tema 2: el interés compuesto

ADMINISTRACIÓN Y FINANZAS. GRADO SUPERIOR
TEMA 2. INTERÉS COMPUESTO
TEMA 2:
EL INTERÉS COMPUESTO
1. DIFERENCIA ENTRE INTERÉS SIMPLE Y EL INTERÉS COMPUESTO
INTERÉS SIMPLE
INTERÉS COMPUESTO
Los intereses no se acumulan al capital.
Los intereses se acumulan al capital.
Cn = Co * (1+i) n
I = Cn - Co
FÓRMULAS DEL
INTERÉS COMPUESTO
En los ejercicios intervienen las siguientes variables:
- Capital inicial o actual (Co): Cantidad referida al momento actual.
- Capital final o montante (Cn): Capital referido al final de la operación.
- Tiempo (n): duración de la operación.
- Tanto de interés anual (i): ganancia obtenida por un euro en un año.
-
En los ejercicios de inversión, la cantidad invertida será el capital inicial y el importe
que se recibe al final de la inversión, se denomina capital final o montante.
En los ejercicios de préstamos, la cantidad prestada es el capital inicial y la cantidad
que devolvemos al final del periodo para cancelar el préstamo se denomina capital final
o montante.
CAPITAL INICIAL
INVERSIÓN
Cantidad invertida
PRÉSTAMO
Importe del préstamo
CAPITAL FINAL
Cantidad que deseamos
tener al final de la operación
Cantidad necesaria para
cancelar el préstamo
2. CÁLCULO DEL CAPITAL FINAL O MONTANTE. (OPERACIÓN DE CAPITALIZACIÓN)
Ejercicio: La señora Blasco deposita en una entidad financiera 30.000 € a plazo fijo durante 4
años a un tipo de interés compuesto del 10 % anual. Calcular la cantidad que recibirá al final
de la operación.
Co = 30.000 €
0
Co = 30.000 €
n = 4 años
i = 0,10 anual
Cn = X
n = 4 años
Cn = Co * (1+i) n
Cn = 30.000 * (1,1) 4
Cn = 43.923 €
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i = 0.10 anual
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3. CÁLCULO DEL CAPITAL INICIAL. (OPERACIÓN DE ACTUALIZACIÓN)
Ejercicio: Determina el capital inicial, que colocado al 7,5 % anual durante 6 años se ha
convertido en un capital final de 50.000 €
Co = X
0
Cn = 50.000 €
n = 6 años
Cn = 50.000 €
n = 6 años
i = 0,075 anual
Cn = Co * (1+i) n
50.000 = Co * (1,075) 6
50.000 = Co * 1,543302
Co = 50.000 / 1,543302
Co = 32.398,07 €
i = 0,075 anual
4. CÁLCULO DEL TIEMPO
Ejercicio: Calcula el tiempo que ha pasado desde que invertimos 4.150 € al 9,5 % de interés
compuesto si al final de la operación hemos recibido 10.284,64 €
Co = 4.150
0
Co = 4.150 €
Cn = 10.284,64 €
n = X años
i = 0,075 anual
Cn = 10.284,64 €
n = X años
i = 0,095 anual
Cn = Co * (1+i) n
10.284,64 = 4.150 * (1,095) n
10.284,64 / 4.150 = (1,095) n
2,478227 = (1,095) n
log 2,478227 = n * log 1,095
0,394141 = n * 0,039414
n = 0,39414 / 0,039414
n = 10 años
5. CÁLCULO DEL TANTO DE INTERÉS
Ejercicio: Calcula el tipo de interés al que estuvieron colocados 9.000 € durante 4 años, si se
convirtieron en 14.000 €
Co = 9.000 €
0
Co = 9.000 €
Cn = 14.000 €
n = 4 años
i=X
Cn = 14.000 €
n = 4 años
Cn = Co * (1+i) n
14.000 = 9.000 * (1 + i) 4
14.000 / 9.000 = (1+i) 4
1,555556 = (1 + i) 4
4 1,555556 = 4
(1 + i ) 4
4 1,555556 = 1 + i
1,11679 = 1 +i
i = 0,11679
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i = X anual
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6. TANTOS FRACCIONADOS
El tipo de interés y la duración de la operación deben estar referidos a los mismos
periodos de tiempo. Por este motivo, en los ejercicios en los que el periodo de tiempo sea
inferior al año, debemos calcular el tanto de interés fraccionado.
El tanto de interés fraccionado (ik) será un tanto que produzca los mismos resultados al
año que los obtenidos si utilizamos el tanto de interés anual efectivo (i).
Para calcular el tanto de interés o fraccionado utilizamos la siguiente fórmula:
(1 + ik)K = (1+i)
Siempre que en un ejercicio nos den un tanto de interés inferior a un año (mensual,
trimestral, semestral, etc.) nos están facilitando el tanto fraccionado (ik)
El tanto nominal (Jk) es el resultado de multiplicar ik * k y siempre está referido a un
determinado periodo de tiempo. (Ejemplo: tanto nominal capitalizable por trimestres. Sería J4)
J k = ik * k
TANTO DE INTERÉS EFECTIVO ANUAL (T.A.E)
TANTO NOMINAL
TANTO FRACCIONADO (mensual, trimestral, etc.)
i
Jk
ik
Ejercicios:
1. Calcula el tanto de interés mensual equivalente a un tanto anual efectivo del 10 %.
i12 = x
(1 + i 12)12 = (1 + i)
i = 0,10
(1 + i 12)12 = 1,10
12 (1 + i )12 = 12 1,10
12
1 + i12 = 12 1,10
1 + i12 = 1,00797414
i12 = 0,00797414
2. Calcular el tanto nominal convertible por semestres correspondiente al tanto anual efectivo
del 6 %
i = 0,06
(1 + i 2)2 = (1 + i)
j2 = x
(1 + i 2)2 = 1,06
2 (1 + i ) 2 = 2 1,06
2
1 + i2 = 2 1,06
1 + i2 = 1,029563
i2 = 0,029563
J2 = 2 * 0,029563
J2 = 0,059126
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3. Calcula el tanto anual efectivo equivalente al 2 % mensual.
(1 + i 12)12 = (1 + i)
(1 + 0,02)12 = 1 + i
1,0268242 = 1 + i
1,0268242 – 1 = i
i = 0,268242
i12 = 0,02
i= x
7. PERIODOS DE TIEMPO FRACCIONADOS
Cuando la duración de la operación no corresponde a un número exacto de periodos de
capitalización podemos resolver el ejercicio utilizando cualquiera de los siguientes métodos:
-
CONVENIO EXPONENCIAL: Resolvemos el ejercicio utilizando solamente la fórmula
del interés compuesto.
Cn = Co * (1 + i ) n + m
-
CONVENIO LINEAL: Resolvemos el ejercicio utilizando la fórmula del interés
compuesto para los periodos completos y la del interés simple para la fracción.
Cn = Co * (1 + i ) n * (1 + m * i)
m = número correspondiente al periodo no completo. Para ello planteamos una regla de
tres.
Ejercicio: Calcula el montante de un capital de 60.000 € que ha estado invertido durante 3
años y 6 meses al 10 % de interés anual compuesto.
CÁLCULO DE LA FRACCIÓN (m)
1 año ----- 12 meses
m año ---- 6 meses
m = 0,5
CONVENIO EXPONENCIAL
Co = 60.000 €
n= 3 años
m = 0,5
i = 0,10
CONVENIO LINEAL
Co = 60.000 €
n= 3 años
m = 0,5
i = 0,10
Cn = Co * (1 + i ) n + m
Cn = 60.000 * (1 + 0,10 ) 3 + 0,5
Cn = 60.000 * 1,395965
Cn = 83.757,87 €
Cn = Co * (1 + i )n * (1 + n * i)
Cn = 60.000 * (1 + 0,10) 3 * (1 + 0,5 * 0,10)
Cn = 60.000 * 1,331 * 1,05
Cn = 83.853 €
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8.
TEMA 2. INTERÉS COMPUESTO
COMPARACIÓN ENTRE CAPITALIZACIÓN SIMPLE Y COMPUESTA
En capitalización simple:
En capitalización compuesta:
Cn = C0 (1+ n i )
Cn = C0 (1+ i ) n
Si lo representamos gráficamente, para i y C0 constantes y damos los siguientes valores a n:
n=0
n=1
n = 0,5
n=2
C
Cc
Cs
C0
0
0,5
1
2
t
RESUMEN:
a) Para periodos
b) Para periodos
c) Para periodos
=
<
>
0ó1
1
1
CS = CC
CS > CC
CS < CC
9. LA TASA ANUAL EQUIVALENTE (TAE)
La TAE, en nuestro país está regulada por la circular 8/90, de 7 de septiembre, del
Banco de España (BE). Según la cual el tipo de interés, coste o rendimiento efectivo de las
operaciones deberá expresarse, obligatoriamente, en prácticamente la totalidad de los
documentos contractuales que afectan al pequeño inversor o ahorrador (apartado 1 norma
sexta) y se calculará según la fórmula siguiente:
n
∑D
n1
n
(1  i k )
1
tn
p
-
∑R
p
(1  i k )
1
tp
p1
Siendo:
Dn = Disposiciones
Rp = Reintegros
n = número de disposiciones o entregas simbolizadas por D
p = número de reintegros o pagos simbolizados por R
tn = tiempo transcurrido desde la fecha de equivalencia elegida hasta la de
disposición n. tp = tiempo transcurrido desde la fecha de equivalencia elegida hasta
la del pago p.
ik = tanto efectivo referido al periodo de tiempo elegido para expresar tp y tp.
Como esta tasa se expresa en tantos por ciento y referida siempre al periodo de un año:
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TEMA 2. INTERÉS COMPUESTO
TAE = [ ( 1 + ik)k - 1 ] x 100
La TAE intenta ser una unidad homogénea de medida, para que los pequeños
inversores principalmente, puedan comparar operaciones financieras.
nota 1: si no existiesen gastos en una operación financiera, la TAE coincidiría con el interés efectivo
anual (i)
nota 2:
en las cuentas corrientes y de ahorro, la misma circular del BE permite que la TAE que se
aplique sea el interés nominal anual, cuando éste sea inferior o igual al 2,5%.
Ejemplo:
D. Juan Sánchez ha depositado 5.000 euros de sus ahorros en un novedoso
instrumento financiero que le ha ofrecido su banco, según el cual la entidad le
asegura un interés del 3% anual en una inversión de 600 días. Calcula:
a) ¿Cuánto obtendrá al final de la operación?
b) ¿Cuál será la TAE de este producto si no se cobra ninguna comisión?
c) ¿Cuál será la TAE de este producto si se cobra una comisión del 1%
sobre el montante?
a)
¿Cuánto obtendrá al final de la operación?
(1 + i 365)365 = ( 1 + i )
(1 + i 365)365 = 1,03
365
(1 + i365 ) 365 = 365 1,03
1 + i365 = 365 1, 03
1 + i365 = 1,000080986
i365 = 0,000080986
Cn = 5.000 (1,000080986) 600
Cn = 5.248,95
b) ¿Cuál será la TAE de este producto si no se cobra ninguna comisión?
Coincide con el tanto de interés anual: 3 %
c) ¿Cuál será la TAE de este producto si se cobra una comisión del 1%
sobre el montante?
Montante:
Comisión 1 %:
Recibe:
5.248,95
-52,49
5.196,46
Cn = C0 (1 + ik) nk
5.196,46 = 5.000 (1 + i365) 600
5.196,46
5.000
(1 + i365) 600
=
1,039292 = (1 + i365) 600
600
1, 039292
-1 = i365
0,000064235 = i365
(1,000064235) 365 = (1+i)
1,0237 = i
2,37 % = T.A.E.
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