5. modelos de subastas y su aplicación a los concursos

Modelos de subastas y su aplicación a los concursos.
MODELOS DE SUBASTAS Y SU APLICACIÓN A LOS
CONCURSOS
Juan Momparler, Mario Hidalgo
Jaume I, UTEM
RESUMEN
En este trabajo realizamos una introducción histórica a la Teoría de subastas y al Modelo de
Referencia. Nos centraremos en el estudio de la subastas en sobre cerrado al primer precio.
Analizaremos las diferencias entre el modelo simétrico y asimétrico. Veremos como podemos
utilizar estos modelos en el sector de la construcción, donde es habitual realizar la adjudicación de
muchos proyectos mediante subastas con sobre cerrado al primer precio. Comentaremos algunos
resultados conocidos que nos permiten abordar la solución del problema en le caso asimétrico.
Palabras clave: Subastas, simulación, construcción
1. INTRODUCCIÓN
1.1. Evolución histórica de las subastas
Las subastas como método de venta se remontan a la antigua Babilonia, pero es a
partir del siglo XVIII cuando las subastas vuelven a cobrar importancia y se empiezan a
utilizar nuevos métodos, como la subasta holandesa o descendente, se introduce la utilización
del típico martillo para adjudicarse el bien e incluso se utilizan subastas con límite de tiempo
para presentar las ofertas.
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En el siglo XX la importancia de las transacciones realizadas por subastas ha
sido muy significativa. Además su uso se ha ido extendiendo a nuevos bienes y
servicios y se ha incrementado de manera notable el número de participantes, tanto,
desde el punto de vista de la oferta como de la demanda.
El estado es uno de los agentes más importantes en el desarrollo de la
subastas, y actúa tanto de comprador como de vendedor. De hecho una parte importante
de sus compras las suele realizar a través de mecanismos de subastas, principalmente en
sobre cerrado.
En 1956 nos encontramos el primer trabajo académico a cargo de Friedman sobre
subastas, posteriormente en 1961 Vicrkey introduce el concepto de equilibrio de la
Teoría de Juegos, es a partir de 1980 cuando toma auge el enfoque de la Teoría de
Juegos cuando se produce una verdadera explosión de las publicaciones sobre este tema.
1.2. Tipos de subastas
Una subasta se define como una institución de mercado que cuenta con un
conjunto explícito de reglas que determinan la asignación de recursos y donde los
precios se basan en las ofertas presentadas por los participantes.
Desde el trabajo de Vickrey (1961) se han considerado principalmente
cuatro tipos de subastas:
1.2.1. Subasta ascendente o inglesa
Este tipo de subasta es la más utilizada, la característica que la define es el hecho
de que el precio se va incrementando sucesivamente hasta que queda en un único
comprador, que es el que se adjudica el bien al precio final
1.2.2. Subasta holandesa o subasta descendente
Este tipo de subasta será el mecanismo inverso al anterior, en este caso el
subastador comienza con un precio muy alto que va disminuyendo sucesivamente hasta
que algún comprador lo acepte.
1.2.3. Subasta con sobre cerrado al primer precio
Los potenciales compradores presentan las ofertas con sobre cerrado. El bien, se
adjudica al mejor postor y el precio coincide con la mejor oferta.
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En este tipo de subasta destacan dos características que contrastan con lo que ocurrirá
con la subasta inglesa: en el momento de presentar las ofertas lo potenciales compradores no
conocen cual es las oferta de los demás y cada comprador sólo puede presentar una única
oferta.
1.2.4. Subasta con sobre cerrado al segundo precio
Esta subasta será igual a la anterior pero con la diferencia que el precio a pagar no será la
del ganador, sino que sería la segunda oferta más alta presentada.
Estas cuatro formas básicas de subastas admiten muchas variantes, como por ejemplo,
se puede incluir un precio mínimo que podría ser un hecho público o no, se pueden imponer
tasas por el derecho a aceptar, también el tiempo para presentar las ofertas podría ser fijo, etc.
En las subastas al primer precio en sobre cerrado, a los compradores se les presenta el
conocido dilema de que las ofertas mayores tienen más probabilidad de ganar pero al mismo
tiempo reducen el excedente en caso de ganar. La obtención de la estrategia de equilibrio de
los compradores ya no es un procedimiento tan directo como en los otros casos. Hay que
tener en cuenta que ya no están disponibles estrategias claras y, por lo tanto, cada comprador
tendrá que realizar una conjetura sobre el comportamiento de los demás. Se puede demostrar
que la solución a este problema de optimización consiste en presentar una oferta que sería la
valoración más alta entre sus competidores, asumiendo que su propia valoración es la más
elevada, es decir, es como si un comprador en el momento de calcular su oferta asume que va
ser el ganador y entonces, dado este supuesto, calcula cual sería la esperanza de la valoración
más alta entre el resto de los compradores y presenta una oferta igual a este valor. Si todos los
compradores se comportan de esta manera entonces el ganador
será el que tenga una
valoración más alta y el precio será su propia oferta. Conocidos estos antecedentes
estudiaremos el caso de la subasta en sobre cerrado al primer precio.
2. SUBASTA AL PRIMER PRECIO EN SOBRE CERRADO
La compra de un bien se podría describir de la siguiente manera:
1.- Todos los compradores adoptan sus acciones simultáneamente.
2.- Cada uno recibe sus ganancias en función de las acciones tomadas por todos los
compradores.
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En un problema de subasta en sobre cerrado al primer precio, los compradores
presentan sus ofertas, el ganador recibe el bien y paga el precio incluido en su propia
oferta, el resto de los compradores no recibe nada y no paga nada.
Para analizar la puja que hay que presentar en una subasta, se debe tener presente
que es lo que saben los compradores en el momento de tomar su decisión, cuales son
sus acciones factibles y cuales serían sus funciones de ganancias. Se supone que los
potenciales compradores conocen las reglas de la subasta, actúan con la certeza de su
aplicación y valoran el objeto que se esta subastando.
Esta valoración se designará por ci para el comprador i , que será el máximo
precio que estaría dispuesto a pagar, en general será diferente para cada participante.
El supuesto de la información completa significa que todos los compradores
conocen exactamente como sus competidores valoran el bien en venta. En relación a sus
acciones factibles se supone que no se presentan ofertas negativas, donde la oferta del
comprador i se designará por bi .
2.1. El modelo de referencia. Subasta al primer precio en sobre cerrado
Es el modelo más extendido en la literatura y muchos trabajos se han desarrollado
a partir de la modificación o relajación de los supuestos básicos.
Para un modelo de una subasta en sobre cerrado al primer precio es necesario
realizar precisiones sobre los supuestos del modelo:
1) El número de participantes se designará por N . De esta manera, con el subíndice
i = 1,.....N se designará un comprador genérico.
2) Las ofertas se suponen continuas pertenecientes al conjunto de los números reales no
negativos, es decir, bi ∈ [0, ∞)
[ ]
3) Las valoraciones de los compradores ci se distribuyen en el intervalo c, c y
comparten la misma función de distribución F (ci ) , que se supone que es continua y
diferenciable en dicho intervalo y además tienen una función de densidad designada por
[ ]
f ( x ) . Por lo tanto ci ∈ c, c , siendo F (c) = 0 y F (c) = 1 .
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El vector que contiene las ofertas de todos los candidatos a excepción del candidato i ,
se designará por b−i y a la oferta más alta de las incluidas en b−i se llamará b j , es decir,
b j = max[b−i ] será la oferta más alta sin tomar en cuenta a bi .
La ganancia del comprador será:
c − bi
ui =  i
 0
bi > b j
bi < b j
dónde la utilidad esperada del comprador i es:
u ie = (ci − bi ) P((bi > b j )) N −1
(1)
En este caso los compradores presentaran sus ofertas e intentarán maximizar la
utilidad esperada teniendo en cuenta la información de que disponen y sus conjeturas de cómo
se comportan los demás compradores.
Se supone que el comprador i realiza la conjetura de que todos sus competidores van
a presentar sus ofertas de acuerdo a una regla de decisión arbitraria, bh = B (c h ) ∀h ≠ i . Esta
regla de decisión sería arbitraria pero debe cumplir dos requisitos fundamentales: ser continua
[ ]
y ser monótona creciente ∀i ∀ ci ∈ c, c . Estas propiedades son importantes por que
asegurar sin ambigüedad que a mayor valoración mayor será la oferta presentada y el hecho
de ser monótona creciente asegura la función inversa en el intervalo factible para las
valoraciones, es decir: c h = B −1 (bh )
∀h ≠ i . Donde B −1 (bh ) será la valoración que da lugar a la presentación de una
oferta igual a bh .
Anteriormente se comentó que la mayor oferta entre los competidores de i se
llama b j entonces b j = B (c j ) .
Sea c *j la valoración que haría que el comprador j presentara una oferta igual
a la del comprador i donde c *j = B −1 (b j ) , entonces la probabilidad de ganar que tiene el
comprador i con la oferta bi será igual a la probabilidad de que todas las valoraciones del
resto de los compradores se sitúen por debajo de c *j . A su vez, la probabilidad de que la
valoración de un comprador se sitúe por debajo de c *j vendrá dada precisamente por la
( )
función de distribución de las valoraciones, es decir, F c ∗j .
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Como existen N − 1 competidores del comprador i , para obtener la probabilidad
de que todas las valoraciones se encuentren por debajo de ese valor, se tendría que
multiplicar N − 1 veces por si misma. Por lo tanto:
[
]
[
]
P bi > b j = P bi > B(c j ) = F (c *j ) N −1 = F ( B −1 (bi )) N −1
Remplazando este valor en la ecuación (1) se tiene:
Max u ie = (ci − bi ) F ( B −1 (bi )) N −1
(2)
En esta expresión se han eliminado las referencias a la máxima oferta de sus
competidores o a sus valoraciones, datos ambos no conocidos por el comprador cuando
presenta su oferta.
De esta manera la ecuación anterior aparecen sólo variables conocidas
como el número de participantes N , la función de distribución de las valoraciones de
los otros compradores F y su propia valoración.
Por lo tanto, en esta formulación de la utilidad esperada ya se podría
afrontar el problema de su maximización, en el contexto de los requisitos exigidos por
el Equilibrio Bayesiano de Nash. Para maximizar u ie habrá que elegir bi tal que se
cumpla la condición de primer orden
∂u ie
= 0 . Si se deriva u ie con respecto a ci y si se
∂bi
introduce la condición de primer orden en esta derivada, se tiene:
du ie ∂u ie ∂u ie dbi ∂u ie
=
+
*
=
dci
∂ci ∂bi dci
dci
Por lo tanto, la oferta óptima bi debe satisfacer:
du ie ∂u ie
N −1
=
= F B −1 (bi )
dci
dci
(
)
(3)
Hasta ahora solo se ha fijado en el comprador i y se ha supuesto una regla de
decisión arbitraria B(⋅) que utilizarían sus rivales. Todos los compradores deben estar
maximizando simultáneamente su utilidad, y por tanto, el uso de la función B(⋅) por
parte de los competidores de i deben ser consistente con
ellos mismos si están
actuando racionalmente. Si a estas condiciones, se le agrega, el supuesto de simetría
entre los compradores, entonces la oferta óptima del comprador i (bi ) debería ser la
que determine la propia regla de decisión B(⋅) para la valoración ci . Es decir, para
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que cada oferta (bi ) , pueda formar parte de un equilibrio de Nash debe cumplir que
bi = B (ci ) , sustituyendo esta expresión en (3) se tiene:
[
du ie
= F ( B −1 (bi )) N −1 = F B −1 ( B (ci )
dci
]
N −1
= F (ci ) N −1
Por lo tanto, para calcular la utilidad esperada se tiene:
ci
[
]
u (ci ) = ∫ F (c) N −1 dc + A
e
i
(4)
c
Para determinar el valor de A se recurre a la siguiente condición limite, el tipo de
comprador que le correspondería a la valoración más baja entre todas las posibles tendría una
utilidad esperada por participar en la subasta de cero, esta condición que juega un papel
relevante en el modelo de referencia, también se podría deducir de la racionalidad de los
supuestos realizados que equivale a que la oferta que realiza un comprador con la valoración
más baja sería B (c) = c . Por lo tanto, este tipo de comprador gane o pierda la subasta,
siempre recibiría una ganancia igual a cero. Utilizando esta condición se observa que el valor
de la constante A es cero, porque la integral se anula cuando ci = c . Entonces, aplicando la
condición de Nash de que bi = B (ci ) e igualando (2) y (4) se tiene la función de oferta
B (ci ) :
ci
∫ [F (c)
N −1
]
dc = (ci − B (ci ) )F (ci ) N −1
c
Despejando B (ci ) se tiene:
ci
∫ [F (c) ]dc
bi = B (ci ) = ci -
N −1
c
F (ci ) N −1
(5)
En una subasta al primer precio, la combinación de estrategias que consiste en que
todos los compradores utilizan la función de oferta B (ci ) constituye un equilibrio bayesiano
de Nash.
Esta función de oferta, es creciente, por lo tanto en el contexto del modelo en
referencia la subasta al primer precio sería eficiente debido a que el ganador será el
comprador con la valoración más alta.
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3. EJEMPLO DEL MODELO ASIMÉTRICO
3.1. El Modelo Asimétrico
Supongamos que N empresas constructoras participan en una subasta para
adjudicarse un proyecto. La empresa i conoce su propio coste pero no el del resto de
participantes en la subasta. El coste estimado para cada empresa i es una variable
aleatoria C i cuya realización la denotamos por ci y es elegido independientemente por
cada una.
La variable aleatoria C i tiene una función de distribución
función de densidad de probabilidad
Fi (⋅;θ i )
y una
f i (⋅;θ i ) , siendo θ i un parámetro. Sea
θ = (θ1 ,θ 2 ,θ 3 ,.........., θ N ) el vector de los parámetros específicos de todas las empresas.
[ ]
Suponemos que el coste de de todas las empresas ci ∈ c, c . Supongamos también que
cada empresa constructora tiene diferente localización y por tanto diferentes costes de
transporte:
ci = cos te _ fijo + β 1 ⋅ dista i + ε i
Tendremos el conste estimado ci en función de tres términos. La primera parte
afecta a todas las empresas por igual, por ejemplo, los kilómetros de autovía han de ser
asfaltados, o las toneladas de cemento que se necesitan para construir un nuevo edificio.
El segundo β 1 ⋅ dista i , es diferente para cada firma pues afecta a su localización. Por
último el término ε i , es una variable independiente que sirve para modelar la
información privada, como el coste de materiales o de mano de obra.
Si suponemos que ε i está normalmente distribuido, con media cero y desviación
típica σ i , entonces θ i = (cos te _ fijo, β 1 , dista i , σ i ) .
Sea bi la puja de la firma i , como en este caso la adjudicación se realiza a la
oferta más económica, podremos definir su utilidad como sigue:
b − ci
u i (b1 , b2 , b3 ,......, b N , ci ) =  i
 0
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bi < b j
∀i ≠ j
en otro caso
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La empresa i se dice que tiene valoración privada, ya que su utilidad depende
únicamente de ci y no de la información privada de las otras firmas. Los diferentes costes de
materiales y de mano de obra para cada empresa implicarán la valoración privada.
2.1.1. Ganancia esperada
En el modelo la estrategia de la empresa i es una función bi = b i (ci ;θ ) . Le Brun (1994)
y Martin y Riley (1996) han demostrado que en equilibrio, las funciones de puja bi = b i (ci ;θ )
son estrictamente crecientes y diferenciables. Lo cual implica que existe función inversa de
puja φi (b;θ ) = bi−1 (b;θ ) es también estrictamente creciente y diferenciable.
La empresa i espera un beneficio de la puja bi con el coste estimado ci que
denotaremos π i (bi , ci ;θ ) que verifica:
π i (bi , ci ; b−i ,θ ) = (bi − ci ) ⋅ Qi (b;θ )
Siendo:
[
]
Qi (b;θ ) = ∏ 1 − F j (φ j (b;θ );θ j )
j ≠i
la probabilidad que la firma i realice la oferta más baja.
2.1.1. Definición
Un equilibrio en estrategia pura es una colección de funciones b1∗
b2∗ ... bN∗ tales
[ ]
que ∀i ∀ ci ∈ c, c , bi = bi∗ (ci ) maximiza π i (bi , ci ; b−i∗ , θ ) .
La condición de primer orden para que la empresa i maximice el beneficio esperado es:
∂
π i (bi , ci ;θ ) = (bi − ci ) ⋅ Qi' (bi ;θ ) + Qi (bi ;θ ) = 0
∂bi
En equilibrio tendremos esta expresión para cada empresa
∂
π i (bi , ci ;θ ) = (bi − ci ) ⋅ Qi' (bi ;θ ) + Qi (bi ;θ ) = 0
∂bi
i = 1,.....N
Si derivamos tendremos i = 1,.....N


∂


'
π i (bi , ci ;θ ) = ∏ 1 − F j (φ j (bi )) − (bi − ci )∑ f j (φ j (bi )) φ j (bi ) × ∏ [1 − Fk (φ k (bi ))] = 0
∂bi
j ≠i
k≠ j
 j ≠i



[
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]
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Si agrupamos términos y reordenamos el sistema en términos de φ 'j (b ) :
φi' (b ) =

1 − Fi (φi (b ))  − ( N − 2 )
1
⋅
+∑
(N − 1) f i (φi (b ))  bi − φi (b ) j ≠i b − φ j (b )
i = 1,.....N
(6)
Luego podemos caracterizar la inversa de las funciones de puja como un sistema
de N ecuaciones diferenciales ordinarias.
Veamos dos resultados clave que nos servirán para garantizar la existencia de
equilibrio y caracterizar las inversas de las funciones de puja.
2.1.2. Suposición 1
[ ]
Para todo i , Fi (ci ;θ ) tiene soporte c, c . La función de densidad de probabilidad
f i (ci ;θ ) es continuamente diferenciable.
2.1.3. Suposición 2
Para todo i , la función de densidad de probabilidad f i (ci ;θ ) está acotada en
[c, c].
2.1.4. Teorema1 (LeBrun, Maskin y Riley)
Si se dan las suposiciones 1 y 2 entonces existe un equilibrio de estrategia pura. Además
las funciones de puja son estrictamente crecientes y diferenciables.
2.1.4. Teorema2 (LeBrun, Maskin y Riley)
Suponiendo que se verifican las suposiciones 1 y 2. Sea φ1∗ (b ) φ 2∗ (b ) ... φ N∗ (b )
las inversas de las pujas de equilibrio. Entonces:
()
1. Para todo i , φi∗ c = c
2. Existe una constante β tal que para todo i , φ i∗ (β ) = c
[ ]
3. Para todo i y para todo b ∈ β , c se verifica la ecuación (6)
Las condiciones 1 y 2 del Teorema 2 nos dan 2N condiciones de frontera para el
conjunto de N ecuaciones diferenciales de (6). La condición 1 dice que las empresas que
tienen el coste más alto c el valor de la puja que realizan es c . La segunda condición
dice que en el coste más bajo c , todas las empresas pujarán β .
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Para demostrar la unicidad de la solución con las condiciones de frontera especificadas,
necesitaríamos que el sistema verifique las condiciones de Lipschitz. Sin embargo por la
()
( ( ))
b − φ (c) = 0 . Por lo tanto el sistema tiende a y por esa razón no se
condición 1 del Teorema 2 φi∗ c = c y por la condición de 1 − Fi φi∗ c = 0 tendremos que
cuando b → c , entonces
∗
i
0
0
verifican las condiciones de Lipschitz en las proximidades de c .
La necesidad de dar soluciones a las funciones de puja en los casos más complejos
requiere el desarrollar técnicas específicas para la resolución del sistema de ecuaciones
diferenciales, como se puede observar en varios trabajos.
3. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
•
BAJARI, P. (2001).“Comparring competition and collusion: a numerical approach”.
Economic Theory 18, pp.187-205
•
DURÁ, P. (2002),” Teoría de subastas y privatizaciones: un modelo de reputación
del vendedor. Tesis Doctoral.
•
MASKIN, E. Y RILEY, J. (2000). “Asymmetric Auctions”. Review of Economic
Studies 67, pp. 413-438.
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