Bloques aumentados repaso Federer 1961.p65

BLOQUES AUMENTADOS (REPASO: FEDERER, 1961)
AUGMENTED BLOCKS (REVISITING FEDERER, 1961)
Basilio A. Rojas-Martínez
Estadística. Campus Montecillo. Colegio de Postgraduados. 56230. Montecillo, Estado de México.
([email protected])
RESUMEN
ABSTRACT
El diseño de Bloques Aumentados presentado por Federer (1961)
incrementó las posibilidades de incluir más tratamientos en los
ensayos de variedades y acelerar los procedimientos de selección.
En este estudio se examinan los argumentos empleados para proponer su análisis estadístico. Se presentan varios argumentos contra el método de Federer, y se propone un procedimiento sencillo
con ventajas obvias, que puede usarse en diseños con dos o más
vías de control de la heterogeneidad.
Federer (1961) presented the design of Augmented Blocks which
increased the possibilities of including more treatments in variety
trials and accelerating the selection process. This work examines
the statistical analysis recommended for such design. Several
arguments are stated against Federer’s method, and a simple
procedure with clear advantages in the solution is explained, which
can also be used in designs which control heterogeneity in two or
more ways.
LOS BLOQUES AUMENTADOS DE FEDERER
FEDERER’S AUGMENTED BLOCKS
F
F
ederer (1961) propuso mejorar la información obtenida en las investigaciones de selección de variedades diseñando experimentos con las variedades
estándar (que tienen igual número de repeticiones), amén
de variedades nuevas. Generó un diseño de r bloques
completos al azar con t tratamientos, agregando a cada
bloque una o más parcelas para ubicar en ellas uno más
tratamientos nuevos, con una sola repetición. El nuevo
bloque j( j=1, 2,...,r) con t tratamientos estándar y vjm
(
ederer (1961) proposed to improve the information
obtained in research conducted in selection of
varieties designing experiments with the standard
varieties (which have the same number of replicates) plus
new varieties. He started with a randomized complete
block of t treatments, all with r replicates, adding to each
block one or more plots to locate in them the new
treatments, with a single replication. The new block j(j=1,
2,...,r) contains t standard treatments and vjm new
)
(
)
tratamientos nuevos: v j1 , v j 2 ,..., v jm( j ) . Se puede te-
treatments: v j1 , v j 2 ,..., v jm( j ) . It is possible to have up
ner hasta r bloques aumentados, con un total de
to r augmented blocks, with a total of t + ∑ v jm( j )
t + ∑ v jm( j ) tratamientos.
treatments.
A new treatment observation can be written as
La observación correspondiente a un tratamiento nuevo es y = v jm( j ) + j + ε que tiene las siguientes características: 1) es una sola observación sin repetición del tratamiento nuevo; 2) su esperanza matemática indica que
los parámetros del tratamiento nuevo están confundidos
con el bloque en que esté ubicado; 3) no existe ninguna
función lineal con las demás observaciones del experimento que tenga esperanza cero, y por tanto no puede
formar parte del error estadístico del experimento (Rao,
1952). Por las mismas razones para todos y cada uno de
los tratamientos nuevos, no pueden ser componentes del
análisis de varianza, y no se justifica el análisis que presenta Federer (1961).
y = v jm( j ) + j + ε , with the following features: 1) It is a
single observation without repetition for the new
treatment; 2) its mathematical expectation shows that the
treatment value is confounded with the respective block
effect; 3) there is no linear function with any of the
remaining observations with zero expectation and,
therefore, the new treatment observation cannot be part
of the statistical experimental error (Rao, 1952). It is then
shown that the new treatment observations cannot be part
of the analysis of variance, and Federer’s (1961) analysis
is not justified.
According to Federer, the original design of the
standard treatments in randomized complete blocks, or
lattice design, with single way heterogeneity controlled
by complete or incomplete blocks, when the number of
treatments is increased with the new ones, the original
Contribución invitada.
Recibido: Septiembre, 2005. Aprobado: Octubre, 2005.
Publicado como ENSAYO en Agrociencia 39: 693-695. 2005.
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AGROCIENCIA, NOVIEMBRE-DICIEMBRE 2005
Según Federer el diseño original de los tratamientos
estándar, en diseño de bloques completos al azar o en
látice, con una sola vía de heterogeneidad que controlan
los bloques completos o incompletos, al aumentar los tratamientos cambia el diseño original a bloques incompletos con otra composición de tratamientos. Este razonamiento lo lleva a un análisis que requiere de todas las
observaciones y de métodos complicados que exigen numerosas computaciones. Esto no es necesario ni justificado: la conformación de los tratamientos estándar en
bloques completos o en el látice original se mantiene, así
como su análisis estadístico original. El argumento es el
mismo, los tratamientos nuevos no modifican la estimación de los (t−1)×(r−1) grados de libertad del error experimental. Fisher (1949), con claridad meridiana, señaló que la estimación del error exige de repeticiones y de
ubicación al azar de los tratamientos.
ANÁLISIS DE BLOQUE AUMENTADOS
El análisis estadístico adecuado es el correspondiente
al diseño experimental de los datos de los tratamientos
estándar, que tienen repeticiones. Uno de los resultados
finales es conocer la matriz de varianzas y covarianzas
de los efectos estimados de los tratamientos estándar. Se
ha dicho que las observaciones de los nuevos tratamientos no pueden ser parte del análisis de varianza; sin
embargo, funciones lineales de los estimadores de los tratamientos nuevos sí pueden formar parte de las funciones de los estimadores para comparar las diferencias entre ellos y con los tratamientos estándar, dado que cualquier función lineal de los parámetros tiene un valor esperado si y solo si es única (Rao, 1965. pp: 181-182).
Se presenta un pequeño ejemplo para hacer mas clara
la exposición. Suponga cuatro tratamientos estándar A,
B, C y D, en tres bloques (j=1, 2, y 3). Los tratamientos
nuevos se insertan como sigue: a y b en el bloque 1, c y d
en el bloque 2, y f en el bloque 3. El modelo estadístico
es:
yij = µ + τ i + β j + εij
Existen 9×8/2=36 posibles comparaciones, pero no
todas tienen igual interés. Podrían interesar los extremos
de los tratamientos estándar, el de mayor rendimiento y
el de menor. Similar interés tendrían los extremos de los
tratamientos nuevos de mayor y menor rendimientos. Las
comparaciones estadísticas tendrán su error estándar correspondiente, que será en todos los casos una función de
la varianza del error experimental. Esta se obtendrá del
análisis de varianza de los tratamientos estándar, arreglados en bloques al azar, la que llamaremos σ̂ 2 .
La observación correspondiente al nuevo tratamiento
c, en el bloque 2, tendrá esperanza c+β2, con varianza σ2.
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VOLUMEN 39, NÚMERO 6
design is modifyed to incomplete blocks with a different
composition of treatments. This reasoning leads him to
an analysis that requires complicated algorithms that
involve all of the treatments in incomplete blocks. This is
not necesary nor justified: the conformation of the
standard treatments in complete blocks or in the original
lattice is mantained, as well as its original statistical
analysis. The new treatments do not affect the estimation
of the (t−1)× (r−1) degrees of freedom for the mean
square error. Fisher (1949), emphatically pointed out that
error estimation requires repetition and random allocation
of treatments.
AUGMENTED BLOCK ANALYSIS
The proper statistical analysis is the corresponding to
the experimental design of the data formed by the standard
treatments which have replications. One of the final results
is the knowledge of the variance-covariance matrix of
the estimated effects of the standard treatments. It has
been said that the observations of the new treatments
cannot be part of the analysis of variance; however, linear
functions of such observations with linear functions of
the standard treatments have no problem, as any linear
function of the parameters has an expected value, if and
only if it is unique (Rao, 1965. pp: 181-182).
A simple and small example is given to clarify the
above statements. Assume four standard treatments A,
B, C and D in three blocks (j=1, 2, 3). The new
treatments are inserted as follows: a and b in block 1, c
and d in block 2, and f in block 3. The statistical model
is:
yij = µ + τ i + β j + εij
There are 9×8/2=36 possible pair comparisons among
treatments, but not with the same importance, there could
be more interest in the comparisons between the extremes
( higher or lower) of standard treatments with the extremes
of the new treatments. The statistical comparisons will
have their corresponding standard error which will be in
all cases a function of the experimental error. This will
be obtained from the analysis of variance of the standard
treatments, arranged in random blocks, which will be
denoted by σ̂ 2 .
The observation corresponding to the new treatment
c in block 2 has as expectation c+β2 and it has σ2 as
variance. Any of the standard treatments (say B) in block
j will have and expectation B+ βj and σ2 as plot variance.
Let us consider the following comparisons:
1) standard treatment vs new treatment in the same
block (D−f, say) will have variance 2σ2. 2) two new
treatments in the same block (b−c, say) will have variance
BLOQUES AUMENTADOS (REPASO: FEDERER, 1961)
Cualquiera de los tratamientos estándar (digamos B) en
un bloque j tendrá la esperanza correspondiente, B + βj y
varianza σ2. Consideremos las siguientes comparaciones:
1)Un tratamiento estándar contra uno nuevo ubicados en el mismo bloque (D−f, por ejemplo) tendrá
varianza 2σ2. 2) Dos tratamientos nuevos en el mismo
bloque, con varianza 2σ2. 3) Dos tratamientos nuevos en
diferentes bloques, sean a y c: (a−TM)−(c−TM) = a−c,
donde TM = (A + B + C + D)/4 (media de los tratamientos estándar). La varianza de (a−TM) es σ2+σ2/4 y lo
mismo es para (c−TM), por lo que V(a−c)= 2σ2(1+1/4).
Otra consecuencia de este análisis de bloques aumentados es su generalización a Cuadros Latinos, Cuadros
de Youden, Látices cuadrados, etc., es decir a aquellos
diseños que controlan la heterogeneidad en dos o más
direcciones.
CONCLUSIONES
Se discute el diseño de bloques aumentados presentado por Federer (1961) y se presenta otro método de análisis con gran simplificación en los algoritmos requeridos para la estimación de los tratamientos y que está de
acuerdo con los principios estadísticos usuales. El método propuesto proporciona las estimaciones de las diferencias entre y dentro de las dos clases de tratamientos y
sus errores estadísticos. El nuevo método de análisis tiene una solución fácil, directa y con gran ahorro de tiempo y puede usarse para mostrar los principios elementales de mínimos cuadrados y estimación, dando ejemplos
que pueden enriquecer la enseñanza de los principios del
diseño de experimentos. También puede aplicarse a diseños con dos o más vías de control de la heterogeneidad.
RECONOCIMIENTOS
2σ2. 3) two new treatments a and c in different blocks.
Consider (a−TM)−(c−TM) = a−c, were TM = (A + B +
C + D)/4 (mean of the standard treatments). The variance
of (a−TM) is σ2+σ2/4, as well as for (c−TM), hence
V(a−c) = 2σ2(1+1/4).
Another consecuence of this augmented blocks
analysis is its generalization to designs with two or more
ways of controlling error heterogeneity sucha as Latin
squares, Youden squares, lattice squares, etc.
CONCLUSIONS
Federer’s augmented blocks design and analysis is
discussed and another method of analysis is presented
which attains simplification and agreement with the usual
statistical principles. The proposed method gives a good
amount of saving time and it can help to show the
elementary principles of least squares and estimation
giving examples that can enrich the teaching of the basic
principles of experimental designs. It can also de applied
to designs with two or more ways of control of
heterogeneity.
—End of the English version—
LITERATURA CITADA
Federer, W. T. 1961. Augmented designs with one-way elimination of
heterogeneity. Biometrics 17-3: 447-473.
Fisher, R. A. 1949.The Design of Experiments. Fifth ed. Hafner Pub.
Co. New York.
Rao, C. R. 1952. Advanced Statistical Methods in Biometric Research.
J. Wiley. New York. pp: 75-80.
Rao, C. R. 1965. Linear Statistical Inference and its Applications. J.
Wiley. New York. pp: 178-182.
A mi señora esposa Cecilia Aguilar de Rojas. A mi distinguido
amigo, colega y maestro Dr. Ángel Martínez Garza.
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