Mercados Incompletos

Matemáticas Aplicadas
Módulo II
Matemáticas Financieras en Mercados Incompletos
Sesión 4: Valoración de Derivados – Mercados Incompletos
p
Diego Jara
diego jara@quantil com co
[email protected]
Introducción al Modelos Financieros para Valoración de Derivados
en el Sector Eléctrico con Aplicaciones al Caso Colombiano
Febrero 2012
VALORACIÓN DE DERIVADOS EN
MERCADOS INCOMPLETOS
Ejemplos y Motivación
Fuentes de incompletitud: revisión del mercado de
electricidad
 Desarrollo Teórico
 Esquemas de Valoración de derivados en mercados
incompletos


Mercados Incompletos
VALORACIÓN DE DERIVADOS EN
MERCADOS INCOMPLETOS
Ejemplos y Motivación
Fuentes de incompletitud: revisión del mercado de
electricidad
 Desarrollo Teórico
 Esquemas de Valoración de derivados en mercados
incompletos


Mercados Incompletos
Preámbulo Teórico
Una advertencia ppara cualquier
q
creador de mercados en
derivados y administradores de sus riesgos:
“Enthusiasm for methods of hedging and valuation of
derivatives in complete markets, and for associated
methods of computation, seems often to obscure the
fact that these techniques do not provide a general
theory of valuation and that they are liable to give at
best only imprecise results when applied beyond their
proper domain.
domain.” Foldes (2000)
Mercados Incompletos
Preámbulo Teórico
 Recordemos el modelo binomial de un p
periodo:
 El precio de un derivado se obtiene
 Encontrando valor esperado* del precio final
 Descontando ese promedio a valor presente
 El “valor esperado” se encuentra con q* = (erT - edT) / (euT - edT)
 q* → “probabilidad de neutralidad al riesgo”
 Nota: q* es una probabilidad (entre 0 y 1) si y solo si d ≤ r ≤ u (en
otras palabras, la probabilidad existe si y solo si no hay arbitraje)
 En este modelo había dos ecuaciones y dos incógnitas; en general
hay solución  hay forma de replicar cualquier derivado
 Ecuaciones: igualdad de valores en el estado de “arriba” (1) y “abajo” (2)
 Incógnitas: número de bonos y número de acciones
Mercados Incompletos
Un Periodo
 Recordemos el ejemplo de la opción call:
 Precio Acción: S(0) = 80; Strike: K = 100; Expiración: T = 1
 Tasás cero cupón compuestas continuamente: r = 10%
S(T)
( )
90%
80
10%
t=00



120
CE((t=T))
90%
CE
60
10%
t=T
T
t=00
Solución por replicación: x  número de acciones,
y  número de T-bonos
Replicación:
(“arriba”) 120x + 100y = 20
(“abajo”) 60x + 100y = 0
x = 0.333, y = -0.2
Valor inicial portafolio: 80x + 100e-rTy = CE = 8.57
Mercados Incompletos
20
0
t T
t=T
Un Periodo
 Solución alternativa: encontrar la probabilidad q* que
hace de e-rTS una martingala:
S(T)
80
qq*
1-q*
t=0
120
60
E*[S(T)] = q*120 + (1-q*)60 =erTS(0)

q* = 47.35%
t=T
 Usando esta probabilidad para valorar,
CE = e-rT(q*20 + (1-q*)0))= 8.57
Mercados Incompletos
Un Periodo
 Ampliemos
p
el modelo ppara usar tres
estados:
S(T)
80
120
90
60
 Tomemos la misma opción call :
 Strike:
St ik K = 100
 Expiración: T = 1
 Tasás cero cupón compuestas continuamente:
r = 10%
 Mantengamos la idea que funcionó antes:
replicar el pago final
Mercados Incompletos
CE
??
20
0
0
Un Periodo






x: número de acciones
y: número de T-bonos
T bonos (cero
(
cupón,
ó con principal
i i l 100
100, madurez
d
T) en el
portafolio
Se quiere
(“arriba”) 120x + 100y = 20
(“
(“centro”)
”) 90x
90 + 100y
100 = 0
(“abajo”) 60x + 100y = 0
No hay solución: no existe portafolio que replique el derivado
Laa intención
te c ó es buscar
usca alternativas
a te at as dee valoración
a o ac ó (au
(aunque
que se
mantenga la intención de tratar de replicar lo mejor que se pueda)
Nota: se debe tener claro para qué se quiere valoración. Si es para
crear un mercado para un cliente, el proceso puede ser distinto de
lo que se usaría para administrar el riesgo,
riesgo o marcar los libros
Mercados Incompletos
Un Periodo




Por ejemplo, se podría intentar
superreplicación: armar portafolios
que tengan flujos de caja mayores o
iguales que los del derivado
Sigamos con el ejemplo anterior;
primero
i
supongamos que nos piden
id un
precio de venta del derivado
x: número de acciones
y: número de T
T-bonos
bonos (cero cupón,
cupón con
principal 100, madurez T)
Se quiere minimizar el valor inicial del
portafolio (80x + 100e-rTy) sujeto a
obtener por lo menos la plata
necesaria para cubrir el derivado en
cada estado:
(“arriba”) 120x + 100y ≥ 20
((“centro”)) 90x + 100yy ≥ 0
(“abajo”) 60x + 100y ≥ 0
Supercobertura de una posición
corta en1.5el derivado
1
0.5
y

0
-1
-0.5
"arriba"
"centro"
"abajo"
0
0.5
1
-0.5
-1
x
Solución: x = 0.333, y = -0.2
Valor Inicial Portafolio = 88.57
57
Coincide con solución en el ejemplo binomial original
Mercados Incompletos
Un Periodo
Pero si piden un precio de
compra, ell análisis
ál cambia
b
totalmente
 Se quiere minimizar el valor
inicial del portafolio (80x +
100e-rTy) sujeto a obtener
por lo
l menos lla plata
l
necesaria para cubrir el
derivado en cada estado:

(“arriba”) 120x + 100y ≥ -20
(“centro”) 90x + 100y ≥ 0
(“abajo”)
j 60x + 100yy ≥ 0
Supercobertura de una posición
1 derivado
larga en el
0.8
0.6
0.4
y
0.2
0
-1
-0.5
0
0.5
-0.2
-0.4
"arriba"
"centro"
"abajo"
-0.6
-0.8
-1
x
Solución: x = 0.0, y = 0.0
Valor Inicial Portafolio = 0
Mercados Incompletos
1
Un Periodo





“Solución”:
PPrecio
i de
d compra máximo
á i es $0
Precio de venta mínimo es $8.57
Estos son precios de no arbitraje: si se compra el derivado
máximo en $0,
$0 o se vende mínimo en $8.57,
$8 57 entonces se
tiene perfectamente cubierto cada flujo de caja del
derivado, y en algunos casos se superreplica estrictamente
(se ggana pplata)
Pero no es práctico pensar en no pagar más de $0 por un
derivado que nunca pierde, y a veces gana
CE
0??
20
0
0
Mercados Incompletos
Un Periodo












Solución dual: encontrar probabilidades que hacen de e-rTS una
martingala
p1 + p2+ p3 = 1
p1 > 0, p2 > 0, p3 > 0
80
120p1 + 90p2 + 60p3 = 80erT
S(T)
p1
p2
pp3
120
90
60
Hay muchas soluciones: cualquier conjunto {p1,p2,p3) que cumpla
p1  (0, 47.35%)
p2 = 94.71%
94 71% – 2p1
p3 = 5.29% + p1
No hay solución única. Idea: definir precios de compra y venta según
este conjunto de probabilidades
CECompra = infp1Ep1[e-rTV(T)] = 0 (se da con p1  0%)
CEVenta = supp1Ep1[e-rTV(T)] = 8.57 (se da con p1  47.35%)
Resultados coinciden con superreplicación
Mercados Incompletos
Un Periodo
Solución diferente: minimizar el error de cobertura

S(T)
80








p1
p2
pp3
CE
120
90
??
60
p1
p2
p33
20
0
0
p1 > 0, p2 > 0, p3 > 0 dados
p1 + p2+ p3 = 1
Resolver min x, y [S (T ) x  100 y  C E (T )2 ]
2 p1( p 2  p3)
Solución (…): x 
Para p1=p2=p3,
3[(12 p1  5 p 2  4)  (2 p1  p 2  2) 2 ]
p1
y
15(2 p1  p 2  2) x
x = 0.333, y = – 0.233 (muy cercano al modelo binomial inicial)
V0 = 5.55 (sin distinguir si se compra o se vende!)
“arriba” y “abajo”: déficit por $3.33; “centro”: superávit por $6.67
Mercados Incompletos
Un Periodo
Otra solución diferente: maximizar la utilidad del
i
inversionista
i it
… aunque esto parece volver al esquema económico de
valoración: se requiere fundamentalmente la probabilidad
“fí ” y la
“física”
l estructura dde la
l ffunción
ó de
d utilidad,
l d d ninguna dde
las cuales se obtiene directamente del mercado
Ejemplo:
j p








u(x) = 1-e-x
tomemos =0.1, que corresponde a indiferencia entre una lotería
de $0 o $10 con 50% c/u, o $3.8 con certeza
p1 = p2 = p3
También se necesita una riqueza inicial (con la cual se

busca cubrir el derivado  

min
i   max [u ( S (T ) x  B (T ) y  D (T ))]   u ( 0 ) 
Problema a resolver:

 

c
x, y
S 0 x  B0 y  c
Mercados Incompletos
Un Periodo
Solución cuando se vende el derivado: CE = $3.63, con lo
cuall se construye
t
ell portafolio
t f li

x = 0.47
y = -0.34


Si hubiéramos
h bé
comprado
d ell derivado,
d
d CE = -$3.47, con lo
l
cual se construye el portafolio

x = -0.06
y = 0.013


Sensibilidad a parámetros:

Tomando pp1=0.5,, p2=p3=0.25:
p p




CEVenta = $2.63 CECompra = -$5.66  Precios cruzados!
Tomando  = 1 (indiferencia entre la lotería y $0.69), se llegaría a
CEVenta = $6.20 CECompra
p = -$0.46
Mercados Incompletos
Un Periodo





Otra solución diferente: “completar” el mercado
En general no se puede
puede, pero hay ocasiones en que el mercado lo permite
Idea: incluir otro instrumento que sea transable en el mercado
Volvemos al ejemplo de nuestra acción en el modelo trinomial; queremos
valorar una opción específica (call, strike 100)
Supongamos que otra opción
ó callll (Strike
k 80) es transable
bl y vale
l $12.2
CE
12 2
12.2
40
10
0

REPLICACION  x: número de acciones,, y:
y número de T-bonos,, z:
número de opciones_80
Se quiere
(“arriba”) 120x + 100y + 40z = 20

S l ió x=-0.333,
Solución:
0 333 y=0.2,
0 2 z=11  Valor
Vl O
Opcion_100
i 100 = $3.66
3 66

(“centro”) 90x + 100y + 10z= 0
(“abajo”) 60x + 100y + 0z = 0
Mercados Incompletos
VALORACIÓN DE DERIVADOS EN
MERCADOS INCOMPLETOS
Ejemplos y Motivación
Fuentes de incompletitud: revisión del mercado de
electricidad
 Desarrollo Teórico
 Esquemas de Valoración de derivados en mercados
incompletos


Mercados Incompletos
Fuentes de Incompletitud








Recordemos la definición:
U mercado
Un
d es incompleto
i
l t sii existen
i t dderivados
i d cuyos flflujos
j dde
caja no pueden ser replicados con los productos transables en el
mercado
Transable: se ppuede compar
p y vender (y mantener pposiciones
por periodos de tiempo) y no existen restricciones para
comprar y vender el producto
La causa más “fuerte” de incompletitud es una situación en las
que
ue hay
ha más fuentes de incertidumbre que
ue fuentes de cobertura
Este es el caso del ejemplo que acabamos de ver
Tres estados del mundo (“fuentes de incertidumbre”)
Dos fuentes de cobertura (acción y bono)
Este es el caso en mercados de catástrofes, clima, variables
económicas, etc.
Este es el caso del mercado de electricidad ((el subyacente
y
no es
transable
bl y no puede
d usarse como fuente
f
de
d cobertura)
b
Mercados Incompletos
Fuentes de Incompletitud








Mercado de electricidad: existe un mercado “Spot” de electricidad,
pero la electricidad no puede considerarse un activo transable
Para efectos prácticos, no es posible tomar y mantener una posición
larga en electricidad “Spot”
Sí existen “pilas” para almacenar energía, pero a nivel financiero no es factible
pensar en usar esto como una fuente de administración de riesgo
En este sentido, no es distinto a otros mercados de commodities, donde
almacenar un producto no es operativo para las entidades financieras
Es aún “menos posible” tomar y mantener una posición corta en
electricidad “Spot”
Spot
Sin embargo, ante un mercado desarrollado de derivados, es posible
tomar y mantener posiciones cortas y largas en electricidad  Esto
será un punto importante al tratar de valorar derivados
Esto es lo
E
l que se usa en ell mercado
d dde petróleo,
ól por ejemplo:
j
l se pueden
d
mantener posiciones en el primer contrato de futuros, como si representara
una posición en el subyacente “spot”
Sin embargo, en Colombia (y en cierta medida, en el mundo) hasta
ahora se está desarrollando este mercado
Mercados Incompletos
Fuentes de Incompletitud
Saltos en el subyacente; en estos modelos (procesos de
Levy), existen infinitas transformaciones de
probabilidad que hacen que el precio descontado sea
una martingala



Se puede pensar en una estrategia de replicación, donde se
exigiría tener  acciones … cuando la acción salta, la
i
imposibilidad
ibilid d dde rebalanceo
bl
continuo
ti
vuelven
l iincompleto
l t ell
mercado
Una situación similar se da en modelos con volatilidad
estocástica
Mercados Incompletos
Fuentes de Incompletitud
Fricciones de mercado 1: costos de transacción  a veces se dice que el
mercado es imperfecto
p
((en vez de incompleto)
p )
Volvamos al ejemplo original en el modelo binomial


S
120
80
t=0





CE
CE
60
t=T
t=0
20
0
t=T
Supongamos que hay un costo fijo de $0.1 por cada transacción que se haga
Una posición larga en la opción puede replicarse con un portafolio cuyo precio inicial
es $8.75
Una posición corta en la opción puede replicarse con un portafolio cuyo precio inicial
es -$8.39
Esta falta de unicidad en el precio es un consecuencia de la asimetría en la replicación;
el problema se exacerba en múltiples periodos
La replicación a los dos lados exige tener (o estar corto) 0.333 acciones
Mercados Incompletos
Fuentes de Incompletitud
Fricciones de mercado 2: restricciones de inversión  a veces
se dice que
ue el mercado es imperfecto (en vez
e de incompleto)
Por ejemplo, es razonable imponer restricciones para vender en
corto el activo subyacente
E traería
Esto
í asimetrías
i
í que evitarían
i í llllegar a un precio
i úúnico
i
Volvamos al ejemplo y supongamos que vender en corto la
acción exige un “encaje” del 20% del valor inicial (encaje que
genera 0% de
d rendimiento)
di i t )







Una posición larga en la opción puede replicarse con un portafolio cuyo
precio inicial es $8.57 (caso original, que no requiere posiciones cortas)
Una posición corta en la opción puede replicarse con un portafolio cuyo
precio inicial es -$8.06 (en este caso se requiere una posición corta en
acciones, que tiene un costo de oportunidad)
La replicación a los dos lados exige tener (o estar corto) 0.333 acciones
Mercados Incompletos
VALORACIÓN DE DERIVADOS EN
MERCADOS INCOMPLETOS
Ejemplos y Motivación
Fuentes de incompletitud: revisión del mercado de
electricidad
 Desarrollo Teórico
 Esquemas de Valoración de derivados en mercados
incompletos


Mercados Incompletos
Preámbulo Teórico
Marco Teórico, caso general

Recordemos: el Valor de no arbitraje de un derivado consiste en:
o
o
o
o
o


Valor presente (descontado) del pago final
Valor esperado de este valor presente
Ell valor
l esperado
d se ddebe
b hhacer bbajo una medida
d d dde probabilidad
b b l d d muy
particular  Probabilidad de Neutralidad al Riesgo
Bajo esta probabilidad, el valor esperado del retorno de (todos) los
activos modelados es igual
g a la tasa libre de riesgo
g
Esta “fórmula” es un teorema; hay una plataforma matemática detrás
que permite llegar a esto
Concepto usado: el valor de un derivado debe ser igual al
valor de un portafolio de instrumentos básicos que
repliquen los flujos de caja del derivado
Esta probabilidad de neutralidad al riesgo (o este portafolio
replicante) siempre existe? Es única?
Mercados Incompletos
Preámbulo Teórico
Marco Teórico
PRIMER TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS
FINANCIERAS:
“Existe una probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si no hay
arbitraje”
SEGUNDO TEOREMA FUNDAMENTAL DE MATEMATICAS
FINANCIERAS:
“Existe
Existe una única probabilidad de neutralidad al riesgo si y solo si el
mercado modelado es completo (hay forma de replicar todos los flujos de
caja derivados de los instrumentos básicos)”
Mercados Incompletos
Preámbulo Teórico
Marco Teórico
Versión alternativa del SEGUNDO TEOREMA FUNDAMENTAL DE
MATEMATICAS FINANCIERAS:

 Modelo de Precios de N Activos S (t )  S1 (t ), , S n (t ) T , t  [0, T ]
σ
 Primer activo: cuenta bancaria que crece a una tasa r


 Evolución de precios: dS n1 (t )  n1 ( s )dt  nm ( s )dWm1 (t ),


S (0)  S 0
 W es un movimiento Browniano bajo una probabilidad “física”
física P
σ
El mercado definido es completo si y solo si existe un
único proceso adaptado m1 tal que



 ( t )  ( t ) ( t )  r ( t ) S ( t )
 Esto no ocurre, por ejemplo, si hay más movimientos Brownianos que
acciones (m>n)
Mercados Incompletos
Preámbulo Teórico
σ
Marco Teórico



S es úúnico, tomamos ell  tall que  ( t )  ( t ) ( t )  r ( t ) S ( t )
Si
y cambiamos la medida física a una de valoración Q, donde:
Ŵ = W + ∫dt
es un Movimiento Browniano. El proceso de la acción es
dS (t )  r (t ) S (t )dt  σ(t )dWˆ (t ),
S ( 0)  S 0
σ
 Contrapartida: en un mercado incompleto existe más
dde un proceso  tall que  ( t )  ( t ) ( t )  r ( t ) S ( t )
Problema: cuál de todos usar para hacer el cambio de
medida?
e a?
Mercados Incompletos
Desarrollo Teórico

Tomemos un proceso de una variable observable (por
ejemplo,
j
l ell precio
i SSpott dde lla electricidad):
l t i id d)
dS(t) = (t)S(t) dt + σ(t)S(t) dW(t)

Adicionamos, como siempre,
p un “bono”:
dP(t) = r(t)P(t) dt




Se consideran dos derivados definidos sobre S que en el
tiempo T pagan según funciones bien definidas
Llamamos i el precio de estos derivados (i=1,2)
 i =  i((t,, S(t))
( ))
Observación: los derivados son instrumentos
transables, pero el subyacente no
Mercados Incompletos
Desarrollo Teórico
Lema de Itô:

d = (t+S(t)S+½2S(t)2SS)dt + S(t)SdW(t) = dt + dW(t)
Recordemos en el caso de mercados completos:
Replicación: Construimos un portafolio






+1 unidad del derivado (hasta T, sin rebalancear)
-S unidades de la acción (se debe rebalancear continuamente)  “Delta”
Evolución del valor del portafolio:
V = (t) - S S(t)
dV = -
SdS + d  Esta fórmula garantiza que no entra ni sale plata
= (t + ½2S(t)2SS) dt
Según la observación crucial, se debe tener
t + ½2S(t)
( )2SS = rV = r - rSS,, o
t + rSS + ½2S(t)2SS = r, (T, S(T)) = (S(T))
Ecuación de Black y Scholes
No aparece  en esta expresión
Mercados Incompletos
Desarrollo Teórico
En el caso de mercados incompletos no se puede generar ese portafolio replicante
(no se ppuede tomar la pposición en el subyacente)
y
… pero usamos la misma estrategia: construimos un portafolio









+1 unidad del derivado 1 (hasta T, sin rebalancear)
-1S/2S unidades del derivado 2 (se debe rebalancear continuamente) [ignoramos casos en que el
denominador es 0]
Escribimos di = iidt + iidW(t),
i = (it+S(t)iS+½2S(t)2iSS) / i
i = S(t)iS / i
Evolución del valor del portafolio:
V = 1 - 1S/2S 2
dV = d1 – 1S/2S d2  Esta fórmula garantiza que no entra ni sale plata
= ((1 1 - 2 2 1S/2S ) dt
Según la observación crucial (un portafolio sin dW debe crecer a una tasa r) se debe
tener
1 1 - 2 2 1S/2S = rV = r(1 - 1S/2S 2), o
[1 – r]] / 1 = [2 – r]] / 2 = ,
 una iinvariante
i t entre
t dderivados
i d
Mercados Incompletos
Desarrollo Teórico







Es decir, para evitar arbitraje todos los derivados transables deben
compartir el mismo precio de riesgo de mercado:   [ – r] / 
Con  podemos valorar todos los derivados. Cómo? cambiamos la
medida física a una de valoración Q, donde:
Ŵ = W + ∫dt es un movimiento
i i t B
Browniano
i
Luego d = r dt + S(t)SdŴ(t) y así G(t,x) = e-rt(t,x) es una
martingala
rT (S(T))]
 Los
L derivados
d i d se valoran
l
con lla fó
fórmula
l EQ[e
[ -rT
Problema: no se observa (ni se conoce) 
Solo se puede esperar derivar  de procesos de estimación histórica
(tí i
(típicamente
t es bastante
b t t poco preciso
i este
t método),
ét d ) o dde
observaciones en mercados de derivados líquidos
Por ejemplo, si se observa el precio de un derivado, es teóricamente
posible despejar ,
 y de ahí poder valorar todos los demás derivados
Mercados Incompletos
Desarrollo Teórico


Nota: dS = ( - σ)S dt + σSdŴ(t)
Si se conoce , la ecuación de valoración de un
derivado debe satisfacer
t + [
[-]
]SS + ½2S2SS = r, (T, S(T)) = (S(T))
 Aún si se conoce , tenemos que lidiar con : en contraste
con el caso de mercados completos, aquí  aparece en la
función de valoración (ecuación BS)
 En el extremo, si tuviéramos uno de los derivados como
un futuro con Strike 0, tendríamos [ – r] /  = ,
y la
l cantidad
d d -
 podría
d í ser reemplazada
l d arriba
b por r,
eliminando la necesidad de conocer  y  (la medida de
valoración quedaría unívocamente determinada, y de
h h se podría
hecho
d í arrancar por la
l medida
did dde valoración
l
ió
Mercados Incompletos
VALORACIÓN DE DERIVADOS EN
MERCADOS INCOMPLETOS
Ejemplos y Motivación
Fuentes de incompletitud: revisión del mercado de
electricidad
 Desarrollo Teórico
 Esquemas de Valoración de derivados en mercados
incompletos


Mercados Incompletos
Esquemas de valoración
Hay varias posibilidades




Ninguna es claramente
l
superior a llas ddemás
á
No hay respuesta “correcta” ni única, ni la transparencia que se tenía en
mercados completos
Ajustar metodología al mercado analizado
1.
2.
3.
4.
5.
Calibración del precio de riesgo de mercado
Superreplicación
M
Maximización
ó de
d utilidad
l d d esperada
d dde lla riqueza ffinall
Minimización de una medida del error de replicación
Cálculo de máximo riesgo
g aceptable
p
(“Risk Measure Pricing”)
g

Nota: del esquema de valoración se desprende la estrategia de
ggestión de riesgo
g
Mercados Incompletos
Esquemas de valoración
Calibración del precio de riesgo de mercado

Ventajas:



Se determina de forma única la medida de valoración
Se reduce el mercado al caso completo
 Se valoran derivados no observables de forma consistente y
libre de arbitraje
Desventajas:




Necesidad
N
id d de
d observación
b
ió ddell precio
i ddell riesgo
i
((observación
b
ió dde
derivados líquidos, por ejemplo)
Posible inconsistencia entre precios observados  necesidad de
establecer una forma parámetrica para minimizar un error de
calibración
Necesidad de establecer el “drift” para procesos observables pero
no transables  reto estadístico de proyección a futuro
Mercados Incompletos
Esquemas de valoración
Superreplicación

Ventajas:
Muy sencillo computacionalmente
Se cubre totalmente el riesgo





Desventajas:
j
No sirve de mucho: amplitud de “bid-ask” lo hace impráctico
Ejemplo:
Variable observable pero no transable X = W
Tasas de interés r  0
Derivado: paga $1 si X(T) > 0 y $0 en caso contrario
Intuición: precio debería ser alrededor de $0.50
Para cualquier proceso , Ŵ = W + ∫dt es un MB bajo una prob Q, que es una
medida equivalente de martingala
o
Valoración
l
ó en esta medida:
d d V0Q = EQ[(X(T))]

= PQ [Ŵ≥
Ŵ ∫dt]
∫d = N(- ∫dt)
∫d
o
Superreplicación:

Precio de compra = infQV0Q = 0

Precio de venta= supQV0Q = 1

…. N
No di
dice mucho;
h en cada
d caso lla administración
d i i t ió ddell riesgo
i
es ttrivial
i il
o
o
o
o
o
Mercados Incompletos
Esquemas de valoración
Maximización de Utilidad Esperada

V j
Ventajas:
Clara justificación económica
Consistencia con teoría de selección de portafolios


Des entajas
Desventajas:

Inputs no son dados por el mercado; notoriamente:






Preferencias
Distribución de variables (es decir, la medida “física”)
“Endowment” inicial  esto aparece en realidad como un output en la valoración
Necesidad de determinar una forma para la función de utilidad y de
calibrarla
En general,
general se debe resolver numéricamente mediante simulaciones
“Unfortunately, the maximization is notoriously sensitive to these
inputs, whose formulation is suspect at the outset. This shortcoming
renders the methodology
gy ppotentiallyy useless …” (Carr et al. 2001)
Mercados Incompletos
Esquemas de valoración
Maximización de Utilidad Esperada

Seguimos con el ejemplo anterior:

Variable observable X = W

Ahora X se puede transar, pero solo en t=0 y t=T

Tasas de interés r  0

D i d (X) = $1 sii X(T) > 0 y $0 en caso contrario
Derivado:
t i ((usemos T=1)

“Endowment” $v

Portafolio inicial: +1 unidad del derivado,  unidades de X, y lo que esté en
plata, invertirlo en el bono

Función de utilidad para una riqueza w
w: u(w) = -(w-2)
(w 2)2

Problema1: maximizar E[u(w)] = E[-(v+X+(X)-2)2]

Solución:  = -0.399 (independiente de  y v)

Utilidad esperada con ese : E[u(w)] = -(v2-3v-1.66)

P bl
Problema
22: encontrar
t ell v mínimo
í i que hhace que esto
t sea preferible
f ibl a no
hacer nada  u(0) = - 4

Solución: v = -0.477 (independiente de !)

Luego yo no compraría el derivado si tuviera que pagar más de $0.477

P vender
Para
d ell derivado,
d i d se debería
d b í recibir
ibi all menos $0
$0.692
692
Mercados Incompletos
Esquemas de valoración
Minimización de una medida del error de replicación

V tj
Ventajas:
Cercano a la intuición de gestión de “tracking error”
Sencillo de formular matemáticamente




Desventajas:







Inputs no son dados por el mercado; notoriamente:
Medida del error (aunque hay “consenso” en usar error cuadrático
promedio)
Distribución de variables (es decir,
decir la medida “física”)
física )
Necesidad de determinar una forma para la función de utilidad y
de calibrarla
En el ejemplo
j p anterior, la solución sería:
v = -0.5 (es decir, el valor del derivado debe ser $0.5,
independiente de punto de vista de compra o venta)
 = -0.399 (es el delta para cubrir el derivado)
(Error cuadrático promedio) mínimo: $0.301
$0 301
Mercados Incompletos
Esquemas de valoración
Cálculo de máximo riesgo aceptable

Optimo entre un conjunto de medidas de valoración “aceptables”
aceptables
(entre las medidas equivalentes de martingala)

Es una superreplicación en un conjunto reducido de medidas

Descripción
p

Precios derivado = (infQDEQ[e-∫rdt(S)], supQDEQ[e-∫rdt(S)])
D es un conjunto de medidasequivalentes de martingala
Si se toma D como todo el conjunto, se vuelve a superreplicación




Mi
Miremos
un ejemplo
j
l dde fformulación
l ió (“Ri
(“Risk-Measure
kM
P i i ” de
Pricing”
d Xu)
X )
Medida coherente de riesgo (ADEH) es una función
: {Variables Aleatorias (“pérdidas”)}  
Indica cuánta plata debe adicionarse al portafolio para que sea admisible
Cumple


o
o
o
o
Subaditividad: (X+Y) ≤ (X) + ( Y)
Homogeneidad: (X) =  (X) (≥0)
Monotonicidad: X ≤ Y  (X) ≤ ( Y)
Invarianza: (X+ )
 = (X) + 
Mercados Incompletos
Esquemas de valoración
Cálculo de máximo riesgo aceptable

Para un trader con medida de riesgo ,
 “pasivo”
pasivo inicial L,
L a quien se
le da un capital x para administrar una posición nueva (un derivado),
se define
x(L) = infWY(x)
( ) (L-W),
donde Y(x) es el conjunto de posibles riquezas finales, si se comienza
con x:

t
Y ( x)  X | X t  x   dS ,  estrategia autofinanciada




0
Generalmente solo se toman estrategias que no generan pérdidas
ilimitadas
Valoración de un derivado H se basa en no aumentar el riesgo del
portafolio del trader:
Precio de
d compra: sup{x:
{ -x(L-H) ≤ (L)}}
Precio de venta: inf {x: x(L+H) ≤ (L)}
Si se tiene una función de utilidad, se puede definir una medida de
riesgo
g para
p hacer los dos esquemas
q
equivalentes:
q
(L)) = -E[U(-L)]
(
[ ( )]
Mercados Incompletos

Esquemas de valoración
Cálculo de máximo riesgo aceptable
 Ventajas:


Toma el concepto de superreplicación, sin ser tan drástico
(por lo que puede ser útil)
Intuitivamente razonable
Desventajas:




Se debe determinar el conjunto de medidas “aceptables” 
esto suele ser arbitrario
Alternativamente se debe determinar una medida de riesgo
g
coherente para la administración del portafolio
Optimización puede requerir análisis numérico
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Opciones
FIN
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