Modelo de Bohr del atomo de hidrogeno

[ MODELO DE BOHR DEL ATOMO DE HIDROGENO] FISICA ATOMICA Y NUCLEAR
MORENO VEGA JOSE LUIS |MATEMATICA, FISICA e INFORMATICA 1
[ MODELO DE BOHR DEL ATOMO DE HIDROGENO] FISICA ATOMICA Y NUCLEAR
Modelo de Bohr del átomo de hidrogeno
Niels Bohr en 1913 presenta un nuevo modelo del átomo de hidrogeno que evitaba las
deducciones erróneas del modelo planetario de Rutherford.
Bohr aplico las nociones de los niveles cuantizados de energía de Planck para los electrones
atómicos en orbita.
Las ideas básicas de la teoría de Bohr, según se aplican al átomo se hidrogeno, son las que
siguen:
1. El electrón se mueve en orbitas circulares
alrededor del protón bajo la influencia de la
fuerza eléctrica de atracción, como se muestra
en la figura:
2. Solo ciertas orbitas del electrón son estables.
Cuando esta en alguno de estos estados
estacionarios , el electrón no emite energía en
forma de radiación. En consecuencia, la energía
total del átomo permanece constante, y puede
utilizarse la mecánica clásica para describir el
movimiento del electrón.
3. La radiación es emitida por el átomo cuando el
electrón hace una transición de una orbita inicial
mas energética a una orbita de menor energía. Esta transición no puede visualizarse ni
tratarse de manera clásica.
En particular, la frecuencia f del fotón emitida en la transición se relaciona con el cambio
en la energía del átomo y es independiente de la frecuencia del movimiento orbital
del electrón. La frecuencia de la radiación emitida se determina por la expresión de la
conservación de energía:
Ei  E f  hf
Donde E i es la energía en el estado inicial
E 2 , es la energía en el estado final,
Ei  E f
4. El tamaño de la orbita permitida del electrón queda determinado por una condición
impuesta sobre la cantidad de movimiento angular orbital del electrón: las orbitas
permitidas son aquellas para las cuales la cantidad de movimiento angular orbital del
h
electrón en relación con el núcleo se cuantiza y es igual a un múltiplo entero de  
2
me vr  n
n= 1,2,3, . . .
Observando la figura:
Podemos determinar la energía total : E = K + U
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E  K U 
Reemplazo datos :
1 2
qq
mv  k 1 2
2
r
E  K U 
Por la 2º ley de Newton :
Reemplazo datos :
Reemplazo en (*)
E
F  ma
q1 q 2
v2
k 2  m.
r
r
1 2
(e)(e)
mv  k
…………….(*)
2
r
(e)(e)
v2
k 2  m.
r
r
e2
k  m.v 2
r
1 ke2 1
 m.v 2  K
2 r
2
ke2
E
2r
2
1 ke
(e)(e)
k
2 r
r
Observe que la energía total es negativa, lo que indica que no hay un sistema electrón y protón
ke2
unido. Esto significa que es necesario adicionarle al átomo energía en la cantidad de
para
2r
remover el electrón y hacer que la energía total del sistema sea igual a cero.
Los radios de orbitas permitidas
Sean :
De :
me vr  n
me vr  n
Reemplazo en :
y
1 ke2 1
 m.v 2  K
2 r
2
m v r n 
2 2 2
e
2 2
1 ke2 1
 m.v 2  K
2 r
2
Despejo r
n2 2
v  2 2
m r
2
1 ke2 1 n 2 2
 m. 2 2
2 r
2 mr
n 2 2
rn 
mke2
n= 1,2,3, . . .
Los radios están cuantizados
La orbita con el radio mas pequeño, llamado el radio de Bohr : ao corresponde a n = 1 y tiene
el valor :
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2
a0 
 0,0529 nm
2
mke
Podemos obtener la expresión general :
rn  n 2 a0
Cuantización de la energía
Sabemos :
ke2
E
2r
Reemplazo
rn  n 2 a0
:
ke2
En  
2(n 2 a0 )
ke2  1 
En  
 
2a0  n 2 
Reemplazo :
En 
a0  0,0529 nm
 13,606
eV
2
n
n = 1,2,3, . . . .
Solo las energías que satisfagan esta ecuación
están permitidas.
La energía mínima necesaria para ionizar el
átomo en su estado base (esto es, para alejar
completamente un electrón de la influencia del
protón) se conoce como energía de ionización.
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Como se puede ven en la figura, la energía de ionización del hidrogeno en el estado base, es
de 13,6 eV.
Frecuencia del fotón :
ke2
Sabemos: Ei  E f  hf y E n  
2a 0
De :
Ei  E f  hf
f 
 1 
 2
n 
Ei  E f
h
Reemplazo :
f 
 ke2

 2a
0

 1
 2
n
 i
   ke2
  
   2a
0
 
h
 1

 n2
 f



ke2  1
1 


 2
2
2a0 h  n f ni 
ke2  1
1 
f 
 2
2

2a0 h  n f ni 
Longitud de onda :
ke2  1
1 

 2
2

 2a0 h  n f ni 
c
ke2  1
1 

 2
2

 2a0 hc  n f ni 
1
Esta expresión puramente teórica, es idéntica a la forma general de las relaciones empíricas
descubiertas por Balmer y Rydberg, que estudiamos anteriormente:
 1
1 
 RH  2  2 
n


 f ni 
1
Siempre que la constante
ke2
sea igual a la constante de Rydberg RH= 1,097 373 2  107 m-1
2a0 hc
Obtenida de manera experimental
En general, para describir un solo electrón en orbita alrededor de un núcleo fijo de carga +Ze
donde Z es el número atómico del elemento (el numero de protones en el núcleo), la teoría de
Bohr nos da:
a
rn  n 0
Z
2
y
ke2  Z 2 
 
En  
2a0  n 2 
n = 1,2,3,. . .
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Nota importante:
Si bien la teoría de Bohr era exitosa en cuando a que coincidía con algunos resultados
experimentales con el átomo de hidrogeno, también sufría de algunas inconsistencia.
Una de las primeras indicaciones de que la teoría de Bohr necesita modificarse, se presento
cuando se emplearon técnicas espectroscópicas mejoradas para examinar las líneas
espectrales del hidrogeno. Se descubrió que muchas de las líneas de la serie de Balmer y otras,
no eran de ninguna manera líneas sencillas. Por el contrario, cada una de ellas era un grupo de
líneas muy cercanas entre si.
Asimismo, surgió una dificultad adicional cuando se observo, que en algunas situaciones,
ciertas líneas espectrales sencillas se dividían en tres líneas muy cercanas entre si cuando se
colocaba a los átomos en un campo magnético poderoso.
PROBLEMAS RESUELTOS
Ejemplo 1 : Líneas espectrales de la estrella   Puppis
Algunas líneas misteriosas observadas en 1986 en el espectro de emisión de la estrella  Puppis (  es la letra griega xi) coincidían con la ecuación empírica:
 1
1 
 RH 

 n 22 n 22 

i
 f

1
Demuestre que estas líneas pueden explicarse mediante la teoría de Bohr como originadas por
el He 
Solución
El ion He

reemplazo en En  
tiene Z = 2
De manera similar : f 
Ei  E f
h
ke2  Z 2 
 
2a0  n 2 
ke2  4 
En  
 
2a 0  n 2 
ke2  4
4 
f 

2a0 h  n 2f ni2 
f 
ke2  1
1 

2a0 h  n f 22 ni 22 
f
ke2  1
1 
 

 c 2a0 hc  n f 22 ni 22 
1
Esta es la solución deseada si reconocemos que RH 
ke2
2a0 hc
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Ejemplo: Transiciones electrónicas en el hidrogeno
(A) Un electrón de un átomo de hidrogeno hace una transición del nivel de energía n = 2 al nivel
base (n = 1) .Determine la longitud de onda y la frecuencia del fotón emitido:
Solución
Sabemos:
 1
1 
 RH  2  2 
n


 f ni 
1
reemplazo:
1 1 
 RH  2  2 

1 2 
1
  1,215  10 7 m  121,5 nm
Dado que : c  f
f 
c
f 

ULTRAVIOLETA
3  108
 2,47  1015 Hz
1,215  107
(B) En el espacio interestelar se han observado átomos de hidrogeno muy excitados ,llamados
átomos Rydberg. Determine la longitud de onda a la cual deben sintonizarse los
radioastrónomos para detectar señales de electrones pasando del nivel n = 273 al nivel
n=272
Solución
Sabemos :
 1
1 
 RH  2  2 
n


 f ni 
1
reemplazo :
1 
 1
 RH 


2

2732 
 272
1
  0,922 m
(C) ¿Cuál es el radio de la órbita del electrón de un átomo Rydberg para el cual n = 273?
Solución
Sabemos :
rn  n 2 a0
r273  (273) 2 0,0529 nm = 3,94  m
¡Esto es lo suficientemente grande como para que el atomo este a punto de convertirse
en macroscópico!
(D) ¿A que velocidad se mueve el electrón en un átomo Rydberg para el cual n = 273?
Solución
1 ke2 1
 m.v 2  K
Sabemos :
2 r
2
ke2
 m.v 2
r
despejo v 
v
ke2
me r
ke2
me (3,94  10 6 )
v  8,01  103 m/s
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(E) ¿Qué pasaría si la radiación del átomo de Rydberg del inciso (B) se tratara a la manera
clásica?¿Cual es la longitud de onda de la radiación emitida por el átomo en el nivel n=
273?
Solución
8,01  10 3
1
v
De manera clásica : f  
=
= 3,24  108 Hz
6
T 2r
2 (3,94  10 )
c
3  108
La longitud de Onda:   
 0,926 m
f 3,24  108
Este resultado tiene una diferencia de menos de la miad del uno por ciento con la longitud de
onda calculada en el inciso (B)
Niels Henrik David Bohr
Niels Henrik David Bohr (Copenhague, Dinamarca, 7 de
octubre de 1885 - Copenhague, Dinamarca, 18 de noviembre
de 1962) fue un físico mecánica cuántica.
Biografía
Nació en Copenhague, hijo de Christian Bohr, un devoto
luterano catedrático de fisiología en la Universidad de
Copenague, y Ellen Adler, proveniente de una adinerada
familia judía de gran importancia en la banca danesa, y en los
"círculos del parlamento". Tras doctorarse en la Universidad
de Copenhague en 1911, completó sus estudios en
Manchester, Inglaterra a las órdenes de Ernest Rutherford.
En 1916, Bohr comenzó a ejercer de profesor en la
Universidad de Copenhague, accediendo en 1920 a la
dirección del recientemente creado Instituto de Física Teórica.
En 1943 Bohr escapó a Suecia para evitar su arresto,
viajando posteriormente a Londres. Una vez a salvo, apoyó
los intentos anglo-americanos para desarrollar armas
atómicas, en la creencia errónea de que la bomba alemana era
inminente, y trabajó en Los Álamos, Nuevo México (EE. UU.) en
el Proyecto Manhattan.
Después de la guerra, abogando por los usos pacíficos de la
energía nuclear, retornó a Copenhague, ciudad en la que
residió hasta su fallecimiento en 1962.
Investigaciones científicas
En 1922 recibió el Premio Nobel de Física por sus trabajos
sobre la estructura atómica y la radiación.
Niels Bohr y Albert Einstein debatiendo la teoría cuántica en
casa de Paul Ehrenfest en Leiden (deciembre de 1925).
En 1933 Bohr propuso la hipótesis de la gota líquida, teoría que
permitía explicar las desintegraciones nucleares y en concreto
la gran capacidad de fisión del isótopo de uranio 235.
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Exilio forzoso
Uno de los más famosos estudiantes de Bohr fue Werner Heisenberg que se convirtió en líder
del proyecto alemán de bomba atómica. Al comenzar la ocupación nazi de Dinamarca, Bohr que
había sido bautizado en la Iglesia Cristiana, permaneció allí a pesar de tener ascendencia judía.
En 1941 Bohr recibió la visita de Heisenberg en Copenague, sin embargo no llegó a
comprender su postura; Heisenberg y la mayoría de los físicos alemanes estaban a favor de
impedir la producción de la bomba atómica para usos militares, aunque deseaban investigar las
posibilidades de la tecnología nuclear.
En septiembre de 1943, para evitar ser arrestado por la policía alemana, Bohr se vio obligado a
marchar a Suecia, desde donde viajó al mes siguiente a Londres, para finalmente dirigirse a
Estados Unidos en diciembre.
Reconocimientos
Bohr fue galardonado, en 1922, con el Premio Nobel de Física por sus trabajos sobre la
estructura atómica y la radiación. También fue el primero que recibió, en 1958, el premio
Átomos para la Paz. En 1958 publicó otra obra famosa: Atomic theory and the human
knowledge (Física Atómica y el Conocimiento Humano).
El elemento químico Bohrio se llamó así en su honor, así como el asteroide (3948) Bohr
descubierto por Poul Jensen el 15 de septiembre de 1985.
Niels Henrik David Bohr nació en Copenhague el 7 de octubre de 1885, como el hijo de
Christian Bohr, el profesor de Fisiología en la Universidad de Copenhague, y su esposa Ellen,
née Adler. Niels, junto con su hermano menor Harald (el futuro profesor en Matemáticas),
creció en un ambiente
más favorable para el "Dios
no
juega
a
los
dados"
A.Einstein
desarrollo de su genio - su "No digas a Dios que hacer con sus dados" N. Bohr
padre fue un eminente
fisiólogo y fue en gran medida responsable de despertar su interés por la física en la escuela al
mismo tiempo , Su madre provenía de una familia distinguida en el campo de la educación.
Durante la ocupación nazi de Dinamarca
en la Segunda Guerra Mundial, Bohr
escapó a Suecia y pasó los dos últimos
años de la guerra en Inglaterra y América,
donde llegó a ser asociado con el
Proyecto de la Energía Atómica. En sus
últimos años, dedicó su trabajo a la
aplicación pacífica de la física atómica y a
los problemas políticos derivados del
desarrollo de armas atómicas.
En
particular, abogó por un desarrollo hacia
la plena apertura entre las naciones. Sus
opiniones son especialmente enunciados
en su Carta abierta a las Naciones
Unidas, 9 de junio de 1950.
Profesor Bohr se casó, en 1912, a
Nørlund Margrethe, que era para él un
compañero ideal. Tuvieron seis hijos, de
los que perdió dos, las otras cuatro han hecho una carrera distinguida en diversas profesiones Hans Henrik (MD), Erik (ingeniero químico), Aage (Ph.D., físico teórico, después de su padre
como Director de El Instituto de Física Teórica), Ernest (abogado).
Tras un año de prácticas en el laboratorio de sir J. J. Thompson, de la Universidad
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de Cambridge, Niels Bohr pasó a la de Manchester para colaborar con sir Ernest
Rutherford (1912).
La primera noticia del descubrimiento de la fisión nuclear, realizada por Otto Hahn y Fritz
Strassmann
en Predecir es muy difícil, y sobre todo el futuro.
Berlín, fue llevada a
los
Estados Unidos por
Bohr el 15 de enero de 1939. Durante cinco meses de estancia en Princeton, antes de su
regreso a Dinamarca, demostró que la pequeña cantidad de U-235 existente en el uranio
natural era la responsable de la mayor parte de la fisión observada, y con la colaboración de J.
A. Wheeler desarrolló una teoría del mecanismo que permitió predecir que el elemento 94
(plutonio), todavía no descubierto, se comportaría en la fisión de modo similar al U-235.
En septiembre de 1943 Niels Bohr escapó de Dinamarca, ocupada por los alemanes, sin dejar
atrás testimonios de sus propios trabajos, pero llevándose noticias de las actividades
investigadoras sobre el
“ Lo opuesto de una formulación correcta es una
átomo realizadas por los
formulación
falsa. Pero lo opuesto de una verdad
alemanes.
Bajo
el
seudónimo de «Nicholas profunda puede ser muy bien otra verdad profunda.”
Baker» actuó como asesor
en el laboratorio de la bomba atómica en Los Álamos hasta el fin de la guerra en Europa, y
volvió a Dinamarca en el verano de 1945. Fue presidente de la Real Academia Danesa de
Ciencias desde 1939.
En 1911, a los 25 años, recibió su Doctorado en Física.Con la intención de perfeccionarse, se
dirigió a Inglaterra para reunirse con Sir. J.J. Thompson en Cambridge.
Thompson no mostró mucho interés en Bohr, sin embargo el viaje no fue en vano. Estando en
Manchester conoció a Ernest Rutherford, un científico que ya trabajaba en teorizaciones sobre
la estructura atómica.
Las mayores mentes de la ciencia debatían sus ideas. Bohr solía debatir acaloradamente con
Albert Einstein con quien sentía mutua admiración.
Bohr fue siempre el iniciador de preguntas indagatorias, reflexiones y discusiones con sus
visitantes. Cuando Bohr
visitó Estados Unidos en Deja de decirle a Dios qué hacer con sus dados.
1939 para asistir a una
conferencia científica, llevó la noticia de que Hahn y Strassmán habían descubierto la fisión del
uranio. Los resultados, confirmados por otros científicos poco tiempo después, fueron los
cimientos de la bomba atómica desarrollada en Estados Unidos durante la Segunda Guerra
Mundial. Regresó a Dinamarca y permaneció ahí durante la ocupación alemana en 1940.
Escapó a Suecia en 1943 para evitar la prisión y ayudar a arreglar la escapatoria de muchos
otros ciudadanos daneses en peligro,
A pesar de que Bohr trabajó en el Proyecto Manhattan en Los Álamos hasta 1945, estaba
totalmente convencido de que la sinceridad entre las naciones con respecto a las armas
nucleares debía ser el primer paso para establecer su control.
En octubre de 1891
Niels entró a la Un tonto siempre encuentra otro más tonto que le admire.
escuela
Grammelholms, al igual que después hiciera su hermano Harald, hasta completar su educación
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secundaria, presentando sus exámenes finales en 1903. Fue un buen estudiante pero nunca el
más brillante, ocupando por lo general el tercer o cuarto lugar de la clase en un grupo de
aproximadamente 20 estudiantes. Si realmente destacó en alguna materia, ésta era, quizás
sorprendentemente, educación física. Fue un excelente jugador de balompié, pero no tan
bueno como su hermano Harald, quien ganó una medalla de plata para Dinamarca jugando
este deporte. Niels entabló buena amistad con algunos de sus compañeros de escuela pero su
mejor amigo durante toda su vida fue su hermano Harald.
Durante sus dos últimos años de escuela Niels se especializó en matemáticas y en física.
Existen ciertamente algunas pruebas de que él pronto advirtió que su maestro de matemáticas
no tenía tan buenos conocimientos en la materia como debería y que éste se había vuelto un
tanto temeroso de su excepcional alumno Bohr. También en física Bohr estudiaba textos con
antelación a su clase encontrando errores en ellos. Más que sus maestros de escuela, fue su
padre quien lo inspiró en sus estudios de matemáticas y física. En 1882 escribió:
Mi interés en el estudio de la física se despertó mientras me encontraba todavía en la
escuela, debido en gran parte a la influencia de mi padre.
Ya que no había laboratorio en la universidad, Bohr no pudo llevar a cabo experimentos de
física ahí. Sin embargo, su padre contaba con un laboratorio de fisiología y su primer
manuscrito describe el trabajo experimental en física que realizó en ese laboratorio. Él dictó el
manuscrito a su hermano Harald. Un compañero de estudios escribió acerca de Niels y Harald:
Los dos son inseparables. Nunca he conocido a personas tan allegadas como ellos.
Este manuscrito de Bohr es el único que describe los experimentos que había realizado. Éste le
valió la Medalla de Oro de la Real Academia Danesa de las Ciencias en 1906 por su análisis de
las
Un experto es una persona que ha cometido todos los errores que se
vibraciones
de
los pueden cometer en un determinado campo.
chorros de
agua como medio para determinar la tensión superficial. Obtuvo su grado de Maestría de la
Universidad de Copenhague en 1909 y su Doctorado en mayo de 1911 por una tesis titulada
'Estudios sobre la teoría electrónica de los metales'. Se trataba de una tesis basada en física
clásica y como tal, forzosamente falló en explicar ciertos efectos. Bohr escribió en este trabajo:
En la etapa actual del desarrollo de la teoría del electrón, no parece posible explicar las
propiedades magnéticas de los cuerpos a partir de esta teoría.
En Manchester, Bohr trabajó con el grupo de Rutherford en la estructura del átomo. Rutherford
se convirtió en el modelo de conducta a seguir de Bohr, tanto por sus cualidades personales
como científicas. Utilizando las ideas acerca del quántum que desarrollaron Planck y Einstein,
Bohr conjeturó que un átomo sólo podría existir en un conjunto discreto de estados de energía
estacionarios. Hoy en día existen pruebas extraordinarias del progreso científico de Bohr ya que
mantenía frecuente contacto por correspondencia con su hermano Harald. En una carta dirigida
a Harald el 12 de junio de 1912 escribió:
Ya te imaginarás lo bueno que es estar aquí, donde hay tantas personas con las que
hablar... y hacerlo con quienes más saben de estas cosas; además el profesor Rutherford
muestra un vivo interés por todo aquello en lo que él cree que se pueda profundizar. En
los últimos años él ha elaborado una teoría acerca de la estructura de los átomos, la cual
parece estar bastante más firmemente cimentada que cualquiera otra que haya existido
hasta ahora.
Una semana después de escribir esta carta, el 19 de junio, Bohr informaba acerca del progreso
a Harald:
Quizás he descubierto algo acerca de la estructura de los átomos. No lo menciones a
nadie, ya que de otra forma no podría escribirte
acerca de esto tan pronto... Tú sabes, todavía Su teoría es descabellada, pero
puedo estar equivocado; ya que la teoría no ha sido no lo suficiente para ser correcta
elaborada totalmente hasta ahora (pero no creo que
esté mal)... Créeme, estoy ansioso por concluirla rápidamente y por eso he tomado un
par de días de vacaciones fuera del laboratorio (éste también es un secreto).
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El 13 julio escribió:
Todo parece estar yendo bastante bien, ya que pienso que he descubierto algunas cosas;
pero tengo que asegurarme. No he sido tan rápido en elaborarlas como tan tontamente
pensé. Espero tener un pequeño manuscrito listo y mostrarlo a Rutherford antes de irme,
y por consiguiente estoy tan, tan ocupado.
Aunque Rutherford y Bohr tenían personalidades completamente distintas, compartían un
enorme entusiasmo por la física y también se guardaban un afecto mutuo. Sin embargo la
relación nunca fue realmente una de amigos allegados ya que Bohr siempre consideró a
Rutherford como su maestro. Mantuvieron correspondencia desde que se conocieron en 1911
hasta el fallecimiento de Rutherford en 1937.
El 24 de julio de 1912 Bohr dejó el grupo de Rutherford en Manchester sin haber finalizado su
manuscrito todavía y retornó a Copenhague para continuar desarrollando su nueva teoría
acerca del átomo, completando el trabajo en 1913. Ese mismo año publicó tres manuscritos de
importancia fundamental en la teoría de la estructura atómica. El primer manuscrito trataba
acerca del átomo de hidrógeno, los dos siguientes sobre la estructura de átomos más pesados
que el hidrógeno. En estos manuscritos Bohr :
[...] expuso su extraordinario esfuerzo por combinar aspectos de la física clásica con el
concepto del cuanto de acción de Planck. [...] Los tres célebres manuscritos [...]
cimentaron la temprana reputación de Bohr. Aunque su trabajo no fue inmediatamente
aceptado por todos, intrigó a sus contemporáneos y los concientizó acerca de la
necesidad de crear una nueva forma de describir los eventos a nivel atómico. Pese a que
el átomo de Bohr ha sido desbancado científicamente, persiste aun hoy en día en las
mentes de mucha gente como
Cada frase que pronuncio no puede símbolo e imagen vívida del mundo
atómico y de la física.
considerarse una afirmación sino una pregunta
En 1937 Bohr, su esposa y su hijo Hans
realizaron un viaje alrededor del mundo. Viajaron a los Estados Unidos, Japón, China y la Unión
Soviética. En el mismo año asistió al funeral de Rutherford en la Abadía de Westminster en
Londres, pronunciando un emotivo discurso:
La primera vez que tuve el privilegio de trabajar bajo su guía personal, él ya era un físico
del más alto renombre, pero no obstante él era, y siempre continuó siendo, receptivo
para escuchar lo que un joven traía en su mente. [...] Su recuerdo siempre será una
fuente invaluable de estímulo y fortaleza para nosotros.
Aunque Bohr había sido bautizado en la Iglesia Cristiana, era de origen judío por el lado
materno, así que, cuando los nazis ocuparon Hay algunas cosas que son tan serias
Dinamarca en 1940, su vida se volvió
extremadamente difícil. Le ayudaron a que solo puedes bromear con ellas
escapar en 1943 hacia Suecia en un bote pesquero. De allí voló hacia Inglaterra donde
comenzó a trabajar en el proyecto para hacer una bomba de fisión nuclear. Después de unos
meses se unió al equipo de investigación británico en Los Álamos, en los Estados Unidos, en
donde
continuaron
trabajando
en
el
proyecto.
Sin embargo, Bohr se encontraba profundamente preocupado acerca del control de las armas
nucleares y a partir de 1944 intentó persuadir a Churchill y a Roosevelt sobre la necesidad de
una cooperación internacional. En 1950 escribió una carta pública a las Naciones Unidas
abogando por políticas atómicas racionales y pacíficas:
La humanidad se verá confrontada con peligros de carácter sin precedente a menos que,
a su debido tiempo, puedan tomarse medidas para anticiparse a una competencia
desastrosa con tan formidables armamentos y establecer un control internacional de
fabricación y uso de materiales potentes.
El hijo de Bohr, Aage, también se convirtió en físico y compartió el premio Nóbel de Física en
1975.
De niño no parecía inteligente. Por si fuera poco, hablaba a medias debido, en parte, a un leve
defecto del habla. Decían que al hablar no exponía una conclusión, sino que parecía
perseguirla, pero cuando uno conocía el modo en que se expresaba era emocionante discutir
MORENO VEGA JOSE LUIS |MATEMATICA, FISICA e INFORMATICA 12
[ MODELO DE BOHR DEL ATOMO DE HIDROGENO] FISICA ATOMICA Y NUCLEAR
con él, especialmente si discutía sus ideas. Eso sí, al discutir estaba en su mejor forma.
Afirman que tenía lentitud de
pensamiento fuera en el tema que
fuera, incluidas las reuniones
científicas.
Aquellos que no quedan impactados cuando
por primera vez se encuentra con la mecánica
cuántica no pueden haberla entendido.
Cuando algunos físicos tomaban café o se ponían a jugar a ping-pong mientras discutían de
física, aparecía Bohr diciendo que estaba muy cansado y que le apetecía "hacer algo". Ese
"hacer algo" era indefectiblemente ir al cine. Le encantaban las películas del oeste. Pero era
terrible ir a ver con él una de ellas. No podía seguir el argumento y de vez en cuando soltaba
preguntas del tipo: ¿Es esta la hermana del cowboy que mató de un tiro al indio que quiso robar
un
rebaño
de
ganado
que
pertenecía
a
su
cuñado?.
Muchas veces cuando llegaba un físico visitante exponía brillantemente sus últimos
avances en teoría cuántica. Todo el mundo lo entendía perfectamente, menos Bohr. Así
que todos intentaban explicarle el razonamiento o el punto donde se había equivocado. En
medio de la discusión, todo el mundo
acababa por no comprender nada. Nunca te expreses más claramente de lo
Después de
mucho
tiempo,
Bohr que eres capaz de pensar.
empezaba a comprender y resultaba que lo
que él había comprendido era lo correcto y que lo que había dicho el físico visitante que había
expuesto la idea estaba equivocado. Vamos, lento pero implacable.
Todos los textos que he podido encontrar de otros físicos hablando de él son, simplemente,
palabras de admiración. Las que más me gustan pertenecen al impresionante Sheldon L.
Glashow,
Premio
Nobel
de
Fisica
en
1979,
quien
escribió:
Había también colegas de muchos otros países: de Finlandia, de Francia, de Noruega, de
España, de Yugoslavia, de Italia (...) Todos habíamos ido a Dinamarca atraídos por la
reputación
y
le
personalidad
de
Niels
Bohr.
El hombre que había El sentido de la vida consiste en que no tiene ningún
formulado las leyes de la
teoría
cuántica
era sentido decir que la vida no tiene sentido.
todavía un científico en activo y visible. En los seminarios nadie se atrevía a sentarse en
la última butaca de la primera fila a la derecha, ya que estaba reservada a Bohr. Asistía a
muchas charlas y siempre hacía preguntas pertinentes. Sostuve varias conversaciones
con él en el comedor del instituto, pero apenas recuerdo ya lo que dijo. En ocasiones no
sabía bien si hablaba en inglés o en danés. Aunque entendía sus palabras, el sentido
exacto de lo que decía se me escapaba con frecuencia. Uno de sus dichos favoritos era
"que la claridad de tus palabras no supere la de tus pensamientos". Einstein había dicho
de él: "Manifiesta sus opiniones como quien anda siempre tanteando y no como quien
cree estar en posesión de la verdad definitiva"; la misma impresión me produjo a mí.
¿Sabías que Niels Bohr fue futbolista?
En la primera década del siglo el apellido Bohr era tan conocido en los ambientes universitarios
de Copenhague en relación con la Ciencia como con el fútbol.
Todo comenzó con el padre, Christian Bohr. Además de destacado fisiólogo, este personaje
fue uno de los pioneros del balompié en su país, y fundador del equipo de futbolistas de la Real
Academia Danesa de Ciencias y Letras, de la que era miembro: fue el popular AB (por
MORENO VEGA JOSE LUIS |MATEMATICA, FISICA e INFORMATICA 13
[ MODELO DE BOHR DEL ATOMO DE HIDROGENO] FISICA ATOMICA Y NUCLEAR
Akademiske Boldklub), que en un principio sólo podían constituir universitarios, y que fue el
gran dominador de los comienzos del fútbol danés. Aún se mantiene hoy en Segunda División,
con 118 años a sus espaldas.
De ideas liberales y muy preocupado porque sus hijos, genios en potencia, recibieran una
educación integral, Christian Bohr siempre estimuló en ellos habilidades no directamente
académicas, como los trabajos manuales y la práctica deportiva. No sabemos si por estímulo
paterno o por vocación propia, la cuestión es que el joven Niels defendió durante algún tiempo
la portería de los Académicos. Cuenta una historia que el motivo por el que dejó el equipo fue
que, habiendo sido preguntado sobre por qué había dejado colarse un balón sencillo a priori, se
vio obligado a contestar que estaba obsesionado por un problema y que se había ausentado
mentalmente del partido.
Pero si Niels Bohr disfrutó un tiempo del fútbol como hobby, para
su hermano pronto se convirtió en una pasión. Algo más joven,
Harald era considerado desde su infancia el más brillante de los
dos, y aunque no llegó a los extremos de excelencia científica de su
hermano, sus contribuciones en el campo del Análisis Matemático
(especialmente la compactificación que lleva su nombre y la teoría
de funciones casi periódicas un lugar de honor entre los
matemáticos preeminentes de su épo) le proporcionan ca. Pero en la
Universidad era un auténtico loco del fútbol, y pronto se convirtió
en una de las estrellas del equipo. Sus prestaciones como defensa
pronto le llevaron a la selección nacional, con la que consiguió la
medalla de plata en las Olimpiadas de Londres de 1908, y de la cual
se recuerda especialmente la tremebunda goleada infligida a
Francia: diecisiete goles se llevaron les bleus.
Aage Niels Bohr
Aage Niels Bohr (Copenhague, Dinamarca 19 de junio, de
1922) es el hijo de Margrethe y Niels
Bohr. Creció en contacto con
grandes físicos como Wolfgang Pauli
y Werner Heisenberg, se convirtió en un notable físico nuclear que ganó
el Premio Nobel de Física en 1975.
En 1946 ingresó al Instituto de Física Teórica Niels Bohr de la
Universidad de Copenhague, siendo el director del mismo de 1963 a
1970.
En 1948 Bohr trabajó en un monográfico con Ben Mottelson y Leo
James Rainwater en Copenhague para resumir los conocimientos
existentes de la estructura nuclear. El primer volumen, Movimiento de
una Sola Partícula, apareció en 1969, y el segundo volumen,
Deformaciones nucleares, en 1975. Su trabajo en este proyecto y su
contribución a la teoría nuclear les llevó a ganar el premio Nobel de
Física en 1975, por el descubrimiento de la conexión entre el
movimiento colectivo y el movimiento de las partículas en el núcleo atómico, y el desarrollo de la
teoría de la estructura de los núcleos atómicos en función de esta conexión.
MORENO VEGA JOSE LUIS |MATEMATICA, FISICA e INFORMATICA 14
[ MODELO DE BOHR DEL ATOMO DE HIDROGENO] FISICA ATOMICA Y NUCLEAR
R.SERWAY – J. JEWETT
SOLUCIONARIO
FISICA.
Tomo II. 6º Edición.2005.México. Cap. 20.Pág.688
Sección 20,3.
5. Para un átomo de hidrogeno en su estado base, utilice el modelo de Bohr para calcular (a) la
rapidez orbital del electrón ,(b) la energía cinética del electrón y (c) la energía potencial
eléctrica del átomo
Solución
n2 2
Sabemos : v  2 2
m r
2
rn  n a0
2
(a) reemplazo el radio de Bohr :
v 
n 2 2
2

m 2 n 2 a0

2
n=1
2
v  2
2
m a0 
2
(b)Sabemos
En 
 13,606
eV
n2
Reemplazo
v=2,19 Mm/s
n = 1,2,3, . . . .
En  13,6 eV
Para n = 1
(c ) Tenemos : U  k
ke2
Luego : U  k
a0
ke2
r
reemplazo
rn  n 2 a0
r = a0
U = -27,2 eV
6. Las cuatro transiciones posibles para el átomo de hidrogeno son las que siguen :
(i) ni =2 ; nf = 5
(ii) ni =5 ; nf = 3
(iii) ni =7 ; nf = 4
(iv) ni =4 ; nf = 7
(a) ¿En que transición se emite luz en la longitud de onda mas corta?
(b) ¿En que transición gana el átomo mas energía?
(c) ¿En que transición o transiciones pierde energía el átomo?
Solución
MORENO VEGA JOSE LUIS |MATEMATICA, FISICA e INFORMATICA 15
[ MODELO DE BOHR DEL ATOMO DE HIDROGENO] FISICA ATOMICA Y NUCLEAR
 1
1 
 RH  2  2 
n


 f ni 
1
Sabemos :
(i) ni =2 ; nf = 5
 = -434  10-9 m
(ii) ni =5 ; nf = 3
(iii) ni =7 ; nf = 4
 = 1281,47  10-9 m
 = 2164,95  10-9 m
(iv)ni =4 ; nf = 7
 = -2165  10-9 m
Respuestas :
(a) ii
(b) iv
(c) ii y iii
7. Un átomo de hidrogeno esta en su primer estado excitado (n=2).Utilizando la teoría de
Bohr del átomo, calcule (a) el radio de la orbita.(b)la cantidad de movimiento lineal del
electrón , (c) el momento angular del electrón , (d) la energía cinética del electrón (e)la
energía potencial del sistema (f)la energía total del sistema
Solución
Para n = 2
(a) radio de la orbita:
(b) p =mv
rn  n 2 a0
reemplazo :
p = m.
r2  (2)2 a0
v
2
n 2 2
m2r 2
2
Simplificando : p =
n 2 a 02
( c)
me vr  n
(d) En 
 13,606
eV
n2
( e) U  k
ke2
r
n 2 2

m2r 2
2
pero : rn  n a0
p= 9,96  10-25 kg.
mevr  2
En 
U  k
 13,606
eV
(2) 2
ke2
n 2 a0
r2  0,212 nm
n 2 2
m2r 2
v
p = m.
n 2 2

m 2 n 2 a0

2
m
s
mevr  2,11  1034 kg.
m2
s
En  3,4 eV
En  3,4 eV
U  6,81 eV
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[ MODELO DE BOHR DEL ATOMO DE HIDROGENO] FISICA ATOMICA Y NUCLEAR
1 ke2
(f) K  
2 r
K 
1 ke2
2 n 2 a0
E = -3,40 eV
8. ¿Cuanta energía se requiere para ionizar el hidrogeno (a) cuando esta en su estado
base? (b) ¿y cuando esta en el estado n = 3?
Solución
1 ke2
Sabemos : K  
para n = 1
2 n 2 a0
K  13,6 eV
K  1,51 eV
(a) para n = 1
(b) para n = 3
9. Se emite un foton conforme un átomo de hidrogeno experimenta del estado n = 6 al
estado n=2.Calcule (a) la energía (b) la longitud de onda y (c) la frecuencia del foton
emitido
Solución
Para : ni =6 ; nf =2
 1
1 
(a) Sabemos :  RH  2  2 
n


 f ni 
1
Energía :
E
 1
1 
 hcRH  2  2 
n


 f ni 
hc
Reemplazo : E = 3,03 eV
(b) E 
hc

, reemplazo E = 3,03 eV
  411 nm
E
732 THz
h
10. Demuestre que la rapidez del electrón en la orbita de orden n de Bohr en el hidrogeno
esta dada por :
f 
(c ) Tenemos : E = hf
ke2
vn 
n
Demostración
Tenemos : E 
1 2
mv
2
y
mvr = n 
r
n
mv
MORENO VEGA JOSE LUIS |MATEMATICA, FISICA e INFORMATICA 17
[ MODELO DE BOHR DEL ATOMO DE HIDROGENO] FISICA ATOMICA Y NUCLEAR
Pero :
1 ke 2
E 
2 r
1 ke2 1 2
 mv
2 r
2
Despejo v :
ke2
 mv 2
n
mv
ke2
vn 
n
lq2d
11. Dos átomo de hidrogeno se impactan de frente y terminan con una energía cinética igual
a cero. Cada átomo emite entonces una luz con una longitud de onda de 121,6
nm(transición de n=2 a n=1)¿A que rapidez se movían los átomos antes de la colisión?
Solución
Tenemos :   121,6 nm
1
Sabemos : E  mv 2
2
v
2E
m
v
2 hc
.
m 
v = 4,4  104 m/s
12. Un haz de luz monocromático es absorbido por una colección de átomos de hidrogeno
en el estado base de manera que se observan seis diferentes longitudes de onda
cuando el hidrogeno pierde excitación hacia el estado base.¿Cual es la longitud de onda
del haz de luz incidente.
13. (a) Elabore un diagrama de nivel de energía para el ión He+, en el cual Z=2. (b)¿Cuál es
la ionización de energía para He+?
Solución
(a)
a
Sabemos : rn  n 0
Z
2
E1  
ke2
2 a0
ke2  Z 2 
 
y En  
2a0  n 2 
 22 
ke2  4 
ke2  1 
 2    2
 
2a 0  n 
2a 0  n 2 
n 
 1 
E1  54,498 2 
n 
1
Para n = 1: E1  54,498 2   54,498 eV
1 
 1 
Para n = 2 E 2   E1  2 
n 
 1 
E 2   E1  2 
2 
E2 = - 13,624 eV
MORENO VEGA JOSE LUIS |MATEMATICA, FISICA e INFORMATICA 18
[ MODELO DE BOHR DEL ATOMO DE HIDROGENO] FISICA ATOMICA Y NUCLEAR
 1 
Para n = 3 E3   E1  2 
n 
 1
E3   E1  2 
3 
E2 = - 6,05 eV
 1 
Para n = 4 E 4   E1  2 
n 
 1 
E 4   E1  2 
4 
E2 = - 3,40 eV
(b) - 54, 4 eV
14. En una estrella caliente, debido a su alta temperatura, un átomo puede absorber
suficiente energía como para remover varios electrones del átomo. Considere un átomo
ionizado de manera múltiple con un solo electrón. El ión produce una serie de líneas
espectrales como se describe en el modelo de Bohr. La serie corresponde a transiciones
electrónicas que terminan en el mismo estado final. Las longitudes de onda mas larga y
mas cortas de la serie son 63,3 nm y 22,8 nm, respectivamente,(A)¿Cuál es el ión?
(b)Determine las longitudes de onda de las siguientes tres líneas espectrales mas
cercanas a la línea de onda mas larga.
15. (a)Calcule la cantidad de movimiento angular de laguna causado por su movimiento
orbital alrededor de la tierra. En su calculo , utilice 3,84  108 m como el promedio de la
distancia de la Tierra a laguna y 2,36  106 s como el periodo de la Luna en su orbita .(b)
Suponga que la cantidad de movimiento angular de la Luna se describe utilizando la
hipótesis de Bohr mvr=n  .Determine el numero cuántico correspondiente. (c)¿En que
MORENO VEGA JOSE LUIS |MATEMATICA, FISICA e INFORMATICA 19
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fracción tendría que aumentarse la distancia de la Tierra a la Luna para elevar en 1 el
número cuántico?
Solución
(a) sabemos : mvr = n 
1
v
Sabemos : T = 2,36  106 s ,
y f 
f 
v  f  2
T
2r
2
2
1

Luego : mvr = mluna vr = 7,36  10 22  f  2 3,84  108 m   7,36  10 22   2 3,84  108 
T

2


1
mvr = 7,36  10 22 
 2 3,84  10 8 
6
 2,36  10 s

mvr = 2,89  1034 kg.
(b) sabemos : mvr = n 
mvr
n

2,89  10 34
n

m2
s
n = 2,74  10 68
(c) Representando la fraccion :
7,36  10  T1  2  x
22




x
  (n  1)
8 2 
(3,84  10 ) 
Simplificando : x = 7,3  10-69
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