Tema 4 Formas bilineales y cuadráticas.

Tema 4
Formas bilineales y cuadráticas.
4.1.
Introducción.
Conocidas las nociones de espacio vectorial, aplicación lineal, matriz de una
aplicación lineal y diagonalización, estudiaremos en este tema dos familias de
funciones que tienen notable interés por sus aplicaciones en álgebra lineal y en
geometrı́a analı́tica. Son funciones valoradas en el espacio de escalares K y por ello
se les llama formas. La primera, las formas bilineales, son funciones definidas sobre
pares de vectores, es decir, son funciones de dos variables vectoriales. Salvando
las distancias, las formas bilineales tienen analogı́as con las aplicaciones lineales:
fijada una base se pueden definir mediante matrices. Si se cambia de base, cambia
la matriz y la nueva se calcula a partir de la matriz de cambio de base. Las matrices
de la misma forma bilineal tienen el mismo rango, etc..
La otra familia, la de las formas cuadráticas, está formada por funciones de
una variable y muy emparentada con una subfamilia de las bilineales. También se
definen mediante una matriz para cada base del espacio y todas las matrices de
la misma forma cuadrática tienen algunos invariantes que identifican a la forma
cuadrática.
Como único requisito previo para el estudio de este tema pondremos el que se
conozcan bien los conceptos estudiados en los temas anteriores.
1
4.2.
Formas Bilineales.
Consideremos un espacio vectorial V sobre el cuerpo K de los números reales
o de los números complejos. Denotaremos V × V al conjunto de pares ordenados
de vectores de V .
Una aplicación f que a cada par de vectores (u, v) ∈ V × V asocia un escalar
f (u, v) ∈ K se dice que es una forma forma bilineal si es lineal en cada una de sus
dos variables; es decir si cumple:
f (αu1 + βu2 , v) = αf (u1 , v) + βf (u2 , v) y f (u, γv1 + µv2 ) = γf (u, v1 ) + µf (u, v2 )
para todo u, u1 , u2 , v, v1 , v2 ∈ V y todo α, β, γ, µ ∈ K.
Algún ejemplo. La siguiente es forma bilineal en R3 (compruebese como ejercicio).
f (x, y) = 2x1 y1 − x1 y2 + 4x1 y3 + 3x2 y1 − 5x2 y3 + 7x3 y1 − 5x3 y2 − 4x3 y3 ,
x = (x1 , x2 , x3 ), y = (y1 , y2 , y3 ).
Es fácil ver que toda forma bilineal f verifica que f (0, y) = f (x, 0) = 0 y
f (−x, y) = f (x, −y) = −f (x, y). Además, la suma de dos formas bilineales en
V y el producto de una forma bilineal en V por un escalares son también formas
bilineales en V. El conjunto de todas las formas bilineales de V es un espacio
vectorial sobre K.
Hay dos tipos distinguidos de formas bilineales. Una forma bilineal f se dice
que es bilineal simétrica si f (u, v) = f (v, u), ∀u, v ∈ V.
Una forma g se dice bilineal antisimétrica si g(u, v) = −g(v, u), ∀u, v ∈ V.
No toda forma bilineal es simétrica o antisimétrica, por ejemplo la siguiente es
una forma bilineal en R2 y no es simétrica ni antisimétrica:
f (x, y) = 3x1 y1 + x1 y2 − 2x2 y2 ,
x = (x1 , x2 ), y = (y1 , y2 ).
Sin embargo, como se propone en las cuestiones y problemas, toda forma bilineal
es suma de una simétrica y una antisimétrica.
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Fijada una base BV = {v1 , v2 , . . . , vn }, toda forma bilineal f tiene asociada una
única matriz B ∈ Mn , que es la definida por:

f (v1 , v1 ) f (v1 , v2 )

 f (v2 , v1 ) f (v2 , v2 )
B=
 ···
···

f (vn , v1 ) f (vn , v2 )

· · · f (v1 , vn )

· · · f (v2 , vn ) 
.

···
···

· · · f (vn , vn )
Obsérvese la analogı́a entre esta matriz y la de un producto escalar, que vimos
en el tema dos. De hecho, todo producto escalar es una forma bilineal simétrica.
La matriz define la forma bilineal en el siguiente sentido:
Si X = (x1 , x2 , · · · , xn ), Y = (y1 , y2 , · · · , yn ) son las coordenadas de dos vectores x, y ∈ V entonces su imagen se calcula a través de la matriz por la expresión:
f (x, y) = XBY t .
(4.1)
Si ahora BV0 es otra base de V y P ∈ Mn la matriz de cambio de base de BV0 a BV
entonces, denotando X 0 = (x01 , x02 , · · · , x0n ), Y 0 = (y10 , y20 , · · · , yn0 ) las coordenadas,
respectivamente de los vectores x, y ∈ V se tiene, como es sabido:
X = X 0 P, Y = Y 0 P, Y t = P t Y 0t
Ası́, la expresión de la imagen en función de las coordenadas X 0 , Y 0 será, sustituyendo en (4.1):
f (x, y) = X 0 P BP t Y 0t
Se obtiene ası́ que la matriz de f referida a la base BV0 es B 0 = P BP t .
A dos matrices de la misma forma bilineal en distintas bases se les llama matrices congruentes, y se verifica que dos matrices B, B 0 ∈ Mn son congruentes si
y sólo si existe una matriz regular P ∈ Mn , tal que B 0 = P BP t . Además P es
la matriz de cambio de base entre la base nueva y la antigua. Es sencillo ver que
dos matrices congruentes son equivalentes, y por tanto tienen el mismo rango. Ese
rango es, por definición, el de la forma bilineal. Si ese rango no es máximo (es
decir, si es menor que la dimensión del espacio vectorial) entonces la forma bilineal
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se dice degenerada. Es evidente que f es degenerada si y sólo si el determinante de
la matriz de f es nulo. Las formas bilineales no degeneradas se dicen ordinarias.
Ejemplo 4.1. Consideremos la forma bilineal f definida en R3 × R3 por:
f (x, y) = 2x1 y1 − x1 y2 + 4x1 y3 + 3x2 y1 − 5x2 y3 + 7x3 y1 − 5x3 y2 − 4x3 y3 ,
x = (x1 , x2 , x3 ), y = (y1 , y2 , y3 ). Escribe su matriz A respecto de la base canónica.
También su matriz A0 respecto de la base B = {(1, 0, −1), (0, 1, −2), (0, 0, −1)}.
Si v = (2, −1, −2), v = (−1, 0, 1), calcula f (u, v) empleando sucesivamente A
y A0 .
Solución. Si denotamos Bc = {e1 , e2 , e3 } la base canónica, para la matriz hay que
calcular f (e1 , e1 ), f (e1 , e2 ), · · · , f (e3 , e3 ). Con ellos la matriz es:


2 −1 4


A =  3 0 −5  .
7 −5 −4
Nota: Respecto de la base canónica, a partir de la expresión de la forma bilineal se
puede escribir la matriz directamente, (sin cálculos) porque atiende a la siguiente
“regla nemotécnica”: enumerando las filas con las componentes de x y las columnas
con las de y, los elementos de la matriz son los coeficientes del producto de las
componentes de x e y. Ası́ a11 es el coeficiente de x1 y1 , a12 el coeficiente de x1 y2 ,
etc... pero ¡ojo! sólo es ası́ para la matriz respecto de la base canónica.
Para calcular la matriz respecto de la base B hay dos vı́as: calculando directamente las imágenes de los pares de vectores a partir de la expresión de f o a
través de la matriz P de cambio de base de B a Bc . Optamos por esta segunda vı́a.
Realı́cese como ejercicio por la primera y compruébese que se obtiene la misma
matriz. La matriz de cambio de base de B a Bc es


1 0 −1


P =  0 1 −2  .
0 0 −1
4
Ası́ la matriz A0 de f respecto de la base B



1 0 −1
2 −1 4
1



A0 =  0 1 −2   3 0 −5   0
0 0 −1
7 −5 −4
−1
es A0 = P AP t y vale:
 

0 0
−13 −20 −8
 

1 0  =  −14 −4 −3  .
−2 −1
−11 −3 −4
Para calcular f (u, v), en cada caso hay que tener las coordenadas de u y v respecto
de las correspondientes bases Bc y B, y emplear las respectivas matrices A y A0 .
Respecto de Bc , coordenadas y vector coinciden. Por tanto:



2 −1 4
−1



f (u, v) = (2, −1, −2)  3 0 −5   0  = 34
7 −5 −4
1
Respecto de B, calculando las coordenadas de u y v en la base B obtenemos:
u = (2, −1, 2)B ; v = (−1, 0, 0)B . Por tanto



−13 −20 −8
−1



f (u, v) = (2, −1, 2)  −14 −4 −3   0  = 34.
−11 −3 −4
0
1
Recordemos que una matriz cuadrada se dice simétrica si coincide con su traspuesta y se dice antisimétrica si coincide con la opuesta de su traspuesta. Hemos
de notar que si M ∈ Mn es matriz simétrica (o antisimétrica), cualquier matriz M 0
congruente con M es también matriz simétrica (o antisimétrica). En efecto (lo hacemos para simétrica, hágase como ejercicio para antisimétrica): Si M 0 = P M P t ,
con P ∈ Mn matriz regular de congruencia, entonces:
t
M 0t = (P M P t )t = P t M t P t = P M P t = M 0 .
A partir de ello se concluye que, si una forma bilineal tienen matriz simétrica
respecto de una base, la tiene respecto de cualquier base (y lo mismo sucede para
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antisimétrica). Además se verifica que una forma bilineal es simétrica si y sólo si
su matriz es simétrica, (lo mismo para antisimétrica). En lo que sigue trataremos
sólo con formas bilineales simétricas.
Formas bilineales simétricas. Conjugación. Dada una forma bilineal simétrica f sobre un espacio vectorial V, dos vectores u, v ∈ V se dicen vectores conjugados si f (u, v) = 0.
Dos subespacios S, T ⊂ V se dicen subespacios conjugados si f (x, y) = 0 ∀x ∈
S, ∀y ∈ T . Para ello es suficiente que sean conjugados los vectores de una base de
uno de los subespacios con los de otra base del otro.
Una base BV se dice base de vectores conjugados por f si cada vector de la base
es conjugado con los demás. Es evidente que, respecto de una base de vectores
conjugados, la matriz de f es diagonal, y recı́procamente, si la matriz de f es
diagonal, entonces la base es de vectores conjugados.
Fijado un vector x, el conjunto de los vectores conjugados con x forman un
subespacio vectorial de V que denotaremos x0 . En concreto:
x0 = {y ∈ V : f (x, y) = 0}.
Se llama núcleo de f , denotado N (f ) al conjunto de los vectores que son conjugados con todo vector de V, es decir:
N (f ) = {x ∈ V : f (x, y) = 0, ∀y ∈ V }.
Si A ∈ Mn es la matriz de f (respecto de cualquier base) y si X = (x1 , x2 , · · · , xn )
son las coordenadas de un vector de N (f ) entonces se cumplirá que XAY t = 0
para todo Y = (y1 , y2 , · · · , yn ) ∈ Kn . Ello sólo es posible si y sólo si XA = 0. Esto
nos da una condición para obtener los vectores de N (f ). Serán aquellos cuyas
coordenadas X verifiquen XA = 0, es decir, las soluciones del sistema de ecuaciones lineales homogéneo cuya matriz de coeficientes es A. Por lo que sabemos de
esos sistemas, sólo hay soluciones no nulas si |A| = 0. Se concluye entonces que
una forma bilineal simétrica tiene núcleo distinto del {0} si y sólo si es degenerada.
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Ejemplo 4.2. Consideremos en R3 la forma bilineal f (x, y) = x1 y1 + x1 y2 +
2x1 y3 + x2 y1 + x2 y3 + 2x3 y1 + x3 y2 + 3x3 y3 , x = (x1 , x2 , x3 ), y = (y1 , y2 , y3 ). Escribe
su matriz respecto de la base canónica. Encuentra el subespacio conjugado de
u = (1, −2, 0) y de U =< (1, 0, 3), (0, 1, −2) >. Encuentra el rango y el núcleo de
f y una base de R3 formada por vectores conjugados para f .
Solución. La matriz de f en la base canónica es:

1 1 2



A =  1 0 1 .
2 1 3
Ahora el conjugado de u es:
u0 = {X = (x, y, z) ∈ R3 : (1, −2, 0)AX t = 0} = {(x, y, z) ∈ R3 : − x + y = 0}.
El subespacio conjugado de U estará formado por los vectores que sean conjugados
simultáneamente de ambos vectores de la base de U . Ası́, denotando U 0 se tendrá:
U 0 = {X = (x, y, z) ∈ R3 : (1, 0, 3)AX t = 0, (0, 1, −2)AX t = 0} =
= {(x, y, z) ∈ R3 : 7x + 4y + 11z = 0, 3x + 2y + 5z = 0}.
El rango de f es el rango de A que es 2. Para el núcleo:
N (f ) = {X = (x, y, z) ∈ R3 : XA = 0} =
= {(x, y, z) ∈ R3 : x + y + 2z = 0, x + z = 0, 2x + y + 3z = 0} =< (1, 1, −1) > .
Para buscar una base de vectores conjugados, debemos buscar un conjunto de tres
vectores B 0 = {v1 , v2 , v3 } que sean linealmente independientes y que cada uno sea
conjugado de los demás. Hay infinitas posibilidades, pero para simplificar los buscaremos de la forma v1 = (1, 0, 0), v2 = (α, β, 0), v3 = (γ, δ, µ), y determinaremos
los parámetros para que f (v1 , v2 ) = 0, f (v1 , v3 ) = 0, f (v2 , v3 ) = 0. Empleando
la matriz A, f (v1 , v2 ) = 0 equivale a la ecuación α + β = 0. Un vector posible es
v2 = (1, −1, 0). Las otras dos igualdades f (v1 , v3 ) = 0, f (v2 , v3 ) = 0 proporcionan
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las ecuaciones:
γ + δ + 2µ = 0
δ+µ= 0
)
Dos soluciones posibles son: v2 = (1, −1, 0) y v3 = (−1, −1, 1).
Ejercicio: Calcula la matriz de f respecto de la base de vectores conjugados
obtenida y comprueba que es


1 0 0


A0 =  0 −1 0  .
0
0
0
1
En el ejercicio anterior se ha proporcionado un modo, si quiera sea como sencillo
ejemplo, de encontrar una matriz diagonal congruente con una matriz simétrica
dada: consiste en encontrar las coordenadas de vectores que formen una base de
conjugados para la matriz simétrica (que es como decir para la forma bilineal
simétrica dada). La matriz asociada a la forma bilineal respecto de los vectores
conjugados es diagonal y la matriz de congruencia es la matriz de cambio de
base de la de conjugados a la base dada. Obtener la matriz diagonal y la matriz
de cambio de base es lo que se llama diagonalizar la forma bilineal simétrica o
diagonalizar por congruencias la matriz simétrica dada.
Hay otro método para diagonalizar por congruencias una matriz A ∈ Mn
cuadrada simétrica. Consiste en emplear transformaciones elementales. El método
es totalmente análogo al método de Gauss para obtener la inversa de una matriz,
que es bien conocido, con la salvedad de que cada transformación que se haga
por filas en la matriz, hay que hacerla también por columnas y no es necesario
obtener unos en la diagonal principal (sólo ceros fuera). Las transformaciones que
se hagan por filas (las de por columnas no), han de hacerse también en la matriz
In , identidad de orden n, que al iniciar el proceso se “adosa” a A. Al final se obtiene
la matriz diagonal donde inicialmente estaba A y la matriz P donde inicialmente
estaba In . Veamos un ejemplo.
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Ejemplo 4.3. Diagonalizar por transformaciones elementales la matriz simétrica
dada en el ejercicio anterior.
Solución. En lo que sigue indicaremos las transformaciones empleadas:

1 0 0 1 1 2


0 0 1
1



 0 1 0 1 0 1  f2Ã
 −1 1
−f1
0 0 1 2 1 3
0 0


1 0 0 1 0 2

 Ã
Ã
f3 −2f1  −1 1 0 0 −1 −1  c3 −2c1
1
2


1
0 0 1
0
2



0 0 −1 −1  c2Ã
 −1 1 0 0 −1 −1 
−c1
1 2 1 3
0 0 1 2 1 3


1 0 0 1 0 0


 −1 1 0 0 −1 −1  f3Ã
−f2
−2 0 1 0 −1 −1
−2 0 1 0 −1 −1



1 0 0 1 0 0
1 0 0 1 0 0

 Ã 

 −1 1 0 0 −1 −1  c3 −c2  −1 1 0 0 −1 0 
−1 −1 1 0 0 0
−1 −1 1 0 0 0

Ası́ se tiene que:

1
0
0




P =  −1 1 0  ,
−1 −1 1
1
0
0



D =  0 −1 0 
0 0 0
y se tiene que P AP t = D.
Una observación: Una misma matriz A ∈ Mn simétrica puede tener más de una
forma diagonal, y la forma bilineal asociada, varias bases de vectores conjugados,
pero todas las formas diagonales de A tienen la misma cantidad de elementos no
nulos en la diagonal, y en el caso en que los elementos de A sean números reales
(matriz real simétrica), dos formas diagonales de A tienen la misma cantidad de
términos positivos en la diagonal.
4.3.

Formas Cuadráticas.
Consideremos una forma bilineal simétrica f sobre un espacio vectorial V . Se
llama forma cuadrática asociada a f a la aplicación w : V → K definida por:
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w(x) = f (x, x). La aplicación f es conocida como forma polar de w. A la matriz
asociada a f en una base B se le llama también matriz asociada a w en B.
Se cumple que
w(αx) = α2 w(x), ∀x ∈ V, ∀α ∈ K.
(4.2)
Además, conocida la forma cuadrática, se puede deducir la forma polar porque se
cumple entre ambas la relación:
2f (x, y) = w(x + y) − w(x) − w(y), ∀x, y ∈ V.
(4.3)
De hecho se puede definir forma cuadrática sobre un espacio vectorial V como:
toda forma sobre V que cumpla (4.2) y al definir f con la expresión (4.3) se obtiene
una forma bilineal simétrica.
Ejemplo 4.4. En el espacio vectorial R3 se define la forma
w(x, y, z) = 2x2 + y 2 − 2xz − 3z 2 .
Comprueba que es una forma cuadrática. Encuentra su matriz respecto de la base
canónica.
Solución. Se tiene que w(αx, αy, αz) = 2(αx)2 + (αy)2 − 2αxαz − 3(αz)2 =
= α2 (2x2 + y 2 − 2xz − 3z 2 ) = α2 w(x, y, z). Además si definimos:
1
f (x, y) = (w(x + y) − w(x) − w(y)), con x = (x1 , x2 , x3 ), y = (y1 , y2 , y3 ),
2
tras realizar los cálculos se obtiene: f (x, y) = 2x1 y1 + x2 y2 − x1 y3 − y1 x3 − 3x3 y3 .
En forma matricial es



y1
2 0 −1



f (x, y) = (x1 , x2 , x3 )  0 1 0   y2  .
y3
−1 0 −3
Claramente es una forma bilineal simétrica, por lo que w es forma cuadrática, y
respecto de la base canónica esa es su matriz asociada.
1
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Dos vectores x, y ∈ V se dicen conjugados para una forma cuadrática w si y
sólo si lo son para su forma polar f . Igual se define la conjugación de subespacios
o de bases: son conjugados para para w si y sólo si lo son para f . También se dice
que w es forma cuadrática degenerada o forma cuadrática ordinaria si lo es f . El
rango de w se define como el rango de la matriz asociada a w (en cualquier base).
Diagonalizar una forma cuadrática es diagonalizar su matriz asociada respecto de
una base cualquiera (encontrar la matriz diagonal y una base de vectores conjugados). Dos matrices diagonales asociadas a la misma forma cuadrática pueden
tener elementos distintos en la diagonal, pero las dos tienen siempre la misma
cantidad de elementos no nulos, y si el cuerpo es R entonces ambas matrices tienen la misma cantidad de términos estrictamente positivos (y por tanto la misma
cantidad de términos negativos. En lo que sigue nos ocuparemos de estas formas
cuadráticas, las formas sobre el cuerpo de los números reales.
Formas Cuadráticas Reales. Sea V un espacio vectorial de dimensión n
sobre R. La forma cuadrática q : V → R se llama forma cuadrática real.
Se llama signatura de q a un par de números enteros no negativos (r, s) que
denotan respectivamente la cantidad de términos positivos y la cantidad de términos negativos que aparecen en cualquier matriz diagonal asociada a q. Puesto que
para una matriz diagonal el rango coincide con el número de elementos no nulos,
de la definición se deduce que rang(q) = r + s.
La forma cuadrática real q cuyo rango sea k y su signatura (r, s) se dice que
es:
definida positiva si q(x) > 0, ∀x 6= 0. Equivalentemente, r = n.
definida negativa si q(x) < 0, ∀x 6= 0. Equivalentemente, s = n.
semidefinida positiva si q(x) ≥ 0, ∀x ∈ V, y q(y) = 0 para algún y 6= 0.
Equivalentemente, k = r < n.
semidefinida negativa si q(x) ≤ 0, ∀x ∈ V, y q(y) = 0 para algún y 6= 0.
Equivalentemente, k = s < n.
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indefinida en cualquier otro caso; es decir, existen x, y ∈ V tales que q(x) <
0, q(y) > 0 o bien q(z) = 0, ∀z ∈ V.
En la práctica, para clasificar una forma cuadrática real q se puede proceder
de alguna de las siguiente formas:
- Obtener una matriz diagonal asociada a q y sobre ella obtener el rango y la
signatura.
- Obtener los autovalores de cualquier matriz asociada a q. Es notable recordar
que toda matriz real simétrica tiene todos sus autovalores en R y es diagonalizable. Además es ortogonalmente diagonalizable. El signo de los autovalores definen
también el rango y la signatura de q. Además la diagonalización ortogonal, que
estudiamos con detalle en el tema anterior, proporciona otro método para diagonalizar la forma cuadrática. Al aplicarlo, ha de tenerse presente que para seguir
creando y empleando la matriz de la forma cuadrática por filas, los sistemas de
ecuaciones que proporcionan los subespacios propios han de crearse por filas del
modo X(A−λI) = 0, siendo X = (x1 , x2 , · · · , xn ) y A ∈ Mn la matriz de la forma
cuadrática. Los autovectores asociados al mismo autovalor se tomarán ortogonales
(respecto al producto escalar usual de Rn ). Se normalizarán y formarán (por filas) la matriz P . Esta matriz será ortogonal (P −1 = P t ), y verificará P AP t = D,
siendo D la matriz diagonal formada por los autovalores de la matriz A. Esta
matriz D será matriz de la forma cuadrática.
- Estudiando el signo de los menores diagonales de cualquier matriz asociada
a q (no necesariamente matriz diagonal). El menor diagonal de orden r de una
matriz A ∈ Mn es el menor de A cuya diagonal principal consta de los r primeros
elementos de la diagonal principal de A. Si ∆i denota el menor diagonal de orden
i de A, entonces:
Si ∆i > 0 para todo i = 1, 2, · · · , n se tiene que q es definida positiva.
Si ∆i > 0 para i par y ∆j < 0 para j impar, se tiene que q es definida negativa.
Si algún menor de orden par es menor que cero, entonces q es indefinida.
En cualquier otro caso, este método no decide la clasificación salvo que V sea
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de dimensión 3 (equivalentemente, cualquier matriz asociada a q es cuadrada de
orden 3). En este caso, se tiene un paso más: Si ∆1 > 0, ∆2 > 0, ∆3 = 0, la forma
es semidefinida positiva. Si ∆1 < 0, ∆2 > 0, ∆3 = 0, la forma es semidefinida
negativa.
Ejemplo 4.5. Clasifica la forma cuadrática del ejemplo anterior, w(x, y, z) =
2x2 + y 2 − 2xz − 3z 2 .
Solución. Puesto que obtuvimos la matriz respecto de la base canónica, si estudiamos sus menores diagonales encontramos que ∆1 = 2, ∆2 = 2, ∆3 = −7. Ası́ que
el método de los menores diagonales no decide. Si calculamos los autovalores, ob√
√
tenemos: 1, −2 − 11, −2 + 11. Por tanto el rango es tres y la signatura es
(2, 1). Ası́ la forma es indefinida y no degenerada.
4.4.
1
Producto escalar.
Si se observa la definición de producto escalar sobre un espacio vectorial V
dada en el tema 2, es fácil comprobar que todo producto escalar es una forma
bilineal simétrica cuya forma cuadrática asociada es real, definida positiva. La
matriz métrica de un producto escalar es pues una matriz real simétrica cuyos
menores diagonales son todos estrictamente positivos. El recı́proco es también
cierto: toda forma bilineal simétrica cuya matriz asociada en cualquier base tenga
todos los menores diagonales estrictamente positivos, es un producto escalar sobre
V , es decir, toda forma bilineal simétrica cuya forma cuadrática asociada sea real,
definida positiva es un producto escalar en V . De este modo, todo lo dicho para
estas formas, es válido para un producto escalar. La definición de ortogonalidad
es exactamente la de conjugación para estas formas. Ası́, se tiene que los métodos
para obtener una base de vectores conjugados son aplicables para obtener una base
ortogonal y dividiendo por la norma de cada vector obtenido se tiene una base
ortonormal. También para el subespacio ortogonal a un vector dado o comprobar si
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dos subespacios son ortogonales. Es fácil probar que, dado un conjunto de vectores
P , todos ellos no nulos, si cada uno es ortogonal con los demás entonces P es un
sistema libre. Se debe recordar el concepto de ángulo, norma y distancia dados a
partir de un producto escalar.
Ejemplo 4.6. En R3 se considera la forma bilineal definida por
x/y = 2x1 y1 −x1 y2 −x1 y3 −x2 y1 +x2 y2 −x3 y1 +2x3 y3 , x = (x1 , x2 , x3 ), y = (y1 , y2 , y3 ).
Comprueba que es un producto escalar y encuentra una base ortonormal. Para
el subespacio S =< (−1, 2, −1), (0, 3, 1) >, obtener el subespacio de los vectores
ortogonales a S. Obtener una base ortogonal de S. Obtener el ángulo y la distancia
entre los vectores dados para generar S.
Solución. Respecto de la base canónica, la matriz de “/” es:


2 −1 −1


A =  −1 1 0  .
−1 0 2
Que es real y simétrica. Los menores diagonales de A valen: 2, 1, 1 Por tanto la
forma cuadrática asociada es definida positiva. En consecuencia es un producto
escalar. Diagonalizando la matriz por transformaciones elementales se obtienen
las matrices P y D siguientes:


0 1 0


P =  1 1 0 ,
1 1 1


1 0 0


D =  0 1 0 .
0 0 1
Ası́, una base ortonormal es Bo = {(0, 1, 0), (1, 1, 0), (1, 1, 1)}. Nótese que con este
método la base que se obtiene habitualmente es una base ortogonal y para la base
ortonormal hay que dividir por la norma de los vectores, que es la raı́z cuadrada
de los elementos diagonales de la matriz diagonal. En este caso la matriz diagonal
es la identidad, lo que equivale a que los vectores de la base tienen ya norma uno,
es decir la base es ya ortonormal.
14
Un vector es ortogonal a S si y sólo si es ortogonal a cada uno de los vectores
de la base dada de S. Si S ⊥ denota el subespacio ortogonal de S, entonces:
S ⊥ = {(x, y, z) ∈ V : (x, y, z)/(−1, 2, −1) = 0, (x, y, z)/(0, 3, 1) = 0}.
Ası́ se tiene



 
 que cumplirsimultaneamente:
−1
2 −1 −1
0
2 −1 −1



 

(x, y, z)  −1 1 0   2  = 0 y (x, y, z)  −1 1 0   3  = 0.
−1
−1 0 2
1
−1 0 2
Se obtiene: S ⊥ = {(x, y, z) ∈ V : − 3x + 3y − z = 0, −4x + 3y + 2z = 0}.
Para obtener una base ortogonal de S, debemos encontrar dos vectores de S
que sean conjugados para “/”. Denotaremos e1 , e2 a esos vectores Fijamos uno de
ellos: e1 = (−1, 2, −1) y e2 = (0, 3, 1)−α(−1, 2, −1). (De ese modo aseguramos que
ambos vectores están en S). Determinando α para que e1 y e2 sean ortogonales,
serán también linealmente independientes y por tanto base. Ahora
e1 /e2 = 0 ⇔ (−1, 2, −1)/((0, 3, 1) − α(−1, 2, −1)) = 0 ⇔
(−1, 2, −1)/(0, 3, 1)
4
⇔α=
= .
(−1, 2, −1)/(−1, 2, −1) 5
Ası́ una base ortogonal de S es B = {−1, 2, −1), (4/5, 7/5, 9/5)}.
La distancia entre
vectores uµ= (−1, 2, −1)
¶ y v = (0, 3, 1) es |u − v| =
µ los ¶
u/v
8
= 40,29o
y el ángulo, arcos
= arcos √ √
|u||v|
10 11
4.5.
√
5
1
Ejercicios y Cuestiones
1. Muestra que toda matriz cuadrada real A ∈ Mn se puede poner como suma
de una matriz simétrica A1 y una matriz antisimétrica A2 , A1 , A2 ∈ Mn ,
y la descomposición es única. Deduce de ello que toda forma bilineal sobre
Rn se puede poner como suma de una forma bilineal simétrica y una forma
bilineal antisimétrica y la descomposición es única. (Sugerencia: Define A1 =
1/2(A + At ) y A2 = 1/2(A − At ) y comprueba que verifican lo que se pide)
15
2. Sea V un espacio vectorial de dimensión n sobre K y f, g aplicaciones lineales
de V en K, cuyas matrices respecto de una base B denotamos por M, N ∈
Mn,1 respectivamente. Comprueba que la aplicación h : V × V → K definida
por: h(x, y) = f (x)g(y) es una forma bilineal. Encuentra la matriz de h a
partir de las matrices de f y g. Indica alguna condición sobre f y g para que
h sea bilineal simétrica.
3. Considera la forma cuadrática q : R3 → R definida por q(x, y, z) = x2 − y 2 −
3z 2 + 2xz + 4yz. Encontrar la matriz respecto de la base canónica, encontrar
su núcleo y el conjugado de (1, 2, 0). Diagonalizarla y clasificarla.
4. Sea ω : R3 → R la forma cuadrática que en una cierta base B = {e1 , e2 , e3 }
tiene por matriz asociada


0 1 2


 1 0 −1 
2 −1 1
Sea B 0 = {u1 , u2 , u3 } otra base relacionada con la anterior por: e1 = −u1 −
u2 + u3 , e2 = 2u1 + 2u2 − u3 , e3 = 2u1 + u2 − u3 . Hallar la matriz A0 de ω
en la base B 0 . Obtener otra base en la cual la matriz de ω sea diagonal. Con
ella obtener rango, signatura y clasificación.
5. Sea ω : R3 → R la forma cuadrática real que tiene por ecuación (en la base
canónica):
ω(x, y, z) = αx2 + (α + β)y 2 + (1 + β)z 2 + 2αxy + 2βyz, α, β ∈ R.
Clasificar ω atendiendo al rango y la signatura, en función de α y β.
16
Índice general
4. Formas bilineales y cuadráticas.
1
4.1. Introducción. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2. Formas Bilineales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
2
4.3. Formas Cuadráticas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
4.4. Producto escalar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5. Ejercicios y Cuestiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
15
17