Un centímetro cuadrado es la superficie de un cuadrado de 1

CENTRO PÚBLICO DE EDUCACIÓN
DE PERSONAS ADULTAS
ESPA – 1
Matemáticas y Tecnología
Unidad 6 – Área de figuras planas
UNIDADES DE SUPERFICIE
Para expresar el tamaño de una vivienda se emplean las unidades de superficie. Observa estas dos
figuras.
4 cm
5 cm
3
cm
4
cm
figura A
figura B
El perímetro (suma de la longitud de todos sus lados) de ambas figuras es 16 cm.

Perímetro de la figura A = 3 cm + 3 cm + 5 cm + 5 cm = 3 cm × 2 + 5 cm × 2 = 16 cm

Perímetro de la figura B = 4 cm + 4 cm + 4 cm + 4 cm = 4 cm × 4 = 16 cm
Sin embargo, la figura B es mayor que la A. Para comparar dos figuras planas no es suficiente con
calcular su perímetro sino que debemos averiguar cuánto cabe dentro de ellas, es decir, su superficie o
área.
Para averiguar la superficie de estas figuras debemos hacer uso de una unidad llamada centímetro
cuadrado (cm2).
← 1 cm2
Un centímetro cuadrado es la superficie de un cuadrado de 1 centímetro de lado
Dividiendo las figuras en centímetros cuadrados se obtiene:
Superficie figura A = 15 cm2
Superficie figura B = 16 cm2
De ambas figuras se puede decir que se necesita igual número de metros de valla para rodearlas
(perímetro), pero distinto número de baldosas para cubrirlas (superficie).
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Ejercicio 1
Fíjate en la definición de centímetro cuadrado y define las siguientes unidades:
a) metro cuadrado (m2)
b) decímetro cuadrado (dm2)
c) kilómetro cuadrado (km2)
Múltiplos
Ejercicio 2
Dibuja un decímetro cuadrado, un centímetro cuadrado y un milímetro cuadrado. Dibújalos uno dentro
de otro, compartiendo un mismo vértice. Pide ayuda al profesor/a si no sabes como hacerlo.
a) ¿Cuántos centímetros cuadrados caben en el decímetro cuadrado?
b) ¿Cuántos milímetros cuadrados caben en el centímetro cuadrado?
c) ¿A cuántos milímetros cuadrados es igual un decímetro cuadrado?
d) El centímetro cuadrado es la... parte del decímetro cuadrado.
kilómetro cuadrado (km2)
1 km2 = 100 hm2 = 10.000 dam2 = 11000.000 m2
hectómetro cuadrado (hm2) – hectárea (ha)
1 hm2 = 1 ha = 100 dam2 = 10.000 m2
decámetro cuadrado(dam2) – área (a)
1 dam2 = 100 m2
Submúltiplos
Unidad metro cuadrado (m2) – centiárea (ca)
decímetro cuadrado (dm2)
1 dm2 = 0,01 m2 (centésima de m2)
centímetro cuadrado (cm2)
1 cm2 = 0,0001 m2 (diezmilésima de m2)
milímetro cuadrado (mm2)
1 mm2 = 0,000001 m2 (millonésima de m2)
Ejercicio 3
a) Completa en tu cuaderno la siguiente tabla sobre las unidades de superficie. Escribe las cantidades en
forma de potencia de 10 (102, 103, 104, etc.):
Unidades
hm2
dam2
m2
dm2
cm2
mm2
1 kilómetro cuadrado son
1 hectómetro cuadrado son
1 decámetro cuadrado son
b) Cambia de unidad:
0,072 km2 = .............. m2
45 dam2 = ............... hm2
0,7 m2 = .................dam2
0,003 hm2 = ............ cm 2
50,07 ha = ............... m2
550.000 mm2 = ........ m2
8,009 dam2 = ......... cm2
880 m2 = .................. ha
28,005 m2 = ............ mm2
0,705 km2 = .............. hm2
81409.205 dm2 = ........ m2
25.000 mm2 = ............. m2
Las medidas de superficie pueden expresarse en forma compleja (varias unidades) y en forma
incompleja (una sola unidad). Así, se puede decir que la superficie de una solar es 803,065 m2 (forma
incompleja) o también 8 dam2, 3 m2, 6 dm2 y 50 cm2 (forma compleja).
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Ejemplo 1
Expresar la medida compleja 6 hm2, 25 dam2, 2 m2 y 8 dm2 en forma incompleja (en m2)
6 hm2 = 6 × 10.000
25 dam2 = 25 × 100
2 m2 =
8 dm2 = 8 : 100
= 60.000
m2
=
2.500
m2
=
2
m2
=
0 , 08
m2
62.502 , 08
m2
Solución: 6 hm2, 25 dam2, 2 m2 y 8 dm2 = 62.502,08 m2
Ejemplo 2
Expresar la medida incompleja 23.004,205 m2 en forma compleja
23.004,205 m2 = 23.004 m2 + 0,205 m2
Convertimos los 3.004 m2 en unidades
superiores al m2
Convertimos los
inferiores al m2
23004 m2
100
0,205 m2 × 100 = 20,5 dm2 = 20 dm2 + 0,5 dm2
200
230 dam2
100
0300
200
2 hm2
300
0,205
m2
en
unidades
0,5 dm2 × 100 = 50 cm2
030 dam2
0004 m2
Solución: 23.004,205 m2 = 2 hm2, 30 dam2, 4 m2, 20 dm2 y 50 cm2
Ejercicio 4
a) Transforma las siguientes cantidades complejas en incomplejas
3 km2, 24 hm2 y 7 m2 = ….dam2
5 hm2, 35 dam2 y 7 dm2 = …m2
b) Transforma las siguientes cantidades incomplejas en complejas:
305,078 hm2
4.500,305 dam2
70.850,009 m2
400.500,068 dm2
11005.038,06 cm2
CÁLCULO DEL ÁREA O SUPERFICIE DE FIGURAS PLANAS
En el siguiente cuadrilátero se observa que
sobre la base se pueden poner 8 cm2 y sobre la
altura, 3 cm2.
Así pues, en el cuadrilátero se pueden poner: 8
× 3 = 24 cm2
Altura (3 cm)
Área o superficie de un cuadrilátero rectángulo
Base (8 cm)
La superficie de un cuadrilátero rectángulo se obtiene multiplicando su base por su altura
Muchos de los objetos habituales (suelo y paredes de las habitaciones, mesas, hojas de las puertas,
etc.) tienen forma de cuadrilátero rectángulo. En estos casos no hablamos de base y la altura sino de largo
y ancho (suelo de una habitación) o de largo y alto (pared de una habitación)
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Área o superficie de un triángulo
Los elementos fundamentales de un triángulo son:

Base. Cualquier lado se puede considerar como base de un triángulo.

Altura. Es la perpendicular al lado considerado como base, o su prolongación, desde el vértice
opuesto
Base
Altura 1
Altura
Altura 2
Base
Base 1
Observa la siguiente figura. Es un cuadrilátero rectángulo dividido en dos partes, cada una de las
cuales es un triángulo.
A
B
Triángulo ABC
Altura
(3 cm)
Triángulo ADC
Base (8 cm)
D
C
La superficie o área del triángulo ACD es obviamente la mitad que la del cuadrilátero rectángulo
ABCD. Por lo tanto:
Superficie del cuadrilátero ABCD = base × altura. Por lo tanto, la superficie del triángulo será la
mitad:
Superficie del cuadrilátero
Base × altura
Superficie del triángulo =
=
2
2
Ejercicio 5
Calcula el área de los siguientes triángulos. Redondea los resultados hasta la centésima y escribe el
resultado en forma incompleja y compleja.
Triángulo 1
Triángulo 2
Conociendo cómo se calcula el área de un triángulo y de un cuadrilátero rectángulo, se puede
calcular el área de cualquier polígono. Basta descomponer el polígono en triángulos y cuadriláteros
rectángulos.
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Ejemplo
B
A
Para calcular el área de esta figura se divide en
figuras conocidas:
Figura 1: Cuadrilátero rectángulo ABED
1
2
Figura 2: Triángulo BEC
Se calcula el área de cada figura por separado y
luego se suman.
C
D
E
Ejercicio 6
Realiza las mediciones oportunas y calcula la superficie de la figura anterior, expresando el resultado en
forma compleja (cm2 y mm2)
Ejercicio 7
Calcula el área de las siguientes figuras. Divídelas en figuras conocidas, triángulos y cuadriláteros.
1
2
3
4
Circunferencia y círculo
Circunferencia es una línea cerrada y curva cuyos puntos equidistan (están a la misma distancia;
equi: igual) de otro llamado centro.
En toda circunferencia, sea cual sea su tamaño, el cociente entre su longitud y la longitud del
diámetro es siempre constante y es igual al número decimal inexacto 3,14159265358979323846… Este
número se designa con la letra griega π (se pronuncia “pi”) y se suele tomar 3,14 para hacer los cálculos.
Longitud de la circunferencia
Longitud del diámetro
Página 5 de 8
=
π
Como la medición directa de la circunferencia (con una cinta
métrica) es muy difícil de realizar, la longitud de la circunferencia se
calcula midiendo el diámetro.
Longitud de la circunferencia = π × Longitud del diámetro
Como el diámetro es dos veces mayor que el radio (diámetro = 2
× radio) puede escribirse que la:
Longitud de la circunferencia = π × 2 × radio.
Esta expresión se escribe abreviadamente:
Longitud de la circunferencia = 2 π r
En las expresiones matemáticas con números y letras no se
escribe el signo de multiplicar. Cuando no hay signo de operación se sobreentiende que es una
multiplicación.
Ejercicio 8
Nota: para la realización de los cálculos emplear π = 3,14
a) Calcula la longitud, en milímetros, de una circunferencia de 1,05 metros de radio.
b) Calcula el diámetro, en kilómetros, de una circunferencia de 235,5 decámetros de longitud.
c) Calcula el radio, en centímetros, de una circunferencia cuya longitud es de 2,669 metros.
La porción de plano limitada por una circunferencia recibe el nombre de círculo. El área del círculo
se calcula multiplicando el número π por el cuadrado del radio.
Área del círculo = π r2
Ejercicio 9
Calcula:
a) La longitud de la circunferencia de la figura de la derecha.
Expresa el resultado en mm.
b) El área del círculo de la figura de la derecha. Expresa el
resultado en forma compleja (cm2 y mm2)
c) El área de un círculo cuyo diámetro mide 25 dm. Expresa el
resultado en forma compleja.
d) El área de un círculo cuya circunferencia mide 31,4 m. Expresa
el resultado en forma compleja. Primero hay que averiguar el
radio de la circunferencia.
e) El área de una mesa circular sabiendo que su circunferencia
mide 7,85 m. Expresa el resultado en forma compleja.
Ejercicio 10
Calcula el área de una habitación que tiene forma de cuadrilátero rectángulo sabiendo que su perímetro
es de 24 metros y que su largura es el doble que su anchura.
Página 6 de 8
Ejercicio 11
Calcula el área de esta figura
SOLUCIONES
Nota importante. En los ejercicios en los que haya que realizar mediciones, es posible que el resultado obtenido sea
“ligeramente” diferente al que figura aquí. Eso es debido a que la fotocopiadora NO realiza una copia exacta del
documento, aumentado o disminuyendo el tamaño de las figuras.
Ejercicio 1
2
a) metro cuadrado (m ) es la superficie de un cuadrado de un metro de lado
2
b) decímetro cuadrado (dm ) es la superficie de un cuadrado de un decímetro de lado
2
c) kilómetro cuadrado (km ) es la superficie de un cuadrado de un kilómetro de lado
Ejercicio 2
2
a) ¿Cuántos centímetros cuadrados caben en el decímetro cuadrado? 100 cm
2
b) ¿Cuántos milímetros cuadrados caben en el centímetro cuadrado? 100 mm
2
c) ¿A cuántos milímetros cuadrados es igual un decímetro cuadrado? 10.000m mm
d) El centímetro cuadrado es la centésima parte del decímetro cuadrado.
Ejercicio 3
a)
2
dam
2
10
Unidades
hm
2
10
1 km =
2
1 hm =
2
b)
2
2
0,072 km = ......... 72.000 m
2
2
45 dam = .............. 0,45 hm
2
2
0,7 m = ............. 0,007 dam
2
2
0,003 hm = .... 300.000 cm
m
2
dm
6
10
4
10
2
10
4
10
2
10
10
1 dam =
2
10
2
cm
2
mm
2
8
6
10
8
4
10
6
8
10
2
50,07 ha = ............... 500.700 m
2
2
550.000 mm = .............. 0,55 m
2
2
8,009 dam = ......81009.000 cm
2
880 m = ....................... 0,088 ha
2
2
28,005 m = ... 281005.000 mm
2
2
0,705 km = ................ 70,5 hm
2
2
81409.205 dm = . 84.092,05 m
2
2
25.000 mm =............. 0,025 m
Ejercicio 4
a) Transforma las siguientes cantidades complejas en incomplejas
2
2
2
2
2
2
2
2
3 km , 24 hm y 7 m = 32.400,07 dam
5 hm , 35 dam y 7 dm = 53.500,07 m
b) Transforma las siguientes cantidades incomplejas en complejas:
2
2
2
2
2
2
2
2
2
4.500,305 dam = 45 hm , 30 m y 50 dm
305,078 hm = 3 km , 5 hm , 7 dam y 80 m
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
400.500,068 dm = 40 dam , 5 m , 6 cm y 80 mm
70.850,009 m = 7 hm , 8 dam , 50 m y 90 cm
2
2
2
2
2
11005.038,06 cm = 1 dam , 50 dm , 38 cm y 6 mm
Página 7 de 8
Ejercicio 5
2
2
2
Triángulo 1 = 10,35 cm = 10 cm y 35 mm
2
2
Triángulo 2 = 11,03 cm = 11 cm y 3 mm
Ejercicio 6
2
2
2
Figura 1 = 11,4 cm = 11 cm y 40 mm
2
2
2
Superficie total = 17,55 cm = 17 cm y 55 mm
2
2
Figura 2 = 6,15 cm = 6 cm y 15 mm
2
2
Ejercicio 7
Figura 1 (romboide)
2
2
2
Superficie de la figura = 32,9 cm = 32 cm y 90 mm
Figura 3 (hexágono regular)
2
2
2
Superficie de la figura = 35,52 cm = 35 cm y 52 mm
Figura 2 (rombo)
2
Superficie de la figura = 24 cm
figura 4 (trapezoide)
2
2
2
Superficie de la figura = 26,62 cm = 26 cm y 62 mm
Ejercicio 8
a) 6.594 mm
b) 0,75 km
c) 42,5 cm
Ejercicio 9
Radio = 3 cm
a) Longitud circunferencia = 18,84 cm = 188,4 mm = 188 mm
2
2
2
b) Superficie del círculo = 28,26 cm = 28 cm y 26 mm
2
2
2
2
2
c) Radio del círculo = 12,5 dm;
Superficie del círculo = 490,625 dm = 4 m , 90 dm , 62 cm y 50 mm
2
2
2
d) Superficie del círculo = 78,5 m = 78 m y 50 dm
2
2
2
2
2
e) Radio del círculo = 1,25 m;
Superficie del círculo = 4,90625 m = 4 m , 90 dm , 62 cm y 50 mm
Ejercicio 10
Longitud = 8 m;
Anchura = 4 m
Área = 8 m × 4 m = 32 m
2
Ejercicio 11
3,14 × 3,15 2
2
= 15,58 cm
2
3,2 × 3,1
Superficie triángulos:
× 2 = 9,92 cm2
2
Superficie semicírculo:
Superficie rectángulo: 6,3 × 3,1 = 19,53 cm
2
Superficie total. 15,578325 + 19,53 + 9,92 = 45,03 cm
EJERCICIOS DEL LIBRO RECOMENDADOS (páginas 139 y 140)
Ejercicio 6
Ejercicio 7
Ejercicio 10
2
Figura A. Superficie sombreada = 19,2 mm
Figura B. Superficie sombreada = 400 m
Ejercicio 13 (A y B)
2
Figura A. Superficie sombreada = 86 m
Figura B. Superficie sombreada = 109,04 dm
Ejercicio 14
2
Área del círculo = 1.962,5 m
Área del sector circular = 81,77 m
Página 8 de 8
2
2
2
2