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Junio 2012. Ejercicio 1B. (Puntuación máxima: 3 puntos)
Un estadio de futbol con capacidad para 72000 espectadores está lleno durante la celebración de un
partido entre los equipos A y B. Unos espectadores son socios del equipo A, otros lo son del equipo B, y
el resto no son socios de ninguno de lo equipos. A través de la venta de localidades sabemos lo siguiente:
(a) No hay espectadores que sean socios de ambos equipos simultáneamente.
(b) Por cada 13 socios de alguno de los dos equipos hay 3 espectadores que no son socios.
(c) Los socios del equipo B superan en 6500 a los socios del equipo A
¿Cuántos socios de cada equipo hay en el estadio viendo el partido?
Solución.
x ≡ nº de socios de A
y ≡ nº de socios de B
z ≡ nº de no socios
Datos:
(a ) x + y + z = 72000  x + y + z = 72000
x+y z
 
(b )
=
0
 : 3x + 3y − 13z =
13
3
 x − y
=
−
6500
(c ) y = 6500 + x  
El sistema se puede resolver de forma muy sencilla por reducción.
z
= 72000
x + y +
13

z =
0
x + y −
3

= − 6500
x − y
Restando las dos primeras ecuaciones se calcula z
16
1ª +2ª :
z = 72000 z = 13500
3
El sistema se reduce a dos incógnitas y dos ecuaciones
 x + y = 58500 Sumando 2x = 52000 x = 26000
:

x − y = −6500 Restando 2y = 65000 y = 32500
Del equipo A 26000 socios, del equipo B 32500 socios
Modelo 2011. Ejercicio 1A. (Puntuación máxima: 3 puntos)
Un estudiante ha gastado un total de 48 euros en la compra de una mochila, un bolígrafo y un libro. Si el
precio de la mochila se redujera a la sexta parte, el del bolígrafo a la tercera parte y el del libro a la
séptima parte de sus respectivos precios iniciales, el estudiante pagaría un total de 8 euros por ellos.
Calcular el precio de la mochila, del bolígrafo y del libro, sabiendo que la mochila cuesta lo mismo que el
total del bolígrafo y el libro.
Solución.
Sea x el precio de la mochila, y el precio del bolígrafo y z el precio del libro. Se sabe que la suma de
ambos ha de ser 48, lo que nos lleva a la primera ecuación del problema:
x + y + z = 48
Por otra parte se sabe que el precio de la mochila reducido a la sexta parte, más el del bolígrafo reducido a
la tercera y el del libro a la séptima suman un total de 8 euros:
x y z
+ + =8
6 3 7
Finalmente, el precio de la mochila (x) es igual a la suma del precio del bolígrafo (y) y del libro (z).
x= y+z
Juntando las 3 ecuaciones se tiene el sistema que es necesario resolver para obtener los precios de los 3
productos:
1
 x+y+z =8
 x+y+z =8
x y z
F2 = 42F2 
+
+
=
8





→

7 x + 14 + 6z = 336
6 3 7

x = y+z

 x = y+z
El sistema se resuelve por cualquier método, obteniendo de solución:
x = 24 €; y = 3 €; z = 21 €
Modelo 2009. Ejercicio 1B. (Puntuación máxima: 3 puntos)
Un hotel adquirió un total de 200 unidades entre almohadas, mantas y edredones, gastando para ello un
total de 7500 euros. El precio de una almohada es de 16 euros, el de una manta 50 euros y el de un
edredón 80 euros. Además, el número de almohadas compradas es igual al número de mantas más el
número de edredones. ¿Cuántas almohadas, mantas y edredones ha comprado el hotel?
Solución.
El problema se resuelve mediante un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas.
Las incógnitas son:
x ≡ Número de almohadas compradas por el hotel.
y ≡ Número de mantas compradas por el hotel.
z ≡ Número de edredones comprados por el hotel.
Ecuaciones.
“Un hotel adquirió un total de 200 unidades entre almohadas, mantas y edredones.”
x + y + z = 200
“Gastando para ello un total de 7500 euros. El precio de una almohada es de 16 euros, el de
una manta 50 euros y el de un edredón 80 euros.”
16x + 50y + 80z = 7500
“El número de almohadas compradas es igual al número de mantas más el número de
edredones.”
x=y+z
Ordenando se obtiene un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas.
x + y + z = 200


16x + 50 y + 80z = 7500

x−y−z = 0

1 1 1


A = 16 50 80  : A = 60 ≠ 0 ⇒ Sistema compatible determinado (Cramer ).
 1 − 1 − 1


200
1
1
1
7500 50 80
x=
Ax
A
=
0
−1 −1
60
200
1
16 7500 80
=
Ay
1
6000
= 100 x =
=
60
A
1
1
0
60
−1
=
4200
= 700
60
200
16 50 7500
x=
Az
A
=
1
−1
60
0
=
1800
= 30
60
El sistema se puede resolver por cualquier método conocido, recomiendo el método de Cramer
por ser el más metódico, aunque en este caso, sumando la 1ª y 3ª ecuación se puede despejar x, dejando el
sistema reducido a dos ecuaciones con dos incógnitas.
2
Septiembre 2008. Ejercicio 1A. (Puntuación máxima: 3 puntos)
Una empresa instala casas prefabricadas de tres tipos A, B y C. Cada casa de tipo A necesita 10 horas de
albañilería, 2 de fontanería y 2 de electricista. Cada casa de tipo B necesita 15 horas de albañilería, 4 de
fontanería y 3 de electricista. Cada casa de tipo C necesita 20 horas de albañilería, 6 de fontanería y 5 de
electricista. La empresa emplea exactamente 270 horas de trabajo al mes de albañilería, 68 de fontanería y
58 de electricista. ¿Cuántas casas de cada tipo instala la empresa en un mes?
Solución.
Variables:
x ≡ número de casas tipo A
y ≡ número de casas tipo B
z ≡ número de casas tipo C
Los datos se pueden reunir en un cuadro de contingencia.
Albañilería
Fontanería
Electricista
10
2
2
Tipo A
15
4
3
Tipo B
20
6
5
Tipo C
270
68
58
Totales
Cada tipo de trabajo permite plantear una ecuación.
10x + 15y + 20z = 270
2 x + 3y + 4z = 54


SIMPLIFICANDO
2
x
+
4
y
+
6
z
=
68







→

 x + 2 y + 3z = 34
 2x + 3y + 5z = 58
 2x + 3y + 5z = 58


Para resolver el sistema se calcula el determinante de la matriz de coeficientes, si |A| ≠ 0, sistema
compatible determinado, se resuelve por el método de Cramer.
2 3 4
det A = 1 2 3 = 20 + 18 + 12 − (18 + 15 + 16) = 50 − 49 = 1 ≠ 0
2 3 5
54 3 4
34 2 3
x=
Ax
A
=
58 3 5
1
= 10 : y =
Ay
A
=
2 54 4
2 3 54
1 34 3
1 2 34
2 58 5
1
= 6: z =
Az
A
=
2 3 58
1
=4
Solución: 10 casas tipo A, 6 casas tipo B y 4 casas tipo C.
Junio 2008. Ejercicio 1A. (Puntuación máxima: 3 puntos)
Un agricultor tiene repartidas sus 10 hectáreas de terreno en barbecho, cultivo de trigo y cultivo de
cebada. La superficie dedicada al trigo ocupa 2 hectáreas más que la dedicada a la cebada, mientras que
en barbecho tiene 6 hectáreas menos que la superficie total dedicada al cultivo de trigo y cebada.
¿Cuántas hectáreas tiene dedicadas a cada uno de los cultivos y cuántas están en barbecho?
Solución.
Problema de tres incógnitas con tres ecuaciones.
Incógnitas:
- x ≡ nº de hectáreas dedicadas a barbecho.
- y ≡ nº de hectáreas dedicadas a trigo
- z ≡ nº de hectáreas dedicadas a cebada.
Ecuaciones:
Número total de hectáreas 10:
x + y + z = 10
La superficie dedicada al trigo ocupa 2 hectáreas más que la dedicada a la cebada:
y=z+2
La superficie dedicada a barbecho tiene 6 hectáreas menos que la superficie total dedicada al
cultivo de trigo y cebada:
3
x=y+z−6
Ordenando se obtiene un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas que al resolverlo nos da
la superficie dedicada a cada cosa.
 x + y + z = 10

 y−z = 2
 x − y − z = −6

Sumando la 1ª y la 3ª ecuación se despeja x.
x + y + z = 10 
(+ ) : 2x = 4 : x = 2
x − y − z = −6 
Sustituyendo 2n 2l sistema el valor de x, se reduce a dos ecuaciones con dos incógnitas, que
sumando y restando permite calcar las variables que faltan.
y + z = 8
y + z = 8
(+ ) : 2 y = 10 : y = 5
(− ) : 2z = 6 : y = 3
y − z = 2
y − z = 2
x = 2; y =5; z = 3
También se puede resolver por el método de Cramer.
Septiembre 2001. Ejercicio 1B. (Puntuación máxima: 3 puntos)
Un hipermercado inicia una campaña de ofertas. En la primera de ellas descuenta un 4% en un
cierto producto A, un 6% en el producto B y un 5% en el producto C. A las dos semanas pone en marcha
la segunda oferta descontando un 8% sobre el precio inicial de A, un 10% sobre el precio inicial de B y un
6% sobre el precio inicial de C.
Se sabe que si un cliente compra durante la primera oferta un producto A, dos B y tres C, se
ahorra 16 euros respecto del precio inicial. Si compra tres productos A, uno B y cinco C en la segunda
oferta, el ahorro es de 29 euros. Si compra un producto A, uno B y uno C, sin ningún tipo de descuento,
debe abonar 135 euros.
Calcúlese el precio de cada producto antes de las ofertas.
Solución.
Se pide plantear y resolver un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas.
x ≡ Precio del articulo A
y ≡ Precio del articulo B
z ≡ Precio del articulo C
1ª Ecuación. Ahorro en la primera oferta:
4
6
5
⋅x +
⋅ 2y +
⋅ 3z = 16
100
100
100
2ª Ecuación. Ahorro en la segunda oferta
8
10
6
⋅ 3x +
⋅y+
⋅ 5z = 29
100
100
100
3ª Ecuación. Gasto en la compra sin ofertas
x + y + z = 135
Multiplicando las dos primera ecuaciones por cien y dividiendo la segunda por dos se obtiene el
siguiente sistema:
4x + 12 y + 15z = 1600

12x + 5 y + 15z = 1450
 x + y + z = 135

Para resolver el sistema se estudia el determinante de la matriz de coeficientes
4
4 12 15
12 5 15 = 101 ≠ 0
1 1 1
por ser distinto de cero, el sistema es compatible determinado, se resuelve por Cramer.
1600 12 15
4 1600 15
4 12 1600
1450 5 15
12 1450 15
12 5 1450
135 1 1
1 135 1
1 1 135
2525
5050
6060
x=
=
= 25
x=
=
= 50
x=
=
= 60
101
101
101
A
A
A
Septiembre 2000. Ejercicio 1A. (Puntuación máxima: 3 puntos)
Una empresa desea disponer de dinero en efectivo en euros, dólares y libras esterlinas. El valor
total entre las tres monedas ha de ser igual a 264.000 euros. Se quiere que el valor disponible en euros sea
el doble del dinero en dólares, y que el valor del dinero en libras esterlinas sea la décima parte del valor
del dinero en euros.
Si se supone que una libra esterlina es igual a 1’5 euros y un dólar es igual a 1’1 euros, se pide
determinar la cantidad de euros, dólares y libras esterlinas que la empresa ha de tener disponible.
Solución.
x ≡ Dinero disponible en euros; y ≡ Dinero disponible en dólares; z ≡ Dinero disponible en libras
Una libra esterlina es igual a 1’5 euros
Un dólar es igual a 1’1 euros
→
→
x = 1,5 z
x = 1,1 y
•
“El valor total entre las tres monedas ha de ser igual a 264.000 euros”
x + 1,1y + 1,5 z = 264000
•
“Se quiere que el valor disponible en euros sea el doble del dinero en dólares”
x = 2·1,1y
•
“El valor del dinero en libras esterlinas sea la décima parte del valor del dinero en euros”
1,5z = x/10
Las tres condiciones permiten plantear un sistema de ecuaciones lineales
x + 1,1y + 1,5z = 264000

x = 2,2 y


x = 15z

x = 165000

Resolviendo por sustitución:  y = 75000
 z = 11000

5