587 APLICACIÓN DE LA PROGRAMACIÓN COMPROMISO AL

Métodos Matemáticos para la Economía y la Empresa
APLICACIÓN DE LA PROGRAMACIÓN COMPROMISO AL ANÁLISIS DEL
ESTADO DE LAS LISTAS DE ESPERA QUIRÚRGICAS BAJO DIVERSAS
HIPÓTESIS DE PERMANENCIA MÁXIMA
Blanca Pérez Gladish1
Mar Arenas1
Amelia Bilbao1
M.Victoria Rodríguez1
Mariano Jiménez2
1
2
Dpto. de Economía Cuantitativa. Universidad de Oviedo
Dpto. de Economía Aplicada I. Universidad del País Vasco
Resumen: En Rodríguez (1999) se ha analizado la planificación óptima de la actividad
quirúrgica de los servicios de un hospital público. El modelo de optimización propuesto
es un modelo dinámico e interactivo que permite realizar cambios no sólo en el período
de planificación sino en cualquier parámetro del mismo. En este trabajo contemplamos
la posibilidad de ir reduciendo la permanencia máxima en lista de espera quirúrgica
impuesta por las autoridades sanitarias. La comparación de las fronteras eficientes
obtenidas para cada formulación distinta del problema, cuando la permanencia en lista
de espera se reduce desde seis a dos meses nos mostrarácomo, bajo ciertas condiciones,
es posible reducir la lista de espera residual llevando a cabo una redistribución de la
actividad quirúrgica.
Obteniendo en cada caso el conjunto compromiso, podremos comparar las soluciones de
máxima permanencia y/o de equilibrio entre los objetivos planteados, bajo distintas
hipótesis de permanencia en lista de espera. Mediate el análisis de las listas de espera
residuales obtenidas observaremos para qué procesos es posible que la lista de espera
residual sea igual a cero y para cuáles se podrían reducir en gran medida dichas listas
pese a no lograr eliminarlas del todo.
Palabras Clave: Gestión de Hospitales, Programación Multiobjetivo, Programación
Compromiso, Teoría de la Decisión.
587
Pérez B., Arenas M., Bilbao A., Rodríguez M.V., Jiménez M.
1. Descripción del problema.
1.1 Datos y variables del problema.
Denotaremos las variables en base al servicio al que pertenecen y éste por su inicial, en
este trabajo presentamos los resultados correspondientes al servicio de Traumatología,
que denotaremos mediante su inicial (T).
Trabajaremos con dos tipos de variables: variables de estado y variables de decisión.
Las variables de decisión recogen la actividad a realizar en cualquiera de sus
modalidades y las variables de estado reflejan el estado de las listas de espera por
proceso y mes.
De cara a la reducción de las listas de espera el Hospital puede llevar a cabo su
actividad quirúrgica mediante dos modalidades de intervención: intervenciones en
modalidad ordinaria (por las mañanas en el propio Hospital), o intervenciones en
modalidad extraordinaria (por las tardes en el propio Hospital o mediante derivación a
otros centros).
Si el proceso se realiza en forma horaria normal, la variable que define el servicio
carecerá de prefijo; si se realiza en forma extraordinaria, sea interna o externa el prefijo
será X. Cada proceso vendrá definido con dos subíndices i y j que indicarán
respectivamente el proceso y mes considerados. Si se trata de nombrar la lista de
cualquiera de los procesos, se precederá la variable representativa del servicio de la letra
L.
Son datos en el modelo las admisiones y exclusiones de la lista de espera, así como las
disponibilidades mensuales de tiempo de quirófano.
La tabla 1 recoge los nombres de los siete procesos considerados. Se incluyen también
en la misma otros campos que proporcionan información de interés como son el número
de código de cada proceso, el tiempo medio de quirófano que utiliza el mismo y la
posibilidad de que sea realizado en modalidad extraordinaria.
Tabla 1. Procesos considerados.
CÓDIGO
239
354
715
717
727
735
736
Nombre Proceso
Neoplasia
Mononeuritis M.S.
Osteoartrosis
Desgarro interno rodilla
Enfermedades sinovia/tendón
Hallux Valgus
Otras deformidades Adq.
588
VARIABLE
T01
T02
T03
T04
T05
T06
T07
TIEMPO Posible extra
87
1
79
1
164
1
118
1
75
1
85
1
129
1
Métodos Matemáticos para la Economía y la Empresa
1.2 Restricciones del problema.
Las restricciones del modelo que nos ocupa serán de tres tipos, y un cuarto tipo será
opcional y no tiene porqué aparecer en todos los casos. Los tipos de restricción son:
* Ecuaciones de estado, j = 4,...,12.:
LTi( j +1) = LTij + ATij − ETij − XTij − Tij
(1)
Donde ATij es el número de admisiones y ETij el número de exclusiones sin
sometimiento a proceso quirúrgico, estimadas ambas para cada proceso i en cada mes j.
* Horas de quirófano mensuales: Estas restricciones sólo afectan a la planificación
quirúrgica que se lleva a cabo en horario ordinario:
7
∑t T
i ik ≤ TQ k
(2)
i =1
donde TQ k indica, en minutos, el tiempo de quirófano del que dispone el servicio de
Traumatología para el mes k y donde t i es el tiempo medio de quirófano, expresado
también en minutos, que utiliza cada uno de los procesos considerados.
* Límites superiores a la permanencia en lista de espera: Reflejan el hecho de que a lo
largo del año 1999 el tiempo máximo que un paciente puede permanecer en lista de
espera debe ser de seis meses, formulado exigiendo que la suma de actividades ordinaria
y extraordinaria realizadas entre abril y el mes k-ésimo, supere al número de pacientes
que llevarían seis o más meses en lista de espera para cada proceso i en el momento k:
∑ [T
k
(
)
]
ij + XTi j ≥ s ik
(3)
j= 4
* Cotas al número de procesos realizables fuera del horario normal: Estas
restricciones consistirán en desigualdades del tipo:
XTij ≥ rij
(4)
siendo rij la cota inferior a la actividad extraordinaria por proceso y mes. El significado
de estas ecuaciones no es otro que el de acotar la actividad global mínima que a priori se
acuerda derivar basándose en los datos históricos. Esta actividad mínima ha de indicarse
por proceso y mes.
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Pérez B., Arenas M., Bilbao A., Rodríguez M.V., Jiménez M.
Denominaremos por F el conjunto de puntos que verifican todas las restricciones, es
decir, F es el conjunto de puntos factibles del modelo.
1.3 Las funciones objetivo para la planificación óptima.
Se consideran dos objetivos: el primero F1 , refleja el total de la actividad ordinaria por
mes para cada uno de los procesos considerados. La máxima capacidad operativa del
Hospital vendrá dada por:
7
Máx
12
∑ ∑ [T ]
ij
(5)
i =1 j = 4
Con tal actividad no es posible cubrir el requisito de máxima permanencia en lista de
espera, así que minimizando el segundo objetivo considerado F2 se determina la
actividad mínima indispensable que ha de realizarse de modo extraordinario, todo ello
para verificar el requisito de máxima permanencia en lista de espera:
7
Mín
12
∑ ∑ [XT ]
ij
(6)
i =1 j = 4
donde XTij representa el número de intervenciones a realizar en modalidad
extraordinaria por proceso y mes.
Manejaremos conjuntamente ambas funciones objetivo mediante su combinación lineal
convexa:
Mín [F2 − ë Z ]
sujeto a : Z = F1 + F2
(7)
puntos de F
Las variaciones de ë proporcionan el conjunto de puntos eficientes en el sentido de
Pareto del programa considerado. En particular para ë = 0 se obtendrá el mínimo de la
función de actividad externa, F2 , y para ë = 1 el máximo de la actividad interna, F1 ,
ambos alcanzables dentro del conjunto de soluciones que proporciona el conjunto
factible.
Resolveremos un primer problema en el que consideraremos como restricción a la
permanencia en lista de espera un tiempo máximo de seis meses, para posteriormente ir
resolviendo nuevos problemas mediante los que le ofreceremos al Centro Decisor las
planificaciones de actividad que permitirían reducir este tiempo máximo de
590
Métodos Matemáticos para la Economía y la Empresa
permanencia en lista. Completamos la información sobre la actividad a realizar con el
estudio de las fronteras eficientes correspondientes a cada uno de los problemas
planteados y de los conjuntos compromiso obtenidos para cada formulación distinta del
problema inicial.
2.1 Determinación de las fronteras eficientes.
Mediante la resolución del programa (7) haciendo variar el parámetro ë obtendremos
los puntos Pareto-óptimos del programa bi-objetivo inicial.
2.1.1 Frontera eficiente considerando como hipótesis una permanencia máxima de
6 meses. De la resolución del problema (7) considerando una permanencia máxima en
lista de espera de seis meses, se obtienen los siguientes resultados de actividad para
cada valor de ë ( tabla (2)):
Tabla 2: Actividad para cada valor de ë .
LAMBDA
ACTIVIDAD
EXTERNA
MINUTOS
EXTERNA
ACTIVIDAD
INTERNA
MINUTOS
INTERNA
0
0.72
0.77
0.78
0.81
0.932
0.943
0.952
0.953
0.9975
1
266
265
268
271
275
289
300
315
324
357
358
25255
25255
25642
26114
26630
28324
29603
31187
32249
35120
35207
381
384
386
389
392
400
406
411
416
416
417
44919
44919
44919
44919
44919
44919
44919
44919
44919
44919
44919
Queremos señalar que la aparente “mejor solución”, cuantitativamente hablando, para
este problema, es la que se obtiene al minimizar al actividad extraordianria requerida
para poner la lista de espera en los límites admisibles. Las otras soluciones hacen crecer
aquella variando apenas la actividad interna.
Obsérvese como la actividad interna del servicio es tal que utiliza siempre todo el
tiempo disponible, es decir, se saturan las restricciones relativas a la disponibilidad de
quirófanos, pero el número de procesos que se realizan para cada valor del parámetro
varía: se está produciendo una redistribución de tiempo entre el tipo y número de
procesos que resulta más conveniente en cada caso, dependiendo de los procesos que
puedan o deban, ser derivados o no hacia la actividad externa.
591
Pérez B., Arenas M., Bilbao A., Rodríguez M.V., Jiménez M.
Obsérvese también como la actividad externa va creciendo al alejarse de su mínimo,
como no podía ser menos, y el efecto de las diversas combinaciones de esta actividad
con la interna se ve reflejado en la composición y el número de procesos que forman
parte de la lista de espera residual a final de año.
2.1.2 Frontera eficiente considerando como hipótesis una permanencia máxima de
4 meses. Si la hipótesis con la que trabajamos es la de una permanencia máxima en lista
de espera de 4 meses, nos encontramos con un problema que resulta ser infactible:
dadas las disponibilidades y demás restricciones del Hospital no es posible hallar una
distribución de su actividad que haga posible que ningún paciente permanezca en lista
de espera más de cuatro meses. Sin embargo, si se permite realizar intervenciones de
Osteoartrosis en modalidad extraordinaria (por las tardes en el propio Hospital o
mediante derivación) el problema resulta factible.
2.1.3 Frontera eficiente considerando como hipótesis una permanencia máxima de
2 meses. Finalmente consideraremos una última hipótesis: dos meses como máxima
permanencia en lista de espera quirúrgica. El problema planteado contemplando esta
hipótesis resulta infactible. Sin embargo al igual que en el problema anterior, una
modificación en algunas restricciones, nos permite obtener un programa factible. En
concreto, permitiendo que se realicen intervenciones de Osteoatrosis en modalidad
extraordinaria en el mes de Abril y eliminando la cota mínima relativa al número de
intervenciones de Hallux Valgus a realizar en los meses de Junio, Julio, Agosto y
Septiembre, el problema tiene solución factible y óptima.
2.1.4 Comparación de las fronteras eficientes bajo distintas hipótesis de
permanencia máxima en lista de espera. La resolución del problema (7) para seis
meses de permanencia máxima en lista de espera tiene solución factible óptima. Sin
embargo, para el supuesto de máxima permanencia en lista de espera de cuatro meses el
problema planteado resulta infactible. Si corregimos la restricción correspondiente al
número de intervenciones de Osteoartrosis a realizar en el mes de abril permitiendo que
se realicen intervenciones mediante actividad extraordinaria, el nuevo problema es un
problema factible.
La consideración de menores permanencias en lista de espera lleva consigo la necesidad
de modificar un mayor número de restricciones con vistas a hacer factibles los
problemas.
592
Métodos Matemáticos para la Economía y la Empresa
2.2 Determinación de los conjuntos compromiso.
La idea básica de la Programación Compromiso consiste en utilizar el concepto de
punto ideal (la solución donde todos los objetivos alcanzan su valor óptimo) como
punto de referencia para el centro decisor. Es evidente que este punto es inalcanzable
debido a que, en el mundo real los distintos objetivos suelen estar en conflicto unos con
otros.
A partir de estos dos conceptos, existencia de un punto ideal y la no accesibilidad de
éste, Yu (1973) y Zeleny (1974) desarrollan la Programación Compromiso cuya idea
básica consiste en encontrar el punto del espacio imagen que minimice la distancia, en
dicho espacio, al punto ideal.
Las distancias que utilizaremos en nuestro trabajo, en el que consideraremos dos
objetivos, serán por tanto, la distancia L1 y la distancia L ∞ . La solución óptima del
siguiente programa lineal es la mejor solución compromiso o punto más próximo al
ideal cuando se utiliza la métrica p = 1:
q
Mín
L1 =
∑W
j
j =1
sujeto a :
f j* − f j ( x )
f j* − f* j
(8)
x∈ F.
Para la métrica p = 1 , la mejor solución compromiso corresponderá siempre a un punto
extremo eficiente, dado el carácter lineal en los objetivos de la función L1 a minimizar.
Para la métrica p = ∞ se minimiza la máxima desviación de entre todas las
desviaciones individuales; esto es, sólo la desviación mayor influye en el proceso de
minimización. Para esta métrica, la mejor solución compromiso o punto más próximo al
ideal se puede obtener resolviendo el siguiente programa lineal:
Mín
L∞ = d
sujeto a :
x∈F
Wj
f j* − f j ( x)
f j* − f* j
donde d representa la desviación más grande.
593
(9)
≤ d, j = 1, K , q
Pérez B., Arenas M., Bilbao A., Rodríguez M.V., Jiménez M.
Las soluciones proporcionadas por los programas lineales (8) y (9) caracterizan los
límites del conjunto compromiso, perteneciendo las otras mejores soluciones
compromiso al conjunto acotado por los puntos L1 y L ∞ .
Obsérvese que minimizar la distancia L1 es equivalente a maximizar la siguiente
función:
q
∑
Max.
Wj
j =1
f j (x)
(10)
f j* − f* j
expresión que podemos entender como representativa de la utilidad del decisor, ya que
depende del máximo logro de sus objetivos. Se trata de una función de utilidad lineal y
separable en los atributos.
Para dar un significado económico a la solución L ∞ del conjunto compromiso,
recurrimos al siguiente lema (Ballestero y Romero 1991): en el punto L ∞ se satisfacen
las siguientes relaciones entre atributos:
f j* − f j ( x )
f1* − f1 (x )
W1
= L = Wj
= L = Wq
f1* − f1*
f j* − f j*
f q* − f q ( x)
f q* − f q *
(11)
De (11) se deduce que la solución asociada al punto L ∞ es una solución bien
equilibrada pues las discrepancias (ponderadas por los pesos y normalizadas) entre el
valor alcanzado por cada atributo y sus respectivos ideales son iguales.
Si aceptamos que la maximización de la utilidad social depende de la maximización del
logro normalizado de los objetivos considerados, entendiendo por logro la proximidad
mayor entre un objetivo y su ideal, entonces la solución L ∞ que se obtiene
considerando sólo en el proceso de minimización la desviación mayor, económicamente
implicaría la maximización de una función de utilidad Rawlsiana.
La solución L ∞ minimiza las discrepancias entre los objetivos y sus ideales ofreciendo
una solución de equilibrio entre los mismos.
2.2.1 Conjunto compromiso bajo la hipótesis de permanencia máxima en lista de 6
meses. Mediante la resolución de los programas (8) y (9) obtenemos los límites del
conjunto compromiso (distancias L1 y L ∞ ).
594
Métodos Matemáticos para la Economía y la Empresa
Bajo la hipótesis de una máxima permanencia en lista de seis meses obtenemos las
siguientes soluciones para cada una de las distancias así como los valores ideales y
antiideales de los objetivos considerados:
Ideal
Anti-ideal
L1
L∞
F1
417
384
415
406
F2
264
368
318
300
Observamos como la solución ideal es inalcanzable. Sin embargo las soluciones en los
límites del conjunto compromiso aportan información al Decisor sobre cuales deberían
ser las distribuciones de su actividad interna y actividad externa si desea alcanzar la
máxima eficiencia posible (solución para la distancia L1 ), así como de la planificación
de dicha actividad si lo que busca es un equilibrio entre los niveles de logro de los
objetivos considerados (solución para la distancia L ∞ ).
En el Gráfico 1 se representan los valores relativos de cada una de las actividades a lo
largo de la frontera, así como el conjunto compromiso obtenido:
FRONTERA EFICIENTE 6 MESES ACTUALIZADO HASTA ABRIL
370
350
330
310
CONJUNTO COMPROMISO
290
270
IDEAL ( 417, 264)
250
375
380
385
390
395
400
405
410
415
420
ACTIVIDAD INTERNA
2.2.2 Conjunto compromiso bajo la hipótesis de permanencia máxima en lista de 4
meses. La resolución de los programas (8) y (9) bajo la hipótesis de cuatro meses
máximo en lista de espera, nos ofrece los resultados que recogemos a continuación junto
a las soluciones ideal y anti-ideal:
595
Pérez B., Arenas M., Bilbao A., Rodríguez M.V., Jiménez M.
Ideal
Anti-ideal
L1
L∞
F1
471
426
450
458
F2
335
375
335
347
Podemos observar como nuevamente no se alcanza la solución ideal. En el Gráfico 2 se
representan los valores relativos de cada una de las actividades a lo largo de la frontera
así como el conjunto compromiso para la presente formulación del problema:
FRONTERA EFICIENTE 4 MESES ACTUALIZADO HASTA ABRIL
380
375
370
ACTIVIDAD EXTERNA
365
360
355
350
345
340
CONJUNTO COMPROMISO
335
IDEAL ( 471, 335)
330
445
450
455
460
465
470
475
ACTIVIDAD INTERNA
2.2.3 Conjunto compromiso bajo la hipótesis de permanencia máxima en lista de 2
meses. Bajo esta hipótesis de máxima permanencia en lista de espera obtenemos las
siguientes soluciones en los límites del conjunto compromiso ( L1 y L ∞ ) y los
siguientes valores ideales y antiideales de los objetivos considerados:
Ideal
Anti-ideal
L1
L∞
F1
453
430
439
443
F2
431
477
446
455
En el Gráfico 3 se representan los valores relativos de cada una de las actividades a lo
largo de la frontera y el conjunto compromiso:
596
Métodos Matemáticos para la Economía y la Empresa
FRONTERA EFICIENTE 2 MESES ACTUALIZADO HASTA ABRIL
480
470
ACTIVIDAD EXTERNA
460
450
CONJUNTO COMPROMISO
440
IDEAL ( 453, 431)
430
420
425
430
435
440
445
450
455
ACTIVIDAD INTERNA
2.3 Comparación de los conjuntos compromiso obtenidos bajo distintas hipótesis
de permanencia máxima en lista de espera.
La representación conjunta de los distintos conjuntos compromiso, pertenecientes a las
fronteras eficientes obtenidas para cada uno de los problemas resueltos, junto con la
representación de las soluciones ideales para cada formulación distinta del problema es
la siguiente:
FRONTERAS EFICIENTES
500
475
450
IDEAL 2 MESES
ACTIVIDAD EXTERNA
425
frontera 6 meses
frontera 4 meses
frontera 2 meses
400
375
350
325
IDEAL 64 MESES
300
IDEAL 6 MESES
275
250
350
360
370
380
390
400
410
420
430
440
ACTIVIDAD INTERNA
597
450
460
470
480
490
500
Pérez B., Arenas M., Bilbao A., Rodríguez M.V., Jiménez M.
3. Conclusiones.
Podemos observar como es posible ir reduciendo la máxima permanencia en lista de
espera mediante combinaciones de actividad que saturan la disponibilidad de tiempo de
quirófano dentro del Centro en horario ordinario, y que suponen una mayor actividad en
modalidad externa a medida que se vayan reduciendo las listas de espera quirúrgicas
para el servicio considerado en este trabajo. Mediante la determinación de los conjuntos
compromiso para cada una de las distintas formulaciones del problema, podemos
ofrecer al Centro Decisor no una solución concreta sino un intervalo donde elegir,
sabiendo que sus opciones van desde el logro de la máxima eficiencia a la consecución
del máximo equilibrio entre los niveles de logro de los objetivos considerados.
Bibliografía:
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