Teorema de error relativo de número aproximado.

Teorema de error relativo de número aproximado.
Teorema 2.- Si el número aproximado
a = α m .10 m + α m - 1 .10 m - 1 + . . . + α m - n +1 .10 m - n + 1.
Tiene r dígitos exactos, entonces una cota de error relativo viene dada por:
a =
1
1
, r−1
m 10
# DEMOSTRACIÓN:
Si a tiene r dígitos exactos, por el teorema (de dígitos exactos de un número aproximado) se
tiene que:
∆ = | A - a | ≤ (½).10 m - r + 1 .
Por tanto (suponiendo que A > a)
A ≥ a - (½).10 m - r + 1 .
Además, como
a - (½).10 m - r + 1 ≥ α m .10 m - (½).10 m - r + 1 .
Podemos establecer inmediatamente la siguiente desigualdad:
A ≥ α m .10 m - (½).10 m - r + 1 = (½).10 m ( 2.αm- 10 - r + 1 ) ≥
≥ (½).10 m (2.αm- 1 ) ≥ (½).10 m .αm
En la última igualdad se utiliza αm ≥ 1 y por tanto αm –1 ≥ 0
Como consecuencia
1
m−r1
.10
 2
1
1
= ≤
= . r−1
m 10
∣A∣ 1
. 10m . m
2
# EJEMPLO:
Sea A = π y a = 3,14, como a tiene tres dígitos exactos ya que tomando m = 0 y r = 3 se
obtiene:
|π-a| = 3,1416 ...-3,14 = 0,0016 ... ≤ 0,005 = (½).10 - 2 = (1/2). 10 m-r+1.
Utilizando ahora la cota de error relativo del teorema (de dígitos exactos de un número
aproximado), tenemos que:
δ a = (1/3).(1/10 2) = 1/300.
# EJEMPLO:
¿Cuántos dígitos exactos deben tomarse en el cálculo de (20)1/2 de forma que el error
relativo no exceda del 0,1 % ?.
Como el primer dígito αm= 4 y δ = 0,001. Tenemos que:
1/ (4.10 n - 1 ) ≤ 0,001 y por tanto 10 n - 1 ≥ 250.
Entonces:
10 n ≥ 2500. Y se cumple para n = 4.