Aplicaciones de derivadas. Problemas de optimización

ENUNCIADOS DE PROBLEMAS SOBRE APLICACIONES DE LAS DERIVADAS
1) a) Determina razonadamente a y b en la función y =
ax
sabiendo que tiene un
x²  b
mínimo en el punto (-1, -1/2).
b) Estudia los intervalos de crecimiento y decrecimiento en el caso a = b = 1.
2) Calcula los máximos y mínimos de la función y = x4/3(1 - x)1/3.
3) Determina la concavidad, convexidad y puntos de inflexión de la función:
y = 3x4 - 10x3 - 12x2 + 12x - 7.
4) Determina la concavidad, convexidad y puntos de inflexión de la función:
y = 3x + (x + 2)
3
5
.
5) Calcula la concavidad, convexidad y puntos de inflexión de la función :
f(x) =
(x  1)²
.
ex
6) Halla los máximos y mínimos de la función y = x² +
250
aplicando el criterio de la
x
segunda derivada.
7) Halla los máximos y mínimos de la función y = f(x) = (x - 2)2/3.
8) Una ventana "normanda" consiste en un rectángulo coronado con un semicírculo.
Encuentra las dimensiones de la ventana de área máxima si su perímetro es de 10
metros.
9) Un depósito abierto de chapa y de base cuadrada, debe tener capacidad para
13.500 litros. ¿Cuáles han de ser sus dimensiones para que se precise la menor
cantidad de chapa?
10) Con un alambre de 1 m queremos construir el borde de un rectángulo de área
máxima. ¿Qué dimensiones hay que dar al rectángulo?
11) El propietario de un inmueble tiene alquilados los cuarenta pisos del mismo a 10.000
PTA al mes cada uno. Por cada mil pesetas de aumento en el precio del alquiler pierde un
inquilino, que se traslada a otro piso más económico. ¿Cuál es el alquiler que más beneficio
produce al propietario?
12) Un fabricante de bolígrafos sabe que el coste de producción de x bolígrafos en una
semana es de C(x) = 180 + 10x + x². Si vende cada bolígrafo a 100 ptas.:
a) expresa el beneficio que obtiene por la venta de x bolígrafos en una semana (beneficios
= ingresos menos costes);
b) calcula cuántos debe vender para obtener el máximo beneficio. ¿Cuál es ese beneficio
máximo?
13) Durante los treinta días consecutivos de un mes las acciones de una determinada
compañía han tenido unas cotizaciones dadas por la función f(x) = 0,2x² - 8x + 100, donde x
es el número de días transcurridos. Halla los días en que las respectivas acciones
estuvieron en baja (bajando de precio) y los que estuvieron en alza. ¿Qué día de mes
alcanzaron el valor máximo? ¿Y el valor mínimo?
14) Se ha comprobado empíricamente que las ganancias que proporciona cierto juego
dependen
del tiempo que se esté jugando a través de la expresión:
G(x) =
100x
x  400
2
(donde x representa el tiempo de juego expresado en minutos). Se pide:
a) ¿Cuanto más tiempo se permanezca jugando es mayor la ganancia que se obtiene?
Justifica
la respuesta.
b) Determina el tiempo que proporciona la mayor ganancia.
c) ¿Puede ocurrir que si se sobrepasa cierto tiempo, el juego dé pérdidas (ganancia
negativa)?
¿Por qué?
15) Una piedra preciosa pesa 12 gramos. Sabiendo que el valor de una piedra
preciosa es proporcional al cuadrado de su peso y que su valor es de 144.000 PTA.,
calcula, cuando dicha piedra se divide en dos trozos, el valor de cada uno de ellos
cuando la depreciación sea máxima.
16) Supongamos que el rendimiento r en % de un alumno en un examen de una hora
viene dado por:
r = 300t(1 - t), donde 0  t  1 es el tiempo en horas. Se pide:
a) ¿En qué momentos aumenta o disminuye el rendimiento?
b) ¿En qué momentos el rendimiento es nulo?
c) ¿Cuándo se obtiene el mayor rendimiento y cuál es?
17) De todos los conos de revolución que tienen la misma generatriz g =
el volumen del que lo tiene máximo.
18) Dada la función f(x) =
x²  2
2x  1
1) Calcula sus asíntotas.
2) Calcula los máximos y mínimos.
3) Represéntala gráficamente.
3 m, halla
19) Estudia y representa la función : f(x) =
3
x² .
20) Estudiar el crecimiento y decrecimiento de la función:
f(x) = cosx - senx, en el intervalo [0, 2  ] y esbozar su gráfica.
21) Dada la función y =
x²  1
se pide:
x
Dominio de definición, máximos y mínimos e intervalos de crecimiento y
decrecimiento.
22) Representar gráficamente la función y = x 4  2x² .
23) Dibujar la gráfica de f(x) =
x²
.
x2
24) Representa gráficamente la función y =
x²  1
.
x²
25) Representa gráficamente la función y =
x3
.
x2
26) Hallar los extremos relativos de la función implícita :
2x2 + 3y2 - 8x + 8y - 4xy - 1 = 0.
27) Un eucalipto de 20 años tiene 10 m. de altura y 60 cms. de diámetro, y su
madera se puede vender a 500 pts/m3. A partir de ese momento cada año crece 20
cms. de alto y 2 cms de ancho, pero su madera se deprecia a razón de 10 pts. por
año el m3. ¿ A qué edad es más ventajoso tallar el eucalipto?
28) Halla el punto de la curva y = , en que la recta tangente tiene pendiente máxima.
29) Encima de un pedestal de 1 m, hay un objeto de 1,70 m.
Calcula la distancia a la que se tiene que poner un visor a ras de suelo para que el
ángulo con el que se capte todo el objeto sea máximo.
30) Inscribe un rectángulo de área máxima en el segmento de parábola que
determinan: y = x² e y = 9.
31) La población de un estado viene dada, en millones de habitantes, por la función:
P(t) = , donde t es el tiempo en años.
a) Calcula la población máxima y el límite cuando t tiende a infinito.
b) Dibuja aproximadamente la gráfica de la función.
32) Calcula las dimensiones de la pirámide de base cuadrada de mayor volumen que
se puede inscribir en una esfera de radio r.
33) Busca las dimensiones del rectángulo de área máxima inscrito en un triángulo
isósceles dado. ¿Cómo ha de ser el triángulo isósceles para que el rectángulo sea
un cuadrado?
34) Calcula la amplitud de un sector circular que se le tiene que quitar a un círculo de
radio g para que con el resto se construya un cono de volumen máximo.
35) Calcula las dimensiones del trapecio de mayor área inscrito en un semicírculo de
radio 1.
36) Consideremos la parábola de ecuación y = x2. Calcula el punto B de esta
parábola que está más cerca del punto A = (3, 0). Comprueba después que la recta
BA es perpendicular a la tangente a la parábola en el punto B.
37) Calcula las dimensiones y el coste mínimo del marco de una ventana de 8 m2
de superficie si el trozo horizontal va a 100 pts. el metro y el vertical a 150.
38) Calcula las dimensiones del triángulo isósceles de mayor área inscrito en una
circunferencia de radio R.
39) La intensidad con que una lámpara alumbra el borde de una mesa redonda de
radio r viene dada por la fórmula: L = , donde k es una constante que depende de la
características de la luz, d es la distancia del punto de luz de la bombilla al borde de
la mesa y  el ángulo que forman d y la vertical. Calcula la altura a la que se tiene
que colocar la lámpara para que la intensidad sea máxima.
40) En R², se consideran los puntos A = (2, 3) y B(10, 5). Sea P un punto del eje OX.
¿Dónde ha de estar situado P sobre este eje de manera que el perímetro del
triángulo APB sea mínimo?
41) La trayectoria de un proyectil disparado por un cañón de artillería situado en el
origen de coordenadas de R² es la función:
y = -k(1 + tg²)x² + (tg)x, donde k es una constante positiva que depende de las
características del cañón, y es el ángulo que forma el cañón con el eje de las X
positivas.
El ángulo se supone comprendido entre 0° y 90°. Calcula el ángulo para el cual la
gráfica de la trayectoria intersecte el eje OX positivo lo más lejos posible.