Teoría del consumidor Preferencias Preferencias Preferencias

Preferencias
• La Teoría del Consumidor parte del
supuesto de que los individuos tienen
preferencias (gustos) sobre los bienes
• Problema: las preferencias no son
observables. No obstante, podemos inferir
los gustos a partir de lo que los individuos
eligen
• Si eliges A cuando B también era posible,
debe ser que te gusta más A que B
Tema 6
Teoría del consumidor
2
Preferencias
Preferencias
• Llamamos X al conjunto de alternativas.
Elemento de X son x,y,..
• Una relación de preferencia R es una
relación binaria en X
• Leemos “xRy” como “x es al menos tan
preferido como y” (“débilmente preferida”)
• A partir de R podemos obtener otras dos
relaciones binarias
• Decimos que xPy (“x es estrictamente
mejor que y”) cuando xRy pero no es
cierto que yRx
• Decimos que xIy (“x es indiferente con y”)
cuando xRy y también yRx
• Vamos a exigir que R sea racional. Esto
requiere que sea completa y transitiva
3
4
Preferencias
Utilidad
• Decimos que R es completa si, para todo
x,y∈X, o bien xRy o bien yRx o bien
ambos
• Decimos que R es transitiva si para todo
x,y,z∈X: xRy e yRz implica xRz
• Ej. 1: xRy si x pesa al menos tanto como y
• Ej. 2: xRy si x pesa y mide al menos tanto
como y
• Una función u: X → R es una función de
utilidad que representa R si, para
cualquier x,y ∈ X :
xRy ⇔ u(x) ≥ u(y)
• Ejemplo: X = {x,y,z} y xRy, yRz, xRz
Podemos escribir u(x)=9, u(y)=4, u(z)=1
• Si u(x) representa R y f: R→R es una
transformación monótona creciente, v(x) =
f(u(x)) también representa R
5
Utilidad
6
Utilidad
• La utilidad es una medida ordinal, no
cardinal
• Un problema clásico es el de la
representación de las preferencias
• Es decir, ¿cuándo se pueden representar
unas preferencias R mediante una función
de utilidad?
• Que R sea racional es una condición
necesaria
7
• Es también suficiente sólo cuando X es
finito o contable (numerable)
• Ejemplo (clásico): supongamos xRy si o
bien x1 > y1, o bien x1 = y1 y x2 > y2
• Decimos que R es continua en X si para
todo x en X, los conjuntos de contorno
superior e inferior de x son cerrados
• El conjunto de contorno superior de x es
{y∈X: yRx}
8
Representación
Conjunto presupuestario
• Si una relación de preferencias R en
X⊆Rn+ es completa, transitiva y continua
entonces es representable mediante una
función de utilidad continua
• En general nos centraremos en el caso de
2 bienes
• Podemos pensar que uno de ellos es un
“bien compuesto”
• Supongamos que el consumidor tiene una
cantidad fija de dinero para gastar M
• Hay dos bienes, X e Y, cuyos precios son
pX y pY
• Las cestas que puede comprar cumplen:
pXx + pYy ≤ M
• Suponemos además que x ≥ 0 e y ≥ 0
9
Conjunto presupuestario
y
M
p
Y
10
Conjunto presupuestario
pX x + pY y ≤ M
• La pendiente de la recta presupuestaria es
-pX/pY
• Indica a cuánto de un bien debemos
renunciar si queremos más del otro
• Por ejemplo, si pX = 3 y pY = 1, si
queremos una unidad más de X debemos
renunciar a 3 unidades de Y
Recta presupuestaria
Conjunto presupuestario
x
M
pX
11
12
Aumento de un precio
Aumento de un precio
y
y
M
pY
M
pY
La recta presupuestaria
pivota hacia dentro
M
pX
x
M
pX
13
Aumento de la renta
x
14
Aumento de la renta
y
y
M
pY
M
pY
M
pX
x
15
La recta presupuestaria
se desplaza hacia fuera
(la pendiente no cambia)
M
pX
x
16
Conjunto presupuestario
Oferta de trabajo
• Si los dos precios aumentan en la misma
proporción es lo mismo que si la renta M
disminuye
• De hecho uno de los 3 parámetros (pX, pY
y M) es redundante
• Podemos hacer pX = 1. Entonces el bien X
es el bien numerario
• El tiempo también es una restricción
• Cuando estudiamos la oferta de trabajo el
tiempo es crucial
• Ofrecer trabajo significa que ese tiempo
no lo podremos usar para consumir bienes
• Lo que hacemos es comprar ocio
renunciando a trabajar. Es decir, el precio
del ocio es el salario que dejamos de
ganar por no trabajar
17
18
Curvas de indiferencia
Curvas de indiferencia
y
• Las curvas de nivel de la función de
utilidad son las curvas de indiferencia
• Cada CI representa combinaciones de
cestas entre las que el consumidor está
indiferente
• En general, curvas más alejadas del
origen representan cestas mejores
• Si u(X,Y) = XY, las cestas (10,10), (20,5) y
(5,20) están en la misma CI
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
x
0
19
0.2
0.4
0.6
0.8
1
20
Relación marginal de sustitución
Relación marginal de sustitución
• La pendiente de una curva de indiferencia
tiene la interpretación de la tasa a la que
el consumidor está dispuesto a
intercambiar un bien por otro
• Lo llamamos Relación Marginal de
Sustitución (RMS)
• Nos dice la cantidad de Y que está
dispuesto a perder por una unidad
adicional de X
• Para obtener la RMS partimos de la
ecuación de una CI de utilidad u0:
u(x, y) = u0
• Diferenciando,
dy
∂u
∂u
dy = 0 ⇒
dx +
dx
∂y
∂x
u =u 0
∂u
= − ∂x
∂u
∂y
21
22
Preferencias convexas
RMS, ejemplo
• Si u(X,Y) = XY, la RMS es –Y/X
• Calculamos la RMS en tres cestas
diferentes:
– RMS(5,20) = -4
– RMS(10,10) = -1
– RMS(20,5) = -1/4
• La tasa a la que está dispuesto a cambiar
X por Y depende de las cantidades que
tiene de X e Y
23
• Las preferencias son convexas si el
conjunto de contorno superior es convexo.
Esto implica que se prefieren las medias a
los extremos
• Supongamos que u(x1,y1) = u(x2,y2).
Cualquier punto en la línea que conecta
(x1,y1) y (x2,y2) es al menos tan bueno
como los extremos
24
Preferencias convexas
Preferencias convexas
y
y
1
1
0.8
0.8
0.6
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
x
0.2
0.4
0.6
0.8
x
1
0.2
0.4
0.6
0.8
1
25
Condición de primer orden
Maximización de la utilidad
• Max {x,y}u(x,y) s.a. pX x + pY y ≤ M
• Max
0=
26
0=
 M − pX x 

u  x,
pY


d  M − pX x  ∂u pX ∂u
 =
u  x,
−
dx 
∂
pY
x
pY ∂y

∂u
pX
dy
= ∂x = −
= RMS
pY ∂u
dx u =u0
∂y
d  M − pX x  ∂u pX ∂u
 =
u  x,
−
dx 
pY
∂
x
pY ∂y

Pendiente recta presupuestaria =
pendiente de la CI
27
28
Condición de primer orden
Ilustración gráfica
• Supongamos que pX/pY = 3, pero tenemos
una cesta en la que la RMS es 4
• No es la cesta óptima. Por 1 unidad más
de X estamos dispuestos a ceder 4 de Y
• Pero sólo tenemos que dar 3!!
y
M
pY
M
p X
29
Condición de segundo orden
• Para más adelante:
d2
 M − p X x  ∂ 2u p X ∂ 2u  p X
 =
−
+ 
0≥
u x,
pY
(dx)2 
 (∂x )2 pY ∂x∂y  pY
2
 ∂ 2u

 (∂y )2
x
30
Notación
 ∂u ∂u 
(u1, u 2 ) =  , 
 ∂x ∂y 
• Este es el gradiente, la dirección de
máximo crecimiento de u
• La CPO implica que el gradiente es
perpendicular a la recta presupuestaria
• Concavidad respecto de X
31
32
Problemas
Ejemplo Cobb-Douglas
• Cuando la utilidad no es diferenciable. Por
ejemplo, u(x, y) = min{x, y}
• Cuando la condición de tangencia no es
suficiente. Por ejemplo, con preferencias
que no son convexas (solución esquina)
• También puede ocurrir que el óptimo esté
en una esquina
u (x, y ) = x α y 1−α
∂u
pX
dy
∂x = αy .
=−
=
∂u
pY
dx u = u
(1 − α )x
0
∂y
x=
αM
pX
,
y=
(1 − α )M
pY
• La proporción de gasto en cada bien es
constante (α y 1- α, respectivamente)
33
Complementos perfectos
34
Complementos perfectos
• Si dos bienes son complementos
perfectos se consumen en proporciones
fijas
• La utilidad es u(x, y) = min{x, βy}
• El consumidor comprará de forma que x =
βy. Si x > βy, la cantidad extra de x no le
añade utilidad
• Podemos definir un “bien compuesto”
35
• Consiste en comprar la cantidad y de Y y
la cantidad βy de X
• El precio de este bien es βpX+pY y la
utilidad es u = M/(βpX+pY)
• Los complementos perfectos se pueden
ver como un único bien
36
Punto de saciedad
Punto de saciedad
y
• Si los dos únicos bienes son pizza y
cerveza, es muy probable que exista un
punto de saciedad
• Algo así como una combinación óptima,
por encima de la cual ya no queremos
consumir más
• También es razonable cuando hablamos
de cuestiones políticas
1
0.8
u=120
0.6
u=100
u=50
0.4
u=40
u=30
0.2
u=20
u=10
0
x
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
37
Efecto sustitución
38
y
• Supongamos que el precio de un bien
sube. ¿Compraremos menos de él?
• No necesariamente
• Pensemos en el ocio. Si sube el salario, el
coste del ocio aumenta
• Si el individuo se siente más rico, puede
elegir trabajar menos y tener más ocio
• También puede ocurrir con bienes de
subsistencia
39
Efecto sustitución
x
• La cantidad de Y puede aumentar cuando el
precio de Y aumenta
40
Sustitución
Efecto Sustitución
y
• Un aumento de un precio implica una
reducción del poder de compra (M tiene
ahora menos poder adquisitivo) más un
cambio en el precio relativo
• Los efectos sustitución y renta separan
estos dos efectos
• El ES aísla el efecto del cambio en el
precio relativo, cambiando la renta de
forma que el consumidor se mantenga en
la misma curva de indiferencia
Elección
inicial
x
41
Aumenta el precio de Y
42
ES mantiene la utilidad constante
y
y
Elección
inicial
Ahora no puede
alcanzar la misma CI
que en la elección
inicial. Para ello
necesitaría más renta
Elección
inicial
Demanda
compensada
pY ↑
pY ↑
x
x
43
44
Efecto sustitución (ejemplo)
Efecto sustitución (ejemplo)
• La función de utilidad es u(x, y) = xy
• Precios pX = 2, pY = 5. Renta M = 100
• El consumidor elige la cesta (25, 10) en la
que obtiene una utilidad de 250
• El precio de Y sube a p’Y = 6. Ya no puede
comprar la misma cesta (vemos que
2×25+6×10 = 110 > 100
• ¿Cuánto debería aumentar la renta para
que alcanzase la utilidad 250?
• La nueva renta la llamamos m’
• Sabemos que elegirá x = m’/4, y = m’/12
• Por tanto, obtendrá una utilidad igual a
(m’)2/48
• Igualando a 250, obtenemos m’ = 109.54
• Por lo tanto, la renta debe aumentar en
m’-m = 9.54
• Esta es la “compensación”
45
46
Efecto sustitución
Efecto renta
• El ES de un aumento en el precio de Y
siempre disminuye el consumo de Y y
aumenta el de X
• Todas las cestas del conjunto
presupuestario en las que la cantidad de Y
es mayor que en la elección inicial le dan
una utilidad menor
• Para niveles bajos de renta la mayoría de
los bienes son normales
• Cuando la renta es suficientemente alta, la
mayor parte de los bienes se convierten
en inferiores
• La curva que representa el conjunto de las
cestas óptimas para diferentes niveles de
renta es la curva de Engel
47
48
Efecto renta
X inferior, Y normal
• Bienes normales
y
y
x
x
49
Gasto en comida (USA)
50
Ejemplo: Cobb-Douglas
Año
Gasto en comida (%)
1935-39
35.4
1952
32.2
1963
25.2
1992
19.6
2000
16.3
• En el caso Cobb-Douglas, las cestas
óptimas son x = αM/pX, y = (1-α)M/pY
• Por tanto, la curva de Engel es una recta
con pendiente (1-α)pX/αpY
• En general, se dice que un individuo tiene
preferencias homotéticas, si la curva de
Engel es una línea recta
51
52
Efecto renta
Descomposición en ES y ER
y
• Hemos visto que el ES nos permite
descomponer el efecto de un cambio en
un precio en un ES y un ER
• En la figura siguiente vemos cuál es el ER
x
53
54
Descomposición en ES y ER
Descomposición en ES y ER
y
y
Efecto
sustitución
Efecto
sustitución
Efecto
renta
x
x
55
56
Soluciones esquina
Descomposición en ES y ER
y
• En ocasiones el óptimo puede estar en
una de las esquinas del conjunto
presupuestario
• Por ejemplo, si en el óptimo x* = 0, se
cumple que |RMS| < pX/pY
• El consumidor querría reducir el consumo
de x, pero no puede (ya es 0)
Efecto
sustitución
ES
ET
ER
Efecto
renta
x
57
Ejemplo: preferencias
cuasilineales
58
Preferencias cuasilineales
• Si la función de utilidad tiene la forma
u(x,y) = v(x)+αy, con v() cóncava, decimos
que el individuo tiene preferencias cuasilineales
• Las curvas de indiferencia son paralelas
(no necesariamente rectas) entre sí
• Por ejemplo, estudiamos el caso en el que
u(x,y) = ln(x)+ αy
59
• Usamos la restricción presupuestaria
para eliminar y
• Tenemos:
 m − pX x 

ln( x ) + α 
pY


• La condición de primer orden es:
p
1
− α X ≤ 0 (= 0 si x* > 0)
x*
pY
60
Preferencias cuasilineales
Oferta de trabajo
• El óptimo interior es:
x* = pY/αpX; y* = (M/pY)-(1/α)
• Para que el óptimo sea interior se debe
cumplir que M > pY/α
• Si, por el contrario, M < pY/α, el óptimo es:
x* = M/pX; y* = 0
• Cuando M es pequeña, sólo consume X.
A partir de cierto valor (pY/α), consume de
ambos (pero su consumo de X es fijo)
• Trabajar más horas permite consumir más
bienes, pero reduce el tiempo de ocio
• Llamamos x al consumo, L es el tiempo de
ocio, T-L el tiempo de trabajo y M la renta
no laboral
• La restricción es px = M+w(T-L), donde p
es el precio del consumo y w el salario
• O también px+wL = M+wT
61
Restricción presupuestaria
x
62
Restricción presupuestaria
x
M/p+wT/p
M/p+wT/p
La pendiente
es –w/p
M/p
M/p
T
L
T
63
L
64
Oferta de trabajo
Oferta de trabajo
• La utilidad del individuo es u(x, L).
Sustituyendo x podemos escribir:
• Estudiamos el efecto en L* de un
aumento del salario
• Diferenciando la CPO, obtenemos:
 M + w(T − L) 
Max h( L) = u
, L 
0≤ L ≤T
p


• La condición de primer orden es:
∂L *
=
∂w
 w
0 = h′( L*) = −u1   + u2
 p
• Las derivadas parciales se evalúan en el
óptimo
(T − L )
T −L
u1
w
+
− u 12
u 11
p
p
p
p
2
w 
w 
u 11   − 2 u 12   + u 22
 p 
 p 
• El signo depende del numerador (den < 0)
65
66
Oferta de trabajo
Oferta de trabajo
• En concreto, ∂L*/∂w > 0, si y sólo si:
• Dado que:
u1 w
T −L
(T − L )
+ u 11
− u 12
<0
p
p
p
p
• Simplificando esta expresión:
• Y que:
w 
−   u 11 + u 12
p
>1
(T − L )  
u1
∂ Log (u 1 )
=
∂L
−
−
w
u 11 + u 12
p
u1
∂Log (T − L)
1
=
∂L
T −L
• Podemos escribir la condición:
67
68
Oferta de trabajo
Oferta de trabajo
∂Log(u1)
1
∂Log(T − L)
>
=−
∂L
T −L
∂L
• En palabras, la condición dice que u1(T-L)
debe ser creciente con L
• La cantidad óptima de ocio aumenta (y por
lo tanto la cantidad de trabajo se reduce)
cuando sube el salario si la utilidad
marginal del consumo, multiplicada por las
horas trabajadas, es creciente con L
• Si el consumo y el ocio son sustitutos,
esto no puede ocurrir
• O simplemente:
∂Log (u1 ) ∂Log (T − L )
+
>0
∂L
∂L
• En total, la condición queda:
∂ Log (u1 (T − L ))
>0
∂L
69
70
Oferta de trabajo
Oferta de trabajo
• La razón es que, si son sustitutos, un
aumento de L reduce la utilidad marginal
del consumo
• Por tanto, si el consumo y el ocio son
sustitutos, un aumento del salario reducirá
la cantidad de ocio y aumentará la oferta
de trabajo
• ¿Y si son complementarios?
• Supongamos que u(x, L) = Min{x, L}
• En este caso vemos que:
L* = (M+wT)/(p+w)
• Por tanto, el ocio crece con el salario
siempre que pT > M (si M es pequeño)
• En el caso Cobb-Douglas, u(x, L) = xαL1- α
• Vemos que:
L* = (1-α)(T+M/w)
71
72
Horas anuales trabajadas
Oferta de trabajo
France
Germany
Spain
2500
• Es una función decreciente del salario
• La cantidad óptima de trabajo es:
T-L = Max{0, αT-(1- α)(M/w)}
• Es decir, sólo trabaja si la renta no laboral
M es suficientemente pequeña
• En concreto, si M > (α/(1- α))(Tw),
prefiere no trabajar en absoluto
2000
1500
1000
500
20
09
20
07
20
05
20
03
20
01
19
99
19
97
19
95
19
93
19
91
19
89
19
87
19
85
19
83
19
81
19
79
19
77
19
75
19
73
19
71
0
73
74
Diferencias compensatorias
Diferencias compensatorias
• Las diferencias compensatorias se
refieren a las diferencias salariales
debidas a ciertas características de los
empleos
• Los trabajos difieren en muchos aspectos:
duración de la jornada, riesgos físicos, el
entorno del trabajo, etc.
• La teoría de las DC parte de la premisa de
que no hay nada gratis (“no free lunch”)
• En un equilibrio de mercado, los trabajos
más desagradables deben ofrecer una
prima salarial en relación a otros trabajos
• Supongamos que la utilidad de un
trabajador depende del salario w y de
cierta característica del empleo, por
ejemplo la seguridad en su trabajo s
• Imaginemos que hay 2 trabajos A y B, con
diferentes características
75
76
Diferencias compensatorias
Diferencias compensatorias
• En el equilibrio, se debe cumplir:
• Los salarios astronómicos que ganan
algunos deportistas no se deben a DC
• Son pagos que reflejan la rareza del
talento
• Los mismo ocurre con los artistas. El
precio de los cuadros de Picasso refleja la
escasez de los mismos respecto a la
demanda
u(wA, sA) = u(wB, sB)
• ¿Por qué?
• ¿Qué ocurriría si no es así?
• Si sA > sB, entonces wA < wB
77
Precio de la vivienda
78
Precio de la vivienda
• Los precios de la vivienda reflejan las
valoraciones de diferentes aspectos
• Para mucha gente es mejor vivir en el
centro, cerca de su trabajo, que en las
afueras. Vemos un modelo
• El bien cuya oferta está limitada en la
ciudad no es la vivienda, sino el suelo
• Los costes de construcción son muy
similares en diferentes ciudades
• La diferencia está en el precio del suelo
• Es decir, la diferencia de precio entre el
centro de Madrid y las afueras se debe a
la diferencia en los precios del suelo
• Imaginemos una ciudad plana en la que
todos trabajan en (0,0), el centro
• Los costes de llegar al centro, en tiempo,
son c(t), donde t = λr y r es la distancia al
centro (λ es
79
80
Precio de la vivienda
Precio de la vivienda
• Si una persona paga por su vivienda un
precio p(r) a la distancia r, en total pagará
por la combinación de vivienda y
transporte:
c(λr)+p(r)
• Todos tratarán de buscar la alternativa
menos costosa
• Si todos tienen idénticas preferencias, los
precios de las casas dependerán de r
• Estarán determinados por la ecuación:
c(λr)+p(r) = constante
• Los individuos estarán indiferentes
respecto a la distancia: un menor tiempo
de llegar al centro se compensa exactamente con un mayor precio
• Vemos cuál es la constante. La población
total es N y cada individuo ocupa un área
unitaria
81
Precio de la vivienda
82
Precio de la vivienda
• El tamaño de la ciudad rmax debe cumplir
N = π(rmax)2
N
• Por lo tanto: rmax = π
• En los límites de la ciudad, el precio de la
tierra viene dado por otro uso diferente de
la construcción, por ejemplo por la
agricultura
• Supongamos que ese precio es v por el
tamaño de una vivienda
83
• Por lo tanto, en el límite de la ciudad se
debe cumplir que p(rmax) = v
• Con esto obtenemos todos los precios:
c(λr ) + p(r ) = c(λrmax ) + p(rmax ) =
 N
+v
= c(λrmax ) + v = c  λ

π


• De ahí obtenemos:

N
 + v − c (λ r )
p (r ) = c  λ

π


84
Precio de la vivienda
Precio de la vivienda
• Los precios son mayores cuanto más
cerca del centro
• El precio más caro es p(0). El más barato
es p(rmax)
• También aumentan con N y con v
• En equilibrio no hay “chollos”. Los precios
reflejan las características del bien que
interesan a los consumidores (la distancia
al centro)
85
Elección intertemporal
86
RMS intertemporal
• El consumo tiene lugar en diferentes
momentos de tiempo
• Llamamos x1 al consumo en el periodo 1 y
x2 al consumo en el periodo 2
• Podemos pensar en 2 años o en dos
periodos más largos, como vida laboral y
retiro
• El valor del consumo es:
u(x1, x2) = v(x1) + δv(x2)
87
• El parámetro δ es la tasa individual de
descuento
• La RMS entre x1 y x2 nos dice a qué tasa
está dispuesto el consumidor a cambiar
consumo entre periodos
• En particular:
RMS =
− v ′ ( x1 )
δ v ′(x 2 )
88
RMS intertemporal
Restricción intertemporal
• La RMS nos dice a cuántas unidades de
consumo futuro está dispuesto a renunciar
por una unidad más de consumo hoy
• Por ejemplo, si x1 = x2 la RMS es -1/δ
• Si δ = 0.5, quiere decir que está dispuesto
a renunciar a 2 unidades de consumo
mañana por una unidad más hoy
• Normalmente, δ < 1
• El consumidor espera ganar M1 en el
primer periodo y M2 en el segundo
• La restricción presupuestaria es:
(1+r)(M1-x1) = x2 - M2
• El término (M1-x1) representa lo que
ahorra el primer periodo
• Aquí r es el tipo de interés. También:
(1+r)x1 + x2 = (1+r)M1 + M2
89
Restricción intertemporal
90
Restricción intertemporal
x2
• Esta restricción se llama restricción
presupuestaria intertemporal
• Vemos que el precio del consumo en el
periodo 2 en términos del consumo en el
periodo 1 es (1+r)
• La renta relevante es la “renta
permanente”, no la renta de cada periodo
• La renta permanente es (1+r)M1 + M2
M2+(1+r)M1
(M1,M2)
M1+M2/(1+r)
91
x1
92
Restricción intertemporal
Restricción intertemporal
x2
x2
M2+(1+r)M1
Ahorra
La pendiente de la
RP es –(1+r)
(M1,M2)
(M1,M2)
Pide prestado
(desahorra)
M1+M2/(1+r)
x1
93
x1
94
Elección intertemporal
Elección intertemporal
• La CPO en el óptimo interior es:
v ′ ( x1 )
= (1 + r )
δ v ′( x 2 )
• El parámetro δ mide lo que el consumidor
valora el futuro
• El término 1/(1+r) indica lo que el mercado
valora el futuro
• Si δ < 1/(1+r), valora el consumo en el
periodo 1 más de lo que lo hace el mercado
• Entonces, v’(x1) < v’(x2) por lo que x1 > x2
• Decimos que el consumidor es más
“impaciente” que el mercado
• Si δ(1+r) = 1, consume lo mismo en los
dos periodos
• Si δ(1+r) > 1, es que valora el consumo en
el periodo 1 menos que el mercado, por lo
que querrá consumir más en el periodo 2
95
96
Elección intertemporal
Optimización intertemporal
• El que un individuo sea ahorrador o pida
prestado no depende sólo de sus
preferencias, también depende de sus
ingresos
• Por ejemplo, si sus ingresos son mucho
mayores en el segundo periodo es posible
que su ahorro en el periodo 1 sea
negativo
x2
(M1,M2)
Devolución
del préstamo
En el periodo 1
pide prestado
x1
97
Aumento del tipo de interés
98
Aumento del tipo de interés
x2
• Si el tipo de interés aumenta, la recta
pivota alrededor del punto (M1, M2)
• La razón es que ese punto siempre es
factible
• El efecto dependerá de si el individuo es
un prestamista o un prestatario
• En la figura vemos un prestatario que
decide pedir prestado menos dinero
(M1,M2)
99
x1 100
Aumento del tipo de interés
Aumento del tipo de interés
La renta del prestamista aumenta
• No está claro el efecto en el consumo del
periodo 2
• Por un lado tiene menos renta, pero por
otro lado el precio relativo del consumo en
el periodo 2 ha bajado
• Un aumento del tipo de interés es positivo
para los prestamistas netos. Consumirá
más en el periodo 2. ¿Y en el periodo 1?
x2
(M1,M2)
x1
101
102
Efecto de un aumento
transitorio de la renta
Diferentes tipos de interés
x2
• Ahora un aumento transitorio de la renta
puede tener un efecto importante en el
consumo
• Esto explica por qué los individuos no
ahorran mucho cuando reciben una
cantidad inesperada de dinero, o por qué
sufren una gran pérdida puntual en lugar
de una pérdida pequeño durante un
periodo largo, cuando les surgen gastos
inesperados
La pendiente es -(1+r2)
(M1,M2)
Aquí es -(1+r1)
x1
103
104
Propensión a consumir del 100%
x2
Decisión con
incertidumbre
(M1,M2)
x1
105
Estadística básica
Estadística básica
• Sea x una variable aleatoria que toma los
valores x1, x2,.., xn con probabilidades p1,
p2,.., pn
• Si las alternativas son exhaustivas y
mutuamente excluyentes:
p1+p2+..+pn = 1
• Definimos la media de x (o el valor
esperado) como:
E(x) = p1x1+p2x2+…+pnxn
• La media nos da información sobre el valor
central de la variable aleatoria
• La varianza de x nos mide la dispersión
de la variable alrededor de la media:
Var(x) = p1(x1-E(x))2+…+pn(xn-E(x))2
• En la práctica se usa más la desviación
estándar, que es la raíz cuadrada de la
varianza
107
108
Decisión con incertidumbre
Decisión con incertidumbre
• Ahora los individuos deben elegir entre
diferentes alternativas con incertidumbre
(“loterías”)
• Ejemplo de lotería: lanzamos una moneda al aire. Si sale cara ganas 100 euros.
Si sale cruz no ganas nada
• Cada lotería es una distribución de probabilidad sobre cantidades de dinero
• En ausencia de incertidumbre todos
preferimos más dinero
• Si x representa cantidades de dinero,
cualquiera de las funciones siguientes es
equivalente en términos de cómo ordenan
nuestras preferencias:
– U(x) = a+bx, con b > 0
– U(x) = Exp(x)
– U(x) = x3
109
110
Decisión con incertidumbre
Decisión con incertidumbre
• No obstante, nosotros queremos algo más
• Queremos ordenar también las loterías
• Por ejemplo, considera las siguientes
loterías:
• En concreto, prueban que bajo ciertas
condiciones existe una forma de asignar
números a cada posible resultado de
forma que podemos comparar las loterías,
comparando la “utilidad esperada”
• Esto es, a partir de U(100) = U100, U(70) =
U70, U(30) = U30, U(0) = U0, la utilidad de
L1 es ½U100 + ½U0 y la utilidad de L2 es
½U70 + ½ U30
– L1: Con ½ ganas 100 euros, con ½ ganas 0
– L2: Con ½ ganas 70 euros, con ½ ganas 30
• Von Neumann y Morgestern propusieron
una forma de ordenar estas loterías
111
112
Decisión con incertidumbre
Decisión con incertidumbre
• Es decir, bajo ciertas condiciones, existe
una función de utilidad sobre las cantidades de dinero que podemos usar tanto
para comparar cantidades de dinero (esta
parte es trivial) como loterías sobre cantidades de dinero (esto ya no lo es)
• Este procedimiento es muy útil
• En general, supongamos que los posibles
resultados son x1, x2, .., xn y sus
probabilidades respectivas son p1, p2, ..,
pn
• La utilidad (esperada) es:
E{U ( x )} = p1U ( x1 ) + p2U ( x2 ) + ... + pnU ( xn ) =
n
= ∑ piU ( xi )
i =1
113
Decisión con incertidumbre
114
Decisión con incertidumbre
• Volviendo a las loterías L1 y L2, ¿cuál
prefieres?
• Tu preferencia dice algo sobre tu función
de utilidad esperada
• Obviamente, U’(x) > 0, ¿no?
• Supongamos además que es lineal, es
decir, U(x) = a+bx, con b > 0
• Entonces U(0) = a, U(30) = a+30b, U(70)
= a+70b y U(100) = a+100b
• Entonces resulta que:
½U(30)+½U(70) = ½U(0)+½U(100)
• Si la utilidad es lineal, las loterías con
igual valor esperado son indiferentes entre
sí
• Si, como es habitual, L2 es mejor que L1,
la función de utilidad esperada debe ser
cóncava
• Esto se llama aversión al riesgo
115
116
Aversión al riesgo
Aversión al riesgo
U
U(p1x1+p2x2)
• Hablamos de aversión al riesgo si:
U ( p1 x1 + p 2 x 2 ) ≥ p1U ( x1 ) + p 2U ( x 2 )
p1U(x1)+p2U(x2)
• Por ejemplo, prefieres 50 euros a otra
alternativa en la que ganas 100 si una
moneda sale cara y 0 si sale cruz
• Aversión al riesgo implica que la función U
es cóncava (segunda derivada < 0)
x1 EC
p1x1+p2x2
117
Aversión al riesgo
x2
x
118
Definiciones
• En general, suponemos que a las
personas no les gusta el riesgo
• Otra forma de ver la aversión al riesgo es
la siguiente
• Si un individuo es averso al riesgo,
entonces, para todo x:
U(x) ≥ EU(x+∈), donde E(∈) = 0
• Por ejemplo, 100 euros frente a una
lotería que paga 105 o 95 (ambos con ½)
119
• El equivalente cierto (EC) es la cantidad
de dinero que el individuo valora igual que
la alternativa incierta: E{U(x)} = U(EC)
• La prima de riesgo (PM) es el valor
esperado de la alternativa menos el EC
• La prima del riesgo es el coste monetario
del riesgo. Es lo que pagaría el individuo
por evitar el riesgo
120
Definiciones
Transformaciones permisibles
• Por ejemplo, ¿cuál es para ti el EC de una
lotería que te da 100 euros con ½ y 0
euros con ½?
• Supongamos que es 30 euros. Sería 50
euros si no te preocupa el riesgo
• Si tu EC es 30 euros, la prima del riesgo
es 50-30 = 20 euros
• Una función de utilidad esperada no es
invariante frente a una transformación
arbitraria
• Si tu función de UE es U(x) = αx entonces
tú eres “neutral” frente al riesgo y sólo te
preocupa el valor esperado
• Si mi función de UE es V(x) = {U(x)}1/2, mi
función es cóncava
121
Transformaciones permisibles
122
Transformaciones permisibles
• Yo tengo aversión al riesgo
• Pero entonces tú y yo no evaluamos las
loterías de la misma forma
• Las funciones de UE sólo son invariantes
frente a transformaciones lineales
• Si tu función es U(x) y la mía es V(x) =
a+bU(x) con b > 0, entonces ambos
ordenamos las loterías igual
123
• Esto nos permite re-escalar la función de
forma que asignamos al peor resultado
utilidad 0 y al mejor utilidad 1
• Si el peor resultado es -1,000 euros y el
mejor resultado es +25,000 euros y
tenemos U(-1000) = u0, U(25000) = u1,
podemos re-escalar a V(x) = a+bU(x), con
b = 1/(u1-u0) y a = u0/(u1-u0)
124
Tu función de utilidad esperada
• Supongamos que el peor resultado
posible es -100 y el mejor es +1,000
• Queremos asignar números a todos los
valores entre -100 y 1,000
• Empezamos por asignar U(-100) = 0 y
U(1000) = 1
• Para cualquier valor intermedio, contesta
a la pregunta siguiente:
Tu función de utilidad esperada
Si tuvieras la opción de elegir entre 250
euros seguros y una lotería que da +1,000
euros con probabilidad p o -100 euros con
probabilidad (1-p), ¿para que valor de p
estarías indiferente entre ambas
opciones?
125
Tu función de utilidad esperada
• Le llamamos p250. ¿Es mayor que .318?
• Obviamente, 0 < p250 < 1
• Podemos asignar a la cantidad 250 ese
valor, es decir, U(250) = p250. ¿Por qué?
• Por la definición de p250, tenemos:
p250U(1,000)+(1- p250)U(0) = U(250)
• Como U(-100) = 0, U(1000) = 1, tenemos
que U(250) = p250
127
126
Precio de una acción
• Tienes 20 euros en el bolsillo y también
una acción de una empresa
• Mañana esa acción puede valer 16 euros
u 80 euros (ambas con ½)
• ¿Cuál es el precio mínimo al que estarías
dispuesto a vender la acción?
• La utilidad esperada si no vendes es:
½U(36)+½U(80)
128
Precio de una acción
Seguros
• La utilidad esperada si vendes al precio p
es U(20+p)
• Querrás vender siempre que:
U(20+p) ¥ ½U(36)+½U(80)
• El precio mínimo p* cumple:
U(20+p*) = ½U(36)+½U(80)
• Si U(x) = x½, p* = 44 euros
• Sólo vende si p ¥ 44
• Probamos que un averso al riesgo, si
puede comprar un seguro actuarialmente
justo, elegirá asegurarse completamente
• Supongamos que tienes 30,000 euros
pero con una probabilidad p puedes
perder 10,000 euros
• Sin seguro, tu utilidad esperada es:
(1- p)U(30,000)+pU(20,000)
• Sabemos que U’ > 0 y U’’ < 0
129
Seguros
130
Seguros
• Esto implica que π = p
• Si compras C euros de cobertura tu UE
es:
Φ(C) = (1-p)U(30,000-πC)+
+pU(20,000-πC+C)
• La CPO (comprobar la CSO) es:
Φ’(C) = -π(1-p)U’(30,000-πC)+
+(1- π)pU’(20,000+(1- π)C) = 0
• Una póliza de seguros te da 1 euro de
cobertura si pagas una prima π
• Es decir, si pagas π euros de prima, en
caso de accidente la compañía te paga 1
euro y nada en otro caso
• El valor esperado de la póliza para la
compañía es (1-p)π + p(π-1)
• Cuando esto es cero, se dice que el
seguro es actuarialmente justo
131
132
Seguros
Seguros
• Comprobamos que nunca puede ocurrir
C* = 0
• La CPO quedaría (dado que π = p):
Φ’(0) = -π(1- π)U’(30,000)+
+(1- π)πU’(20,000) = 0
• Es decir (1- π)π[U’(20,000)-U’(30,000)] = 0
• Esto es imposible ya que U es cóncava
• Dado que π = p:
-p(1-p)U’(30,000-pC)+
+(1- p)pU’(20,000+(1- p)C) = 0
• O también:
U’(30,000-pC) = U’(20,000+(1- p)C)
• Como U’’ < 0:
30,000-pC = 20,000+(1- p)C
133
134
Seguros
Defraudar
• Pero entonces C = 10,000
• Variantes: Si tienes que pagar una tasa
de F euros, pero aún π = p, puedes probar
que si se asegura, se asegura por
completo. No obstante, puede que no se
asegure (si F es suficientemente grande)
• Si π > p, el individuo no se asegura
completamente
• Un contribuyente tiene una renta y. El tipo
marginal del impuesto es t (0 < t < 1)
• Debe elegir la renta x que declara, con lo
que paga tx
• Ser honrado significa x = y
• No ser honrado significa 0 ≤ x < y
• Llamamos z = y-x a la renta que oculta
• La AT revisa la declaración con
probabilidad p (independiente de x)
135
136
Defraudar
Defraudar
• Su objetivo es elegir z ∈ [0, y] para:
Max U(z) = (1-p)U(y(1-t)+tz)+
+pU(y(1-t)-θz)
• La primera derivada es:
U’(z) = t(1-p)U’(y(1-t)+tz)-θpU’(y(1-t)-θz)
• Evaluando en z = 0:
U’(0) = [t(1-p)-θp]U’(y(1-t))
• Si le revisan y ha defraudado le pillan
• Debe pagar lo que ocultó mas una multa
θz
• Con probabilidad p su renta es:
y-tx-θz-tz = y(1-t)-θz
• Con 1-p su renta es:
y-tx = y(1-t)+tz
• Maximiza la utilidad esperada
137
Defraudar
Búsqueda (“search”)
• Vemos que para que U’(0) > 0 debe
ocurrir que:
t >
138
• En el mundo real encontramos una gran
variación de precios de los productos
• Pero entonces, esto significa que los
consumidores podrían ganar si buscan el
mejor precio
• La teoría de búsqueda parte de la idea de
que el precio es, desde el punto de vista
del consumidor, una variable aleatoria
p
θ
1− p
• Esta condición garantiza que z* > 0. Es
decir, que decide defraudar
• También obtenemos ∂z*/∂p < 0 y que
∂z*/∂θ < 0. El signo de ∂z*/∂t es ambiguo
139
140
Búsqueda (“search”)
Búsqueda
• Supongamos que la función de densidad
del precio es f(p)
• El coste de obtener información de un
precio (visitar una tienda) es c
• El individuo usa un precio de reserva.
Comprará si p ≤ p*
• Coste esperado (fórmula recursiva):
p*
∞
0
p*
• Obtener información de un precio cuesta c
y puede resultar en un precio menor que
p*
• El segundo término es el valor medio del
precio, dado que es menor que p*
• El tercer término es el valor de
continuación, en términos esperados
J ( p*) = c + ∫ pf ( p)dp + ∫ J ( p*)f ( p)dp
141
Coste esperado de comprar
J ( p*) =
∫
p*
0
Solución
pf ( p)dp + c
F ( p*)
• CPO: J ′( p*) = p * f ( p*) −
F ( p*)
p*
f ( p*)
∫0
142
• La solución es J(p*)=p*
• Consiste en fijar un precio de reserva igual
al coste total esperado de comprar el bien
• La regla es comprar siempre que
encontremos un precio por debajo de
dicho precio de reserva
• No tiene sentido esperar por un precio
menor de lo que esperamos pagar en
promedio
pf ( p )dp + c
F ( p*) 2
p*

pf ( p)dp + c  f ( p*)
f ( p*) 
∫
0
=
p*−
 = F ( p*) (p * −J ( p*))
F ( p*) 
F ( p*)



143
144
Ejemplo
Ejemplo
• Si el precio p sigue una distribución
uniforme en el intervalo [a,b], obtenemos:
1
c(b − a)
J(p*) = (p * +a) +
2
p * −a
• Aplicando la CPO, obtenemos:
• Cuando el coste es muy bajo sólo
compramos si el precio está cerca del
mínimo
• Sea a = 200, b = 500 y c = 20
• Calculamos p* = 309.5 euros
• Si el coste sube a c’ = 40 euros, entonces
p* = 355 euros
p* = a + 2c (b − a)
• A medida que c → 0, p* → a
145
146
Ejemplo
Equilibrio general
• Además, p* < b siempre que 2c < (b-a)
• Según esto, si lo más que podemos
ahorrar buscando otro precio es menos
que el doble del coste, no merece la pena
buscar más precios
• Lo óptimo es comprar ya
• Cuanto menor es la dispersión, menor es
el precio de reserva
• Los individuos poseen unas dotaciones
iniciales de los bienes
• Van al mercado donde observan precios,
intercambian bienes a esos precios para
maximizar su utilidad
• Un equilibrio es un vector de precios
(uno para cada bien) y una asignación tal
que todos los mercados se vacían
147
148
Equilibrio general
Economías de Edgeworth
• Los mercados se vacían cuando en cada
uno de ellos la oferta es igual a la
demanda
• Cuestiones:
•
•
•
•
•
– ¿Es algo bueno el equilibrio?
– ¿Existe?
– ¿Es único?
– ¿Puede ocurrir? ¿Cómo se determina?
Dos individuos (1 y 2) y dos bienes (X e Y)
Cesta del 1: (x1, y1)
Cesta del 2: (x2, y2)
Dotaciones iniciales: (̅x1, ̅y1) y (̅x2, ̅y2)
Una asignación {(x1, y1), (x2, y2)} es
factible si se cumple:
– x1+x2 ≤ x
̅ 1+ ̅x2 = ̅x
– y1+y2 ≤ y
̅ 1+ ̅y2 = ̅y
149
150
Economías de Edgeworth
Caja de Edgeworth
• Además vamos a suponer que no se
desperdician los bienes. Es decir:
• Las dotaciones iniciales determinan el
tamaño de la caja:
– x1+x2 = x
̅ 1+ ̅x2 = ̅x
̅ 1+ ̅y2 = ̅y
– y1+y2 = y
2
y2
• Entonces las asignaciones se pueden
representar en una caja, llamada caja de
Edgeworth
y1
151
1
152
x1
x2
Preferencias
Eficiencia de Pareto
2
2
u1
u1
2
1
153
Curva de contrato
1
154
Ejemplo
2
• Los dos individuos tienen preferencias
Cobb-Douglas y la cantidad total de cada
bien es 1. Por tanto, x2 = 1 – x1
• Las funciones de utilidad son u1 = xαy1-α,
u2 = (1-x)β(1-y)1-β
• Las asignaciones PE cumplen:
∂u1
∂ u2
αy
∂
x
∂x = β(1 − y )
=
=
∂
u
∂
u
(1 − α ) x
(1 − β)(1 − x )
1
2
∂y
∂y
1
155
156
Ejemplo
Curva de contrato, caso CD
1
• Podemos resolver para y:
0.8
y=
(1 − α ) β x
=
(1 − β )α + ( β − α ) x
x
 (1 − β )α 
x+
(1 − x )
 (1 − α ) β 
0.6
0.4
• Sólo depende del parámetro ( 1 − β ) α
( 1 − α )β
0.2
0
0
157
0.2
0.4
0.6
0.8
1
158
Asignaciones eficientes e
individualmente racionales
Dotaciones iniciales
2
• Las dotaciones iniciales representan las
combinaciones de bienes que los
individuos poseen inicialmente
• Es un punto en la caja
• Las curvas de indiferencia que pasan por
las dotaciones iniciales representan un
nivel mínimo de utilidad que los individuos
se pueden garantizar (no comerciando)
159
1
160
Existencia de equilibrio
Equilibrio general
2
1
• n bienes, I individuos, preferencias
convexas
• Primer teorema del bienestar: el equilibrio
competitivo es Pareto eficiente
• Segundo teorema del bienestar: toda
asignación eficiente es un equilibrio
competitivo para unas dotaciones iniciales
apropiadas
• Existe un equilibrio competitivo
161
162