modelos de transporte

M ODELOS
DE
T RANSPORTE
E LISA S CHAEFFER
Programa de Posgrado en Ingenierı́a de Sistemas (P ISIS )
[email protected]
I NVESTIGACI ÓN
DE
O PERACIONES
S UMINISTRO Y DEMANDA
Utilizamos redes y flujos para modelar problemas de suministro
y demanda.
Contamos con dos tipos de vértices:
1. vértices de suministro (plantas, fábricas, proveedores)
2. vértices de demanda (clientes, consumidores)
Objetivo: encontrar un flujo con origen en los vértices de
suministro y destino en los los vértices de demanda sujeto a unas
restricciones.
¿R ESTRICCIONES ?
Tı́picamente aplican varias restricciones al transporte de las
mercancı́as a través de la red:
capacidad de transporte por conexión
lı́mites en el número de conexiones activas
capacidad máximo de producción de los vértices de suministro
demanda de los clientes
F LUJOS Y PL
Este tipo de problemas corresponden a programas lineales con
estructura especial.
Las variables corresponden a la cantidad de flujo por arista y las
restricciones aseguren realismo del modelo:
imponer las capacidades
conservar del flujo
Existe una variación especializada de Simplex (Network Simplex
Algorithm) para resolver eficientemente estes problemas.
A RISTAS
Proveedores producen ciertas cantidades de (diferentes tipos de)
productos. Los clientes consumen toda la producción.
Las aristas sirven como “conductos”. Cada arista puede tener
definidos los datos siguientes:
dirección (se diferencia entre el vértice de salida y el vértice
de entrada)
una capacidad no negativa máxima (y/o mı́nima) de cuántas
unidades pueden pasar por la arista, y
un costo no negativo por unidad de utilizar la arista.
Si se permite varios tipos de productos, la capacidad puede ser
total o definido por tipo de producto. Igualmente el costo puede
depender del tipo.
V ÉRTICES
Los vértices de suministro tienen capacidades negativas. Una
capacidad −k significa que el proveedor produce k unidades.
Los vértices de demanda tienen capacidades no negativas. Una
capacidad k significa que el cliente consume k unidades.
Además puede haber vértices de transbordo que no tienen
capacidad, sino que solamente sirven como conexiones entre
diferentes aristas (o sea, hacen un transbordo).
¿V ÉRTICES DE TRANSBORDO ?
Sin vértices de transbordo, el grafo de entrada G = (V, E) serı́a
bipartito y las rutas de entrega serı́an todas distintas. Se llama
problema de transporte.
Cuando vértices de transbordo están presentes, productos de
diferentes proveedores pueden compartir una arista en su camino
a los clientes.
E JEMPLO : TRANSPORTE VS . TRANSBORDO
Transporte
Transbordo
En un problema de transporte, la entrega es directa. En problemas
de transbordo, las rutas con más complejas.
L A CONDICI ÓN DE CONTINUIDAD
Vértice de suministro:
capacidad negativo
Vértice de demanda:
capacidad no-negativo
Vértice de transbordo:
capacidad cero
Flujo por cualquier arista:
cero o positivo
La suma de flujos entrantes a un vértice v menos la suma de los
flujos salientes del mismo vértice v debe ser igual a la capacidad
del vértice.
P ROBLEMA DE OPTIMIZACI ÓN
¿Cuál es el flujo de transporte de cada arista con el cual se
puede transportar el material producido desde los vértices de
suministro a los vértices de demanda, sin violar las
restricciones de capacidad y continuidad ası́ que se minimiza
el costo total?
A PLICACIONES
logı́stica: transporte de mercancı́as
flujo de gases y lı́quidos por tuberı́as/cloacas
corriente de electricidad
lineas de producción/montaje
paquetes de datos en redes de comunicaciones
tráfico por carreteras o via ferrocarril
¿C ÓMO RESOLVER ?
Con algoritmos para flujos en redes añadiendo un fuente universal
“antes” de todos los vértices de suministro y un suministro
universal “después” de todos los vértices de demanda (si hay
vértices de transbordo, no les pasa nada).
Las capacidades de las aristas creadas serán los valores
absolutos de las capacidades de los vértices de
suministro/demanda incidentes (hay solamente uno por arista).
(Se utiliza una construcción muy parecida para resolver problemas de
acoplamiento con flujos.)
P ROBLEMA DE TRANSBORDO COMO UN PL
Etiquetar todos los vértices: V = {v1 , . . . , vn }
xij = flujo por la arista (vi , vj )
0 < cij = capacidad de la arista (vi , vj )
ci = capacidad del vértice vi
0 < wij = costo por unidad de la arista (vi , vj )
E L PROGRAMA QUE RESULTA
xij ≥ 0
Para cada arista: xij ≤ cij
Para cada vi ∈ V :
X
xji −
x
xik = ci
(vi ,vk )
(vj ,vi )
mı́n
X
X
(vi ,vj )∈E
wij xij
A CONTINUACI ÓN ...
Ejemplos de flujos y problemas de transporte y transbordo.