217 10.3 Losas en dos direcciones apoyadas sobre columnas 10.3

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ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN 2
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10.3
10.3.1
Losas en dos direcciones apoyadas sobre columnas
Introducción
Cuando una losa en dos direcciones se apoya sobre vigas relativamente delgadas y
flexibles o en ultimo caso cuando se omiten las vigas como en la losa plana, en la placa
plana o en los sistemas nervados en dos direcciones sin vigas (el sistema reticular
celulado muy utilizado en edificaciones hasta el sismo de México en 1985) se presentan
nuevas consideraciones a las anteriormente estudiadas para el análisis y diseño
estructural de losas. La figura 10.35 muestra un sistema de piso en donde la losa se
apoya en vigas de borde relativamente delgadas. Las vigas a su vez se apoyan en
columnas en la intersección de los ejes centrales. Cuando actúa una carga q sobre la
losa esta se distribuye en franjas imaginarias tanto en la dirección corta como en la larga
llevando la carga a las vigas respectivas. Por ejemplo las franjas que van paralelas a la
dirección larga del panel llevan la carga a las vigas que van en dirección corta “B1“,
igualmente para la otra dirección. Una condición de la estática es que el 100% de la
carga aplicada debe transmitirse en cada dirección y ser resistida en forma conjunta por
la losa y las vigas cargueras.
Figura 10.35 Losa en dos direcciones sobre vigas delgadas1
Una situación similar a la anterior se presenta cuando el sistema de piso no lleva vigas
en sus bordes como se muestra en la figura 10.36. En este caso las franjas de losa que
están sobre los ejes de las columnas tienen la misma función que las vigas y en forma
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igual que el caso anterior el 100% de la carga debe ser llevada a cada dirección. La
presencia de ábacos y capiteles sobre las columnas, como en el caso de las losas planas,
no modifica en ninguna manera estos requisitos de la estática.
Figura 10.36 Losa en dos direcciones sin vigas de borde (placa plana)1
La figura 10.37 muestra una placa plana apoyada sobre columnas en los puntos A, B, C
y D. En la figura también se indica el diagrama de momentos para cada dirección. En la
dirección L1 la losa puede considerarse como una viga ancha y plana con b = L2. Según
lo anterior la carga por metro lineal es q x L2 . En cualquier tramo de una viga continua
la suma del momento positivo en la mitad de la luz y el promedio del momento negativo
en los dos apoyos es igual al momento de la viga en condición de simplemente apoyada.
En otras palabras se debe cumplir por estática:
 M + M CD  1
2
M EF +  AB
 = .(q.l2 ).l1
2
8


(10.12)
En forma similar para la otra dirección:
 M + M BD  1
2
M GH +  AC
 = .(q.l1 ).l2
2

 8
(10.13)
Estos resultados discrepan notoriamente de las magnitudes relativas de los momentos en
los apoyos y en las luces. La proporción del momento estático total, el cual existe en
cada sección critica, puede encontrarse por un análisis elástico el cual considera las
siguientes variables: a) Luces relativas entre paneles adyacentes, b) Patrón de carga
aplicado, c) Rigidez relativa de las vigas de apoyo, si las hay, y las columnas.
Alternativamente se han utilizado métodos empíricos con buena aproximación para
realizar estos análisis considerando siempre las restricciones del caso.
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C
MCD
D
H
l1
E
F
A
G
MEF
MAB
B
1
.(q.l2 ).l12
8
l2
MGH
MBD
MAC
l2/4
1
.(q.l1 ).l22
8
l2/4
“En las dos direcciones se
debe cumplir la condición de
la estática de que la suma de
los momentos positivos y
negativos debe ser igual al
momento máximo de la franja
en condición de simplemente
apoyada”.
Momento
real EF
Momento
real AB
l2
Figura 10.37 Momentos estáticos en losas sin vigas de borde1
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Los momentos a lo largo de las secciones criticas como por ejemplo AB y EF no son
constantes sino que por el contrario varían como se indica en la figura 10.37. La
variación exacta depende de: a) la existencia o no vigas de borde, b) que hayan
capiteles y ábacos sobre las columnas, c) la intensidad de la carga.
Para propósitos de diseño es conveniente dividir cada panel tal como se indica en la
figura 10.37 en tres regiones: una región central de longitud igual a la mitad de la
dimensión del panel llamada franja media y dos regiones extremas que tienen un ancho
del 25% llamadas franjas de columna. Los momentos pueden considerarse constantes
dentro de cada región a menos que existan vigas intermedias. En este ultimo caso, si se
asume que la viga tiene la misma deflexión bajo carga que la losa, los momentos
flectores de la viga son mayores de acuerdo a su rigidez produciendo una discontinuidad
en la curva de variación del momento en la cara lateral de la viga. Ya que, según la
estática, el momento total debe ser el mismo que el inicial los momentos en la losa son
en consecuencia menores.
El ACI-318 y el NSR-98 tratan en forma unificada los sistemas de losa en dos
direcciones. Las especificaciones indicadas se pueden aplicar tanto a losas sobre vigas
como a losas planas, placas planas y sistemas nervados en las dos direcciones. Se
admite diseñar losas en dos direcciones en general por “cualquier método que satisfaga
las condiciones de equilibrio y compatibilidad geométrica “ y hace referencia a dos
procedimientos alternativos aproximados:
Un método semiempirico denominado: “ Método de diseño directo “
Un análisis elástico aproximado llamado “Método del pórtico equivalente”.
Viga interior
Viga exterior
l2
l2
hf
b
h
hf
b
h-hf
h-hf
bw
El menor valor de:
h-hf
4.hf
b = bw + 2.(h − h f ) ≥ bw + 8.h f
bw
b = bw + (h − h f ) ≥ bw + 4.h f
Figura 10.38 Ancho equivalente de vigas para sistemas de losa monolíticos
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En ambos procedimientos un panel típico de losa se divide para propósitos de diseño en
franjas medias y franjas de columna. Una franja de columna se define como aquella
región de la losa que tiene un ancho a cada lado del eje de la columna igual a ¼ de la
dimensión del panel ( l1 o l2 ). Tal franja debe incluir la viga que va sobre el eje de la
columna. Una franja media se define como aquella región de la losa rodeada por las
franjas de columna. En todos los casos se define “ l1 “ como la luz en la dirección donde
se determinaran los momentos y “ l2 “ la luz en la dirección transversal. La medición de
las luces debe ser de centro a centro de columnas excepto cuando se indique lo
contrario. En el caso de construcción monolítica ( losa y vigas ) las vigas deben incluir
aquella parte de la losa que se proyecta a cada lado del alma considerando un ancho
equivalente igual al menor valor de: el espesor de la viga bajo la losa ( h-hf) o cuatro
veces el espesor de la losa ( 4.hf), ver figura 10.38.
10.3.2
10.3.2.1
Método de diseño directo
Generalidades
Este procedimiento permite diseñar losas en dos direcciones siempre y cuando se
cumplan una serie de restricciones geométricas y dimensiónales que limitan
considerablemente su uso en la ingeniería y solo en casos muy excepcionales se puede
utilizar como método alternativo de diseño. Las hipótesis en que se fundamenta el
método son las siguientes:
10.3.2.2
Debe existir un mínimo de tres luces continuas en cada dirección de la losa
Los paneles deben ser rectangulares con una relación de luz mayor a luz menor
inferior a 2.0
Las luces consecutivas en cada dirección no deben diferir en más del 33% de la
luz mayor.
Las columnas solo pueden desalinearse de su eje máximo un 10%.
Solo se permiten cargas verticales y la carga viva no debe exceder en más de
tres veces la carga muerta.
Cuando existan vigas sobre las columnas, la rigidez relativa de las vigas en las
dos direcciones perpenticulares debe estar entre 0.2 y 5.0
Determinación del momento estático total (Mo)
Considerando la losa de la figura 10.39 se define Mo como el momento estático total
que producen las cargas mayoradas que actúan sobre la losa. Para su estimación se
recomienda usar la luz libre de cada tramo, es decir la distancia cara a cara de las
columnas, ábacos o capitel y en ningún caso su valor debe ser inferior al 65% de la luz
considerada. El valor de Mo para una franja delimitada por los ejes centrales de los
paneles adyacentes esta definida en la ecuación 10.14 en donde “ qu “ es la carga total
mayorada, “ l2 “ la luz en sentido transversal y “ lni “ la luz libre en sentido longitudinal.
1
M o = .(qu .l2 ).lni2
8
(10.14)
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l2
l2
ln1
ln2
lni
Franja interior
Figura 10.39 Franja interior típica en la determinación de “ Mo “
10.3.2.3
Distribución longitudinal de los momentos
En luces interiores el momento estático total es distribuido a las zonas de momento
positivo y negativo (mitad de la luz y extremos) de acuerdo a las siguientes relaciones:
En las zonas de momento negativo: Mu = 0.65 Mo
En las zonas de momento positivo: Mu = 0.35 Mo
Luz interior
lni
Mu ( + )
Mu ( - )
Mu ( - )
Luz interior
lni
Mu ( + )
Mu ( - )
Mu ( - )
Figura 10.40 Momentos positivos y negativos en luces interiores1
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En luces exteriores el valor de los momentos depende de las características de
restricción a flexión que tenga cada apoyo, de la presencia de vigas y la conexión losaviga-columna. La tabla 10.6 suministra cinco casos alternativos posibles de condiciones
de borde para las luces exteriores.
Tabla 10.6 Factores de distribución de Mu para luces exteriores1
Momento
Extremo
exterior sin
restricción
Ambos
extremos
con vigas
Mu (-) int.
Mu ( + )
Mu (-) ext.
0.75
0.63
0.00
0.70
0.57
0.16
Ambos
Extremo
Extremo
extremos sin exterior con
exterior
vigas
viga
total/.restringido
0.70
0.52
0.26
0.70
0.50
0.30
0.65
0.35
0.65
En el primer caso se representa el borde exterior simplemente apoyado sobre un muro
carguero (sea de hormigón o mampostería) que solo ofrece soporte vertical pero no
suministra ninguna restricción rotacional. El segundo caso es el ejemplo típico de la
losa perimetralmente apoyada que fue estudiada en el numeral anterior. El tercer caso
representa la placa plana en la cual no existen vigas en ninguno de sus bordes. El cuarto
caso es la placa plana con vigas solo en el borde exterior y el quinto caso es cuando la
losa se conecta rígidamente al apoyo ofreciendo restricción total como cuando se
construye monolíticamente la losa con un muro de hormigón. Los coeficientes de
momento dados en la tabla 10.6 se basan en los resultados del análisis tridimensional de
estructuras modificaos por el juicio y la experiencia de acuerdo al comportamiento real
de estas estructuras.
Ya que en los apoyos interiores de las luces de borde los momentos negativos difieren
se recomienda diseñar la losa para el mayor valor de los obtenidos a menos que se
realice un análisis que permita distribuir acertadamente el momento desbalanceado en
función de la rigidez relativa de cada tramo. Si se utilizan vigas de borde como en los
caso dos y cuatro se debe considerar el diseño a torsión generado por el momento
exterior indicado en la tabla, en caso de que no existan vigas la losa debe diseñarse para
resistir esta torsión.
10.3.2.4
Distribución lateral de los momentos longitudinales
Una vez se ha distribuido el momento estático total “ Mo “ en el sentido longitudinal
considerado para obtener los momentos positivos y negativos en la franja de columna,
se deben nuevamente distribuir estos momentos longitudinales en sentido transversal
para obtener los % de momento en las franjas medias y las extremas de cada luz. Con el
fin de facilitar los cálculos es conveniente considerar constantes los momentos en cada
franja a menos que exista una viga en la línea de las columnas generando una situación
similar a las losas perimetralmente apoyadas. En este ultimo caso la presencia de la viga
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obliga a que la franja de columna tome un mayor % del momento que las franjas
medias. La distribución del momento total negativo o positivo entre las franjas medias y
la franjas de columna depende de la relación “ l2 / l1 “, de la rigidez relativa de la viga y
la losa y del grado de restricción rotacional dado por la viga de borde. Un parámetro que
se debe definir para expresar la rigidez relativa entre viga y losa es el coeficiente “ α “:
α=
Ecv .I v
EcL .I L
(10.15)
Los valores “ Ecv “ y “ EcL “ son los módulos de elasticidad tanto del hormigón de la
viga como del de la losa. Igualmente “ Iv “ e “ IL “ son los momentos de inercia de viga
y losa respectivamente. Los subíndices para “ α “ se usan para identificar la dirección
considerada: “ α1“ para la dirección de “ l1 “ y “ α2 “ para la dirección de “ l2 “.
La rigidez a flexión de la viga y de la losa pueden calcularse con base en la sección
bruta de hormigón “ Ig “ y despreciando: a) la cantidad de refuerzo y el efecto de la
fisuración a flexión, b) las variaciones debidas a la presencia de ábacos y capiteles sobre
las columnas. Si existe la viga “ Iv “ se basa en la sección transversal efectiva (
incluyendo la aleta ). Para la losa “ IL “ se considera igual a “ b.h3 / 12 “ donde “ b “ es
el ancho entre ejes centrales del panel a cada lado de la viga.
La restricción relativa dada por la resistencia torsional de la viga de borde transversal es
suministrado por el parámetro “ βt “.
βt =
Ecv .C
2.EcL .I L
(10.16)
Donde “ IL “ se determina para la losa en dirección “ l1 “ y con un ancho limitado por
las líneas centrales de los paneles en dirección “ l2 “. La constante “ C “ es la rigidez
torsional de la viga transversal, la cual se define como:
Aquella parte de la losa que tenga un ancho igual al de la columna o capitel en la
dirección en la cual se estiman los momentos
La parte de la losa especificada en el párrafo anterior mas la parte de la viga
transversal sobre o bajo la losa
La viga transversal según la figura 10.38.
La constante “ C “ se calcula dividiendo la sección en varios componentes rectangulares
cada uno con dimensión menor “ x “ y mayor “ y “, y luego sumando las contribuciones
de todas las partes por medio de la ecuación 10.17.

x  x3. y
C = ∑ 1 − 0.63 .
y 3

(10.17)
El valor de “ C “ se debe basar en aquella distribución de la sección en rectángulos tal
que se obtenga el mayor valor de la sumatoria.
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Con estos parámetros definidos se tienen los % de momentos positivos y negativos en
todas las franjas de la losa. Las tablas 10.7, 10.8 y 10.9 o la figura 10.41 facilitan la
obtención de los coeficientes de momento para la distribución lateral de los momentos
en la losa.
Tabla 10.7 Porcentaje de momento negativo en paneles interiores y franjas de columna1
Relación l2 / l1
1.0
% de momento en las franjas
75
75
0.50
Coeficiente rigidez
α1.l1 / l2 = 0.0
α1.l1 / l2 ≥ 1.0
75
90
2.0
75
45
Nota: se recomienda interpolar linealmente para obtener valores intermedios
Tabla 10.8 Porcentaje de momento negativo en paneles exteriores y franjas de columna1
0.50
Coeficientes de
rigidez
Relación l2 / l1
1.0
2.0
% de momento en las franjas
βt = 0.0
100
100
100
βt ≥ 2.5
75
75
75
βt = 0.0
100
100
100
βt ≥ 2.5
90
75
45
α1.l1 / l2 = 0.0
α1.l1 / l2 ≥ 1.0
Nota: se recomienda interpolar linealmente para obtener valores intermedios
Tabla 10.9 Porcentaje de momento positivo en franjas de columna1
0.50
Coeficiente rigidez
α1.l1 / l2 = 0.0
α1.l1 / l2 ≥ 1.0
60
90
Relación l2 / l1
1.0
% de momento en las franjas
60
75
2.0
60
45
Nota: se recomienda interpolar linealmente para obtener valores intermedios
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Figura 10.41 Determinación grafica de los momentos transversales en losas 2D1.
El uso de la figura 10.41 es mas cómodo porque solo se requiere conocer las
relaciones “ l2 / l1 “ y “ α1.l2 / l1 “. Para momento negativo exterior el parámetro “ βt
“ requiere utilizar una interpolación adicional facilitada por el diagrama derecho de
la figura 10.41. Para ilustrar el uso de esta figura se considera por ejemplo una losa
cuya relación “ l2 / l1 = 1.55 “ y “ α1.l2 / l1 = 0.60 “=> la línea punteada indica u %
de momento del 100% para “ βt = 0.0 “ y un 65% para “ βt = 2.5 “. Proyectando a la
derecha como se indica en la figura se encuentra el valor adecuado en la escala de
2.5 divisiones. Para un valor intermedio de “ βt “, es decir por ejemplo 1.0, se
encuentra horizontalmente a la izquierda el correspondiente porcentaje de momento
que en este caso es del 86% aproximadamente.
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La vigas que van sobre los ejes de las columnas en dirección “ l1 “ se dimensionan
para resistir un 85% del momento de la franja de columna si “ α1.l2 / l1 “ es mayor o
igual a 1.0. Para valores entre 0.0 y 1.0 la proporción de momento que resiste la
viga se obtiene por interpolación. Las cargas concentradas aplicadas directamente a
estas vigas se deben considerar en forma separada.
La parte del momento que no resiste la franja de columna es proporcionalmente
asignada a las franjas medias adyacentes. Cada franja media es diseñada para
resistir la suma de los momentos asignada a sus dos franjas medias. Una franja
media adyacente o paralela a un muro se diseña para un momento igual a dos veces
el asignado por la franja media correspondiente al primer tramo de apoyos
interiores.
10.3.2.5
Cortante en losas bidireccionales con vigas de borde
De acuerdo al ACI-318 (NSR-98) las vigas con “ α1.(l2 / l1) “ mayor o igual a 1.0
deben dimensionarse para resistir la cortante producida por las cargas sobre un área
tributaria definida en la figura 10.42. Para valores de “ α1.(l2 / l1) “ menores que 1.0
la proporción de carga sobre la viga se encuentra por interpolación lineal. La
fracción restante de la carga sobre el área sombreada se asume que se transmite
directamente de la losa a las columnas en los cuatro vértices del panel.
l1
C
A
Área tributaria
viga DC
l2
45°
Área
tributaria viga
BD
45°
B
45°
Área
tributaria viga
BD
45°
D
Figura 10.42 Áreas tributarias para el diseño a cortante de losas bidireccionales1
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10.3.2.6
Diseño de columnas
Las columnas deben diseñarse para soportar los momentos generados por el sistema
viga-losa. Las columnas de los bordes, tanto esquineras como laterales, deben
suministrar una resistencia a flexión mayor o igual al momento aplicado en el
extremo de la losa (tabla 10.10). En las columnas interiores los momentos que
actúan son los negativos de la losa los cuales se determinan para una condición de
carga viva mas carga muerta actuando simultáneamente. Una condición mas critica
para el diseño de las columnas interiores es cuando se remueve parcialmente la
carga viva “ qv “, en este caso el ACI especifica que el momento resistente se
determine con la ecuación 10.18 en donde los valores que llevan el signo de “ prima
“ se refieren a la luz mas corta de las luces adyacentes ( considerando que solo
actúa la carga muerta “ qm “ ) y las variables sin “ prima “ se refieren a la luz mayor
( con la hipótesis de que actúa la carga muerta mas la mitad de la carga viva ). En
todos los casos el momento se distribuye tanto a la parte superior como inferior de
las columnas de acuerdo a su rigidez relativa a flexión.
[
M = 0.07. (qm + 0.5qv ).l2 .ln2 − qm´ .l2´ .ln´2
]
(10.18)
Cuando la relación carga muerta a carga viva ( sin mayorar ) “ βa “ es menor que
2.0 se debe cumplir una de las siguientes dos condiciones:
La suma de la rigidez a flexión de las columnas por encima y por debajo de
la losa debe ser tal que “ αc “ no sea menor que el valor dado en la tabla
10.10. ( α c = ∑ kc ∑ (kc + kv ) ).
Si “ αc “ es menor que “ αmin “ especificado en la tabla 10.10, el momento de
diseño positivo en los paneles soportados por estas columnas deben
multiplicarse por “ δs “.
δs = 1+
(2 − β a ) .1 − α c 
(4 + β a )  α min 
( 10.19 )
En la ecuación 10.19 αc es un valor dado y los parámetros “ kc, kl y kv “ son las
rigideses a flexión de las columnas, losa y vigas respectivamente. Estos valores
pueden calcularse con las ecuaciones básicas de la resistencia de materiales basados
en la sección bruta de hormigón y para elementos que tengan sección uniforme en
toda su longitud “ k = ( Ec .Ig ) / l “. Los valores de “ Ig “ para las vigas se basan en
la sección efectiva “ bw.d “ mientras que en la losa en la sección total “ b.h “ donde
“ b “ es la dimensión transversal del panel “ l2 “. Tanto para la viga y la losa la luz
usada en el cálculo de “ k “ es la luz en la dirección donde se determinan los
momentos. Para la columna la luz es la longitud vertical piso a piso de la estructura.
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Tabla 10.10 Valores mínimos de αc (αmin )1
Rigidez relativa de la viga α = (Ecv.Iv / Ecl. Il )
βa
2.0
1.0
0.5
0.33
l2 / l1
0.0
0.5
1.0
2.0
4.0
0.5 - 2.0
0.5
0.8
1.0
1.25
2.0
0.5
0.8
1.0
1.25
2.0
0.5
0.8
1.0
1.25
2.0
0.0
0.6
0.7
0.7
0.8
1.2
1.3
1.5
1.6
1.9
4.9
1.8
2.0
2.3
2.8
13.0
0.0
0.0
0.0
0.1
0.4
0.5
0.3
0.5
0.6
1.0
1.6
0.5
0.9
0.9
1.5
2.6
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.2
0.0
0.2
0.2
0.5
0.8
0.1
0.3
0.4
0.8
1.2
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.3
0.0
0.0
0.0
0.2
0.5
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.3
10.3.2.7 Características del refuerzo a flexión de la losa
La distribución del acero de refuerzo en las losas en dos direcciones es en
forma de malla ortogonal con barras paralelas a cada borde de la losa.
La cantidad de barras y sus diámetros se determinan utilizando los mismos
criterios utilizados en los diseños anteriores. La práctica general es usar
barras rectas en toda la longitud requerida y en casos especiales se puede
doblar el acero positivo de la mitad de la luz para que atienda los momentos
negativos en los apoyos.
El espaciamiento máximo de las barras de refuerzo, en las zonas de máxima
flexión, debe ser dos veces el espesor de la losa esto con el fin de garantizar
un control adecuado de fisuras en la losa y la probable colocación de cargas
concentradas.
El refuerzo mínimo en la losa es el de retracción y temperatura y el
recubrimiento mínimo para una adecuada protección del acero a la corrosión
y al fuego debe ser de 20 mm.
Ya que el acero en la mitad de la luz y sobre los ejes de columnas se cruza
en dirección perpendicular se debe reconocer que las barras que van en
dirección corta deben quedar con una mayor altura efectiva debido a que en
esta dirección la losa soporta mayores momentos.
En losas cuadradas se acepta que la capa de acero con menor altura efectiva
tenga una cuantía de refuerzo mayor que la capa externa. El valor numérico
depende de la disminución del brazo de palanca respectivo.
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Los puntos de corte y doblado del refuerzo se pueden obtener de la figura
10.43 en donde se visualizan tanto para placa y losa planas.
Se especifica que en las franjas de columna y en cada dirección todas las
barras de las capas inferiores de la losa sean continuas o traslapadas con un
empalme tipo A en la longitud considerada. Al menos dos barras de la franja
de columna deben pasar el apoyo y anclarsen en soportes exteriores.
Si el valor de “ α “ es mayor que 1.0 y la losa tiene vigas perimetrales se
recomienda colocar un refuerzo por torsión en cada esquina del panel
similar al utilizado en 10.2.3.
Paneles sin acartelamiento
Apoyo exterior
Paneles con acartelamiento
Apoyo interior
Apoyo exterior
Figura 10.43 detallado del refuerzo en losas sin vigas de borde1
10.3.3
Determinación del espesor de losas en dos direcciones
Con el fin de garantizar que bajo cargas de servicio las deflexiones de la losa no
superen los valores permitidos se pueden utilizar uno de los siguientes dos
procedimientos: a) Determinar las deflexiones esperadas utilizando un enfoque
racional adecuado y comparar los resultados obtenidos con los valores admisibles,
b) Asegurando un espesor de la losa mayor o igual a un mínimo fijado de acuerdo a
la experiencia y evaluación experimental del comportamiento de estas estructuras.
El ACI recomienda unos espesores mínimos para losas diseñadas por cualquiera de
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los dos métodos propuestos como alternativos: El directo o el del pórtico
equivalente. Se consideran también los casos de losas con o sin vigas de borde.
10.3.3.1
Losas en dos direcciones sin vigas interiores
El espesor de este tipo de losas no debe ser inferior al valor indicado en la tabla
10.11. Si la losa tiene vigas de borde el espesor de los paneles exteriores se puede
disminuir un 10% del valor indicado en la tabla 10.11. En cualquier caso los
espesores mínimos son:
a) 125 mm en el caso de placas planas ( sin acartelamiento )
b) 100 mm en losas planas ( con acartelamientos)
Tabla 10.11 Espesores mínimos en losas sin vigas interiores
Paneles sin acartelamiento
Paneles con acartelamiento
Exteriores
Interiores
Exteriores
Interiores
fy ( MPa )
Sin vigas
Con vigas
Sin vigas
Con vigas
280
ln / 33
ln / 36
ln / 36
ln / 36
ln / 40
ln / 40
420
ln / 30
ln / 33
ln / 33
ln / 33
ln / 36
ln / 36
Nota: El valor de “ α “ para las vigas exteriores no debe ser menor que 0.8
10.3.3.2
Losas con o sin vigas en sus bordes
El espesor para este tipo de losas depende del valor αprom definido como el
promedio de los valores de α para todas las vigas de borde del panel.
Si αprom es menor o igual a 0.2 se debe utilizar el espesor indicado en
10.3.3.2.
Si αprom es mayor que 0.2 pero menor que 2.0 el espesor h de la losa se
puede estimar con la expresión 10.20 pero en ningún caso debe ser menor
que 120 mm.
Para αprom mayor que 2.0 el espesor no debe ser menor que 10.21 o 90 mm.
f


ln . 0.8 + y

1500


h=
36 + 5.β .(α prom. − 0.2)
(10.20)
f


ln . 0.8 + y
1500 

h=
36 + 9 β
(10.21)
En estas dos ecuaciones ln representa la luz libre en la dirección mayor del panel en
(mm) y “ β “ es la relación entre la luz libre mayor y la luz libre menor. En el caso
de losas sin vigas pero con acartelamientos interiores de espesor mayor o igual al
25% de la losa y cuya longitud sea mayor que la sexta parte de la luz se permite
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reducir en un 10% los valores de las ecuaciones anteriores. Cuando se tenga un
borde discontinuo se debe ampliar el espesor de la losa un 10% a menos que se
coloque una viga de borde que suministre un “ α “ mayor o igual a 0.80.
Las ecuaciones 10.20 y 10.21 se pueden generalizar llamando “ F “ al denominador
de ambas expresiones y graficándolo contra “ αm “ , “ β “ para obtener los valores
correspondientes de “ F “ para diferentes condiciones del panel.
60.0
55.0
54
β = 1.5
50.0
49.5
β = 2.0
F 45.0
45
40.0
β = 1.0
35.0
30.0
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
Alfa promedio
Figura 10.44 valores de F para determinar el espesor de las losas en dos direcciones
Se observa en la figura 10.44 que los menores espesores de losa se logran con
paneles de altos valores de alfa promedio y relación de luces 2.0 ( F altos ).
Mientras que los máximos espesores se presentan cuando el panel es cuadrado con
alfa promedio igual a 0.5 (F bajos).
Ejemplo 10.4 Diseñar la losa del ejemplo 10.2 utilizando el método directo de
diseño. La carga viva es de 7.5 kN / m2 y la losa soporta equipos e instalaciones con
una carga fija de 0.5 kN / m2. Las vigas exteriores soportan muros de 7.5 kN / m. La
altura de piso es de 4.3 m. Utilizar un hormigón de f´c = 21 MPa y fy = 420 MPa.
Solución: El procedimiento de trabajo es el siguiente: a) comprobación de las
hipótesis del método, b) Dimensionamiento de la losa y las vigas por criterios
geométricos, c) Revisión del espesor de la losa con las ecuaciones 10.20 y 10.21, d )
Determinación de los momentos positivos y negativos en vigas y losa, e)
Distribución de los momentos a las diferentes franjas de la losa, f) se diseña a
cortante y torsión, g) se selecciona el refuerzo y se detalla.
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a) Comprobación de las hipótesis del método
Tres luces continuas en cada dirección => Cumple
Paneles rectangulares con lb / la < 2 <=> 8.0 / 6.5 = 1.23 < 2.0 => Cumple
Las luces consecutivas no difieren en mas del 33% => Cumple
Las columnas están alineadas => Cumple
Solo hay cargas verticales y qv / qm < 3.0 => Se debe verificar
la rigidez relativa de las vigas debe estar entre 0.2 y 5.0 => Se debe verificar
Y
l1x= 6.5 m
l2x = 6.5 m
l3x = 6.5 m
l4x = 6.5 m
1
1
2
3
l1y = 8.0 m
4
2
6
5
E
l2y = 8.0 m
7
Franjas en X
3
8
l3y = 8.0 m
9
4
l4y = 8.0 m
A
5
B
C
D
X
Franjas en Y
Figura 10.45 Planta de la losa del ejemplo 10.4
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b) Dimensiones preliminares del sistema de piso
La losa se asume de un espesor mayor o igual al perímetro del panel de mayor luz
sobre 180 => Sean vigas de hv = 0.30 m => hL > 2(7.7 + 6.2)/180 = 0.15 m
La losa debe tener un espesor mayor o igual a 150 mm => Se asume un espesor de
losa igual a 150 mm como primera estimación para el cálculo de la estructura.
Sean las vigas de ancho bw = 0.30 m (generalmente mayor que 0.25 m).
Espesor de vigas en X: lx = 6.50 m => hx > (6.50 / 18.5) = 0.35 m
Espesor de vigas en Y: ly = 8.00 m => hy > (8.00 / 18.5) = 0.43 m
Las dimensiones iniciales del sistema de piso se pueden asumir así:
•
•
•
Columnas interiores “ bc = hc = 450 mm ( requisitos carga lateral )
Columnas exteriores “ bc = hc = 400 mm ( “
“
“ )
Vigas en dos direcciones de “ bw = 300 mm “ y “ h = 450 mm
c) Revisión de los espesores de losa según relaciones de rigidez
•
Vigas exteriores:
b = bw + h´ = 600 mm
b
b ≤ 300 + 4 * 150 => b ≤ 900 mm
Controla: b = 600 mm
450
h´
hf = 150 mm
Yc =
300 × 300 × 150 + 150 × 600 × 375
(300 × 300 + 150 × 600)
Yc = 262.5 mm
bw = 300 mm
[
]
[
]
 3004 
 600 × 1503 
 + 90000 × (265.5 − 150)2 + 
 + 90000 × (375 − 262.5)2 = 3122 × 106 mm 4
I v = 
12
 12 


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•
Vigas interiores:
hf = 150 mm
b
b = bw + 2h´ = 900 mm
b ≤ 300 + 8 * 150 => b ≤ 1500 mm
Controla: b = 900 mm
450
h´
Yc =
300 × 300 × 150 + 150 × 900 × 375
(300 × 300 + 150 × 900)
Yc = 285 mm
bw = 300 mm
[
]
[
]
 300 4 
 900 × 1503 
 + 90000 × (285 − 150)2 + 
 + 135000 × (375 − 285)2 = 3662 × 106 mm 4
I v = 
12
 12 


•
Inercia de la losa: IL
3325 × 1503
Paneles exteriores en X => I L =
= 935 × 106 mm 4
12
Paneles interiores en X => I L =
6500 × 1503
= 1828 × 106 mm 4
12
Paneles exteriores en Y => I L =
4075 × 1503
= 1146 × 106 mm 4
12
8000 × 1503
Paneles interiores en Y => I L =
= 2250 × 106 mm 4
12
•
Los coeficientes de rigidez “ α “ para cada borde de losa son:
Vigas en X exteriores => α x , ext . =
3122 × 106
= 3.34
935 × 106
Vigas en X interiores => α x ,int =
3122 × 106
= 1.71
1828 × 106
Vigas en Y exteriores => α y , ext =
3662 × 106
= 3.20
1146 × 106
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Vigas en Y interiores => α y , int =
3662 × 106
= 1.63
2250 × 106
Para un panel típico interior => α prom. =
En un panel típico exterior => α prom. =
(1.71 + 1.63 + 1.71 + 1.63) = 1.67
4
(3.34 + 1.63 + 1.71 + 3.20) = 2.47
4
Verificando αx.lx / αy.ly se cumple que su valor esta entre 0.2 y 5.0
Determinando el espesor del panel de esquina => ecuación 10.21:
f


ln . 0.8 + y
 8000 × 0.8 + 420
1500

=
1500 = 183 mm
h=
36 + 9 β
36 + 9 × 7.55
6.05
(
)
Para un panel interior se utiliza la ecuación 10.20 =>
f


ln . 0.8 + y

8000 × 0.8 + 420
1500


1500
h=
=
= 191 mm
7 .7
36 + 5.β .(α prom. − 0.2 ) 

× (1.67 − 0.2 )
 36 + 5 ×
6 .2


(
)
Los cálculos recomiendan usar un espesor de losa mayor o igual a 200 mm.
•
Determinación de las cargas por peso propio sobre la losa
Peso de la losa: q pp = 0.20 × 2400 × 9.8 / 1000 = 4.7 kN / m 2
Peso de instalaciones y equipos = 0.5 kN/m2
Carga muerta total en servicio = 5.2 kN/m2
Carga viva total en servicio = 7.5 kN/m2
Carga ultima en losa: qu = 1.2 x 5.2 + 1.6 x 7.5 = 6.24 + 12 = 18.2 kN/m2
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d) Determinación de los momentos positivos y negativos en la losa
•
Dirección “ X “ eje “ 1 “
1
4.20
6.92
A
6.95
B
Momento estático: M o =
Variable
l1
ln
l2
Mo (kN.m)
Kc (sup.)
Kc (inf.)
Suma Kc
C
X
Kt
Kec
Ks =4 Is/ l1
Kv =4 Iv/ l1
Alfa (ec)
% Mo
Mom. losa
Mom. col.
6.95
C
6.92
D
E
18.2 × ( 4.20 + 0.20) × ln2
= 10 × ln2 kN .m
8
Tramo A-B
6.92
6.50
4.40
422
Tramo B-C
6.95
6.50
4.40
422
Tramo C-D
6.95
6.50
4.40
422
Tramo D-E
6.92
6.50
4.40
422
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