cálculo rápido y flexible en todo
tipo de problemas hasta el cien. Ellos adquieren un
incremento en el repertorio de estrategias de aritmética
mental eficientes del cual pueden hacer uso según el
problema. . Por supuesto, no todos los niños consiguen
llegar tan lejos: no todos desarrollan un amplio repertorio
ni todos ellos ven rápidamente qué estrategia se presta
para resolver ciertos problemas de una forma hábil. Esto
explica porqué utilizan una libreta de apuntes para anotar
un paso intermedio que puede seguir siendo una valiosa
ayuda para algunos niños. Pero es cierto que si durante el
grado 4 a esta área se le da bastante atención en forma de
lecciones cortas con mucha práctica, incluso los
estudiantes más débiles pueden progresar de una manera
óptima y obtener una idea sobre lo que es la aritmética
mental.. Junto con todo esto, los niños también están
desarrollando sus habilidades para solucionar problemas
con las tablas de forma rápida y automática. Los capítulos
127
en los grados más bajos delinean cómo este proceso
trabaja. Aquí también puede verse que los niños alcanzan
mayor flexibilidad en su comportamiento de solucionar
problemas. El proceso de automatización no es tanto una
cuestión dejar impreso algo sino de realizar más y más
cálculos en formas cortas.
Al finalizar el grado 3, los niños utilizan las siguientes
estrategias de cálculo:
tablas son entonces descubiertas. Para 48, por ejemplo, 6
× 8 y 8 × 6 , pero funcionan también 2 × 24, 4 × 12, y así
sucesivamente.Además, haciendo estos ejercicios, los
niños comienzan a darse cuenta que hay también algunos
números (por ejemplo 61) que no caben en cualquiera de
las tablas. Las investigaciones con estos números
(primos) pueden continuarse de una manera sistemática
en una etapa mas tarde.
> 6×8=
“Luego hago 5 × 8 is 40. Eso ya lo sé. Entonces le
añado 8 igual 48.”
> 7×9=
“Lo coloco al revés porque 9 × 7 esmás fácil: esto es 70 –
7 es 63.”
> 8×7=
“Primero 4 × 7 es 28. Y entonces 28 y 28 es 56.”
Todo esto resulta no tan solo en más problemas de las
tablas que se automatizan y luego se memorizan, si no
también en que los niños llegan a sentirse más confiados
al usar estrategias importantes de multiplicación (basadas
en rompimiento y propiedades de intercambio) que son
de gran valor para su desarrollo posterior aritmético
.
Durante el grado 3 y 4 el énfasis aumenta y cambia a
cálculos hasta mil y más. Los cálculos hasta el cien
todavía se practican con regularidad sobre todo en la
forma de ejercicios cortos y variados como pruebas
cortas, rompecabezas del cálculo, ejercicios de velocidad
para las tablas y los juegos de la aritmética entre otros.I
El adquirir conocimiento preciso en esta área es también
fomentado por ejercicios invertidos. Por ejemplo, el
maestro dice un número (48, 35, 61,...)y los niños
piensan en qué multiplicación satisface la repuesta. De
esta forma las multiplicaciones que son mayores que las
1
Al final del grado 3 los estudiantes pueden resolver arimética mental para la
adición y sustracción hasta cien de forma rápida y con profundidad. Si fuera
necesario hacen uso de notaciones intermedias .
Al final del grado 4 los estudiantes pueden ejecutar estas operaciones por
completo mentalmente.
2
Al final del grado 3 los estudiantes pueden resolver las tablas de
multiplicación del 2 al 10 automáticamente. Para la mitad del grado 4 todas
estas operaciones han sido memorizadas.
128
CALCULATION WITH WHOLE NUMBERS Upper Grades Primary School
Los niños han tenido amplia oportunidad de trabajar a través de las tres estrtegias
para la aritmética mental que han sido definida: encadenación, rompimiento y
variación. Al hacer esto, ellos están completamente confiados usando la forma
más básica de aritmética mental antes de intentar un método más complicado.
Esto significa que estarán concientes y dudan sobre un enfoque, pero siempre
podrán recurrir al encadenamiento como la estrategia más segura y básica.This
means they are aware if they doubt an approach, that they can always revert to
stringing as the safest and most basic strategy. Al darle a los ejercicios un carácter
divertido y variado luego de la introducción inicial, los niños son alentados a
desarrollar su flexibilidad natural de manera que mejorarán continuamente en la
selección de la estrategia más conveniente.
En lo que a las tablas se refiere, las lecciones se concentran primeramente en los
problemas más difíciles (tal como 7 × 8, 8 × 6, 7 × 7, 6 × 8, 7 × 6) y entra la
pregunta sobre qué estrategia adecuada tiene disponible en caso de que no pueda
resolver el problema inmediatamente. La clave para una automatización recae en
compartir y practicar las estrategias que se producen al contestar esta pregunta
(tal como regresar, usando 5 × y 10 × como ancla o patrones, y doblar).
Adición y sustracción hasta mil
La trayectoria de enseñanza-aprendizaje para la adición y
lasustracción hasta mil muestra una correlación sólida para
estos problemas hasta el cien de diferentes maneras. en
primer lugar existe el hecho de que se explora cabalmente el
área numérica. Se discuten nuevamente diferentes aspectos
de los números que son la base el conocimiento que los niños
han adquirido para los números hasta el cien. De esta
manera no tienen que comenzar desde “cero”. Por el
contrario, al etender que la recta numérica hasta el mil es una
continuación de la del cien, le facilita a ls niños aprender bien
su estructura. Es especialmente viendo la posición de los
números hasta el mil como una extensión de la posición
hasta el cien lo que anima al conocimiento de la posición
global de los números.
.Así como como en el área hasta el cien, se utilizan contextos
del campo de las medidas:
Mental arithmetic
> ¿Cuán lejos es si saltas 2 m 45 cm?
¿Y si alguien salta 3 m 79 cm? ¿O 7 m 98 cm?
¿Se podría aplicar esto salto al salón de clases?
Una vez los números hayan adquirido suficiente sentido
y significado, entonces los niños trabajarán con la tripleta
de estrategias de filas (encadenar)- rompimiento variación de una manera similar para la suma y la resta
hasta el cien. Ellos comienzan con una exploración
extensa de la estrategia de encadenar en donde la recta
numérica vacía funciona como modelo central. Además,
ejecutando cálculos mentales en la recta numérica vacía y
129
describiéndolos en términos del lenguaje matemático
pronto se adopta como una manera para sustentar sus
cálculos.
> Robin iba de vacaciones con su familia a Francia. En la
tarde el odómetro del carro marcaba 356. En un letrero
se da cuenta que faltan 48 km para llegar al pueblo donde
acamparán. ¿Cuántos km habrán recorrido en total
durante el día?
La clase propone la siguiente manera para abordar este
problema de contexto:
encadenando a lo largo
de la recta numérica
vacía con diferentes
grados de reducción
356 + 40 = 396
396 + 4 = 400
400 + 4 = 404
356 = 300 + 56
50 + 40 = 90
6 + 8 = 14
300 + 90 + 14 = 404
estrategia de
encadenar
escribiendo lenguaje
matemático
estrategia de romper,
también escrita en
lenguaje matemático
En la siguiente discusión el énfasis recae en la estrategia
de encadenación y en los diferentes niveles en los cuales
estos pueden ser ejecutados. Pensando en esto durante la
clase, el niño crea conciencia del hecho de que los
cálculos sobre cien no son realmente tan diferentes de los
cálculos hasta el cien. Lo que si es nuevo es que el límite
de cien ha sido cruzado. Los niños se dan cuenta de cómo
130
pueden tratar ese “cruce” eficientemente. La capacidad de
de contar hacia adelante y hacia atrás en saltos de 10 y 100
juega un papel importante aquí. Los niños ponen esto en
práctica en problemas de ahorros (ahorrando o gastando
un billete de 10 o de 100) solo como sumar y restar hasta
el cien.
En general, en adición a la estrategia de encadenación ,
todas las estrategias son propuestas por la clase. La
estrategia de rompimiento mostrada anteriormente es un
ejemplo, y también el compensar (356 + 48 vía 356 + 50
– 2). Los niños ya conocen estos enfoques para cálculo
cálculo hasta cien y algunas veces son tentados a usarlos
en áreas sobre cien.
Por supuesto, el maestro puede mencionar tales
estrategias pero no prestarle atención especial a las
mismas.
El objetivo principal es hacer que los niños se sientan
seguros con la encadenación como estrategia más básica.
En la segunda mitad del grado 3 cuando su conocimiento
de la estructura decimal ha aumentado, el énfasis es la
estrategia de rompimiento. Aquí el cálculo nuevamente
es apoyado con el material estructural como el dinero y
descrito en términos matemáticos. cuando los niños están
lo suficientemete familiarizados con esto se dará más
atención a las estrategias de variación. Por ejemplo,
añadir como una sustracción astuta cuando los números
están próximos unos a otros (302 – 297 así por el estilo) y
compensando cuando el segundo término está próximo a
un número entero (620 – 99).
Esto amplía el repertorio de los niños de manera eficiente
para trabajar más allá y también crece el entendimiento de
lo que es en esencia aritmética mental: seleccionar una
ejecución adecuada basada en su conocimiento de los
números y su entendimiento de las diferentes estrategia, y
alcanzar la solución con rapidez basado en su destreza para
implementar estas estrategias
Sin embargo, existe una diferencia importante con el
cálculo hasta el cien. A medida en que los números son
más grandes y más difíciles de comprender, se hace
aparente la necesidad para una forma estandarizada—una
forma en la cual los números son procesados en fila y de
acuerdo a unos pasos fijos.
CALCULATION WITH WHOLE NUMBERS Upper Grades Primary School
En la primera mitad del grado 4 el cálculo en columna se
presenta como una continuación de la estrtegia de
rompimiento, y seguido posteriormente por algoritmos en
los cuales se trabaja con los dígitos en lugar de números.
Durante la segunda mitad del grado 4 cuando los números
por encima de mil ya han sido también explorados y el
cálcuo en columnase hace familiar, se practica calculando
con números hasta mil de diferentes maneras.. Esto puede
llevarse a cabo mediante pruebas cortas (que contengan
más problemas simples), situaciones con dinero y otras
aplicaciones, filas análogas y también en la forma de
ejercicios que estén dirigidos a aprender a distinguir si un
problema requiere aritmética mental o cálculo en columna
o ejecutarlo con algoritmo.
236 + 670 =
2306 + 698 =
1250 + 1250 =
1876 + 3459 =
1000 – 895 =
247 – 837 =
5000 – 4950 =
2136 – 1478 =
El primer problema es visto como uno de aritmética mental
por casi todos los niños. el segundo algunos lo hacen
comomediante aritmética mental, mientras que los otros
ejecutan un algoritmo. Principalmente seleccionan el cálculo
en columna o llevando un algoritmo para el tercer y el quinto
poblema, aunque en contraste, para resolver el cuarto muchos
utilizan aritmética mental. En los problemas de sustracción se
ven formas similares para trabajarlos. Una discusión con
toda la clase debe revelar las diferencias en los enfoques y los
niños discutir por qué (por ejemplo) seleccionaron aritmética
mental para un problema como 5000 – 4950 a pesar que
involucra dos números grandes...
> Trabaje esto. Utilice aritmética mental o alguna forma en
que los números sean colocados debajo de cada uno.
345 + 345 =
302 – 298 =
3
Al finalizar el grado 3 los estudiantes pueden sumar y restar hasta mil mediante encadenamiento
, algunos con la ayuda de la recta numérica vacía. Al finalizar el grado 4 ellos pueden resolver
sumas y restas hasta mil ( y por encima de mil hasta cierto grado) mediante encadenamiento,
rompimiento y variando. Ellos pueden hacer selecciones sensibles entre utilizar aritmética mental
o cálculo en columnas o algoritmos.
Las metas de logros establecidas para el grado 3, por supuesto, no significa que
ninguno de los niños utilizará otras estrategias tales como rompimiento o variación
como añadir (–) o o compensar (+ y –). esto significa que la estrategia de
encadenación actúa como estrategia básica que puede ser empleada a conciencia por
todos los niños. La meta del logro para el grado 4 se rcomienda si los niños tienen la
suficiente oportunidad para trabajar mediante las tres estrategias descritas—en
cadenas, rompimiento y variación. el maestro debe asegurarse de que los niños
gradualmente amplien su repertorio de estrategias de aritmética mental de manera
apropiada y de forma individual. Por una parte, esto implica mantenerse al tanto del
tema principal y trabajar a través de la trayectoria enseñanza -aprendizaje a un nivel
macro con cierta disciplina, y por otro lado, en un nivel micro, dando todos los tipos
de problemas con números puros y problemas de contexto, y permitiéndo le a los
niños toda la libertad y la oportunidad de construir estrategias de simplificación para
diferentes niveles y grados. La frontera de mil se hará cada vea menos importante.
Mental arithmetic
131
Multiplicando con números grandes
Durante la segunda mitad del grado 3, los niños trabajan
hacia una forma diestra de lidiar con problemas de
multiplicación más complejos, tales como 12 × 6, 5 × 24,
7 × 80 y 6 × 48.
En este punto ellos están avanzados con la suma y la resta
hasta mil, de tal manera que están bien confiados con la
estrategia de encadenación en este campo, mientras que
también están familiarizados con la de rompimiento. En
este período el proceso automatizado de las tablas de
multiplicación también está avanzado. El conocimiento
que han dominado hasta aquí (datos pero también
conocimiento sobre estrategias importantes de
multiplicación basadas en propiedades de intercambio y
de rompimiento) junto con su conocimiento de la suma y
la resta hasta mil forman la base para explorar
multiplicaciones más complejas. El punto de partida
surge con problemas como:
> El barco holandés ‘De Mondriaan’ navega alrededor del
mundo. En el armario del almacén hay por lo menos seis
cajas de café con 24 paquetes en cada caja.¿Cuántos
paquetes de café hay en total?
En estas situaciones el niño principalmente utiliza adición
repetida ayudada a menudo por sus propias notaciones
informales, por ejemplo:
Todas estas estrategias son de hecho, una forma de
encadenación: el multiplicando se ve como un todo y que
es añadido un número de veces, de la misma manera en la
cuál la adición ocurrió en las etapas iniciales. Cuando los
niños han tenido suficiente experiencia con estas
situaciones y pueden reconocer la estructura de la
multiplicación, estos enfoques parecen ser bastantes
incómodos. Por esta razón, despúes de un rato su atención
vuelve a la estrategia de rompimiento que algunos niños
ya habían descubierto por sí solos. En el caso de la
estrategia de rompimiento el multiplicando no es visto
como un entero sino que se rompe en decenas y unidades.
Las situaciones con dinero son particularmente ideales
para iniciar a los niños y concientizarlos en este enfoque.
> Cindy va a un campamento donde hay “ponies” con un
grupo de seis amigos el fin de semana. Cada persona
tiene que pagar 48 euros. ¿Cuánto costará el
campamento en total?
132
CALCULATION WITH WHOLE NUMBERS Upper Grades Primary School
las tablas, ahora adquiere una aplicación más amplia.
El utilizar situacions de multiplicación basadas en
diferentes estructuras puede conducir a que las estrategias
de rompimiento sean más independiente de los ejemplos
concretos provistos por situaciones de dinero. Esto aplica
particularmente a situaciones con una estructura
rectangular (por ejemplo, en un camino de losetas de 6
hileras con 48 losetas) y situaciones con estructuras de
barra (por ejemplo, viajar 48 km por 6 días por semana).
Algunos de los niños seguirán tentados con la idea de
alcanzar la solución mediante adición repetida o duplicar,
pero otros utilizarán la estrategia de rompimiento, en parte
por el contexto de la estructura de dinero. Este problema
puede ser abordado de diferentes maneras, como lo
muestran los ejemplos a continuación.
6 × 20 = 120
6 × 20 = 120
6 × 8 = 48
120 + 120 + 48 = 288
o
6 × 40 = 240
6 × 8 = 48
240 + 48 = 288
Por medio de la discusión en clase acerca de las
estrategias de cálculo utilizadas, la atención de los otros
niños es enfocada en esta estrategia de rompimiento
basada en la propiedad de rompimiento. Esto es ilustrado
con dibujos de la pizarra o con dinero. Con este tipo de
introducción las estrategias en el dominio de la adición
repetida se pueden reconocer, de una manera y de otra, se
puede obtener conocimiento de las diversas formas de
rompimiento. Así los niños pueden imaginar cómo
romper “6 veces 48” en “6 veces 40” (o 6 veces 4 billetes
de 10 euros) más “6 veces 8.” La propiedad de
rompimiento que los niños aprendieron primero a usar con
Mental arithmetic
En todo esto, aún hay un asunto muy importante, el de la
regla del cero. Los niños deben estar concientes del hecho
de que uno no puede abordar un problema como 6 x 40
con astucia haciendo “6 veces 4 con un cero después del
resultado. Para algunos niños esto no es un dato
experimentado que prontamente adquiere el estatus de
una regla, pero la base no está absolutamente clara para
muchos niños. El contexto del dinero descrito
anteriormente se presenta como un apoyo inicial de esta
regla. En esta situación es fácil ver que 6 × 40 puede ser
“6 veces 4 billetes de 10 por lo tanto 24 billetes ó 240
dólares. Pero esto no es todo. A primera vista 40 x 6 sigue
aparentando ser una historia diferente. Al incluir
estructuras rectangulares y permitir que los niños
observen que 40 x 6 funcionan de la misma manera, ellos
pueden darse cuenta que pueden comenzar con “6 veces 4
grupos de diez en esta sitiación.
Este conocimiento es también importante para la división
de números mayores que sucederá posteriormente.
40 × 6
6 × 40
Una vez los niños adquieran una buena base en la estrategia
de rompimiento y el uso de la regla del cero, entonces, al
igual que en adición y sustracción se dirigen a utilizar
133
estrategias de variación como lo son el compensar y el
duplicar en forma repetida. algunos niños utilizan estas
estrategias en una fase temprana, mientras que otros las
utilizan más tarde, particularmente en casos en los cuales
los números se adaptan fácilmente.
6 × 99 = ?
6 × 100 = 600
6×1=6
600 – 6 = 594
o
8 × 75 = ?
2 × 75 = 150
150 + 150 = 300
300 + 300 = 600
Es aquí donde comienza otra fase flexible en la cual los niños
están más concientes del hecho de que así como en
encadenación y el rompimiento, existen otras estrategias
certeras que se pueden emplear con eficiencia. La base de
esas estrategias nuevamente sigue siendo importante:
134
comenzando con ejemplos concretos en contextos de dinero
o una estructura rectangular, los niños pueden realmente
comenzar a entender porqué uno puede trabajar 6 × 99
“haciendo 6 veces 100 menos 6 veces 1.”
Así como la adición y la sustracción, a su debido tiempo la
multiplicación también se amplía en la dirección de
procedimientos estándares: los cálculos en columna se
introduce en el grado 4 seguidos por algoritmos. El tipo de
cálculo estándar en columna con su extensión a los
algiritmos, surge de la aritmética mental. Por un lado, es
cierto que los niños adquieren un repertorio cada vez más
amplio de las estrategias de aritmética mental, mientras que
por otro lado, adquieren un aumento en su conocimiento en
las formas estándares del cálculo en columna y agoritmos.
CALCULATION WITH WHOLE NUMBERS Upper Grades Primary School
Al finalizar el grado 4 los estudiantes son capaces de resolver problemas de
multiplicaciones mayores con un sólo dígito y un número con varios dígitos
(6 × 48, 7 × 80, 4 × 251, 25 × 7) tanto en problemas con números puros y
situaciones de aplicación, utilizar las estrategias de rompimiento y variación
que han sido presentadas en relación a esto. Ellos también pueden hacer
notaciones intermedias relevantes dependiendo el tipo de problema.
Alcanzar esta meta de logro es encouraged si el maestro le permite a los
niños experimentar (con dinero u otro material estructurado) esta estrtegia de
rompimiento, de hecho, es muy similar a la estrategia de encadenamiento en
el área de la suma repetida. Por ejemplo:
– 6 veces por semana viajando 48 km para el trabajo
– 6 cajas con 48 paquetes de mantequilla
– 6 libros a 48 dólares, un cultivo con seis filas de 48 árboles de manzanas
– un modelo de un carro de 6 cm de largo en una escala de 1 a 48.
En parte como consecuencia de esto, los niños aumentan su comprensión
sobre la posibilidad de escoger una estrategia cómoda independiente del
contexto, aún en problemas en que el contexto parece invitar a otro medio
mucho más complicado para trabajar.
Para hacer la estrategia de rompimiento aún más accesible para los niños, se
les ofrece suficiente oportunidad para verificar la regla del 0. Los contextos
de dinero y situaciones rectangulares están envueltos para proveer
conocimiento acerca de por qué problemas como 6 × 40, le permite utilizar
“6 veces 4 con un cero después de éste.”
División con números más pequeños y más grandes
La división es la última operación mental aritmética que
es explorada sistemáticamente aunque hay una
exploración informal que la precede en los grados más
bajos. Hay pocas razones para darle a la división un
estatus más formal en una etapa más temprana (grados 1
y 2). En situaciones donde esto se aplica se implanta
principalmente mediante la multiplicación y la
multiplicación contínua. Como se escribió en la Parte I de
este libro, la división puede entonces retener se estatus
informal y estar fuertemente relacionada a la
multiplicación por largo tiempo.
Mental arithmetic
Aproximadamente a mediados del grado 3, la operación
“dividido por” y los signos de división correspondientes
pueden ser enlazados a situaciones de subdivisión de
primera instancia.
Por ejemplo, uno tiene 18 huevos que tienen que ser
subdivididos en cajas de 6. ¿Cuantas cajas se necesitan?
Al enlazar la notación 18 ÷ 6 a esta situación, la división
obtiene primero un significado más independiente en el
sentido de:¿Cuántos grupos de 6 hay en 18? O más corto:
s¿Cuántas veces va el 6 en el 18?
135
Más tarde, la división también se conecta a situaciones
de justo compartir tales como: dividir 25 canicas entre 4
niños. ¿Cuántas canicas le toca a cada uno?
Porque la división no siempre trabaja, el concepto del
residuo puede introducirse de inmediato como aquello
que ha sobrado luego que el divisor no cabe más en el
dividendo. Aún cuando la división ha ganado un estatus
más independiente, permanece directamente relacionada
a la multiplicación. Es principalmente mediante
“multiplicación invertida” que los niños encuentran la
respuesta
Cuando a la multiplicación con números más grandes se le
ha dado la atención necesaria en el transcurso del grado 3 y
los estudiantes conocen bien las posibilidades de
rompimiento, entonces se explora la división con números
mayores. Los niños estarán ya en la primera mitad del grado
4. Así como con la multiplicación, en primera instancia es
la estrategia de encadenación la que los niños utilizan para
alcanzar la respuesta. Por ejemplo, en el caso del problema
de contexto a continuación:
> Mira trabaja en un centro de jardinería. Ella tiene que
poner bulbos de jacinto cajas de cuatro. Todavía le
quedan 60 bulbos.
¿Cuántas cajas puede ella llenar?
136
Como muestran las soluciones (a) y (b) , la encadenación
ocurre en la división en forma de sustración repetida y de
suma repetida: comenzando con el dividendo y restando
el divisor repetidamente, o comenzando con el divisor y
añadiéndo hasta alcanzar el dividendo. La solución (c)
muestra unmétodo más eficiente para (b) utilizando
multiplicación contínua. La solución (d) es de un orden
diferente. Aquí el dividendo se rompe en partes separadas
y la división se hace en estas partes. Esta es una forma de
rompimiento que es similar a la estrategia de rompimiento
revelada por las otras operaciones. Durante la discusión
en clase se le presta atención primeramente a las
soluciones del tipo (c): multiplicación contínua. La
relación con la molestosa sustracción repetida y la adición
repetida se muestra y los estudiantes son concientizados
de cómo esta nueva forma de trabajar puede ser vista
como una reducción del proceso. La estructura
subdividida de la situación puede proveer el apoyo
necesario: un dibujo puede mostrar cómo 10 grupos de 4
pueden utilizarse a un tiempo en vez de 1 grupo de 4
repetidamente.
Expandiendo a otras situaciones pueden los niños
desarrollar el conocimiento en cuanto a la multiplicación
contínua .
> Usted puede obtener 6 tazas de café de una cafetera.
72 padres vendrán a la actividad de padres esta noche.
Asumiendo que todos toman café, ¿Cuántas cafetersa se
necesitarán?
> Papá estaba poniendo un nuevo piso con losetas. Hay 5
losetas en una fila. En total tiene 80 losetas. ¿Cuántas
filas de 5 puede poner?
> Durante un viaje escolar los niños utilizarán bicicletas
CALCULATION WITH WHOLE NUMBERS Upper Grades Primary School
acuáticas. Hay 125 niños en total y caben 4 niños en cada
bicicleta. ¿Cuántas bicicletas de agua se necesitarán?
La comprensión del carácter inverso de los procesos de
multiplicación y división (6 × 7 = 42, así 42 ÷ 7 = 6 y 42
÷ 6 = 7) así como también el saber las tablas de división
puede ayudar a alcanzar las respuestas en forma rápida.
El modelo rectangular en la forma de losetas o patrones con
puntos puede ser utilizado como apoyo. Con la experiencia
adquirida en tales situaciones, los niños estarán más
conscientes de cómo ellos pueden utilizar la multiplicación
contínua de manera eficiente. Pero las estrategias de
rompimiento mencionados anteriormente tambien recibe
más atención. Por ejemplo, en el caso del piso con losetas:
40 ÷ 5 = 8
40 ÷ 5 = 8
8 + 8 = 16
o
50 ÷ 5 = 10
30 ÷ 5 = 6
10 + 6 = 16
En todo este trabajo, la confianza en la multiplicación ( y
luego en la división) con números redondos es un requisito
importante. Aplica particularmente a “problemas de tablas
grandes” (20 × 3, 30 × 4, 100 × 5, 6 × 40, 20 × 70, y así
sucesivamente) lo cuál tiene que ser calculado con rapidez
y eficiencia. Entendiendo la regla del cero que también se
describe en la sección previa es parte de la base como
también un buen conocimiento de las tablas.
Las estrategias de variación desde luego,son podibles
con la división. Esto envuelve compensar y la división por
dos repetida, por ejemplo:
195 ÷ 5 = ?
200 ÷ 5 = 40
5÷5=1
40 – 1 = 39
1000 ÷ 4 = ?
1000 ÷ 2 = 500
500 ÷ 2 =2 50
Aquí, también una buena base para esta estrategia es de
gran valor para prevenir cálculos erróneos. Aún sucede que
para el primer problema, el razonamiento de un niño es
como sigue: Puedo redondear 195 a 200; 200 dividido por
5 es 40; y luego resto estos primeros 5, que me da 35. El
verificar a través de la multiplicación puede revelar el error
(195 ÷ 5 = 35? entonces 35 × 5 tiene que ser igual a 195).
Mental arithmetic
Y verificando hacia atrás con idea básica de “viendo
cuantos grupos de 5 puede haber de 195” revelará el error
por igual. Esto significa también que el niño puede
explicar el pensamientode por qué 1 grupo de 5 fue
obtenido de 195; eso tiene que ser restado al igual que con
las operaciones.
Aquí también la regla es que a medida en que los números
aumentan en tamaño, la necesidad a una forma
estandarizada de trabajar, seguida por pasos fijos, aumenta.
Para proveer esto, el procedimineto de sustaración
repetida se introduce en la segunda mitad de grado 4 y se
presta atención a todo tipo de estrategias de variación.
Como se describió en el capítulo introductorio de la parte
II de este libro, la forma de algoritmos puros para la
división ya no es parte del currículo. El procedimiento
estándar de sustración repetida se compara con el cálculo
en columna en las otras tres operaciones.
Al igual que las otras operaciones, el resultado de este
programa de enseñanza es que el niño gradualmente expande
su repertorio sobre las mejores estrategias de aritmética
mental. Aquí también la encadenación en el sentido de
multiplicación contínua permanece disponible como una
estrategia básica segura con la cual ellos pueden alcanzar una
solución (aún cuando no sea la manera más eficiente). Pero
poco a poco, aún en esta última operación mental, se pone
más y más énfasis en estrategias de variación apropiadas para
la aritmética mental. Las pequeñas investigaciones hacia la
divisibilidad puede también añadir un apoyo necesario. Poe
ejemplo:
> En la caja hay 48 paquetes de mantequilla en total.
¿Cómo pueden apilarse estos en la caja?
> Arno tiene un juego con 65 tarjetas que tienen que ser
distribuidas entre los jugadores de forma justa. ¿Cuántos
jugadores necesitas para jugarlo justamente? How many
players do you need to play the game fairly?
> ¿Qué números hay en 100? ¿Qué números hay en 120?
¿Cuál número tiene más divisores?
> Cuál es el número más pequeño que puedes dividir con
2, 3, 4, 5 y 6?
> Investigaciones con números primos tales como: ¿Qué
137
pasajeros, y así sucesivamente) y en cálculos con
“porcientos adecuados”(25% de descuento en una chaqueta
con un costo de150 dólares) pero también el concepto de
residuo alcanza un significado más amplio. Los niños están
familiarizados en contestar problemas de división más
pequeños tales como 25 ÷ 4 con “6 residuo 1”, pero en
relación con una situación tal como “25 panqueques
compartidos entrercuatro” el residuo también puede ser
compartido: 25 ÷ 4 = 6 1--4- . Enlazado una situación tal como
“cortar una soga de 25 metros de largo en 4 pedazos
iguales” la respuesta también sería 6.25 m. De esta manera
el horizonte de los niños se expande hacia el mundo de las
fracciones, lo cuál aparece como una extensión del
conocido mundo de los números enteros.
tres números entre 120 y 130 no pueden ser divididos
por ningún otro número (otro que no sea 1 y el mismo
número)?
A través de esta investigación los niños amplían no tan solo
su destreza s en el campo de la división sino también
aumenta su conocimiento de las diferentes estructuras del
número. Esto es una manera en la que ese número adquiere
su “propia imgen.”
Según los conceptos del número van aumentando de nivel
(fracciones, decimales, porcentaje, razones,...) ganan más
forma en la segunda mitad del grado 4, la división no sólo
encuentra una rica área de aplicación al trabajar con las
fracciones como un operador ( --56- de una guagua con 150
4
Al finalizar el grado 4 los estudiantes pueden calcular problemas de división más
grandes con rapidez y fácilmente (60 ÷ 4, 75 ÷ 3, 250 ÷ 5, 600 ÷ 15,...) tanto en
problemas numéricos puros y en sus aplicaciones.La multiplicación contínua actúa
como estrategia básica. A mitad del grado 5 los niños también están familiarizados
con la posibilidad de utilizar la estrategia de rompimiento para tales problemas, al
igual que algunas estrategias de variación como compensar y dividir por la mitad
de forma repetida.Los estudiantes pueden interpretar el residuo correctamente en
relación al contexto.
138
CALCULATION WITH WHOLE NUMBERS Upper Grades Primary School
Distinto a otras operaciones, en la división solo necesitan gradualmente un
significado independiente y más formal en el sentido de figurar cuantos
grupos de 5 puede tener en 36 (en el caso de 36 ÷ 5). Haciendo los enlaces
con situaciones de subdividir y de compartir equitativamente, los niños
aprenden este significado particular durante el grado 3.
La confianza en la multiplicación contínua como una estrategia básica para
divisiones más grandes es especialmente estimulada si los niños tienen la
oportunidad, en un nivel concreto, de ver la relación de esta estrategia con
estrategias más complejas en la esfera de adición y sustración repetida.
Problemas de contexto como el problema de los jacintos pueden servir como
modelo para situaciones como esta. Para poder avanzar la construcción de
una red de relaciones de números elementales, se le presta atención regular
al carácter inverso de las operaciones de multiplicación y la división y en
practicar las tablas de división. Al mismo tiempo, desde la segunda mitad del
grado 4, se conducen pequeñas investigaciones hacia la división. Es en parte
el resultado de sus experiencias con tales investigaciones que los niños
aprenden que ciertos números tienen su propia “apariencia”.
Multiplicación y división con números enteros
Al completase el curso, una sub-área específica se
distingue en el área de la multiplicación y la división con
números grandes, y que juega un papel prominente
durante el resto de la escuela primaria: la multiplicación
y la división con números redondos .
50 × 20 =
60 × 250 =
20 × 35.000 =
50 × 150.000 =
600 ÷ 5 =
10.000 ÷ 4 =
12.000 ÷ 100 =
300.000 ÷ 15 =
Estos problemas son regularmente abordados desde la
segunda mitad del grado 4, tanto en formas de números
puros como en aplicaciones primero en relación a la
multiplicación y luego incluyendo la división también.
No tan solo es esta area de gran alor en conexión con
ganar un conocimiento mayor en operaciones importantes
tales como la regla del cero y la propiedad de
rompimiento, pero también contribuye a reforzar el
Mental arithmetic
sentimiento por los números más grandes. Más aún,
forma una base esencial de cálculos con fracciones y por
cientos.
Por consiguiente, un buen conocimiento del cálculo con
números enteros es escencial en relación a problemas
tales como : ¾ de un estadio con 10,000 sillas, 5%
descuento e un carro que cuesta 12,000 euros, y así por el
estilo.
Como ya se había descrito, la atención necesaria se ha
prestado a problemas tales como 6 × 40, 30 × 5 y 200 × 4
en la exploración de la multiplicación y la división con
números más grandes en la primera mitad del grado 4. Esto
concernía principalmente con el aprendizaje de la regla del
cero (el hecho de que el cero viene después de un número
entero si uno multiplica ese número por 10) y la forma en la
cual uno puede utilizar la regla del cero para trabajar estos
problemas de una manera diestra. El dinero y el modelo
rectangular juega un rol de apoyo central.
139
La regla del cero, por supuesto, también se aplica en
“orden invertido” para división (si uno divide un número
redondo por 10, el cero final se remueve del número).
Algunos niños observarán esta propiedad por sí mismos
pero esto no aplica a la mayoría de ellos. Por lo tanto hay
que considerar los problemas de contexto varias veces
durante la segunda mitad del grado 4.
> El resultado de unpartido de fútbol fue adivinado
correctamente por 10 personas. Ellos podrán compartir el
dinero que había en la caja de apuestas de forma justa
(250 euro). ¿Cuantos euros tendrá cada uno?
Algunos niños se ven tentados a utilizar la forma de
multiplicación contínua aquí. Al utilizar la relación
invertida (como ya ha sido utilizada por muchos niños en
su propia iniciativa) hace claro a todos que hay una ruta
más corta: uno puede ver 250 euros como 10 grupos de
25 euros, porque 10 × 25 = 250 (la regla del cero para la
multiplicación). Por consiguiente cada uno obtendrá un
grupo de 25 euros.
Al discutir el asunto en otro contexto (colocar 350 huevos
en cajas de 10; cortar 150 metros de soga en unidades de
10 metros,...) la regla del cero puede entenderse también
como una propiedad para la división.
En forma de aumento, la multiplicación y división con
números enteros recibe una atención por separado,
lecciones cortas basadas en :
– pruebas cortas (en la cual los niños resuelven tres
hileras de cinco problemas, por ejemplo, en un tiempo
limitado )
– problemas de dinero (si sabe que una toronja cuesta 35
centavos, cuanto se pagará por 5, 10, 20 y 40 toronjas?
¿Cuanto costarán 200?)
– problemas de dar vueltas ( si sabe el resultado de 42 ÷
6, entonces uno puede fácilmente hacer unsinnúmero
de sumas con números mayores: 420 ÷ 6; 4200 ÷ 6; 42
140
÷ 7; 420 ÷ 7; 420 ÷ 70; 4200 ÷ 70;...)
– producciones propias de multiplicación para un
número entero grande ( por ejemplo: piense en diez
multiplicaciones diferentes para hacer 3600; luego
haga lo mismo para 4800)
– ...
En las discusiones antes y después de estos ejercicios,
poco a poco los niños van construyendo una red más
amplia de las relaciones numéricas conocidas y un
repertorio mayor de la estrategia de aritmética mental
basada en todo lo que se ha discutido.I.
Para comenzar, el énfasis es mayor en la multiplicación,
luego (en la primera mitad del grado 5) se dará más
atención a la división. Aquí se presta la atención necesaria
a la relación entre ambas operaciones particularmente con
una visión a la posibilidad de verificar los resultados de
los problemas de división haciendo la multiplicación que
lo acompaña.
El siguiente diagrama de la sala de clase demuestra un
ejemplo de una prueba corta de artmética para
multiplicación.3
Una prueba corta conlos siguientes diez problemas se le da
al grupo de Ingrid (en la segunda mitad del grado 4):
6 × 60 =
50 × 120 =
10 × 65 =
20 × 65 =
4 × 75 =
300 × 5 =
12 × 50 =
48 × 10 =
48 × 20 =
5 × 16 =
En la preparación, el maestro hace un inventario de las
maneras practicas para resolver el problemaIn the warm
up, the teacher makes an inventory of the handy ways to
solve the problem 15 x 40. En un período corto de tiempo
los niños han sugerido cuatro maneras para escribirlo en la
pizarra.:
CALCULATION WITH WHOLE NUMBERS Upper Grades Primary School
15 × 40 =
15 × 10 = 150
15 × 10 = 150
300
2 × 300 = 600
Jeetender
15 × 20 = 300
15 × 20 = 300
600
Emrah
10 × 40 = 400
5 × 40 = 200
(5 × 4 = 20)
400 + 200 = 600
Faranas
5 × 40 = 200
5 × 40 = 200
5 × 40 = 200
600
Cindy
Para cerrar la preparación, juntos discuten las estrategias y,
en general, el de Faranas aparenta ser el más obvio. Las
respuestas de Cindy y Jeetender también son consideradas
prácticas, pero la de Emrah es vista como una estrategia
mas personal que no es tan fácil de utilizar por muchos
niños.
Estos ejercicios no tan solo forman un enfoque importante
para adquirir mayor flexibilidad y expandir el repertorio
de estrategias de artmética mental práctica en esta área,
sino que a la misma vez los niños nuevamente
experimenten uno de los aspectos más atractivos de la
artmética mental: que en muchas situaciones hay muchas
maneras que pueden conducir con certeza a una solución.
Cuál de esas se utilize en verdad no importa. Es esto lo
que hace la aritmética mental en la practica una actividad
excitante y placentera. !Una que tanto el maestro como los
estudiantes pueden disfrutar!
En la primera mitad del grado 5 los ejercicios arriba
mencionados forman una parte fija de un menú de
artimética mental semanal, además de aquellos de
sustración y adición hasta el mil y el cálculo con dinero.
La división recibe más y más atención porque no tan solo
es un área que amerita ser estudiada sino también porque
a un alto grado, provee la ruta para explorar el concepto
de los porcientos.
Los números incluidos en estos ejercicios gradualmente
se van haciendo más grandes y animan las imágenes
mentales en los niños, el punto de partida inicial es
muchas veces escogido de una situación física y concreta.
Mental arithmetic
El maestro ha recibido algunos paquetes de papel A4 (500
hojas por paquete ) de la tienda así como también algunas
cajas de presillas (200 presillas por caja). Primero el
número de hojas y presillas en un paquete vuelve a
determinarse. Entonces el maestro permite a los niños
imaginar qué más pueden calcular basándose en estos
números conocidos. Todo lo que sugieren se escribe enuna
tabla en la pizarra y se dicute en la clase.
1 paquete: 500 hojas
1
2
20
50
100
1000
2000
500
1000
10.000
25.000
50.000
500.000
1.000.000
(1 million)
1 caja: 200 presillas
1
5
10
50
500
1000
5000
200
1000
2000
10.000
100.000
200.000
1.000.000
(1 million)
Más tarde , trabaajan problemas como“1000 paquets de
500 hojas ” de tiempo entiempo. Lo que ya han visualizado
en las tablas ahora se hace más explícito: es como si
pudieras “encadenar” los ceros .
.
10 paquetes→ 5.000 hojas (con 1 cero despúes)
100 paquetes→ 50.000 hojas (con 2 ceros despúes)
1000 paquetes→ 500.000 hojas (con 3 ceros despúes)
En una fase posterior, algo similar toma lugar para la
división y los niños se dan cuenta de la posibilidad de
eliminar el cero repetidamente cuando dividen por un
factor de 10. A la posibilidad de organizar de manera
astuta la eliminación de ceros en aplicaciones con muchos
ceros se le da atención especial .
> Había 50,000 visitantes en un concierto pop en el
Amsterdam Arena. En total pagaron alrededor de 2
millones de euro en boletos. Más o menos, ¿cuál es
141
Aquí también, la multiplicación contínua es una opción
para resolver el problema. Pero eliminando ceros de una
forma práctica, el problema puede ser reducudo a una
división elemental:
precio promedio de cada visaitante?
2.000.000 ÷ 50.000 =
2000 ÷ 50 =
200 ÷ 5 = 40 euro
Es de gran valor para los niños adquirir experiencia en
esta estrategia certera de eliminación.
5
Al finalizar el grado5 los estuduantes pueden ejacutar multiplicación y
división con astucia y flexibilidad con números enteros (50 × 20, 60 × 250,
600 ÷ 4, 1200 ÷ 80, etc.) tanto en problemas de números puros como en
situaciones aplicadas. Al hacer esto, pueden emplear la regla del cero la cuál
ha sido discutida ya en detalle.
Ningún área se presta mejor para aprender la escencia de la aritmética mental que
la multiplicación y la división con números enteros. Si la regla del cero para
multiplición y división se hace lo suficientemente evidente para los niños en el
grado 4, mientras que la multiplicación y la división con numeros más grandes es
también lo suficientemente explorada en un sentido más general, entonces esta
área se encuentra más abierta a más y más exploraciones. Son particularmente las
lecciones orales y cortas, con períodos para la asimilización individual de
información, las que conducen a los niños a estar más y más diestros en utilzar
todo tipo de estrategias de artmética mental en esta área. Las discusiones en estas
lecciones están particularmente dirigidas a expandir su conocimiento a las
estrategias utilizadas y demostrarles que ha menudo hay muchas maneras de
alcanzar la solución sin que una manera sea preferida a otra. Al igual que todos
los ejercicios mencionados, los juegos y ejercicios en forma de juegos pueden ser
una contribución útil..
142
CALCULATION WITH WHOLE NUMBERS Upper Grades Primary School
Aritmética mental en los grados más altos
Más allá y más profundo
En el dominio de números enteros en el grado 5 se da más
énfasis a los números mayores. Además, se presta
singular atención a aprender hileras numéricas fuera mdel
dominio de los números enteros: fracciones, números
decimales, por cientos y razón.
Son muy pocos los asuntos nuevos acerca del área de la
aritmética mental que se ofrecen en este período —
aproximadamente la segunda mitad del grado 5 hasta el
grado 6. Esto no significa que la trayectoria enseñanza
aprendizaje puede ser considerada como ya completa pero
más bien que el conocimento adquirido en algunas subáreas a cierto nivel, se extiende ahora más allá y más
profundo. El repertorio de las estrategias de la aritmética
mental y la relación de los números ya conocidos que han
sido construidas necesita ahora ser consolidada y
extendida. Cuando esto ocurre con el cuidado necesario, la
aritmética mental puede crecer hacia un enfoque en el cuál
los niños derivan un enorme placer tanto en su vida
académica como en el diario vivir.
Las actividades de la arimética mental en esta última etapa
de la escuela elemental pueden dividirse en 3 tipos:
– actividades de ejercicios variados
– actividades donde se aumenta el valor de los números
– aplicar aritmética mental en otras hileras numéricas
la clase. Las mismas apuntan a aumentar el nivel y la
flexibilidad del trabajo de tal manera, por un lado, que los
niños adquieran más confianza con las estrategias ya
conocidas y las propiedades de las opereaciones en las que
están basadas y por otro lado, aprender acerca de
estrategias desconocidas. Un ejemplo se presenta a
continuación sónde una actividad es enfocada a ampliar
un pensamiento mediante destrezas ya conocidas.8
En la discusión después de una prueba corta de aritmética
de problemas de adición y sustración hasta el mil (a
mediados del grado 5) se presta atención a las diferentes
estrategias utilizadas en el siguiente problema: 753 – 78 =.
Aceptando lo que el niño propone, el maestro escribe las
siguientes estrategias en lenguaje aritmético una al lado de
la otra en la pizarra, anotando el nombre de cada niño que
propuso la estrategia .
753 – 78 =
753 = 700 + 53
700 – 78 = 622
753 – 50 = 703
700 – 70 = 630
622 + 53 = 675
703 – 8 = 695
630 + 53 = 683
695 – 20 = 675
Simone
683 – 8 = 675
Judith
Rowan
700 – 80 = 620
53 – 78 = –25 (25 short)
620 + 53 = 673
700 – 25 = 675
673 + 2 = 675
Ingrid
Sietze
Los tres tipos de actividades se esbozan a continuación.
Actividades de ejercicios variados
Estas actividades de ejercicios variados envuelven el
contenido que ya se ha trabajado en detalle, tales como:
– todas las operacione mentales hasta mil (y superior con
números simples)
– multiplicación y división con números enteros
– situaciones de dinero y otras aplicaciones diarias .
Los ejercicios para estas partes constan de un carácter
variado y en su mayoría envuelve series cortas de
problemas, algunas veces lo hacen en trabajo individual,
pero también a menudo como una actividad oral para toda
Mental arithmetic
Para terminar, se compararon las diferentes estrategias.
Juntos determinan que las estrategias propuestas por
Rowan, Simone y Sietze son parecidas una a la otra: tu
rompes 753 en 700 y 53 y luego haces algunas operaciones
para llegar al resultado. Cuando se le preguntó, Ingrid
comentó cómo esto funciona con los “números menos”,
como lo llama un niño.
Ella dijo que 53 –78 no es posible, solamente puedes hacer
53 – 53. Entonces tiene 25 menos, esto todavía hay que
restarlo. Finalmente, el maestro le pregunta a los niños qué
estrategia prefieren. Unos prefieren las estrategia de Judith
(o una variante por consiguiente), mientras que otros
prefieren diferentes maneras de romper la ecuación.
143
Posibles tipos de problemas con la lista de precios:
Como se puede notar, en esta etapa, las tres formas básicas
de artimética mental (encadenar, romper y variar)
realmente ocurren a la vez en esta área, con un cierto
énfasis en el rompimento el cuál algunos niños consideran
la estrategia más efectiva. Todavía se utiliza encadenar,
pero este es visto como un método menos eficaz. Es
característico que tanto el encadenar como el
rompimiento sean utilizados de diferentes maneras. Esto
ocurre usualmente en combinación con la estrategia de
variación, tales como: compensar (la manera de trabajar
de Sietze) y calcular con el déficit (Ingrid). En este
sentido, en esta etapa, las distinciones entre encadenar,
romper y variar son poco precisas; solo hay aritmética
mental simple como un enfoque específico para los
números.
En adición al ejercicio con los números puros, las
situaciones de aplicación también juegan un papel
importante, especialmente las aplicaciones con dinero. De
manera general, se le había dado cierto énfasis
anteriormente al cálculo con dinero y ahora se utilizan estas
situaciones para conducirlos a un conocimiento de
aritmética mental más profundo. Esto envuelve situaciones
conocidas, tales como: una lista de tarifas y costos de
entrada, listas de objetos en vitrinas, costos de viajes y
tablas, problemas de precios y peso, problemas con cajas
registradoras y así por el estilo. Usualmente una misma
situación provee un sinnúmero de tipos de problemas
permitiendo así discutir diferentes estrategias de cálculo,
por ejemplo:
La repostería holandesa de Van Bastens le desea una Felíz Navidad
Muñeco de pan de gengibre, pequeño
Muñeco de pan de gengibre, grande
Candy cane, pequeño
Candy cane, grande
Pfeffermussen (galleta de especias pequeña
) 100 g
Bizcocho relleno de mazapan 100 g
Rollo relleno de mazapán
!Haga su orden ahora!
144
2,95 euro
3,95 euro
2,45 euro
3,45 euro
0,95 euro
1,95 euro
4,80 euro
Total
Number
........
........
........
........
Price
........
........
........
........
........
........
........
.......
........
........
> comparación de precios, pensar en precios ““fáciles” y
“menos fáciles”
> problemas de aritmética simple: ¿Cuánto cuestan 4
muñecos pequños de pan de gengibre? ¿Y cuatro
grandes? ¿Y 5 dulces pequeños?
> problemas de aritmética compuestos como: ¿Cuánto
pagarías por 3 muñecos de pan de gengibre pequeños y
3 dulces pequeños? ¿Y por 4 rollos rellenos de mazapán
y 4 muñecos de pan de gengibre grandes ?
> problemas de peso y precio, como: ¿Cuánto pagarías por
150 gramos de queso? ¿y por 500gramos? ¿y por 1
kilogramo de pastel relleno con mazapan?
> problemas de estimación, como: tienes un billete de 10
dólares, y deseas comprar 4 dulces pequeños, ¿tienes
suficiente dinero? ¿cuál es el números máximo de de
100 gramos de dulces que puedes comprar con un billete
de 20 dólares?
> problemas tipo acertijo, Raúl ha comprado algunas
cosasy tiene que pagar $7.20 en total. ¿Qué pudo haber
comprado? (piense en diferentes posibilidades).
Los problemas anteriores por un lado, nos conducen a
mirar todos los tipos de estrategias ya exploradas con los
niños, por ejemplo: utilizar compensación en problemas
como 4 x 1.95 (primero trabaja 4 x 2.00, luego, menos 4 x
0.05). Las situaciones de dinero hacen posible el principio
básico para explicar a un nivel apropiado esta estrategia
(uno multiplica con números mayores, números más
fáciles y luego resto la diferencia). De otro modo, las
estrategias relativamente nuevas se pueden utilizar tal
como usar la propiedad del “rompimiento al inverso”para
resolver problemas como (3x2.95) + (3x2.45) trabajándolo
mediante 3(2.95+2.45) y luego 3(5.40). De la misma
CALCULATION WITH WHOLE NUMBERS Upper Grades Primary School
manera, el discutir un problema como 10 x 0.95 puede
llevarlos a pensar acerca de la regla del cero y su relación
con el dinero: si uno multiplica estas sumas por 10, las
monedas de diez centavos se hacen dólares completos y los
centavos se convierten en monedas de diez centavos. La
respuesta es, por lo tanto, 9 dólares y 5 monedas de 10 ó
9.50. Si se presentan estos problemas regularmente los
llevará a estar cautelosos del hecho de que el punto decimal
cambió un lugar. If such problems are presented regularly
this will lead to an awareness of the fact that the decimal
point shifts up one place.
Durante los grados 5 y 6, los niños se familiarizan con
números mayores en aumento y las diferentes maneras en
que estos pueden ser nombrados. El capítulo acerca de los
números y las relaciones numéricas discute esto en
detalle. Es sumamente importante que los niños ganen
seguridad con los números mayores y que sean capaces de
formarse una mejor idea de su contenido y significado.
Esto toma lugar, no tan solo proveyéndoles el contexto
adecuado, tales como números de habitantes, odómetros,
precios de casa y distancias en el espacio, pero también,
con actividades que envuelven números puros en los
cuales, por ejemplo, todo tipo de estructura de
multiplicación son razonados y pensados para un número
como 1 millón.
.
1,000,000 (1 millón)
2 × 50,000
4 × 250,000
8 × 125,000
16 × 62,500
10 × 100,000
20 × 50,000
40 × 25,000
80 × 12,500
No tan solo los niños adquieren un mayor conocimiento y
una mejor idea de las diferentes estructuras para un
número como 1 millón de esos ejercicios, sino que
también, la nueva estrategia de aritmética mental de
dividir en dos y multiplicar por dos es puesta en práctica
aunque sí es relativamente nueva para algunos niños.9 Al
Mental arithmetic
15
12
Actividades con números mayores
1000 × 1000
500 × 2000
250 × 4000
125 × 8000
presentarle a los niños problemas que los conduzcan a esta
estrategia en varias ocasiones, se logra concienciarlos
acerca del principio básico de esta estrategia: si uno
duplica un factor en multiplicación(o lo triplica o lo
multiplica por 10,...) y lo divide en dos, el otro factor (lo
divide por 3, por 10,...) entonces el resultado será el
mismo. Este principio puede ser ilustrado utilizando un
modelo rectangular en la forma de una yarda con losetas
(12 hileras y 15 losetas).
30
6
Otra estrategia de aritmética mental nueva puede ser
utilizada al considerar los números mayores.Un ejemplo
de esto es la estrategia de transformación que se aplica al
balancear los dos términos en un problema de suma (un
problema como 1980 + 370 se transforma en 2000 +
350). Otra forma de transformar es agrandar o reducir
ambos términos de un problema de división mediante el
mismo factor (un problema como 750 ÷ 15 se transforma
a 1500 ÷ 30 and 150 ÷ 3). El reforzar estas estrategias con
modelos, es una manera importante para acelerar el
conocimiento de los niños hacia cómo trabajan
problemas.
Aritmética mental en otras tendencias de aprendizaje
El objetivo de la descripción de la trayectoria enseñanzaaprendizaje va más allá de expandir otras tendencias de
aprendizaje. El capítulo de estimación describe cómo el
desarrollo de esta aritmética forma tendencias, a un grado
mayor, en una destreza sólida de aritmética mental básica.
En este capítulo ya hemos indicado que las destrezas de
aritmética mental son de suma importancia en la conexión
con la exploración rápida, o por ejemplo, el trabajar con
una fracción como operador, la suma y la resta de números
decimales y el cálculo con porcentajes simples.. Una vez
los niños puedan resolver rápida y fácilmente problemas
como 1200 ÷ 6 y 6000 ÷ 4 mediante aritmética mental,
entonces, el aprender a calcular problemas como “ --56- de
145
una habitación con 1200 personas en él” y “25% de
descuento de $6000.00 ” podrán ser resueltos
progesivamente con más facilidad.
Lo contrario también es cierto. El cálculo con fracciones
simples y por cientos ayuda a los niños a recordar cómo
trabajar problemas como 1200 ÷ 6 y 6000 ÷ 4 de una
manera más fácil.
6
Al finalizar el grado 6, los estudiantes podrán realizar aritmética mental con
facilidad y flexibilidad con combinaciones apropiadas de números hasta el mil y
con números enteros por encima de esto.Esto se logra en problemas con números
puros como también en aplicaciones que envuelven dinero, tiempo, peso y
distancia, y así por el estilo.
Como una posibilidad adicional para resolver estos problemas, también han sido
familiarizados con estrategias como transformando (balancear los términos en
problemas de suma, dividiendo por dos-multiplicando por dos, y aumentando o
reduciendo ambos términos en un problema de división mediante el mismo
factor).
Estas metas son alcanzadas si hay una secuencia cuidadosa de ejercicios
variados que incluya juegos y rompecabezas en los cuales las estrategias
puedan ser revisadas con regularidad y fluyendo de estrategias propuestas
por los niños. Los ejecicios están particularmente enfocados a reforzar y a
utilizar flexiblemente estas estrategias. Para alcanzar esto, los ejercicios
deben preferiblemente seguir un patrón particular, a un ritmo particular en el
cual los diferentes métodos de enseñanza (actividades orales cortas de todo
el grupo y actividades de grupo e individuales,....) son adoptados con
regularidad y en que diferentes domios de aritmética mental son tratados en
una forma variada y retante.
Comentarios finales
Es evidente, en lo que se presentó anteriormente, que la
aritmética mental no es característica de un área numérica
específica u operaciones específicas pero sí es una forma
de alcanzar números y data numérica. Este enfoque puede
surgir una vez los niños hayan trabajado mediante la
combinación de las 3 estrategias: encadenación,
rompimiento y variación con la supervisión del maestro
en infinidad de ocsiones. Haciendo esto gradualmente
construye un repertorio de estrategias de aritmética
146
mental amplio en combinación con una red de
conocimientos sobre las relaciones numéricas.
En adelante será obvio que los diferentes sub- dominios
de aritmética mental están relacionados los unos con los
otros. La manera de concebir estos se determina mediante
el conocimiento y las destrezas desarrolladas en cierta
área, aplicadas a otras áreas y estudiadas cuidadosamente.
Una extensión cuidadosa de algoritmos y las ramas del
CALCULATION WITH WHOLE NUMBERS Upper Grades Primary School
cálculo en columnas al igual que la estimación hace una
contribución necesaria a este desarrollo.
La capacidad para la aritmética de los niños se manifiesta
en el conocimiento adquirido hacia la relación amplia de
los diferentes tipos de operaciones. La capacidad crece
aún más porque cada cual tiene un cierto grado de
conocimiento de los números y un repertorio de
estrategias aritméticas que pertenecen al dominio de la
aritmética mental, al igual que el dominio del cálculo en
columna, los algoritmos y la estimación. Para cuando se
requiere una respuesta precisa es bueno saber que se
puede escoger arimética mental, algoritmos o cálculo en
columna, estimación o hasta la calculadora como una
cuarta opción aritmética para cuando los números son
grandes y requieren una solución específica.
La trayectoria enseñanza-aprendizaje tiene como
característica que el niño pueda hacerla suya. Después de
todo, para el enfoque aquí descrito, es una característica
esencial el que ellos alcancen las soluciones o puedan
resolver mediante sus propias estrategias y en su propio nivel
en la manera en que progresan, compartiendo sus ideas en
grupo y pensando en estrategias y problemas bajo la
supervisión del maestro. Esto significa que hasta cierto nivel
ellos pueden desarrollar sus propias prefencias por las
estrategias, presentar sus propias estrategias de
simplificación y adoptar sus propias combinaciones de
estrategias. En este sentido, hay un proceso de enseñanzaaprendizaje fuertemente diferenciado que es
excepcionalmente adaptado a “la enseñanza
individualizada.”
El resultado del proceso enseñanza-aprendizaje es por un
lado determinado de forma más individual y por el otro,
Mental arithmetic
de forma colectiva. Todos los niños pueden resolver
problemas como 1980 + 370 y 36 × 50 correcta y
razonablemente fácil. Un niño puede hacer esto de una
manera difícil y escribir unpaso intermedio, mientras que
otro puede utilizar estrategias eficientes y hacerlo todo
mentalmente.
Por ejemplo, el problema 1980 + 370, un niño puede
escribir un paso intermedio como 1900 + 300 = 2200 en
un papel, mientras que otro verá fácilmente que se puede
transferir 20 del segundo número al primero y así obtener
un problema fácil: 2000 + 350.
De igual manera, para 36 × 50 un niño puede escribir
30 × 50 = 1500 como un paso intermedio, mientras que
otro podría mentalmente visualizar (50 × 36) y
nítidamente calcular la mitad de 100 × 36. Aún más,
quizás otro pueda pensar en dinero y ver el problema
como 36 medios euros y así 18 enteros. Después que el
problema sea resuelto con un buen entendimiento de una
estrategia relevante, realmente no importa cuál estrategia
es utilizada.. Era en esta área en particular que la riqueza
de la artmética mental se hace aparente.
Sin embargo, también existe sus limitaciones.
Hay una categoría de problemas específicos que sin lugar
a duda los niños deben conocer de memoria. De igual
manera, hay una categoría de problemas los cuales
tendrán que calcular en su mente razonable y fácilmente
pero deben necesitar realizar una notación intermedia..
Esta categorización puede desde luego no ser vista como
una camisa de fuerza, pero sí como una guía amplia de lo
que casi todos los niños deben ser capaz de ganar. La
descripción de esta trayectoria enseñanza aprendizaje
termina con un ejemplo a continuación..
147
Ejemplos de tres categorías de problemas de aritmética mental
Primera catregoría:
known nearly immediately from
memorized knowledge or insight
into rules/properties of operations
Segunda categoría:
trabajada rápida y fácilmente enla
mente
Tercera categoría:
trabajada razonablemente rápida y
fácilmente en la mente,
posiblemente usando notación
intermedia
36 + 60 =
62 – 40 =
37 + 48 =
92 – 78 =
345 + 287 =
325 – 249 =
620 – 7 =
457 + 8 =
350 + 280 =
620 – 370 =
6 × 78 =
4 × 347 =
12.000 + 9.000 =
21.000 – 3.000 =
256 + 256 =
702 – 635 =
1624 ÷ 8 =
4800 ÷ 25 =
10 × 36 =
94 × 1000 =
5000 – 2 =
10.000 – 30 =
2980 + 370 =
2980 – 370 =
4500 ÷ 45 =
36.000 ÷ 1000 =
12 × 50 =
600 × 15 =
195 ÷ 5 =
750 ÷ 15 =
700 × 6 =
4500 ÷ 9 =
900 ÷ 6 =
36.000 ÷ 20 =
100.000 = ... × 250
100.000 = ... × 500
4 ×... = 100
300 ÷ ... = 50
245 + 245 + 245 + 245 =
740 – 37 – 63 =
12 × 15 =
16 ×25 =
8×9×5=
4 × 17 × 25 =
36 × 50 =
40 × 68 =
Jan compra tres entradas a 18 euro
cada una para el circo; el pagó con 3
billetes de veinte euro. ¿Cuánto
cambio recibió?
El tren sale 12 minutos pasada las 9.
Cuando Lisa mira su reloj es 20.28.
¿Cuánto tiempo pasará antes de que
el tren salga?
¿Cuántas horas hay en una semana? Usted compra 3 French loaves a
0.95 centacos por loaf y 3 pies de
manzana a 0.85 centavos cada uno.
¿Cuánto será en total?
148
CALCULATION WITH WHOLE NUMBERS Upper Grades Primary School
“Muy bien,” le dijo el padre. “Ahora quiero que trabajes con las ganacias que
he hecho concada uno de los cinco caros y añadas el total. Luego serás capaz
de decirme cuanto dinero tu brillante padre hizo en el día de hoy.”
“Eso son muchas sumas,” dijo el niño.
“Poe supuesto, son muchas sumas,” contestó el padre. “Pero cuando estás en
un negocio tan grande, como en el que estoy yo, tienes que saber mucho de
aritmética. Prácticamente yo tengo una computadora en mi cabeza. Me toma
mmenos de 10 minutos trabajar todas las sumas.”
“¿Quieres decir que lo hiciste en tu mente, papá?” preguntó el hijo.
“Bueno, no exactamente,” dijo el padre. “Nadie puede hacer eso. Pero no me
tomó mucho tiempo. Cuando termines déjame saber que piensas de la
ganacia del día. Tengo el total ya escrito aquí y quisiera ver si lo haces
correctamenteI.”
Matilda murmuró, “Papá, exactamente hiciste cuatro mil trecientos tres
libras y cincuenta peniques.”
“No molestes,” dijo el padre. “Tu hermano y yo estamos muy ocupados con
finanzas grandes.”
“Pero papá...”
“Callate,” dijo el padre. “Deja de estar adivinando y trata de ser más lista.”
“Mira tu respuesta papá,” Matilda dijo con sutileza. “Si lo haz hecho bien
debería serIcuatro mil trescientos tres libras y cincuenta peniques.
¿Eso es lo que te da a ti, papá?”
El padre fijó su mirada en el papel. Parecía absorto.
Se mantuvo en silencio. Había silencio. Entoncesdijo, “Di otra vez.”
De: Matilda por Roald Dahl10
Mental arithmetic
149
150
CALCULATION WITH WHOLE NUMBERS Upper Grades Primary School