Examen 2aconvocatoria de julio - Prof. Antonio J. Moreno Checa

Examen 2aconvocatoria de julio
Antonio José Moreno Checa [email protected]
Calcule la deformación el momento y esfuerzo cortante de la viga.ρo =
1000N/m. En primer lugar, y partiendo del diagrama de cuerpo libre para to-
da la viga, obteniendo Ra = Rb . Una ecuación y 2 incógnitas (Ma
y
Ra ).
Necesitamos integrar el momento flector en los dos primeros tramos para
utilizar las condiciones de contorno para el desplazamiento (δ) y tangente
del desplazamiento AIp θ = AIp dδ/dx = M .
Ahora podemos realizar la sumatoria de fuerzas y momentos para calcular
V (x) y M (x).
Una descripción del método puede consultarse en vigas.pdf. También podemos utilizar la relación,
dV
= ρ = ρo (1 − x) ,
dx
1
(1)
2
Figura 1: Primer corte: 0 < x < 1
para calcular el esfuerzo cortante, obteniendo,
.
V = Va +ρo x − ρo x2 2,
(2)
Si volvemos a integrar, el momento es,
.
.
M (x) = −Ma −Ra x + ρo x2 2−ρo x3 6,
(3)
la tangente del desplazamiento,
.
.
.
θ (x) = −Ma x − Ra x2 2+ρo x3 6−ρo x4 24,
(4)
y el desplazamiento
.
.
.
.
AIp δ (x) = −Ma x2 2−Ra x3 6+ρo x4 24−ρo x5 120,
(5)
En las ecuaciones anteriores se tenido en cuenta que θ(0) = δ(0) = 0, y
además, de la última ecuación de [5] podemos obtener una relación entre
Ma y R a ,
AIp δ (1) = −Ma /2−Ra /6+ρo /24 − ρo /120 = 0,
(6)
de donde:
ρo /5 = Ra + 3Ma ,
(7)
3
El el segundo tramo si integramos
Figura 2: Segundo Tramo,1 < x < 2
dV
= −ρo ,
dx
(8)
V (x) = Vb −ρo (x − 1) ,
(9)
M (x) = Mb +Vb (x − 1) −ρo (x − 1)2 /2,
(10)
entre 1 y x, obtenemos,
AIp θ (x) = AIp θ (1) +Mb (x − 1) +Vb (x − 1)2 /2 − ρo (x − 1)3 /6,
(11)
y,
AIp δ (x) = AIp θb (x − 1) +Mb (x − 1)2 /2 + Vb (x − 1)3 /6 − ρo (x − 1)4 /24,
(12)
Igual que en primer tramo, de [12] sabemos que la deformación en x = 1,5m
es cero,
AIp θb + Mb /8+Vb /48−ρo /(24 · 16) = 0,
(13)
como θ(x = 3/2)
m = 0, de la ecuación [11],
8AIp θb = ρo /6 − 4Mb −Vb
teniendo en cuenta este resultado, y sustituyendo en [13],
7ρo /8 = 5Vb + 18Mb
Aún falta conocer la relación entre Mb , Rb y Ra y Ma . A partir de las
ecuaciones [3] en x = 1m y [9] en x = 1,5,
Mb = −Ma − Ra + ρo /3,
(14)
4
V(1,5) = Vb − ρo /2 = 0 ⇒ Vb = ρo /2,
(15)
A partir de las tres últimas relaciones, encontramos que:
Ra + Ma = 61ρo /32
(16)
Las ecuaciones [7] y [16] permiten calcular Ra y Ma : En vigas2.pdf. hay un
Ma = −273ρo /360 ≈ −3ρo /4,
Ra = −249ρo /120
ejemplo en el que se calculan los perfiles.
≈ −2ρo ,