Algo de inducción Bolitas Cómo sigue? Figura

LFyA - DCIC - UNS - 2008
Clase práctica - 27/08/2008
Bolitas
• Considere que tenemos una secuencia de
figuras de bolitas, donde las primeras tres
figuras son las siguientes.
Algo de inducción
Lenguajes Formales y Autómatas
2º cuatrimestre 2008
Departamento de Ciencias e Ingeniería de la Computación
Universidad Nacional del Sur
Regla de construcción de
la secuencia
Cómo sigue?
• La secuencia sigue. Cuál supone sería la figura
de la posición 4?
¿?
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2
3
• Decimos que la secuencia se construye
agregando en cada paso (posición) una figura
formada por la figura anterior agregándole dos
columnas en sus laterales izquierdo y derecho.
• Dichas columnas tienen, cada una, una
cantidad de bolitas igual a la posición en la que
se encuentra la figura
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Regla de construcción de
la secuencia - Ejemplo
• Por ejemplo, si construimos la figura 4, a partir
de la figura 3, obtenemos:
Figura - Posición
• Ya sabemos como sigue la secuencia. Podemos
dibujar la figura de cualquier posición. (cierto?)
• Tomamos la anterior, y le agregamos las bolitas
laterales correspondientes.
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Telma Delladio
• Cómo sería la figura de la posición 5? Y la figura
de la posición 20?
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Clase práctica - 27/08/2008
¿Cuántas bolitas?
Generalizando
• Supongamos que queremos saber cuántas bolitas tiene
la figura de una posición cualquiera, en nuestra
secuencia.
• Tratemos de buscar una expresión que nos sirva
para decir en general cuántas bolitas tiene la
figura que está en la posición n para cualquier
valor de n
• Podríamos dibujar la figura de la posición que nos
interesa (pues ya sabemos cómo dibujarla), y contar
cuántas bolitas tiene.
• ¿Cuántas bolitas tiene la figura de la posición 1, y la de
la posición 2?... Y la figura de la posición 4?, y la figura
de la posición 20? Y la figura de la posición 1528?
De casos particulares…
• La figura de la posición 1
cuenta con 1 bolita
• La figura de la posición 2
cuenta con 2+1+2 bolitas
• La figura de la posición 4
cuenta con 4+3+2+1+2+3+4 bolitas
• Si miramos cualquiera de las figuras, vemos que
son simétricas.
… al caso general
• Podemos generalizar y conjeturar que la figura
de la posición n cuenta con
n + (n-1)+…+ 3 + 2 + 1 + 2 + 3 +…+ (n-1) + n
Que es igual a:
2 [ 2 + 3 +…+ (n-1) + n ] + 1
¿Es correcta la conjetura?
¿Qué vamos a probar?
• ¿Es cierto que esa es la cantidad de bolitas para
cualquier figura de nuestra secuencia?
• Cosas que conocemos como ciertas:
– Las figuras de la posición 1, 2, 3 (dadas)
– La regla de construcción de la secuencia
(cómo a partir de una figura, se construye la
que sigue)
• Tratemos de probar la veracidad de nuestra
conjetura.
• Vamos a probar una propiedad que suponemos
(conjeturamos) es válida para todos los
elementos (figuras) de nuestra secuencia.
Telma Delladio
Propiedad
La cantidad de bolitas que tiene la figura
que está en la posición n, es igual a
2 [ 2 + 3 + 4 + …+ (n-1) + n ] + 1
Para todo n ≥ 2
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Lo probamos por inducción
Clase práctica - 27/08/2008
Lo probamos por inducción
“vale porque vale el anterior”
• Recordamos que cuando probamos una
propiedad P(.) por inducción (1º pcipio)
hacemos lo siguiente:
...
k
a
(1) Probamos que vale P(a). Donde a es el caso que
llamamos base, el primero.
...
(2) Probamos que vale P(k+1) asumiendo la validez de
P(k), k>a
(3) CONCLUIMOS que la propiedad P, vale para todo n≥a
P(a) √
Pruebo que vale en a
Probamos P(n) para n ≥ 2
• P(n) = “ la cantidad de bolitas de la figura en la posición
n es 2 [ 2 + 3 + 4 + …+ (n-1) + n ] + 1 “
• Caso Base: a=2. Probamos que vale P(2).
Como 2 [2] + 1 = 4 +1 = 5 y la figura en la posición 2
tiene efectivamente 5 bolitas, vemos que P(2) vale.
• Asumimos que vale P(k) y probamos que vale P(k+1).
Paso inductivo
• Entonces, la cantidad de bolitas en la posición
k+1 es igual a:
“#bolitas anteriores” + “#bolitas nuevas”
=
2 [ 2 + 3 + 4 + …+ (k-1) + k ] + 1 + 2(k+1)
=
2 [ 2 + 3 + 4 + …+ (k-1) + k + (k+1)] + 1 [CQD]
Telma Delladio
(k+1)
...
P(k) P(k+1)
√
Si vale en k, entonces puedo probar
que vale para k+1
P(k) P(k+1)
• Queremos probar entonces que la cantidad de
bolitas en la posición k+1 es igual a
2 [ 2 + 3 + 4 + …+ k + (k+1)] + 1
• Sabemos por la forma en que se construye la
secuencia, que la cantidad de bolitas de la
posición k+1 es igual a la cantidad de bolitas en
la posición k, más las dos columnas laterales
nuevas (regla de construcción de la secuencia)
• Estas dos columnas suman 2(k+1) nuevas
bolitas
Conclusión
• Como se pudo probar que
– Vale P(2)
– Vale P(k) P(k+1)
• Concluimos que la propiedad vale para todo n ≥ 2
• Esto es,
Para todo n ≥ 2, la cantidad de bolitas que tiene la
figura que está en la posición n, es igual a
2 [ 2 + 3 + 4 + …+ (n-1) + n ] + 1
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