6 FUNCIONES DE EXCITACIÓN Y RESPUESTAS

6 FUNCIONES DE EXCITACIÓN Y
RESPUESTAS
6
FUNCIONES DE EXCITACIÓN Y RESPUESTAS.................207
6.1 INTRODUCCIÓN. ...............................................................208
6.2 CARACTERÍSTICAS GENERALES DE LOS VOLTAJES Y
LAS CORRIENTES COMO FUNCIÓN DEL TIEMPO. ..............209
6.2.1 FUNCIÓN NO DEFINIDA EN UN INTERVALO:......209
6.2.2 FUNCIÓN NO DEFINIDA EN UN PUNTO: ...............210
6.2.3 PUNTOS DE RUPTURA EN LA DERIVADA:...........212
6.3 REPRESENTACIONES SIMPLIFICADAS........................215
6.4 FUNCIONES SINGULARES. .............................................215
6.4.1 FUNCIÓN IMPULSO UNITARIO................................215
6.4.2 FUNCIÓN PASO Ó ESCALÓN UNITARIO ...............217
6.4.3 FUNCIÓN RAMPA UNITARIA...................................218
6.5 FUNCIONES SINGULARES DESPLAZADAS. ................221
6.6 EMPLEO DE LAS FUNCIONES SINGULARES...............223
6.6.1 CAMBIOS EN LOS CIRCUITOS.................................223
6.6.2 REPRESENTACIÓN DE ALGUNAS FUNCIONES
PERIÓDICAS MEDIANTE FUNCIONES SINGULARES.......226
6.6.2.1 FUNCIÓN DE ONDA CUADRADA.....................227
6.6.2.2 FUNCIÓN DIENTE DE SIERRA...........................227
6.6.3 REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES ARBITRARIAS
O PORCIONES DE ELLAS .......................................................230
6.6.3.1 REPRESENTACIONES MEDIANTE FUNCIONES
PASO
231
6.6.3.2 REPRESENTACIÓN DE UNA FUNCIÓN
ARBITRARIA, O UNA PORCIÓN DE ELLA, MEDIANTE UN
TREN DE FUNCIONES IMPULSO .......................................232
6.6.3.3 REPRESENTACIÓN DE LA FUNCIÓN
EXPONENCIAL......................................................................234
6.6.3.4 REPRESENTACIÓN DE LA FUNCIÓN SENO Y
LA FUNCIÓN COSENO.........................................................235
6.6.4 PROPIEDADES DE LA FUNCION IMPULSO. ..........236
207
6.1
INTRODUCCIÓN.
En los capítulos precedentes tratamos de estudiar los
circuitos en la forma más general posible, enfoque
peligrosísimo porque puede dejarnos por las nubes, sin que
nuestra mente encuentre asideros intuitivos. Los problemas
y ejemplos trataron de subsanar ese peligro y sus
consecuencias, por lo que esperamos que estén ya resueltos
concienzudamente. Sin embargo, es posible que se haya
caído en cuenta que esos ejemplos y problemas se plantearon
con voltajes y corrientes muy sencillos en su forma de onda
(comportamiento en el tiempo); incluso, la mayoría de las
fuentes de voltaje y de corrientes eran constantes,
invariables en el tiempo. Además, muchos de los circuitos
tratados eran sólo resistivos. Muchísimos libros de circuitos
explícitamente usan solamente las fuentes constantes y los
circuitos resistivos para tratar las relaciones y los teoremas
generales que hemos venido estudiando; pero nosotros no lo
hicimos así, porque consideramos que este enfoque limita la
capacidad de abstracción del estudiante. Optamos por un
camino intermedio: la presentación abstracta y su ilustración
con ejemplos sencillos y fáciles de entender.
Pero llegó el momento de considerar con más detalle los
“verdaderos” voltajes y las “verdaderas” corrientes que se
presentan en los circuitos. Como estas funciones de tiempo
son de una variedad infinita, es lógico que se haya encarado
el problema de resolverlas en combinaciones de funciones
sencillas y simples. El análisis de Fourier y la convolución
son los logros exitosos de ese intento. No nos extrañemos,
pues, de que empecemos a estudiar las funciones del tiempo
más elementales posibles; con ellas formaremos, más tarde,
cualquier función físicamente realizable.
208
6.2 CARACTERÍSTICAS GENERALES DE LOS
VOLTAJES Y LAS CORRIENTES COMO
FUNCIÓN DEL TIEMPO.
Ya dijimos que intentaremos representar “cualquier función
físicamente realizable”. Esos términos nos quieren decir que
las funciones con que trabajaremos tratan de describir
procesos que se dan realmente en la naturaleza. Las
características de estas funciones deben ser continuas. A
veces se sostiene que en mecánica cuántica se dan “saltos
bruscos”, como los de un electrón al emitir un fotón y cambiar
de orbital, pero en general estos asertos se apoyan en
argumentaciones filosóficas tan débiles que no son para
tenerlas seriamente en cuenta. Tendremos, entonces, como
postulado fundamental que nuestras funciones, como todos
los procesos de la naturaleza, son continuas. Pero resulta que
las derivadas de estas funciones también pueden representar
procesos de la naturaleza, y lo mismo, las derivadas de estas
derivadas,... admitiremos por lo tanto, para que se cumpla el
postulado, que todas las derivadas serán continuas. Veamos
como nos ingeniamos para hacer cumplir el postulado
antedicho cuando se presenten circunstancias que
aparentemente lo violan.
6.2.1
FUNCIÓN NO DEFINIDA EN UN INTERVALO:
En matemáticas hay funciones que “no existen” en algún
intervalo dado (Figura 6.2.1). En nuestro caso no podemos
decir que la función “no existe”, pues eso se interpretaría
como si el voltaje ó la corriente “no existieran” en ese
intervalo, o sea, que serían cero en ese intervalo. Debemos
decir, mejor, que la función es “indeterminada”, o sea que
“existe” (línea punteada en la figura 6.2.1), pero no tenemos
medios matemáticos ni físicos para determinar los valores de
esa función en ese intervalo.
209
Figura 6.2.1 Función no definida en un intervalo.
6.2.2 FUNCIÓN NO DEFINIDA EN UN PUNTO:
Este caso resulta inadmisible en circuitos cuando el límite de
la función en el entorno de ese mismo punto no tiende al
mismo valor (Figura 6.2.2.1.a).
Figura 6.2.2.1 Función no definida en un punto.
En circuitos simplemente desaparece la indeterminación
cuando el límite tiende al mismo valor. En cambio, cuando el
límite de la función en el entorno del punto tiende a valores
diferentes (Figura 6.2.2.1.b), resolvemos la indeterminación
colocando una rampa que una los límites de la función en ese
punto (Figura 6.2.2.2).
210
Figura 6.2.2.2 Función no definida en un punto.
Esa rampa se supone que gira como una barra material,
alrededor del punto de indeterminación, de modo que sus
extremos se acerquen a los valores límites de la función, las
“flechitas” en el dibujo intentan representar esa tendencia.
En los cuatro dibujos de la figura 6.2.2.3, ilustramos las
posibilidades que se dan.
Figura 6.2.2.3 Función no definida en un punto.
O sea que consideraremos que en el punto de ruptura la
función debe tener un valor:
211
Limite
t → t0
Limite
t → t0
Limite
t → t0
Limite
t → t0
f (t ) = f (t0 )
POR
LA
LA
LA
LA
6.2.2.3.b)
( figura
6.2.2.3.c)
( figura
6.2.2.3.d )
IZQUIERDA
f (t ) = f (t0 )
POR
( figura
DERECHA
f (t ) = f (t0 ) − h
POR
6.2.2.3.a )
IZQUIERDA
f (t ) = f (t0 ) + h
POR
( figura
DERECHA
Para evitar los engorrosos términos “por la izquierda” ó “por
la derecha”, utilizaremos las equivalencias:
= Lim
Limite
t → t0
POR
LA
IZQUIERDA
= Lim
Limite
t → t0
t → t0 −
POR
LA
DERECHA
t → t0 +
En estos últimos casos supondremos la rampa como oscilando
en el punto donde la función está definida (en ese punto
colocamos un circulito y no una flecha).
6.2.3 PUNTOS DE RUPTURA EN LA DERIVADA:
Ver figura 6.2.3.1.
212
Figura 6.2.3.1 Puntos de ruptura en una derivada.
En el casos mostrado en la figura 6.2.3.1, la función es
continua pero su derivada no. Como debemos hacer la
derivada continua vamos a suponer que el cambio en la
pendiente de la función es suave y paulatino, y no brusco e
instantáneo.
Figura 6.2.3.2 Puntos de ruptura en una derivada
Nos imaginaremos, entonces, una “ampliación” de la región
que contiene el punto de discontinuidad en la derivada, y
asumiremos que el cambio de pendiente ocurre suavemente.
Así que en definitiva, podemos colocar una rampa, como la
213
definida inmediatamente arriba, en la función de la derivada
(Figura 6.2.3.2).
Es de anotar que los puntos inicial y final de una rampa son,
ellos mismos, punto de ruptura para la derivada; puntos que
debemos tratar exactamente como los demás puntos de esa
naturaleza. Si derivamos otra vez, para obtener la segunda
derivada, obtenemos una función como la mostrada en la
figura 6.2.3.3.
Figura 6.2.3.3 Puntos de ruptura en una derivada
La función resultante es trapezoidal, y el área entre el eje t y
la función es:
δ ′h δ × h
Área =
+
2δ
2δ
Área que, en el límite cuando δ y δ´ tienden a cero, da h.
O sea que escogemos la figura cuidadosamente para lograr
que el área sea igual a la discontinuidad, al valor del “salto”
de la función derivada. Hacemos esto para cumplir con el
requisito de la integral. En efecto, si derivamos la
df ( t )
d 2 f (t )
función: f ′ ( t ) =
obtenemos la función f ′ ′ (t ) =
;
dt
dt 2
integrando f´´(t) debemos obtener la función f´(t) ; y al
integrar lo que calculemos es el área bajo la función . Esa
área debe igualar a la discontinuidad h.
214
6.3 REPRESENTACIONES SIMPLIFICADAS.
Es obvio que la representación de las funciones incluyendo
las rampas resulta muy laboriosa, de modo que suprimiremos
la representación de las rampas usualmente, dejando sólo
una línea vertical con la flechitas o los puntos, de acuerdo a si
la función está definida por la derecha (t +), por la izquierda (t
-), o no está definida en el punto de ruptura (Figura 6.3.1)
Figura 6.3.1 Representaciones simplificadas.
6.4 FUNCIONES SINGULARES.
Con las ideas y reglas establecidas en los numerales
anteriores, podemos empezar a definir una serie de funciones
muy sencillas (por eso se llaman singulares), que nos
servirán posteriormente para representar todas las otras
funciones físicamente realizables. Veamos esas funciones:
6.4.1 FUNCIÓN IMPULSO UNITARIO
uo(t), o uimpulso(t), y aceptaremos también la
forma abreviada ui(t), y su gráfica exacta se muestra en la
Su símbolo es
figura 6.4.1.1, con la condición de hacer δ tan pequeño como
sea posible ó tan pequeño como lo requiera el sistema físico
estudiado.
215
Figura 6.4.1.1 Función impulso unitario.
Tratemos de mostrar la evolución de esta función cuando δ
decrece en la figura 6.4.1.2. La función aumenta en “altura”
y disminuye en “base”.
Figura 6.4.1.2 Evolución de la función impulso unitario.
Lo más importante es caer en cuenta que el área se mantiene
constante:
1
Area = δ × = 1
δ
Al final se acepta que la función se puede representar por
una sola flecha que señale ∞ y el valor del área constante
entre paréntesis, como se aprecia en la figura 6.4.1.3.
216
Figura 6.4.13 Función impulso unitario.
6.4.2 FUNCIÓN PASO Ó ESCALÓN UNITARIO
Esta función es la integral oficial de la función impulso.
Como en matemáticas es usual ir contando en orden
creciente las derivadas:
Las integrales se cuentan en orden inverso:
uo (t),u-1 (t),u-2 (t)...
De modo que el nombre ó símbolo escogido para designar esta
función es u-1 (t), donde el -1 indica precisamente el integral
de la función impulso. Pero aceptaremos la denominación
upaso
(t), o su forma abreviada up (t). Si hacemos
cuidadosamente la integral de la función impulso con
todas sus rampas incluidas, encontraremos una función
como la ilustrada en la figura 6.4.2.1.
Figura 6.4.2.1 Función paso o escalón unitario.
217
Se observa que las rampas, al integrarlas, producen un
cambio suave entre las partes rectas de la nueva función.
Cuando hacemos que δ´ tienda a cero, obtenemos una gráfica
aproximada, donde el paso de cero a uno es una rampa, ver
figura 6.4.2.2. Las zonas cerradas de la gráfica 6.4.2.1
aparecen ahora como puntos donde el cambio de pendiente es
brusco; pero esto es sólo aparente, como vimos anteriormente.
Figura 6.4.2.2 Función paso o escalón unitario.
Por último, cuando hacemos que δ tienda a cero, la función
paso se convierte en la mostrada en la figura 6.4.2.3. La
definición analítica para esta aproximación será:
Figura 6.4.2.3 Función paso o escalón unitario.
u −1 (t ) =
0
t<0
1
t≥0
6.4.3 FUNCIÓN RAMPA UNITARIA
Se obtiene integrando la función paso unitaria:
t
u− 2 ( t ) =
u−1 ( t ) dt
−∞
218
0−
Para t <
0-
∴ u− 2 ( t ) =
0dt = 0
−∞
t
Para t >
0+
∴ u− 2 ( t ) = 1dt = t
0+
Figura 6.4.3.1 Función rampa unitaria.
La integral de la función entre 0- y 0+, daría el área bajo el
1
× 1 , que se hace cero cuando δ tiende a cero, por
triángulo:
δ
lo que no se incluye en la función total.
En la figura 6.4.3.2 se muestra la gráfica de la función rampa
unitaria. Su definición analítica sería:
0
t<0
u −2 (t ) =
t
t≥0
Figura 6.4.3.2 Función rampa unitaria.
Si continuamos integrando, obtenemos otras funciones tipo
parábola, cúbica, etc. Anotemos que la simple integral da
como resultado estas funciones multiplicadas por un
coeficiente, en efecto:
219
t
u− 3 ( t ) =
t
u− 2 ( t ) dt = tdt =
−∞
0
t
t
t2
2
t2
t3
u− 4 ( t ) = u− 3 ( t ) dt =
=
2 3* 2
0
−∞
t n −1
u− n ( t ) = u− ( n −1) ( t ) dt =
( n − 1)!
Ahora que estas últimas funciones se llamen “unitarias” es
algo extraño. Por eso explicaremos que se consideran
“unitarias” las funciones que se pueden deducir por
integración ó por diferenciación de una función unitaria tal
como el impulso unitario. Precisamente, veamos que función
resulta al diferenciar la función impulso. Como se puede
observar en la figura 6.4.3.3, se obtienen dos impulsos, uno
positivo y otro negativo.
220
Figura 6.4.3.3 Derivada de la función rampa unitaria.
Pero este “doblete” de impulsos tiene la característica de que
el valor y el área encerrada en ellos tiende a infinito cuando δ
tienda a cero. Esta extraña función es de muy dudosa
existencia física, y su presentación en un circuito merecerá
un análisis detenido para lograr su interpretación verdadera.
Con ella terminamos el recuento de estas funciones
singulares.
6.5 FUNCIONES SINGULARES DESPLAZADAS.
Evidentemente el t = 0 es puramente convencional; podemos
empezar a medir el tiempo en cualquier instante. Entonces
no es necesario que las funciones singulares se presenten en t
221
= 0; pueden presentarse en cualquier tiempo. Estas funciones
singulares las llamamos “funciones desplazadas” cuando no
ocurren en t = 0, y sus gráficas y símbolos las mostraremos
en la figura 6.5.1.
Figura 6.5.1 Funciones singulares desplazadas.
Aunque parece obvio, es bueno saber como determinar sin
incertidumbres donde empieza una función singular. Para
ello tomaremos el “argumento” (el valor entre paréntesis: un
(argumento)), y lo igualamos a cero, despejando luego el valor
de t. Ese valor de t es en el que ocurre, ó principia, la función
singular. Ejemplos:
uo ( t + 5) → arg umento = t + 5 → t + 5 = 0 ∴ t = −5
Esta función impulso se presenta
ilustra en la figura 6.5.2.
en t = -5, tal como se
Figura 6.5.2 Funciones singulares desplazadas.
u−1 ( t − 10) → arg umento = t − 10 → t − 10 = 0
222
∴ t = 10
Esta función paso se presenta en t =10, tal como se ve en la
figura 6.5.3.
Figura 6.5.3 Funciones singulares desplazadas.
6.6 EMPLEO DE LAS FUNCIONES SINGULARES.
Como fue posible observar, en las funciones singulares el
valor es cero desde t = −∞ hasta un to dado; esta
característica nos permite simular cambios en las condiciones
de los circuitos, cambios ocurridos precisamente en ese to
dado. Ahora, los cambios en los circuitos se deben a la
cerrada ó apertura de una rama (voluntaria con un
interruptor, involuntaria con un cortocircuito ó apertura de
una rama accidental), ó el cambio en una fuente ó
impedancia mediante un control, para restringir tantas
posibilidades y dejar a materias como control y circuitos
electrónicos el tema de los circuitos controlados, aquí sólo nos
ocuparemos de cambios que se puedan describir con
interruptores,
fuentes
controladas
y,
sólo
muy
ocasionalmente, impedancias controladas. Otra posible
utilización de funciones singulares es la representación
aproximada de otras funciones más complejas. Veamos esos
usos de las funciones singulares.
6.6.1
CAMBIOS EN LOS CIRCUITOS.
En la figura 6.6.1.1 se muestra un circuito elemental con un
interruptor que se cierra en t = a. Sabemos que si el
223
E
.
R
E
¿Pero sí cambia la corriente instantáneamente de 0 a
?
R
No, la naturaleza no permite esos cambios bruscos; lo seguro
es que el circuito contiene algunas pequeñas inductancias
que retardan el cambio de la corriente (como se verá mejor
más adelante) y hacen suave la transición de su valor entre 0
E
y
. Pero como esta transición es tan rápida, la podemos
R
asumir instantáneamente en este caso y representarla por la
función paso (Figura 6.6.1.2). El circuito puede representarse,
entonces, como se muestra en la figura 6.6.1.3, en la cual se
ha reemplazado la fuente y el interruptor por una fuente de
voltaje escalón. Es muy importante tener una imagen “física”
ó “práctica” de las cosas que se presenta en los circuitos
eléctricos, por lo tanto, obsérvese como se logra en la práctica
una fuente de voltaje escalón, utilizando una fuente de
voltaje constante (una batería, por ejemplo) y un interruptor.
interruptor está abierto, i = 0, y que cuando se cierra i =
Figura 6.6.1.1 Cambios en los circuitos (cierre de un interruptor).
Figura 6.6.1.2 Cambios en los circuitos (función que representa el fenómeno).
224
Figura 6.6.1.3 Cambios en los circuitos (función paso que representa el fenómeno).
Para una fuente de corriente el problema de aplicarla
súbitamente se complica un poco, por la restricción de que
siempre debe estar en un circuito cerrado. Se resuelve el
problema también con un interruptor (Figura 6.6.1.4). La
corriente “casi” instantáneamente pasa a circular por la
resistencia. En la realidad, al abrir el interruptor toda fuente
de corriente real, física, práctica, cambia su corriente de
modo que la transición de corriente en la resistencia es
gradual. Pero en circuitos “idealizaremos” la situación,
representando la fuente de corriente por una función paso,
como se ilustra también en la figura 6.6.1.5.
Figura 6.6.1.4 Cambios en los circuitos (apertura de un interruptor).
225
Figura 6.6.1.5 Cambios en los circuitos (función paso que representa el fenómeno).
Pero también es posible utilizar las funciones singulares para
representar procesos exactamente contrarios a los anteriores,
como sería el caso de abrir un circuito después de estar un
tiempo muy largo (teóricamente, sólo teóricamente, infinito).
Esto se ilustra en la figura 6.6.1.6. Obsérvese que sólo basta
usar la función: E [1 − u −1* (t − a)], para simular el proceso.
Figura 6.6.1.6 Cambios en los circuitos.
6.6.2 REPRESENTACIÓN DE ALGUNAS FUNCIONES
PERIÓDICAS MEDIANTE FUNCIONES
SINGULARES
Una combinación adecuada de las funciones singulares
desplazadas puede usarse para representar muchas funciones
periódicas de amplio uso en la ingeniería Eléctrica y
Electrónica.
226
6.6.2.1 FUNCIÓN DE ONDA CUADRADA
En la figura 6.6.2.1 se muestra cuatro funciones paso y su
combinación para formar una nueva función:
Figura 6.6.2.1.1 Función de onda cuadrada.
Utilizando este resultado podremos representar una función
de onda cuadrada:
f (t ) =
+∞
u−1 (t − nT )(− 1)
n
n = −∞
Figura 6.6.2.1.2 Función de onda cuadrada.
6.6.2.2 FUNCIÓN DIENTE DE SIERRA
Para obtener esta función utilizaremos la rampa unitaria.
Para comprender el mecanismo veamos primero (Figura
6.6.2.2.1) como se combinan sólo dos rampas.
227
Figura 6.6.2.2.1 Función diente de sierra.
Al restar la rampa desplazada de la primera rampa
obtenemos una porción de la primera rampa seguida de una
función paso de amplitud T. Si lo que buscamos en un
“diente” verdadero, debemos restar una función paso de
amplitud T y desplazada t → T . (Figura 6.6.2.2.2). O sea
obtener la función:
f (t )1 diente = u− 2 (t ) − u− 2 (t − T ) − Tu−1 (t − T )
228
Figura 6.6.2.2.2 Función diente de sierra.
Para obtener una onda de dientes seguidos, debemos repetir
el mismo proceso de añadir más rampas y más funciones
pasos hasta obtener: n = +∞
f (t ) diente
de sierra
=
+∞
n = −∞
[
u− 2 (t − nT ) − u− 2 + Tu−1
] [ (t − (n + 1)T ]
Sin embargo, veamos como podemos construir la misma
función de una forma más sencilla. En efecto, si consideramos
sólo la rampa y la función paso, vemos (Figura 6.6.2.2.3) que
no sólo obtenemos el primer diente, sino también otra nueva
rampa, de la cual podemos sacar el segundo diente restando
otra función paso desplazada.
Figura 6.6.2.2.3 Función diente de sierra.
229
Ahora la función buscada puede escribirse:
f ( t ) diente
con
de sierra
= u− 2 ( t − nT ) −
∞
Tu− 1 ( t − mT );
m = n +1
m = entero
f ( t ) n = −5 = u− 2 ( t − 5T ) −
∞
Tu−1 (t − mT )
m = −4
Figura 6.6.2.2.4 Función diente de sierra.
Es una función más sencilla que la anterior; pero obsérvese
que sólo representa los dientes desde un tiempo finito (a
menos que asumamos la rampa inicial en -∞ T, o sea el
tiempo -∞).
De estos ejemplos debe concluirse que la construcción de
ondas periódicas mediante ondas ó funciones singulares es un
arte. O sea que hay diversas formas de hacer lo mismo, y la
mejor forma depende de la inventiva de cada uno. Por lo
demás, es una tarea muy entretenida (mucho más que jugar
al ajedrez) y la recomendamos como juego, pasatiempo o
terapia.
6.6.3 REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES
ARBITRARIAS O PORCIONES DE ELLAS
Cualquier porción de una función arbitraria, e incluso la
función entera, puede representarse con una exactitud tan
alta como se desee mediante la combinación de funciones
230
singulares desplazadas. Estas sumas o series de funciones
desplazadas del mismo tipo suele denominarse un “tren”.
6.6.3.1 REPRESENTACIONES MEDIANTE FUNCIONES
PASO
En la figura 6.6.3.1.1 mostramos como una porción de una
función puede representarse por un “tren” de ocho funciones
paso de amplitud variable (incluso dos de esas funciones
paso tienen amplitud nula, en este ejemplo).
Este tren es:
f o (t )
+ u (t − t
tren de
−1
0
funcion
[
paso
= u−1 (t − to ) f (to )
]
− ∆ ) f (t 0 + ∆ ) − f ( t 0 )
+ u−1 (t − t0 − 2∆ )[ f (t0 + 2∆ ) − f (t0 + ∆ )]
[
]
+ u−1 (t − t0 − 3∆ ) f (t0 + 3∆ ) − f (t0 + 2 ∆ )
+ u −1 (t − t 0 − 4∆ )[ f (t 0 + 4∆ ) − f (t 0 + 3∆ )]
[
+ u (t − t − 5∆ )[ f (t + 5∆ ) − f (t
+ u (t − t − 6∆ )[ f (t + 6∆ ) − f (t
+ u (t − t − 7∆ )[ f (t + 7∆ ) − f (t
]
+ 5∆ )]
+ 5∆ )]
+ 6∆ )]
+ u−1 (t − t0 − 4∆ ) f (t0 + 4∆ ) − f (t0 + 4∆ )
−1
0
0
0
−1
0
0
0
−1
0
0
0
231
Figura 6.6.3.1.1 Representaciones mediante funciones paso.
Aumentando el número de funciones paso lo que equivale a
disminuir a ∆, podremos representar la función original con
una exactitud tan grande como se desee.
6.6.3.2 REPRESENTACIÓN DE UNA FUNCIÓN ARBITRARIA,
O UNA PORCIÓN DE ELLA, MEDIANTE UN TREN DE
FUNCIONES IMPULSO
En este caso se toman funciones impulso con área
rectangular debajo de la función (ver figura 6.6.3.2.1).
f
(t ) =
n=∞
n = −∞
f (n∆ )U o (t − n∆ )∆
232
Figura 6.6.3.1.1 Representación de una función arbitraria, o una porción de ella,
mediante un tren de funciones impulso.
Cuando ∆ se hace bien pequeño llega a ser un diferencial:
∆ = dβ
En este límite n∆ se convierte en una especie de variable
continua; que llamaremos β :
β = n∆ = n dβ
La sumatoria de los impulsos se convierte en una integral:
+∞
f ( β )U o (t − β )dβ
f (t ) =
−∞
Extrañísimo resultado que es casi incomprensible sino se cae
en cuenta que la variable n∆, al principio discreta (cuando ∆
era finito) y al final continua y llamada β, no es la misma
233
variable t. En efecto, nótese que nβ al principio valía
1∆,2∆,3∆, etc, y que t podía tomar cualquier valor.
6.6.3.3 REPRESENTACIÓN DE LA FUNCIÓN
EXPONENCIAL
La importancia de esta función, no sólo en circuito sino en
cualquier disciplina científica nos obliga a relacionarla con
las funciones unitarias vistas. Vimos que las funciones
unitarias se podían hallar por sucesivas integraciones de la
función impulso así:
t
u−1 (t ) =
uo (t )dt = 1
−∞
t
t
u− 2 (t ) =
−∞
uo (t )dt = t
−∞ −∞
t
u− 3 (t ) =
t
u−1 (t )dt =
t
t
t
u− 2 (t )dt =
−∞
uo (t )dt =
−∞ −∞ −∞
.
.
.
t
t
t
−∞
−∞
u − n (t ) = u − ( n −1) (t )dt = ... u o (t )dt =
−∞
t2
2!
t n −1
(n − 1)!
n integrales
Pero resulta que la función exponencial es la suma de todas
las funciones singulares (excepto el impulso):
t2 t3
t n−1
e t = 1 + t + + + ... +
...
2! 3!
(n − 1)!
∴ u p (t ) e t =
t n−1
=
n =1 ( n − 1)!
∞
∞
n =1
u −n (t ) =
∞
t
n =1
−∞
u o (t )dt
n integrales
Vamos a derivar
et
para observar algo interesante:
234
d t
d
t2 t3
t n −1
(e ) =
1 + t + + +...+
...
dt
dt
2! 3!
(n − 1)!
2t
3t 2
mt m−1
...
= 0+1+ +
+...+
2 3× 2
m × ( m − 1)!
t2
t3
t m −1
...
= 1+ t + +
+...+
2 3× 2
( m − 1)!
∴
d t
(e ) = et
dt
La derivada de la función exponencial es la misma función
exponencial.
6.6.3.4 REPRESENTACIÓN DE LA FUNCIÓN SENO Y LA
FUNCIÓN COSENO
Como:
t3 t5 t7
t ( n impar )
sen(t ) = t − + − ... +
(−1)
3! 5! 7!
(n − 1)!
∴ sen(t ) =
∞
(−1)
n −1
2
n =1
∴ u p (t ) sen(t ) =
∞
n −1
2
tn
; con n impar
n!
+ (−1)
n
+1
2
n=2
u − n (t ); con n
par
Ahora, la función Cos (t) será:
t2 t4 t6
t ( n par )
cos(t ) = t − + − ... +
(−1)
2! 4! 6!
n!
∴ u p (t ) u p (t ) cos(t ) =
∞
(−1)
n −1
2
n =1
Por último, tomando j → − 1:
235
n
2
u− n (t ); con n impar
( jt ) 2 ( jt ) 3 ( jt ) 4
e = 1 + jt +
+
+
2!
3!
4!
2
4
t
t
t3 t5
∴ e jt = 1 − + ... + j t − + ...
2! 4!
3! 5!
jt
∴ e jt = cos( t ) + j sen( t )
Resultando de enorme importancia en desarrollos posteriores.
6.6.4 PROPIEDADES DE LA FUNCION IMPULSO.
La función impulso es tan importante, no solo en Circuitos sino en casi
todas las ramas de la ingeniería y de la ciencia, que resaltaremos sus
propiedades fundamentales, encareciendo su estudio detallado.
t
Integrales de la función impulso. El integral u o (t )dt
−∞
∞
es completamente diferente al integral u o (t )dt
= u p (t ) ,
= 1.
−∞
Uno da como resultado la función paso y el otro da el área
bajo el impulso unitario, que siempre es la unidad.
Producto de la función impulso por cualquier función.
El producto de la función impulso multiplicada por cualquier
función de la variable de la función impulso, es la misma
función impulso multiplicada por la misma función pero
evaluada en el punto donde se presenta el impulso. La
explicación está en que la función impulso es cero en todo
tiempo, excepto en el instante de su ocurrencia, por lo tanto
anula todos los valores de la función excepto el valor en el
instante de ocurrencia, que ahora será el área bajo el impulso
resultante. Con ayuda de la gráfica 6.6.3.1.1 trataremos de
explicar lo que significa esta propiedad.
236
Figura 6.6.3.1.1 Producto de una función impulso y de otra función.
La expresión simbólica es:
F(t) * Uimpulso (t = - 5) = F( t = - 5) * Uimpulso ( t = - 5)
Por ejemplo: sen(4 * t) * Uimpulso (t = 12) = sen( 4*12)* Uimpulso (t = 12)
237