Tema 3: Multiplicación y división.

Tema 3: Multiplicación y división.
SELECCIÓN DE EJERCICIOS RESUELTOS
2. Determina el menor número natural que multiplicado por 7 nos da un número natural
que se escribe usando únicamente la cifra 1. ¿Y únicamente la cifra 2?
15.873 x 7 = 111111; 31.746 x 7 = 222222
(Dividiendo por 7, con una calculadora, la secuencia de números, 11, 111, 1111, ...; 22,
222, 2222, ..; hasta que la división sea exacta.
3. Expresa los números del uno al diez como resultado de operaciones entre números en
las que, en total, intervengan cuatro treses.
1 = 3 –(3+3)/3 ; 2 = (3/3) + (3/3) ; 3 = 3x3 – (3+3); 4 = (3x3+3)/3
5 = (3+3)/3 +3; 6 = (3+3)+(3-3); 7 = 3+3 +(3/3);
8 = 3x3-(3/3); 9 = 3x3 + (3-3); 10 =3x3 + (3/3)
4. Suponemos que los números naturales D y q son tales que D<4500, y q=82. La
división entera del número D por d da como cociente q = 82, y resto r = 45. Buscar,
justificando la respuesta, el conjunto de pares (D, d) que cumple dicha condición.
D =d x 82 + 45, con d > 45 y D < 4.500. Con estas condiciones los valores de d que lo
cumplen son: d = 46; d= 47, ...; d=53. Cualquier valor superior que demos a d hará que
D sea mayor que 4.500.
5. Resolver el problema anterior para r = 112. Discutir la existencia de soluciones
según los valores del resto r.
Si r =112, d > 112 (el divisor debe ser mayor que el resto). Entonces,
D = 113 x 82 +112 = 9.378. En este caso no existe solución.
El valor máximo que puede tomar r = 53 (manteniendo los mismos datos y condiciones
del problema.
6. Se resta de 3 en 3 a partir de 50 hasta que se obtiene el menor número natural posible:
"50, 47, 44, 41, ..." ¿En qué número termina esta serie?
1
50 = 16x3+2; luego la serie termina en 2.
7. Se resta de 3 en 3 hasta obtener el menor número natural posible, pero a partir de
8932: "8932, 8929, 8926, ..." ¿En qué número termina esta serie? ¿Cuántos términos
tiene esa secuencia de sustracciones? ¿Cuál es el número que ocupa el lugar 100?
8.932 = 3 x 2.977 +1; la serie termina en 1
La serie tiene 2.977 términos (cociente de la división por 3).
El número que ocupa el lugar 100 en la serie es 8.932 – 3x100 = 7.632 (hemos restado
100 veces 3)
8. Sabiendo que 8562 = (34 x 251) +28
a) ¿Cuáles son el cociente y el resto de la división entera de 8562 por 34?
b) ¿Cuáles son el cociente y el resto en la división de 8562 por 251?
a) Cociente 251, resto 28 (resto menor que el divisor)
b) Cociente 34, resto 28
9. Sabiendo ahora que 18846610 = (4973 x 3789) + 3913
c) ¿Cuáles son el cociente y el resto en la división entera de 18846610 por 4973?
d) ¿Cuáles son el cociente y el resto en la división entera de 18846610 por 3789?
c) Cociente 3789, resto 3913
d) Cociente 4974, resto 124
10. Sabiendo que 1261541 = (4897 x 257) + 3012. ¿Cuáles son los cociente y el resto en
la división entera de 126154100 por 489700?
El dividendo y el divisor se han multiplicado por 100, luego el cociente no varía, pero el
resto queda multiplicado por 100. Luego, cociente 257, resto 301200.
13. A continuación se realizan algunas operaciones utilizando técnicas orales. Indica en
cada caso las técnicas utilizadas.
c) 2500 x 13, tres por veinticinco, setenta y cinco, mas doscientos cincuenta, trescientos
veinticinco, treinta y dos mil quinientos.
d) 156 : 12, setenta y ocho dividido por seis, treinta y nueve dividido por tres, trece.
e) 15 x 24, es lo mismo que treinta por doce, lo mismo que sesenta por seis, treinta y
seis, trescientos sesenta.
2
c) 2500 x 13 = 25 x 100 x (3+10) = [25 x 3 + 25 x 10]x 100
d)156 /12 = (78x2)/(2x3x2) = (78/2)/3
e) 15 x 24 = 15 x (2x2x6) = 30 x 2 x 6 = 60 x 6 = 360
15. Construye la tabla de multiplicar números naturales en base 6. Calcula el producto
de los siguientes números que están expresados en base 6, haciendo los cálculos en base
6: 34521 (6 x 123 (6 . Justifica con este ejemplo el algoritmo tradicional (disposición en
columnas de los resultados parciales) indicando las propiedades del sistema de
numeración posicional y de las operaciones aritméticas requeridas.
Tabla de multiplicar en base 6:
columnas
x
1
2
3
4
5
1
1
2
3
4
5
2
2
4
10
12
14
3
3
10
13
20
23
4
4
12
20
24
32
Algoritmo de multiplicación en
5
5
14
23
32
41
1
3
5
1
1
4
2
3
4
5
3
5
2
2
4
2
3
5
1
4
4
1
3
2
2
0
2
1
3
3
2
3
Justificación:
Se aplica el principio de valor relativo de las cifras (reglas del sistema de numeración
posicional), colocando en cada columna unidades del mismo orden.
Se usa la descomposición polinómica del multiplicador: 123 = 100 + 2x 10 +3;
(unidades de tercer orden, segundo y primer orden, que en base 6 también se escriben
100, 10, 1).
Se aplican la propiedad distribución de la multiplicación respecto de la suma y las
propiedades commutativa y asociativa:
34521 x 123 = 34521 x (100+ 20 + 3) = 34521 x 3 + 34521 x 20 + 34521 x 100
18. Usando la función constante de la calculadora calcula el valor de
9x9x9x9x9x9x9x9, o sea, 98
98 = 43046721
19. El producto de dos números consecutivos es 2070. ¿Qué números son?
n(n+1) = 2070 = 45 x 46
20. Si la tecla de multiplicar está estropeada indica cómo se puede calcular el producto,
1234 x 596
3
1234 x 596 = 1234 x(1000 – 404) = 1234x(1000 – 100 – 100 – 100 – 100 – 1 – 1 –1 –
1);
Se puede hacer el cálculo restando sucesivamente a 1234000 los números 123400,
123400, 123400, 123400, 1234, 1234, 1234, 1234.
21. Calcula el valor exacto de la siguiente multiplicación:
9765432156 x 132547965
Se agrupan los números dados en subgrupos de 4 dígitos, de manera que los productos
parciales de números de 4 cifras se puedan calcular con la calculadora. Se aplica el
algoritmo de multiplicar en columnas, colocando en cada fila los productos sucesivos de
grupos de 4 dígitos. Después se suman todas las columnas. Hay que respetar en todo
momento las posiciones de las unidades de los distintos órdenes y tener en cuenta las
“llevadas” cuando se produzcan. El resultado es: (salvo error)
129 4388 1596 2336 2540
22. Utiliza la memoria de la calculadora [M+] para calcular la expresión:
(7984739 + 947326) : (3 x 5287710 - 603683)
Se calcula primero el denominador; se almacena en M+; se realiza la suma del
numerador. Se pulsa MR y a continuación la tecla de dividir.
24. Antes de que se hicieran habituales las calculadoras, había muchas reglas para
aligerar los cálculos. Una de ellas servía para calcular el cuadrado de un número
terminado en 5. El resultado es un número terminado en 25, delante del cual se ponía el
resultado de multiplicar el número que precede a 5 por ese mismo número aumentado
en una unidad. Por ejemplo, 352 = (3.4)25 = 1225, 752 = (7. 8)25 = 5625. ¿Cuál es la
justificación de esta regla?
(a5)2 = (10a+5)2 = 100a2 + 2.5.10a +25 = 100a2 + 100a +25= 100(a+1)a+25
25. Justifica si es cierta o falsa la siguiente regla: "Piénsese en dos números naturales
consecutivos. Multiplíquense. El resultado multiplíquese por 4. Al resultado súmesele 1.
Extráigase la raíz cuadrada del resultado. El número que resulta es la suma de los dos
que se pensaron inicialmente.
= (2n + 1) 2 =2n+1 =n(n+1)
4n(n + 1) =
4
26. Halla un cuadrado perfecto de la forma AABB.
7744 = 882 (probando sistemáticamente las raíces cuadradas de 1100, 2200, 2211, etc.)
EJERCICIOS DEL TALLER MATEMÁTICO
1. Investigación de propiedades aritméticas:
a) ¿Son iguales las expresiones: (34+27)x5
diferencian?
b) Compara 212 + 212 y 224. ¿Cuál es mayor?
y 34 + (27 x 5)? ¿En qué se
a) No son iguales; no se ha aplicado la propiedad distributiva de la multiplicación
respecto de la adición. Se ha aplicado una falsa “propiedad asociativa” entre la
adición y multiplicación.
b) 212 + 212 = 212 (1+1) = 212 . 2 = 213. Claramente es mayor 224.
2. Buscar dos números cuyo producto esté entre 1500 y 1600; otros dos cuyo producto
esté entre 150 y 160.
a x b > 1500; a x b < 1600
Si b = 1, a puede valer, desde 1501 y 1599.
Si b = 2, a puede valer, desde 751 a 799
Etc.
3. Comprobación de estimaciones en cálculos:
a) Estima cuáles de las siguientes divisiones tienen un cociente entre 20 y 50.
Utiliza la calculadora para comprobar las respuestas:
426: 13;
43368: 131; 4368: 13;
436: 131
b) En las dos siguientes operaciones indicadas estima el valor desconocido.
Comprueba la aproximación de la estimación con la calculadora
43 x ____ = 2408;
12 x _____ = 672.
a) 426 :13 ≈ 426 : 10 ≈ 42 < 50; SI
43368 : 131 ≈ 43368 : 100 ≈ 433 > 50, NO
4368 : 13 ≈ 4368 : 10 ≈ 436 > 50 , NO
436 : 131 ≈ 436 : 100 ≈ 4 < 20, NO
...
4. En las operaciones que vienen a continuación falta alguna cifra que está sustituida por
guiones. Complétalas.
5
3 2 5
x 1 4 7

22 7 5
1 30 0
3 25

4 7 7 7 5
5 2 9 7 5
3 2 5

2 0 4 7
1 9 5 0

9 7 5
9 7 5

0 0 0
3 2 5

1 6 3
5. Existen parejas de números tales que su producto es igual al de sus imágenes en un
espejo. Por ejemplo, 23x64 = 46x32. Encuentra otras parejas de números que tengan
esta propiedad. Trata de encontrar una regla que te permita obtener todas las parejas.
ab x mn = ba x nm; (10a+b)(10m+n) = (10b+a)(10n+m) ; simplificando se obtiene,
am =bn, o sea, a/b = n/m. Por ejemplo, 63 x 24 = 36 x 42 = 1512
6. Elige un número cualquiera de dos cifras. Si inviertes el orden de sus cifras y restas
el menor del mayor, observarás que se obtiene un número que es múltiplo de 9.
Demuestra esta propiedad para números de 2, 3 y 4 cifras.
ab = 10a+b
ba = 10b +a; restamos y suponemos que a >b, 9a -9b = 9(a-b) (múltiplo de 9)
Para números de 3 cifras:
abc = 100a + 10b + c
cba = 100c + 10b + a; restando, 99a - 99c = 9(11a –11c), que es múltiplo de 9.
Igual para números de 4 cifras.
6