UNED Tudela
Fundamentos matemáticos de las Ciencias Sociales
Tema 6. Progresiones, sucesiones y series.
6.1 COCEPTO DE SUCESIÓ. TIPOS DE SUCESIOES
Definición de sucesión: Secuencia infinita de números reales llamados términos.
Observación: Una sucesión es una función de N en R
Notación: f(n) = an (término general)
Formas de definir una sucesión:
a) Mediante su término general
b) Mediante una “ley de recurrencia”
Tipos de sucesiones:
a) Creciente:
Si an ≥ an-1 para cualquier número natural n.
b) Decreciente: Si an ≤ an-1 para cualquier número natural n.
c) Estrictamente creciente: Si an > an-1 para cualquier número natural n.
d) Estrictamente decreciente: Si an < an-1 para cualquier número natural n.
e) Constante: Si an = a para cualquier número natural n.
6.2. PROGRESIOES ARITMÉTICAS
Progresión aritmética: Sucesión en la que an = an-1 +d (a d se le denomina diferencia de la sucesión)
Término general: an = a1 + (n – 1)d
a) Cálculo de un término cualquiera conociendo el término general
b) Cálculo del término general conociendo un término y la diferencia.
c) Cálculo del término general conociendo dos términos cualesquiera.
Suma de los n primeros términos de una progresión aritmética:
Sn =
(a1 + an ) n
2
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6.3. PROGRESIOES GEOMÉTRICAS
Progresión geométrica: Sucesión en la que an = r·an-1 (a r se le llama razón de la sucesión)
a) Cálculo de un término cualquiera conociendo el término general
b) Cálculo del término general conociendo un término y la razón.
c) Cálculo del término general conociendo dos términos cualesquiera.
d)
Producto de los n primeros términos de una progresión geométrica: Pn = (a1 · an ) n
Suma de los n primeros términos de una progresión geométrica: S n =
ran − a1
r −1
Suma de los infinitos términos de una progresión geométrica decreciente (r<1): S =
a1
1− r
6.4. SUCESIOES COVERGETES. LÍMITES DE SUCESIOES
Límite de una sucesión.
Diremos que lim a n = L si cuanto mayor es n, el término an está más próximo a L
n →∞
Diremos que lim an = + ∞ si a medida que x aumenta, an se hace tan grande como se quiera.
n →∞
Observación: Límite de una función y límite de una sucesión
Propiedades de los límites: Los mismos que los de límite de una función (pág. 271)
a) Límite de la suma y resta
b) Límite del producto
c) Límite del cociente
d) Límite de la potencia.
Otras propiedades: Operaciones con límites infinitos.
Notación: ∞ + ∞ ; a · ∞ ; 0/∞ ; etc.
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Indeterminaciones ∞ − ∞
0
0
∞
∞
0·∞
00
∞0
1∞
Cálculo de límites. Exactamente igual que los límites de funciones. Ejemplos:
a) Límite de expresiones polinómicas. El límite es +∞ o -∞
b) Límite de un cociente de polinomios. Dividir por la mayor potencia
c) Indeterminaciones del tipo 1∞. Aplicar la fórmula:
Si lim a n = 1
x →∞
lim c n = ∞ entonces
y
x →∞
lim cn ( an −1)
lim a n n = e x →∞
c
x →∞
6.5 SERIES
Dada una sucesión u1, u2, u3,... llamaremos serie asociada a esa sucesión a la nueva sucesión:
Un = u1 + u2 + ... + un
Casos:
a) Si la sucesión Un es convergente diremos que la serie lo es. En este caso, este límite es la suma de
los infinitos términos de la sucesión un.
b) Si la sucesión Un es divergente, diremos que la serie lo es
c) Si la sucesión Un no es ni convergente ni divergente, diremos que la serie es oscilante.
Condición necesaria de convergencia. Para que la serie sea convergente, la sucesión que la define ha de
tender a 0. Es decir, si la sucesión no tiende a 0, la serie no es convergente.
6.6 SERIES DE TÉRMIOS POSITIVOS
Una serie de términos positivos es convergente o divergente, pero nunca oscilante.
Criterios de convergencia.
a) Criterio se Cauchy: Sea L = lim n u n
n →∞
Entonces: Si L < 1 la serie converge.
Si L > 1 la serie diverge.
n +1
Ejemplo: ∑
1 2n + 1
∞
n
u n +1
n →∞ u
n
b) Criterio de D’Alambert: Sea L = lim
Entonces: Si L < 1 la serie converge.
Si L > 1 la serie diverge.
∞
Ejemplo:
3n
∑1 n!
0
