Introducción: Medidas directas, determinación de errores

Introducción: Medidas directas, determinación de
errores
• Mejor estimador ± Incertidumbre
• Guarismos significativos
• Discrepancia
• Comparación de valores medidos y aceptados
• Comparación de dos números medidos
• Comprobando relaciones con una gráfica
• Interpolación en tablas
• Incertidumbres relativas
Técnicas experimentales en Física General
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• Mejor estimador ± Incertidumbre
Ejemplo: Caída de graves
Intervalos de tiempo medidos:
2.3, 2.4, 2.5, 2.4 s
Mejor estimación de ∆t =Promedio
Probable intervalo de ∆t
2.4 s
2.3 – 2.5 s
Intervalo de tiempo medido = 2.4 ± 0.1 s
Norma general:
Valor medido de x = xMejor ± σ ( x) Unidades
↓
xMejor − σ ( x) < Valor verdadero < xMejor + σ ( x)
σ ( x) Error absoluto > 0
¾ El mejor estimador de x es xMejor
¾ El valor de la magnitud buscada se halla, razonablemente,
entre xMejor + σ ( x) y xMejor − σ ( x)
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• Guarismos significativos
1. Las incertidumbres experimentales se dan casi siempre con sólo
una cifra significativa.
2. Si la primera cifra significativa es un 1, se retiene la segunda.
3. Normas de redondeo:
ƒ Si la cifra que se omite es menor que 5, se procede a la
eliminación sin más
ƒ Si la cifra eliminada es mayor que 5, se aumenta en una unidad
la ultima cifra retenida
4. La última cifra significativa del valor de la magnitud debe ser del
mismo orden de magnitud (en la misma posición decimal) que el
de la incertidumbre.
Ejemplo:
INCORRECTOS
CORRECTOS
3.418 ± 0.123
6.3 ± 0.085
46288 ± 1553
3.42 ± 0.12
6.30 ± 0.09
428.351 ± 0.27
0.01683 ± 0.0058
46300 ± 1600 = (4.63 ± 0.16)×104
428.4 ± 0.3
0.017 ± 0.006 = (1.7 ±0.6)×10-2
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• Discrepancia
Diferencia entre dos valores medidos de la misma magnitud
¿Cuándo una discrepancia es significativa?
Ejemplo: Medida de una resistencia
Alumno A
Resultado
40 ± 5 Ω
Alumno C
Resultado
45 ± 1 Ω
Alumno B
42 ± 6 Ω
Alumno D
35 ± 2 Ω
Discrepancia
significativa
Discrepancia
NO
significativa
45
B
40
A
Resistencia Ω
Resistencia Ω
45
B
40
35
A
35
• ¡¡ Comparar la diferencia con el error de las medidas !!
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• Comparación de valores medidos y aceptados
¿Cuándo un valor medido de una magnitud se considera que
coincide con el valor aceptado para ésta?
Ejemplo: Medida de la velocidad del sonido en aire
Valor aceptado: 331 m/s
Comentario
Alumno A:
329 ± 5 m/s
Compatible
Alumno B:
325 ± 5 m/s
Compatible
Alumno C:
345 ± 2 m/s
Incompatible
Velocidad (m/s)
Resultado
C
340
Valor
330
A
B
320
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• Comparación de dos números medidos
Ejemplo: Conservación de la cantidad de movimiento
G
p1
G
p2
G
G
G
p1 + p2 = p
( medida de p ) = p ± σ ( p)
G
p1′
G
p2′
G
G
G
p1′ + p2′ = p ′
( medida de p ′) = p ′ ± σ ( p ′)
Momento inicial: p
Momento final: p ′
Diferencia ∆p
Kg m/s (± 0.04 )
Kg m/s (± 0.06 )
Kg m/s (± 0.10 )
1.49
1.56
-0.07
3.10
3.12
-0.02
2.16
2.05
+0.11
Valor probable más alto:
( p + σ ( p) ) − ( p′ − σ ( p′) ) = ( p − p′) + (σ ( p) + σ ( p′) )
Valor probable más bajo:
σ ( p − p ′ ) ≈ 0.10
( p − σ ( p) ) − ( p′ + σ ( p′) ) = ( p − p′) − (σ ( p) + σ ( p′) )
Valor esperado
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• Comprobando relaciones con una gráfica
¾ Estudio experimental o teórico de un fenómeno físico
¾ Representación gráfica
¾ Interpretación.
Normas para construir gráficas:
1. Papel milimetrado.
2. Escalas:
lineal-lineal,
lineal-logarítmica,
doble
logarítmica
3. Trazado de los ejes:
9 Título
9 Eje de abscisas
→ variable independiente
9 Eje de ordenadas → variable dependiente.
9 Magnitudes y sus unidades
9 Escalas claras y regularmente distribuidas (módulos
1, 2, 5, 10,...), de modo que abarquen todo y sólo el
intervalo de valores experimentales medidos.
4. Símbolos para los valores experimentales
•
×
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‹
„
‘
........
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T2 (s2)
0.8
0.6
Cálculo de k
0.4
0.2
0.0
0
50
100
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150
200
250
300
350
M (g)
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¾ Construcción de tablas
1. Identificación y breve explicación.
2. Descripción del contenido de filas y columnas.
3. Magnitud, error y unidades.
4. Utilizar potencias de 10 cuando los datos salgan del
rango 0-1, 1000.
Ejemplo
Tabla 1.- Ejemplo de tabla
z
t
(cm)
(±0.01 s)
55.0 ±0.3
1.10
67.20 ±0.15
1.30
80.20 ±0.10
1.48
94.5 ±0.3
1.67
106.2±0.7
1.80
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¾ Estudio de la ley de Hooke
Ley de Hooke
F = k ( x − x0 ) = k∆x
Condición de equilibrio
m (g)
200
300
400
500
600
700
800
900
y0 (cm)
(±0.3)
1.1
1.5
1.9
2.8
3.4
3.5
4.6
5.4
y 0 (cm)
ky0 = mg → y0 =
g
m
k
6
5
4
3
2
1
0
100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
m (g)
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¾ Flujo a través de una tubería (Lin-Lin)
Velocidad Promedio
(± 3 mm/s)
35
65
78
126
142
171
194
226
245
258
271
277
284
290
Velocidad media (mm/s)
Gradiente de Presión
(± 0.2 N/m3)
7.8
15.6
23.4
31.5
39.0
46.9
54.7
62.6
78.3
86.0
93.9
101.6
109.8
118.0
300
250
200
150
100
Flujo a través de una tubería
50
0
0
25
50
75
100
125
3
Gradiente de Presión (N/m )
.
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¾ Descarga de un condensador (Lin –Log)
V = V0 e
t
→ ln V = ln V0 −
RC
− t / RC
Tiempo
(± 0.1 s)
2.0
4.0
6.0
8.0
10.0
Voltaje
(± 0.5 mV)
12.3
9.2
5.2
2.6
1.8
Voltaje (mV)
100
Descarga de un condensador
10
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12
Tiempo (s)
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¾
Caída de graves (Log –Log)
1 2
1 
s =s0 + gt → ln ( s − s0 ) = ln  g  + 2 ln t
2
2 
Tiempo
(± 0.2 s)
5
10
15
20
25
30
s-s0
(± 0.1 m)
1.2
4.8
10.0
19.5
25.8
40.1
s-s0 (m)
100
Caída de graves
10
1
1
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10
Tiempo (s)
100
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• Interpolación en una tabla de entrada simple
Tabla de valores de la magnitud z en función de x
x
...
x1
x2
...
...
...
...
...
z1
z2
...
...
...
...
...
z = z1 +
z2 − z1
( x − x1 )
x2 − x1
...
σ ( z) =
z2 − z1
σ ( x)
x2 − x1
x
x2
z2
z
α
z1
x1
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Ejemplo de tabla de simple entrada:
ρ y η en función de T
Agua
T (°C)
0
5
10
15
20
25
30
40
3
ρ (g/cm )
0,999868
0,999992
0,999727
0,999126
0,998230
0,997071
0,995673
0,994962
1,7865
1,5138
1,3037
1,1369
1,0019
0,8909
0,7982
0,6540
Etanol
Acetona
ηcp)
1,773
1,620
1,466
1,333
1,200
1,102
1,003
0,834
0,399
0,378
0,358
0,337
0,327
0,316
0,295
0,280
Variación de la viscosidad con la
temperatura
2,0
Viscosidad (cp)
1,8
1,6
1,4
Agua
Etanol
Acetona
1,2
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
0
10
20
30
40
Temperatura (grados centígrados)
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¾ Aplicación:
¿Cuál es la densidad del agua a (22.5 ± 0,2) °C?
ρ en función de T (agua)
T (°C)
ρ (g/cm3)
0
0,999868
5
0,999992
10
0,999727
15
0,999126
20
0,998230
25
0,997071
30
0,995673
40
0,994962
Cálculo de la densidad:
ρ = 0,998230 +
Densidad (g/cm3)
1.001
1
0.999
0.998
0.997
0.996
0.995
0
10
20
30
T (grados C)
z = z1 +
z2 − z1
(x − x1 )
x2 − x1
0,997071 − 0,998230
(22,5 − 20) = 0,997651
25 − 20
Cálculo del error:
σ (ρ) =
Densidad del agua en función de T
σ ( z) =
z2 − z1
σ ( x)
x2 − x1
0,997071 − 0.998230
× 0.2 = 0, 000046 0, 00005
25 − 20
ρ = ( 0,99765 ± 0, 00005) g/cm3
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• Incertidumbres relativas
Valor medido de x = xMejor ± σ ( x) Unidades
Error relativo de x (%) = σ r (x)=
σ ( x)
xMejor
× 100
PRECISIÓN: BUENA O MALA MEDIDA
Magnitud
Error relativo
110 ± 5
5%
510 ± 5
1%
910 ± 5
0.5%
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