Clase 4

E.E.I.
C ÁLCULO II Y E CUACIONES D IFERENCIALES
Curso 2011-12
Clase 4
(9 feb. 2012)
Aplicaciones de las Integrales Dobles
1.– Área de una región plana. 2.– Masa de una placa. 3.– Valor medio de una función de dos variables. 4.– Centro de
masa de una placa. 5.– Momento de inercia de una placa respecto a un punto de su plano. 6.– Momento de inercia de
un disco alrededor de su centro. 7.– Momento de inercia de una corona circular alrededor de su centro. 8.– Momento
de inercia de un disco de densidad variable.
1 Área de una región plana.
El área de una región plana R puede calcularse mediante la siguiente integral doble:
ZZ
Área de R =
dA
R
Esto es, integrando sobre la región R la función constante igual a 1. Esto se puede interpretar de dos
formas: La primera es observar que esta integral representa la suma de todos los elementos de área de la
región, el resultado de cuya suma es el área total. En realidad, si intentamos calcular una suma de Riemann
cualquiera para esta integral, el resultado de esa suma es ya el área total. En otras palabras, cualquier
sucesión de sumas de Riemann que construyamos es una sucesión constante e igual al área de la región R.
La otra forma de interpretar la integral doble anterior es como el volumen bajo la gráfica de la función
constante f (x, y) = 1. Este es el volumen de un prisma recto de sección transversal igual al área de R y
altura 1, por tanto el valor del volumen es 1 ⇥ Área de R = Área de R.
2 Masa de una placa.
Supongamos que tenemos una placa plana de grosor suficientemente pequeño como para poder despreciar
posibles cambios de densidad en la dirección transversal de la placa. Entonces la distribución de masa de la
placa está determinada por la función = (x, y) de densidad superficial de masa. Esto es, es en cada
punto igual a la masa por unidad de superficie de la placa. Si la placa ocupa una región plana R, entonces
su masa total está dada por la integral doble
ZZ
Masa =
dA
R
Para una placa homogénea la densidad superficial es la misma en todos los puntos y al ser constante se
puede sacar de la integral, obteniéndose:
ZZ
Masa =
d A = ⇥ Área de R.
R
3 Valor medio de una función de dos variables.
El valor medio de una función de una variable f (x) en un intervalo [a, b] se define como la altura f¯ de
aquél rectángulo que teniendo como base el intervalo [a, b] tiene área igual al de la región bajo la gráfica de
f (x) en [a, b]. Dicho de otra forma, f¯ es el valor que tendrı́a que tener una función constante que tuviese
en [a, b] la misma integral que f (x). Por tanto:
Z b
f¯(b a) =
f (x)dx
a
1
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De forma análoga se define el valor medio de una función de dos variables f (x, y) en una región R y
tenemos:
ZZ
1
¯f =
f (x, y) d A.
Área de R
R
4 Centro de masa de una placa.
Consideremos una placa plana como en la sección 2 que ocupa una región R. El centro de masa de la
placa se define como la posición promedio de la masa de la placa. Vamos a ver qué significa esto y cómo
se calcula. Supongamos que cortamos la placa en n pequeños trocitos como los usados para calcular una
suma de Riemann de una integral doble sobre R. Cada uno de esos trocitos o elementos tiene una cierta
masa m i y tiene una cierta posición que se puede aproximar mediante las coordenadas (xi , yi ) de un punto
interior al mismo.
Las coordenadas de la posición promedio de estos elementos son simplemente las medias aritméticas
de las coordenadas x y de las coordenadas y,
n
1X
xi ,
n i=1
n
1X
yi
n i=1
Estas medias nos dan la posición promedio de los n elementos, pero no nos dan la posición promedio de la
masa de los elementos. Si lo que queremos es hallar la posición promedio de la masa, tenemos que hacer
medias que estén ponderadas por la densidad de masa. Veamos esto con más detalle.
4.1 Centro de masa de una subdivisión de la placa.
Imaginemos que las masas de todos los trocitos de la subdivisión de la placa tienen un valor que es un
número entero cuando se mide con cierta unidad de masa. Entonces si un elemento en la posición (xi , yi )
tiene masa 2, podemos pensar que en esa posición hay dos elementos imaginarios de masa 1 que fundidos
dan el elemento real de masa 2 que tenemos. En general, si m i es el número entero que representa la masa
del elemento en posición (xi , yi ), pensaremos que en dicha
tenemos m i elementos imaginarios
Pposición
n
de masa 1 y ası́, lo que tenemos es una colección de M = i=1
m i elementos imaginarios de masa 1. La
posición promedio de esos M elementos imaginarios es la posición promedio de la masa de los n elementos
reales de la subdivisión y sus cooredenadas serán:
x̄ =
n
1 X
m i xi ,
M i=1
ȳ =
n
1 X
m i yi .
M i=1
Estas fórmulas siguen siendo válidas aunque cambiemos la unidad de medida de masa y ninguna de
las masas m i ni la masa total M tenga un valor entero. Siguen siendo válida incluso cuando las distintas
masas m i sean incomensurables y no sea posible encontrar una unidad de masa con la cual los valores de
esas masas sean números enteros.
4.2 Centro de masa de la placa.
La masa m i de cada uno de los elementos de la subdivisión de la placa se puede calcular en términos de la
densidad superficial de masa y del área 1Ai ocupada por el elemento en cuestión:
mi =
donde denotamos por
i
i 1Ai
el valor de la densidad superficial de masa en (xi , yi ),
Entonces, los sumatorios en las fórmulas de x̄ y de ȳ toman la forma:
n
X
n
X
xi i 1Ai ,
i=1
i=1
2
yi i 1Ai
i
= (xi , yi ).
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que es la forma de las sumas de Riemann de las integrales dobles
ZZ
ZZ
x d A,
y dA
R
R
por lo que en el lı́mite de subdivisiones más y más finas obtenemos las siguientes fórmulas para las coordenadas del centro de masa de la placa:
ZZ
ZZ
1
1
x̄ =
x d A,
ȳ =
y d A.
M
M
R
R
5 Momento de inercia de una placa respecto a un punto de su plano.
5.1 Concepto de momento de inercia
Un cuerpo sobre el que no actúa ninguna fuerza conserva su estado de movimiento manteniéndose constante su velocidad. Si una fuerza actúa sobre el cuerpo en la dirección de su movimiento, su velocidad
cambiará y este cambio, la aceleración, será proporcional a la fuerza. La constante obtenida al dividir la
fuerza entre la aceleración producida es una propiedad caacterı́stica del cuerpo llamada masa. Esto es el
contenido de la segunda ley de Newton del movimiento:
F = ma.
Cuerpos de distinta masa reaccionan, pues, de forma diferente a la aplicación de una fuerza: Los de
menor masa adquirirán más aceleración y los de mayor masa adquirirán menos, de forma que la masa de
un cuerpo es una medida de la resistencia que éste opone a ser acelerado.
También en el caso de un movimiento de rotación, todo cuerpo tiende a conservar su velocidad angular
mientras no actúen fuerzas sobre él, oponiendo una cierta resistencia al cambio en su velocidad angular.
El efecto de una fuerza sobre el movimiento de rotación de un cuerpo depende no sólo de la magnitud
de la fuerza sino también de su “brazo de palanca”, esto es, de la distancia entre la lı́nea de acción de la
fuerza y el eje de rotación. La aceleración angular producida es directamente proporcional a ambos, a la
fuerza F y al brazo r, esto es decir que es proporcional a su producto, T = F · r, que se llama torque.
La constante, I , obtenida al dividir el torque aplicado a un cuerpo entre la aceleración angular producida
es una propiedad caracterı́stica del cuerpo y de la posición que respecto a él tenga el eje de rotación. Esta
propiedad se llama momento de inercia del cuerpo respecto al eje.
T = I ↵.
Cuerpos distintos reaccionan de forma distinta bajo la acción de un torque, pero incluso un mismo
cuerpo reacciona de forma distinta cuando se lo intenta hacer girar alrededor de ejes distintos. Si la mayor
parte de la masa del cuerpo se encuentra cerca del eje, el resultado será una gran aceleración angular,
mientras que si la mayor parte de la masa del cuerpo está lejos del eje, la aceleración angular producida
será menor. En general, el momento de inercia respecto a un eje es la resistencia que el cuerpo opone a que
se aumente su velocidad angular.
De la relación entre fuerza, masa y aceleración y de la relación entre fuerza, brazo o radio de giro, y
torque y entre radio, aceleración (lineal) y aceleración angular:
F = ma,
T = Fr,
a = r↵,
se deduce la relación entre momento de inercia, masa y radio de giro de una partı́cula:
I = mr 2 .
5.2 Momento de inercia de una placa
El momento de inercia de un cuerpo extenso es la suma de los momentos de inercia de las partı́culas que
lo forman. En el caso de un cuerpo continuo como una placa plana que gira alrededor de uno de los puntos
de su plano, el momento de inercia está dado por una integral doble.
3
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Por ejemplo, si la placa ocupa una región R y el centro de giro es el origen de coordenadas el momento
de inercia será:
dm � Σ dA
R
r
I =
ZZ
2
R
r dm =
ZZ
r
2
R
dA =
ZZ
R
x 2 + y2
(x, y)dx dy
donde es la densidad superficial de masa de la placa. Si esta densidad es constante, entonces tiene una
expresión sencilla en términos del área y de la masa total, M, de la placa:
=
en este caso el momento de inercia es:
M
I =
área(R)
M
área(R)
ZZ
x 2 + y 2 dx dy.
R
6 Momento de inercia de un disco alrededor de su centro.
Supongamos que tenemos un disco de radio r y masa total M distribuida homogéneamente. Entonces su
momento de inercia respecto al centro, supuesto en el origen de coordenadas, es:
" #r
ZZ
Z 2⇡ Z r
M
M
M
⇢4
1
2
2
2
I =
x
y
dx
dy
⇢
⇢
d⇢
d✓
2⇡
+
=
=
= Mr 2 .
2
2
2
4
2
⇡r
⇡r 0
⇡r
R
0
0
7 Momento de inercia de una corona circular alrededor de su centro.
En el caso de una corona circular o arandela de radios r1 y r2 > r1 y masa total M, la densidad de masa es
M/(⇡r22 ⇡r12 ) y el momento de inercia respecto a su centro:
" #r2
Z 2⇡ Z r2
M
2⇡ M
⇢4
M r24 r14
1
3
=
=
= M(r22 + r12 ) .
I =
⇢
d⇢
d✓
2
2)
2
2
4
2
2
⇡(r22 r12 ) 0
⇡(r
r
r
r
r1
2
1
2
1
r1
8 Momento de inercia de un disco de densidad variable.
En el caso de un disco de radio r y masa total M distribuida de forma proporcional a la distancia al centro,
la densidad superficial de masa a distancia ⇢ del centro es: = k⇢. Entonces la masa total es:
" #r
ZZ
Z 2⇡ Z r
⇢3
2
M=
dA =
k⇢ ⇢ d⇢ d✓ = 2⇡k
= ⇡kr 3
3
3
R
0
0
0
y el momento de inercia del disco respecto al centro es:
" #r
Z 2⇡ Z r
⇢5
2
2 ⇣ 3M ⌘ 5
3
2
= kr 5 = ⇡
I =
k⇢⇢ ⇢ d⇢ d✓ = 2⇡k
r = Mr 2 .
3
5
5
5 2⇡r
5
0
0
0
4