Transferencia de Materia

Transferencia de Materia
Transferencia de Materia
1 Semestre 2011
Alonso Jaques
Introducción a
Difusión
Transferencia de Materia
El transporte de materia puede ocurrir por los
mecanismos de:
• Difusión Molecular.
• Difusión Turbulenta (Eddy).
Ambos mecanismos pueden combinarse entre si,
además de incluir el termino de flujo total..
𝑀𝑜𝑙𝑒𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟
𝑇𝑢𝑟𝑏𝑢𝑙𝑒𝑛𝑡𝑜
𝑁𝑖 = 𝐽𝑖
+ 𝐽𝑖
+ 𝑥𝑖 𝑁
El transporte de materia ocurre en presencia de fuerzas
impulsora, como gradientes de concentración, presión,
temperatura entre otros.
Difusión Molecular
Se nota que la transferencia de por difusión molecular
sigue:
1. Transferencia de Materia por difusión in mezclas
binarias ocurre por causa de un gradiente de
concentración.
2. La transferencia de materia es proporcional al area
transversal a la dirección de transferencia de
materia.
3. La transferencia de materia ocurre hasta la
concentración se vuelve homogénea.
Esto permitió hacer una analogía entra la transferencia
de calor y transferencia de materia.
Difusión Molecular: Ley de Fick
Adolf Eugen Fick (1829-1901)
Esta analogía permitió formular
expresiones para el flujo de
materia (ley de Fick).
𝑑𝑐𝐴
𝐽𝐴,𝑧 = −𝐷𝐴𝐵
𝑑𝑧
𝑑𝑐𝐵
𝐽𝐵,𝑧 = −𝐷𝐵𝐴
𝑑𝑧
El parámetro 𝐷𝐴𝐵 corresponde a la
difusividad de la especie A en B.
𝐿2
𝐷𝐵𝐴 =
𝑇
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/c7/Josia
h_Willard_Gibbs_-from_MMS-.jpg
Difusión Molecular: Ley de Fick
Considerando algunas simplificaciones es posible
expresar el flujo de materia como:
𝑑𝑥𝐴
• 𝐽𝐴 = −𝑐𝐷𝐴𝐵
𝑑𝑧
𝑑𝑤𝐴
−𝜌𝐷𝐴𝐵
𝑑𝑧
• 𝐽𝐴 =
La velocidad de transporte del flujo neto se puede
combinar con el termino difusivo para dar:
𝑑𝑥𝐴
𝑁𝐴 = 𝑥𝑖 𝑁 − 𝑐𝐷𝐴𝐵
𝑑𝑧
Dos casos de interés se pueden desarrollar: Difusión
Equimolar (Equimolar Diffusion, EMD); Difusión
Unimolecular (Unimolecular Diffusion, UMD)
Difusión Molecular: EMD
Considerando que el flujo de las distintas especies:
𝑁 = 𝑁𝐴 + 𝑁𝐵
Combinando las expresiones anteriores se obtiene:
𝑑𝑥𝐴
𝑁𝐴 = −𝑐𝐷𝐴𝐵
𝑑𝑧
Considerando parámetros
invariantes:
𝑐𝐷𝐴𝐵
𝐽𝐴 =
𝑥𝐴1 − 𝑥𝐴
𝑧 − 𝑧1
Seader, Henley, & Roper, Ch 3
Difusión Molecular: UMD
Considerando que el flujo un componente esta estancado:
𝑁𝐵 = 0
Combinando las expresiones anteriores se obtiene:
𝑐𝐷𝐴𝐵 𝑑𝑥𝐴
𝑁𝐴 = −
𝑥𝐵 𝑑𝑧
Considerando parámetros
invariantes:
𝑐𝐷𝐴𝐵
1 − 𝑥𝐴2
𝑁𝐴 =
ln
𝑧 − 𝑧1
1 − 𝑥𝐴1
𝑐𝐷𝐴𝐵 𝑥𝐴1 − 𝑥𝐴2
𝑁𝐴 =
𝑧2 − 𝑧1 1 − 𝑥𝐴 𝐿𝑀
Seader, Henley, & Roper, Ch 3
Seader, Henley, & Roper, Ch 3
Difusión en Solidos
Difusión en solidos
Realizando un balance diferencial es posible obtener la
ecuación de conservación de materia.
Notar que los flujos de entrada
y salida solo corresponden a
los términos difusivos.
Seader, Henley, & Roper, Ch 3
Difusión en solidos: Ecuaciones
• Forma general:
𝜕𝑐𝐴
= 𝛻 ∙ 𝐷𝐴𝐵 𝛻𝑐𝐴
𝜕𝑡
• Coordenadas cartesianas:
𝜕𝑐𝐴
𝜕 2 𝑐𝐴 𝜕 2 𝑐𝐴 𝜕 2 𝑐𝐴
= 𝐷𝐴𝐵
+
+
2
2
𝜕𝑡
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑧 2
• Coordenadas cartesianas, 1-dimension:
𝜕𝑐𝐴
𝜕 2 𝑐𝐴
= 𝐷𝐴𝐵
𝜕𝑡
𝜕𝑧 2
• Coordenadas cilíndricas, dirección radial:
𝜕𝑐𝐴 𝐷𝐴𝐵 𝜕
𝜕𝑐𝐴
=
𝑟
𝜕𝑡
𝑟 𝜕𝑟
𝜕𝑟
Seader, Henley, & Roper, Ch 3
Difusión en solidos: Semi-infinito
• Forma general:
𝜕𝑐𝐴
𝜕 2 𝑐𝐴
= 𝐷𝐴𝐵
𝜕𝑡
𝜕𝑧 2
Ejemplos:
Seader, Henley, & Roper, Ch 3
Difusión en solidos: Semi-infinito
• Forma general:
𝜕𝑐𝐴
𝜕 2 𝑐𝐴
= 𝐷𝐴𝐵
𝜕𝑡
𝜕𝑧 2
http://algo.inria.fr/esf/function/ERFC/ERFC/744161786432695205.gif
Difusión en solidos: Geometrías Finitas
La ecuación de conservación queda ha sido resuelta para
geometrías y condiciones iniciales y de bordes simplificadas.
Seader, Henley, & Roper, Ch 3
Difusión en solidos: Geometrías Finitas
Las soluciones analíticas pueden ser reportadas en
términos del cambio pendiente en la concentración:
𝑐𝐴𝑠 − 𝑐𝐴
𝐸 =1−𝜃 =
𝑐𝐴𝑠 − 𝑐𝐴0
Para el caso de difusión en placas planas, de bordes
paralelos, espesor 2𝑎 condiciones de inicial homogénea
𝑐𝐴0 , y concentración en la superficie constante 𝑐𝐴𝑠 :
4
𝐸=
𝜋
∞
𝑛=0
𝑛
−1
2𝑛 + 1 𝜋𝑧
cos
𝑒
2𝑛 + 1
2𝑎
𝐷𝐴𝐵 2𝑛+1 2 𝜋2 𝑡
−
4𝑎2
Difusión en solidos: Geometrías Finitas
La solución anterior
se puede representar
de forma gráfica.
𝐸
4
=
𝜋
∞
𝑛=0
−1 𝑛
2𝑛 + 1 𝜋𝑧
cos
𝑒
2𝑛 + 1
2𝑎
𝐷
2𝑛+1 2 𝜋2 𝑡
− 𝐴𝐵
4𝑎 2
Seader, Henley, & Roper, Ch 3
Difusión en solidos: Geometrías Finitas
Para cilindros y esferas resultados equivalentes son
obtenidos y representados de forma grafica.
Seader, Henley, & Roper, Ch 3
Difusión en solidos: Geometrías Finitas
Además es de interés
conocer las
concentraciones
promedios en el
solido.
Seader, Henley, & Roper, Ch 3
Difusión en solidos: Geometrías Finitas
En caso de solidos finitos, se pueden combinar las
soluciones en cada eje:
- Placa finita:
𝐸 = 𝐸𝑥 𝐸𝑦 𝐸𝑧
- Cilindro finito:
𝐸 = 𝐸𝑟 𝐸𝑥
Difusión en solidos: Métodos Numéricos
En caso de geometrías mas complicadas, con condiciones
de bordes y/o iniciales mas complejas el uso de métodos
numericos es apropiado.
- Diferencias Finitas, Elementos Finitos, Volúmenes Finitos…
http://jap.physiology.org/content/83/4/1397.full
Transferencia de
Materia en Flujo
Laminar
Difusión en Flujo Laminar
Analizando las ecuaciones de transferencia de materia en
una película descendente en flujo laminar permite obtener
resultados para el flujo a través de películas de liquido.
𝜕𝑐𝐴
𝜕 2 𝑐𝐴
𝑢𝑦
= 𝐷𝐴𝐵
𝜕𝑦
𝜕𝑧 2
Como resultado se
obtiene:
𝑛𝐴 = 𝑢𝑦 𝛿𝑊 𝑐𝐴𝐿 − 𝑐𝐴
Seader, Henley, & Roper, Ch 3
Coeficientes de Transferencia de Materia
Revisando las ecuaciones de transferencia de calor:
𝑄 = ℎ𝐴∆𝑇
Para transferencia de materia se propone:
𝑛𝐴 = 𝑘𝑐 𝐴∆𝑐𝐴
En caso de situaciones de flujo es conveniente considerar
el promedio del transporte sobre la superficie:
𝑛𝑐𝑎𝑣𝑔
𝑁𝐴 =
= 𝑘𝑐𝑎𝑣𝑔 𝑐𝐴𝑖 − 𝑐𝐴
𝑚𝑒𝑎𝑛
𝐴
Seader, Henley, & Roper, Ch 3
Coeficientes de Transferencia de Materia
En caso se distinguen las soluciones dependiendo de la
evolución del perfil de concentración.
3.414
4 𝜋𝜂
Seader, Henley, & Roper, Ch 3
Coeficientes de Transferencia de Materia
EL numero de Sherwood:
𝑁𝑆ℎ
𝑘𝑐 𝛿
=
𝐷𝐴𝐵
El numero de Peclet:
𝑁𝑃𝑒𝑀
4𝛿 𝑢𝑦
= 𝑁𝑅𝑒 𝑁𝑆𝑐 =
𝐷𝐴𝐵
Nota: Numero de Reynolds:
𝑁𝑅𝑒 =
4𝛿 𝑢𝑦
𝜇
=
4Γ
𝜇
Seader, Henley, & Roper, Ch 3
Ej. Agua a 25 C, en contacto 100% CO2(g) fluye en régimen de
película descendente sobre una pared vertical de 1 m de ancho
por 3 m de alto, con un numero de Reynolds de 25.
Estime la velocidad de absorción de CO2(g) en agua en kmol/s
Seader, Henley, & Roper, Ch 3
Difusión en Flujo Laminar: Tuebrias
Resultados similares relacionando los números de Peclet y
Reynolds se han desarrollado para tuberías.
Seader, Henley, & Roper, Ch 3
Coeficientes de Transferencia de Materia
Para el caso de la película descendente el resultado se
expresa en función de los números de Sherwood y Peclet.
𝑁𝑃𝑒𝑀
1,077
𝑥 𝐷
1/3
3,656
Seader, Henley, & Roper, Ch 3
Considere una tubería con 2 in de diámetro interior, y 32 cm
de longitud de acido benzoico, acoplado con 0,4 m de tubería
de acero (a fin d e producir un flujo totalmente desarrollado).
Agua pura entra a 25 C, estime la concentración promedio de
acido benzoico en el agua, durante el experimento.
Seader, Henley, & Roper, Ch 3
Transferencia de
Materia en Flujo
Turbulento
Transporte Turbulento
Inicialmente se puede ver que las ecuaciones de
transporte a fin de considerar una contribución por flujo
turbulento:
𝑑𝑢𝑥
𝜏𝑧𝑥 = − 𝜇 + 𝜇𝑡
𝑑𝑧
𝑑𝑇
𝑞𝑧 = − 𝑘 + 𝑘𝑡
𝑑𝑧
𝑑𝑐𝐴
𝑁𝐴𝑧 = − 𝐷𝐴𝐵 + 𝐷𝑡
𝑑𝑧
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Transporte Turbulento
Una secuencia de mejoras del modelo anterior fueron
analizadas, considerando que la contribución al
transporte producto de vórtices (eddy) se comportan
analogamente.
Una de las más usadas es la analogía de Chilton-Colburn,
definiendo factores-j para cada fenómeno:
𝑗𝑀 = 𝑗𝐻 = 𝑗𝐷
Seader, Henley, & Roper, Ch 3
Analogia de Chilton-Colburn
Definiendo los factores-j como:
𝑓
𝑗𝑀 =
2
ℎ
𝑗𝐻 =
𝑁𝑃𝑟
𝐺𝐶𝑝
𝑘𝑐 𝜌
𝑗𝐷 =
𝑁𝑆𝑐
𝐺
2 3
2 3
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Analogia de Chilton-Colburn
factores-j de Chilton-Colburn para diferentes geometrías:
Seader, Henley, & Roper, Ch 3
Analogía de Churchill & Zajic
Resultados mas recientes en el desarrollo de ecuaciones
en flujo turbulento ha considerado ecuaciones de
transporte promediadas en el tiempo
𝑢𝑥 = 𝑢𝑥 + 𝑢′𝑥
2/3

1  Prt  1
 Prt   1
 
 1    
Nu  Pr  Nu1   Pr   Nu
Seader, Henley, & Roper, Ch 3
Seader, Henley, & Roper, Ch 3
Transferencia de
Materia en Interface
Transporte en la Interface
Seader, Henley, & Roper, Ch 3
Transporte en la Interface
Teorías de película; y de penetración y renovacion.
Seader, Henley, & Roper, Ch 3
Teoría de Película
En la teoría de película se estima que la resistencia total a
la transferencia de materia esta dada por una resistencia
en la fluido en la interface.
𝐷𝐴𝐵
𝑐𝐷𝐴𝐵
𝐽𝐴 =
𝑐𝐴𝑖 − 𝑐𝐴𝑏 =
𝑥𝐴𝑖 − 𝑥𝐴𝑏
𝛿
𝛿
Considerando condiciones diluidas:
𝑐𝐷𝐴𝐵
𝑁𝐴 =
𝑥𝐴𝑖 − 𝑥𝐴𝑏
𝛿
Para soluciones concentradas:
𝑐𝐷𝐴𝐵 𝑥𝐴𝑖 − 𝑥𝐴𝑏
𝑁𝐴 =
𝛿 1 − 𝑥𝐴 𝐿𝑀
Seader, Henley, & Roper, Ch 3
Dióxido de azufre en aire es absorbido en una torre de
empaque. Localmente, se tiene un valor transferencia de
materia es 0,0270 kmol SO2/m2∙h. La composiciones de
azufre en el agua, para esa posición es 0,0025 (mol/mol) en la
interfase y 0,003 (mol/mol) en el liquido. Considerando una
difusividad de SO2 en agua de 1,7e-5 cm2/s, determine el
coeficiente de transferencia y el espesor de pelicula.
Seader, Henley, & Roper, Ch 3
Teoría de la Penetración
En este modelo se considera que un elemento de
volumen es transportado hasta la superficie por un
intervalo , durante la cual difusión toma lugar.
Esta teoría predice una dependencia de la transferencia
de materia como:
𝐷𝐴𝐵
𝑁𝐴 = 2
𝑐𝐴𝑖 − 𝑐𝐴𝑏
𝜋𝑡𝑐
Esto da un estimado del coeficiente de transferencia de
materia en función del tiempo de contacto.
𝐷𝐴𝐵
𝑘𝑐 = 2
𝜋𝑡𝑐
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Teoría de la Renovación de la Superficie
Considerando una distribución del tiempo de contacto se
puede obtener ponderad el transporte de materia.
Densidad de probabilidad
Distribucion de probabilidad
En este caso se obtienen una dependencia de la
transferencia de materia en función de la renovación de
la superficie.
𝑁𝐴 𝑎𝑣𝑔 = 2 𝐷𝐴𝐵 𝑠 𝑐𝐴𝑖 − 𝑐𝐴𝑏
Seader, Henley, & Roper, Ch 3
Teoría de Película-Penetración
Combinando ambos modelos se obtiene una expresión
capaz de representar con mayor flexibilidad la
dependencia del coeficiente de transferencia de materia
con respecto a la difusividad.
𝑁𝐴
𝑎𝑣𝑔
𝐷𝐴𝐵
=
× 1+2
𝛿
∞
𝑛=0 1
1
+
𝐷𝐴𝐵
2
2
𝑛 𝜋
𝑠𝛿 2
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Doble Película. Coeficientes Globales
En el caso de transporte a traves de interfaces,
asumiendo que las superficies de ambas fases en
equilibrio se pueden desarrollar expresiones para la
resistencia global a la transferencia de materia.
Seader, Henley, & Roper, Ch 3
Doble Película. Coeficientes Globales
En el caso de transporte a través de interfaces,
asumiendo que las superficies de ambas fases en
equilibrio se pueden desarrollar expresiones para la
resistencia global a la transferencia de materia.
http://1rv07ch.files.wordpress.com/2010/05/chapter-6_-rate-based-absorption-part-1-and-2.pdf
Doble Película. Coeficientes Globales
𝑁𝐴 = 𝑘𝑦 𝑦𝐴𝑏 − 𝑦𝑖
𝑁𝐴 = 𝑘𝑥 𝑥𝑖 − 𝑥𝐴𝑏
http://1rv07ch.files.wordpress.com/2010/05/chapter-6_-rate-based-absorption-part-1-and-2.pdf
Doble Película. Coeficientes Globales
Combinando ambas expresiones:
𝑁𝐴 = 𝑘𝑦 𝑦𝐴𝑏 − 𝑦𝑖 = 𝑘𝑥 𝑥𝑖 − 𝑥𝐴𝑏
A fin de considerar un coeficiente global se pueden
definir concentraciones «equivalentes» para ambos lados
de la interface.*
𝑁𝐴 = 𝐾𝑦 𝑦𝐴𝑏 − 𝑦𝐴 ∗ = 𝐾𝑥 𝑥𝐴 ∗ − 𝑥𝐴𝑏
En el caso de equilibrio con valor invariante para K
(coeficiente de distribución, valor de equilibrio,…)
𝑦𝐴 ∗ = 𝐾𝐴 𝑥𝐴𝑏
𝑦𝐴𝑏 = 𝐾𝐴 𝑥𝐴 ∗
Seader, Henley, & Roper, Ch 3
Doble Película. Coeficientes Globales
Combinando expresiones:
𝑁𝐴 = 𝑘𝑦 𝑦𝐴𝑏 − 𝐾𝐴 𝑥𝑖 = 𝑘𝑥 𝑥𝑖 − 𝑥𝐴𝑏
Eliminando 𝑥𝑖 :
𝑦𝐴𝑏 − 𝑥𝐴𝑏
𝑁𝐴 =
1
1
+
𝐾𝐴 𝑘𝑦 𝑘𝑥
Combinando el resultado anterior con las definiciones
des coeficientes globales se tiene:
1
1
1
=
+
𝐾𝑥 𝐾𝐴 𝑘𝑦 𝑘𝑥
1
1 𝐾𝐴
=
+
𝐾𝑦 𝑘𝑦 𝑘𝑥
Seader, Henley, & Roper, Ch 3
Doble Película. Coeficientes Globales
En el caso de
transferencia de materia
con alta fuerza
impulsora, se debe
considerar la
variabilidad en el
equilibrio en la
interface. En ese caso se
deben considerar la
pendiente de la línea de
equilibrio.
Seader, Henley, & Roper, Ch 3
Doble Película. Coeficientes Globales
En ese caso los coeficientes globales pueden ser
representados usando los datos de equilibrio:
Entonces los coeficientes globales en caso de equilibrio
están dados por:
Seader, Henley, & Roper, Ch 3
Doble Película. Coeficientes Globales
Resultados similares se pueden obtener considerando el
equilibrio gas-liquido (𝑐𝐴 = 𝐻𝐴 𝑝𝐴 ), liquido-liquido, entre
otros.
𝑁𝐴 = 𝐾𝐺 𝑝𝐴𝑏 − 𝑥𝐴𝑏 ∗
𝑝𝐴𝑏 − 𝑥𝐴𝑏 ∗
=
1
1
+
𝑘𝑝 𝐻𝐴 𝑘𝑐
1
1
=
1
1
𝐾𝐺
+
𝑘𝑝 𝐻𝐴 𝑘𝑐
Seader, Henley, & Roper, Ch 3
Estimación de
Difusividades
Estimación de Difusividades
• Los mecanismos por los cuales difusión ocurre
dependen de la naturaleza de los componentes
(líquidos polares, no-polares, electrolitos; gases;
solidos, metales, …)
- Para gases: la teoría Chapman-Enskog:
0.00143𝑇 1.75
𝐷𝐴𝐵 = 𝐷𝐵𝐴 =
2
1/3
1/3
𝑝𝑀𝐴𝐵 1/2 Σ𝑉 𝐴 + Σ𝑉 𝐵
- Para líquidos: la expresión de Wilke-Chang:
7.4 × 10−8 ϕ𝐵 𝑀𝐵 1/2 𝑇
𝐷𝐵𝐴 ∞ =
μ𝐵 𝑣𝐴 0.6