Newton y las leyes de Kepler - UAM-I

Newton y las leyes de Kepler
*
José Marı́a Filardo Bassalo,
Fundación Minerva, Prof. retirado de la Universidad de Pará
www.bassalo.com.br
* Traducción:
Julio Solı́s, Depto. de Matemáticas, UAM–I.
Newton y las leyes de Kepler. José M. Filardo Bassalo
Introducción
Para mı́, y probablemente para algunos lectores, debido a una interpretación equivocada sobre las lecturas hechas en algunos textos didácticos y de divulgación cientı́fica, parecı́a un hecho histórico incuestionable que el fı́sico y matemático inglés Sir
Isaac Newton (1642–1717) habı́a demostrado las Leyes de Kepler usando un nuevo método matemático, el método de las fluxiones (hoy conocido como
el Cálculo Diferencial), que él mismo habı́a creado (vea, por ejemplo, [3] p. 85). No obstante, esto no
es cierto, conforme mostraremos en este artı́culo. Pero, primero haremos una revisión histórica de dichas
Leyes.
Antecedentes históricos
Entre los años 151 y 157 de nuestra era, el astrónomo griego Claudio Ptolomeo (85–165) retomó y sistematizó los modelos planetarios geocéntricos, tales como el de las esferas concéntricas, formulado por los
astrónomos griegos Eudoxo de Cnido (c. 408–c. 355)
y Calipo de Cı́sico (c. 370–c. 300), y el modelo de
epiciclo–deferente–excéntrica–ecuante que habı́a sido desarrollado por los griegos, el matemático Apolonio de Perga (c. 261–c. 190) y el astrónomo Hiparco de Nicea (c. 190–c. 120). Esa sistematización fue
presentada por Ptolomeo en su célebre Hé Mathématiké Syntaxis (Una Compilación Matemática), para poder explicar el movimiento de los planetas y
sus irregularidades. Esa obra, compuesta de 13 libros, fue traducida a la vuelta del siglo IX por los
árabes, recibiendo entonces el nombre de Almagesto, que es una corruptela del nombre hispano–árabe Al–Magesti (El Gran Tratado).
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las órbitas de los planetas, y en particular la del planeta Marte.
Dentro de los seguidores de Copérnico, se encontraba
el astrónomo alemán Johannes Kepler (1571–1630)
quien, al aprender sobre el heliocentrismo copernicano de su maestro, el astrónomo Michael Maestlin,
proporcionó una demostración matemática para el
mismo. Esa prueba la obtuvo en virtud de que era un
buen conocedor de toda la obra del gran matemático griego Euclides de Alejandrı́a (323–285), que se
halla reunida en su famoso libro de geometrı́a intitulado Elementos.
Con base en el modelo copernicano, con el Sol en el
centro, Kepler colocó entre los espacios de las esferas que contenı́an a los seis planetas entonces conocidos (Mercurio, Venus, Tierra, Marte, Júpiter y Saturno), los cinco “sólidos perfectos” de la antigüedad
(sólidos que tienen todas sus caras iguales: tetraedro, hexaedro, octaedro, dodecaedro e icosaedro), cada uno encajado dentro del siguiente. Ası́, disponiendo de dichos sólidos en el orden correcto, los diámetros de las esferas acabarı́an por presentar casi las
mismas proporciones que las órbitas de los planetas. Ese primer modelo planetario de Kepler fue publicado en el libro intitulado Mysterium Cosmographicum (Misterio Cosmográfico), editado en 1596.
El modelo de Ptolomeo se mantuvo aceptado durante muchos años, hasta que fue cuestionado y rechazado por el astrónomo polaco Nicolás Copérnico (1473–1543) en el famoso libro De Revolutionibus
Orbium Coelestium (Las Revoluciones de los Cuerpos Celestes), publicado en 1543, en el que consolidó el modelo eliocéntrico para nuestro sistema planetario, aunque debemos comentar que su primera
formulación fuera presentada por el astrónomo griego Aristarco de Samos (c. 320–c. 250).
El heliocentrismo de Copérnico tuvo seguidores y detractores, y entre estos últimos destacó el astrónomo
danés Tycho Brahe (1546–1601). Partiendo de la observación de que los planetas giraban en torno al Sol
y, además, al no observar los paralajes estelares, Tycho Brahe formuló su propio modelo. En este modelo, los planetas giraban en torno al Sol, y éste, en
conjunto con la Luna y todo el manto de las estrellas fijas, giraban en torno a la Tierra inmóvil. A pesar de esta concepción errónea del sistema solar, Tycho Brahe hizo grandes contribuciones a la astronomı́a, principalmente con sus observaciones sobre
Al recibir ese libro de manos de Kepler, Tycho Brahe
quedó impresionado con el contenido matemático del
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mismo, aún cuando no estuviera de acuerdo con el
modelo heliocéntrico ahı́ presentado. Ası́ mismo, invitó a Kepler a trabajar con él en Praga, donde entonces residı́a. Al llegar a esa ciudad, en enero de
1600, Kepler recibió de Tycho la tarea de calcular la órbita de Marte. Al analizar las observaciones
que Tycho hiciera de ese planeta, pensó que en poco tiempo halları́a la forma de la órbita marciana.
No obstante, le tomarı́an varios años de arduo trabajo para encontrarla, como veremos a continuación.
do al Sol como uno de sus focos.
Al descubrir las leyes que rigen los movimientos de
los planetas, Kepler se dispuso a determinar la relación entre las distancias y los periodos de tales
movimientos. Después de algunas tentativas que relacionaban potencias de las distancias y los periodos, Kepler llegó finalmente a su tercera ley, presentada en el libro Harmonices Mundi (Armonı́a del
Mundo), publicado en 1619, y que enunciamos a
continuación:
En sustitución de Tycho Brahe, que murió repentinamente el 24 de octubre de 1601, Kepler consiguió en 1602 ser designado matemático imperial
de Rodolfo II (1552–1612), Rey de Hungrı́a y Bohemia, y Emperador del Sacro Imperio Romano, con
sede en Praga. En vista de eso, y con algunas dificultades, Kepler consiguió “arrancar”de los herederos de Tycho los preciosos datos que éste habı́a recopilado del sistema planetario, primero en el observatorio de Uraniborg, en la isla de Hveen (hoy Ven)
en Dinamarca, y después en Praga. Un primer análisis de las observaciones de Tycho llevaron a Kepler,
en 1602, a enunciar su hoy conocida:
Ley de los Periodos: La relación entre el cuadrado del periodo de revolución de un planeta y el cubo de su distancia media al Sol es
una constante.
El último trabajo de Kepler fue el libro Tabuloe Rudolphine (Tablas Rudolfinas), publicado en 1627, en
homenaje de su antiguo protector, el Emperador Rodolfo II, y dedicado a la memoria de Tycho Brahe.
Ese libro, que contenı́a las observaciones de Tycho
Brahe y del mismo Kepler sobre los movimientos
planetarios, fue durante un siglo un clásico y, para su confección, Kepler usó un nuevo método de
cálculo matemático –los logaritmos– que habı́an sido inventados por el matemático escocés John Napier (1550–1617), en 1614.
Ley de las áreas: El rayo vector que liga un
planeta al Sol describe áreas iguales en tiempos iguales.
Por otra parte, las observaciones de la órbita de Marte realizadas por Tycho indicaban que en cuanto
más lejos ese planeta se encontraba del Sol, más lento era su movimiento y, por tanto, menor era su velocidad, además de indicar una pequeña excentricidad
en su órbita. En virtud de esto, Kepler intentó, inicialmente, una serie de combinaciones de cı́rculos para la órbita de ese planeta. Pero, como encontró una
diferencia de 8 minutos de arco y bajo el supuesto de
que su maestro no hubiera cometido tal error, Kepler pasó a considerar órbitas ovaladas, después de
experimentar, sin éxito, que cada esfera caracterı́stica de un planeta era en realidad un cascarón esférico
de espesura suficiente como para explicar la excentricidad orbital. Después de realizar setenta ensayos para ajustar los datos de Tycho al modelo de Copérnico y del mismo Tycho, Kepler llegó finalmente a concebir la órbita elı́ptica. (Cabe mencionar que la idea
de una órbita elı́ptica no era completamente nueva, dado que ya habı́a sido sugerida por el astrónomo árabe–español Azarquiel (Al–Zarqali) de Toledo (c. 1029–1100), en 1081, para explicar los movimientos de Mercurio.) Ası́, en el libro intitulado Astronomia Nova (Una Nueva Astronomı́a), publicado en 1609, además de enunciar su Ley de las áreas,
obtenida en 1602, conforme ya vimos, Kepler enunció también la:
Ley de las órbitas: Los planetas se mueven
en torno del Sol en órbitas elı́pticas, tenien-
Las contribuciones de Newton
A partir de ahora, trataremos las contribuciones
de Newton. Nacido el 25 de diciembre de 1642 en
Woolsthorpe, perteneciente a la aldea de Colsterworth, cerca de 11 km al sur de Grantham, Licolnshire, en Inglaterra. Hijo de una pequeña familia de hacendarios y huérfano de padre a los dos meses de edad, Newton estaba destinado a seguir la vocación agrı́cola. Empero, en la Escola Real de Grantham fue un infante extraño, pues su mayor interés
se centraba en los intrumentos mecánicos que él mismo fabricaba. El director de esa escuela, quien era
además su tı́o materno, el Reverendo William Ayscough, y miembro del Trinity College, en Cambridge, convenció a la madre de Newton que éste debı́a
estudiar en aquella universidad. Llegó a dicha universidad el 5 de junio de 1661, donde obtuvo el grado de Bachiller en Letras, sin distinción, en 1665.
No obstante, cuando se preparaba para defender su
maestrı́a, tuvo que abandonar Cambridge por dos
años (1665–1666), y regresar a Woolsthorpe, debido a la peste bubónica que azotaba entonces en Londres. Durante ese periodo, Newton elaboró los fundamentos de su obra en Matemáticas, óptica y Astronomı́a. (Vea, para la vida de Newton [4].)
Según su misma afirmación ([4] p. 39), Newton inventó los métodos directo e indirecto de fluxiones, entre noviembre de 1665 y mayo de 1666.
Esa nueva técnica matemática era el modo de afrontar con grandes variaciones, como las que ocurren
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en el caso de las velocidades variables de los planetas, conforme indica la Ley de las áreas, enunciada por Kepler. Newton no empleó dicha técnica matemática para llegar a su Ley de Gravitación Universal, sino básicamente usó la Ley de los Periodos de Kepler, como él mismo expresa : “[. . . ] en
el mismo año (1666), comencé a pensar en la gravedad como la que mantiene atada la órbita de la
Luna (después de descubrir cómo calcular la fuerza con que un globo que gira dentro de una esfera presiona la superficie de la misma) a partir de
la regla de Kepler de que los periodos de los planetas están en una proporción sesquiáltera con sus distancias al centro de sus órbitas, deduje que las fuerzas que mantienen los planetas en sus órbitas debı́an
variar, en forma recı́proca, con el cuadrado de su distancia al centro en torno al cual giran: y a partir de eso, comparé la fuerza necesaria para mantener la Luna en su órbita con la fuerza de gravedad en la superficie terrestre, y descubrı́ que embonan perfectamente”([4] p. 39).
Esos primeros cálculos realizados por Newton le permitieron pensar en la hipótesis de una ley universal que rigiera el movimiento de los planetas en
torno del Sol. Empero, todavı́a quedaba mucho trabajo por hacer para que esa hipótesis se transformase en una realidad. En efecto, a comienzos de
la década de 1680, un grupo de fı́sicos estaba interesado en el desarrollo de las novedosas ciencias
matemático–experimentales; y se reunı́an para relatar sus propios hallazgos y proponer nuevos problemas. Ası́, para tres de los fı́sicos de ese grupo, los ingleses Robert Hooke (1635–1703), Sir Christopher
Wren (1632–1723) y Edmundo Halley (1656–1742),
entre los problemas que discutı́an, uno les resultaba particularmente intrigante: “¿Qué tipo de fuerza lleva a un planeta a describir una órbita elı́ptica en torno al Sol?”.
A pesar de que Kepler habı́a sugerido que una fuerza de tipo magnética (anima motrix) e inversamente lineal, que emanada del Sol, era la responsable del
movimiento planetario, ésta no era aceptada por los
tres fı́sicos ingleses referidos anteriormente. Ası́, en
una reunión de la Royal Society of London, en enero
de 1684, Halley llegó a la conclusión de que la fuerza que actúa sobre los planetas varı́a en una razón inversa al cuadrado de su distancia, pero no fue capaz
de deducir de esa hipótesis las Leyes de Kepler, principalmente la Ley de las órbitas. En febrero de 1684,
Halley, Sir Wren y Hooke se reunieron y concordaron en tal hipótesis. Hooke llegó a decir en esa ocasión que ya habı́a considerado el que se demostrara con la misma todas las leyes del movimiento celeste. En virtud de esto, Sir Wren ofreció un premio para que Hooke, Halley o cualquier otro fı́si-
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co escribiera un libro sobre ese tema.
Como tal libro no fue escrito, en agosto de 1684 Halley resolvió ir a Cambridge y consultar a Newton.
Al preguntarle sobre cuál serı́a la curva descrita por
los planetas sobre los que actúa una fuerza de tipo inverso al cuadrado de la distancia, recibió de
Newton la respuesta de que “era una elipse”. Pero, aunque Newton ya habı́a concebido tal respuesta, no contaba con una demostración en ese momento, por lo que prometió a Halley enviársela posteriormente.
Estimulado por la visita de Halley, Newton retomó los cálculos que hiciera de las órbitas de los planetas hacı́a 20 años. Ası́, en otoño de 1684, Newton presentó una serie de conferencias en la Universidad de Cambridge, en las que fueron abordadas sus ideas sobre el movimiento de los cuerpos en
general, sobre los conceptos de fuerza, masa, tiempo, además de su famosa ley de la gravitación universal. En noviembre de 1685, Newton envió a Halley un pequeño trabajo intitulado De Motu Corporum in Gyrum (Del Movimiento de los Cuerpos en
una órbita), en el que reunı́a aquellas conferencias,
cumpliendo ası́ la promesa que le hiciera en agosto del año anterior. En ese pequeño trabajo de nueve páginas, Newton habı́a demostrado que una fuerza inversamente proporcional al cuadrado implicaba una órbita cónica, misma que era una elipse para velocidades por debajo de cierto lı́mite ([4] p. 159).
Incentivado por Halley, Newton comenzó a enriquecer el De Motu y, a la vuelta de noviembre de 1685,
lo transformó en un tratado de dos volúmenes al
que dió el nombre de De Motu Corporum (Del Movimiento de los Cuerpos). En éste, se halla la demostración de un resultado muy importante para su
teorı́a de la gravitación universal, a saber, que la acción de una esfera homogénea sobre una partı́cula
exterior es la misma que se tendrı́a si toda la masa de la esfera estuviese situada en su centro. Ası́, para Newton, todas las partı́culas sobre la vasta Tierra se combinarı́an para atraer tanto una manzana1 situada a unos cuantos pies de su superficie, como a la misma Luna.
Ese tratado se transformó en el famoso Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (Principios
Matemáticos de Filosofı́a Natural), editado en 1687,
1 Según
la versión de John Conduitt, esposo de Catherine, sobrina de Newton, éste llegó a la idea de la gravitación
universal cuando observó, en 1666, en el manzanal de su casa de Lincolnshire, la caı́da de una manzana. De esa observación, se le ocurrió la idea de que el poder de la gravedad terrestre (que derrumba una manzana) no estaba limitado a
una cierta distancia de la Tierra, sino que deberı́a de extenderse más allá de lo que se acostumbraba aceptar y, quien sabe, tal vez hasta la Luna ([4] p. 50).
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después de que Newton extendió el principio de gravitación universal, inicialmente aplicado al movimiento de la Luna, a todos los cuerpos celestes. El
Principia está compuesto de tres libros. En el primer libro, Newton trata del movimiento de los cuerpos en el vacı́o, incluyendo el de los movimientos
en órbitas elı́pticas, parabólicas e hiperbólicas, debido a fuerzas centrales, ocasión que aprovecha para probar las Leyes de Kepler. Además, al inicio del
Libro I, se dan las formulaciones de las famosas Leyes de Newton: Ley de Inercia, Ley de la Fuerza y
Ley de Acción y Reacción. En el Libro II, encontramos el estudio de los cuerpos en medios resistentes
y la teorı́a de las ondas. Además, en ese libro, Newton demostró que, si los movimientos periódicos de
los planetas se desarrollaran en torbellinos (vórtices) de materia fluida, siguiendo la hipótesis presentada por el matemático y filósofo francés René du Perron Descartes (1596–1650), en 1644, esos movimientos no satisfarı́an las Leyes de Kepler.
Por último, en el Libro III, Newton usó algunos resultados obtenidos en los libros anteriores, principalmente la Ley de Gravitación Universal, para demostrar una “estructura del sistema del mundo”. Ası́,
dentro de las proposiciones demostradas en el Libro III, destacan: la explicación del movimiento kepleriano de los satélites de la Tierra, de Júpiter y de
Saturno; el cálculo de la forma de la Tierra (achatada en los polos y alargada en el ecuador); una explicación del fenómeno de las mareas (atracción gravitacional del Sol y de la Luna sobre las aguas de
los océanos); y la precesión de los equinoccios (observada por primera vez por el astrónomo babilonio Kiddinu (f.c. 397 a.n.e.)) como debido a la diferencia entre la fuerza de gravitación solar y lunar actuando en el plano ecuatorial alargado de la
Tierra [2].
Comentarios Finales
A manera de conclusión de este artı́culo, haremos algunos comentarios sobre las demostraciones
geométricas hechas por Newton de las Leyes de Kepler. Para la demostración de la Ley de las áreas,
Newton consideró que el movimiento de un planeta
en torno del Sol es el resultado de una competencia
entre la tendencia del mismo a seguir una lı́nea recta con movimiento uniforme, como si ninguna fuerza actuase sobre él (Ley de Inercia), y el movimiento debido a la fuerza central de gravitación ejercida por el Sol. De ese modo, mediante algunos teoremas de geometrı́a plana, principalmente los relacionados con semejanzas y áreas de triángulos, llegó a
aquella demostración.
Por otra parte, Newton obtuvo la demostración de la
Ley de las órbitas en varias etapas, con el uso de al-
gunas propiedades de las secciones cónicas2 . Inicialmente, demostró que, cuando un cuerpo se mueve
en una órbita elı́ptica bajo la acción de una fuerza centrı́peta dirigida a uno de los focos de esa cónica, dicha fuerza varı́a como el inverso del cuadrado de la distancia. Enseguida, probó que, si el mismo cuerpo se mueve en una hipérbola o una parábola bajo la acción de una fuerza centrı́peta dirigida a uno de los focos de la cónica considerada, dicha fuerza también varı́a como el inverso del cuadrado de la distancia. Por último, probó el problema inverso, a saber, si un cuerpo se mueve sujeto a una fuerza centrı́peta que varı́a como el inverso del cuadrado de la distancia, la trayectoria del
cuerpo tiene que ser una cónica: elipse, parábola o
hipérbola.
Finalmente, como una aportación de este artı́culo,
resulta importante remarcar que la hipótesis de que
una fuerza centrı́peta variaba como el inverso del
cuadrado de la distancia, usada por Newton en la
demostración de la Ley de las órbitas, conforme vimos antes, le fue sugerida al observar que la Ley de
los Periodos de Kepler se ajustaba muy bien en el caso particular de una órbita circular.
Bibliografı́a
1. David L. Goodstein y Judith R. Goodstein. A
Licão Esquecida de Feynman: O Movimento dos
Planetas em Torno do Sol. Gradiva, (1997).
2. I. Newton. Principios Matemáticos de Filosofı́a
Natural. Técnos, (1987).
3. Colin A. Ronan. História Ilustrada da Ciência
(III), Jorge Zahar Editor, (1987).
4. Richard Westfall. A Vida de Isaac Newton. Editora Nova Fronteira, (1995).
cs
2 Debido a que no pudo entender bien esas demostraciones, el fı́sico norteamericano Richard Philips Feynman (1918–
1988) preparó en 1964 una demostración geométrica de la Ley
de las órbitas de Kepler. Esa prueba está magnı́ficamente “explicada” en el libro intitulado Una Lección Esbozada de Feynman: El Movimiento de los Planetas en Torno del Sol, de D.
Goodstein y J. Goodstein [1]. (Aprovecho la oportunidad para agradecer al Profesor José Acácio de Barros, del Departamento de Fı́sica de la Universidad Federal de Juiz de Fora, por llamar mi atención para ese libro y sugerirme la lectura de ese artı́culo. Agradezco también al Profesor Vı́tor Facanha Serra, del Departamento de Fı́sica de la Universidad Federal de Pará, por haberme ofrecido un ejemplar de dicho libro).